第一次月考模拟卷（培优卷） 2025-2026学年苏科版数学七年级下册（考试范围7～8章 幂的运算+整式乘法）

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年七年级数学下学期第一次月考模拟卷 培优卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：苏科版新教材七年级数学下册第7~8章（幂的运算+整式乘法）． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法及求代数式的值，解题的关键是将已知等式转化为，再根据同底数幂的乘法法则将转化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．，，则（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，由题意可得，从而得出，即可得解，熟练掌握运算法则，进行适当变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 4．已知，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂除法及幂的乘方，将进行正确的变形是解题的关键． 利用同底数幂除法及幂的乘方法则将变形后可得，将已知数值代入计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 5．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了负整数次幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据负整数次幂、零次幂化简，然后再比较即可． 【详解】解∶ ∵，，，， ∴． 故选B． 6．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 7．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 【详解】解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 8．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的乘法． 先计算，再根据结果不含项计算即可． 【详解】 ， ∵的结果不含项， ∴， 即． 故选：D． 9．已知，则的值为（    ） A．13 B．8 C．－3 D．5 【答案】A 【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键． 10．如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ） A．5 B．1 C．1或 D．1或9 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握完全平方式的结构特征． 利用完全平方公式的结构特征，常数项为25，可确定平方根为，再根据一次项系数相等求解． 【详解】∵ = ， 又多项式 是完全平方式， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ． 故选：C． 11．某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C 12．边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的运算的应用，关键是用代数式表示出阴影部分的面积．根据已知图形得出阴影部分的面积是：求出即可． 【详解】解：边长分别为和a的两个正方形，阴影部分的面积是： ， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．计算的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，先算乘方，再算除法，据此即可求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14．已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法进行变形，进而解决问题．利用指数运算性质，将分解为，再分别用和表示各部分． 【详解】由已知 ，得 ； 由 ，且 ，得 ， 所以 ； 因此 ． 故答案为：． 15．如图，已知正方形与正方形的面积之差为36，则阴影部分面积为___________． 【答案】18 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，再根据得到即可． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，， 所以 ． 故答案为：18． 16．在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法与图形的面积，利用图形正确列式是解题的关键．用长方形面积减去空白部分的面积分别表示出、，再利用整式的混合运算计算它们的差即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， 由得， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，满分72分） 17．（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 18．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 【详解】（1）解： ； （2） 19．某种液体每升含有个细菌，某种杀菌剂1滴可以杀死个此种有害细菌，现在若要将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂为，要用多少升？ 【答案】要用这种杀菌剂滴，要用升 【分析】先求出3升含有细菌的个数，再求出杀死这些细菌需要的滴数，再用滴数除以每滴这种杀菌剂的升数，即可求解， 本题考查了同底数幂乘除法的实际应用，解题的关键是：理解题意正确列式． 【详解】解：根据题意知，要用这种杀菌剂（滴）， 要用（升）， 要用这种杀菌剂滴，要用升． 20．如图，某区有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为的空白的正方形地块将修建一个凉亭．    (1)用含有a、b的式子表示绿化总面积； (2)若，，求出此时的绿化总面积． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出代数式是解题关键． （1）阴影部分面积等于大长方形面积减去小正方形面积，化简得到最简结果； （2）把a与b的值代入（1）式计算即可． 【详解】（1）绿化总面积是： ； （2）当，时， 21．如图，现在有A（边长为a的正方形）、B（长、宽分别为a、b的长方形）、C（边长为b的正方形）三种型号的瓷砖若干块，想在面积为的地面上无空隙、无重叠的拼接． (1)需要A瓷砖_______块，B瓷砖_______块，C瓷砖_______块． (2)试在网格图中画出示意图． 【答案】(1)2，7，3 (2)见详解 【分析】本题是考查的是多项式乘法与图形面积，熟练掌握多项式乘法法则是解决本题的关键． （1）根据多项式乘法计算，再根据三种型号的瓷砖的面积即可解答． （2）根据（1）中结论和题意画图即可． 【详解】（1）解：， 根据题意三种型号的瓷砖的面积分别为， 故需要A瓷砖2块，B瓷砖7块，C瓷砖3块， 故答案为：2，7，3； （2）解：如图． 22．如图1，是一个长为、宽为的长方形， 沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形， 然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1： ； 方法2： ； (2)观察图2，请你写出三个代数式、 、之间的等量关系式： ； (3)根据（2）中的结论，若， 则 ． (4)有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了，试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【答案】(1)， (2) (3) (4)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了完全平方公式和多项式乘多项式的几何背景，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键． （1）根据阴影部分的边长为小长方形的长减去宽，再根据正方形的面积求解或用大正方形的面积减去4个长方形的面积； （2）根据大正方形面积减去4个小长方形面积等于小正方形面积可得等式； （3）根据（2）中结论，得，据此可得答案； （4）画出长，宽的长方形即可． 【详解】（1）解：方法1：小正方形的边长为，则图2中阴影部分的面积为； 方法2：图2中阴影部分的面积， 故答案为：，． （2）解：三个代数式、 、之间的等量关系式， 故答案为：． （3）解：由（2）可知，， 把代入得，， 解得， 故答案为：． （4）解：如图， 23．规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：__________，________，__________； (2)小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； (3)求证：． 【答案】(1)3，2，3； (2)0； (3)见解析． 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． （1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果； （2）设，则，得到，同理得到，则，从而可求解； （3）设，则，从而可得，得到，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 故答案为：3，2，3； （2）设，则， ∴， 则， ∴， 设，则， ∴， 则， ∴， ∴， ∴； （3）设，则， ∴， ∴， 即． 24．有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：． (1)图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式； (2)如图2，在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积； (3)如图3，以（2）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的应用： （1）大正方形的面积用两种方法表示出来，即可得出答案； （2）根据完全平方公式变形得出，再求出面积即可； （3）四边形的面积为，再求解即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：， 大正方形是由中间的小正方形和4个全等的三角形组成，面积为：， 所以； （2）解： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； （3）解： ∵， ∴四边形的面积为． 试卷第14页，共16页 试卷第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年七年级数学下学期第一次月考模拟卷 培优卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：苏科版新教材七年级数学下册第7~8章（幂的运算+整式乘法）． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3．，，则（   ） A．4 B．6 C．8 D． 4．已知，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 5．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 6．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 7．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 8．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 9．已知，则的值为（    ） A．13 B．8 C．－3 D．5 10．如果多项式是一个完全平方式，则的值是（ ） A．5 B．1 C．1或 D．1或9 11．某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．计算的结果为___________． 14．已知，，则__________．（用含x，y的代数式表示） 15．如图，已知正方形与正方形的面积之差为36，则阴影部分面积为___________． 16．在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则_____． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，满分72分） 17．（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 18．计算： (1)； (2) 19．某种液体每升含有个细菌，某种杀菌剂1滴可以杀死个此种有害细菌，现在若要将这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂为，要用多少升？ 20．如图，某区有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为的空白的正方形地块将修建一个凉亭．    (1)用含有a、b的式子表示绿化总面积； (2)若，，求出此时的绿化总面积． 21．如图，现在有A（边长为a的正方形）、B（长、宽分别为a、b的长方形）、C（边长为b的正方形）三种型号的瓷砖若干块，想在面积为的地面上无空隙、无重叠的拼接． (1)需要A瓷砖_______块，B瓷砖_______块，C瓷砖_______块． (2)试在网格图中画出示意图． 22．如图1，是一个长为、宽为的长方形， 沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形， 然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1： ； 方法2： ； (2)观察图2，请你写出三个代数式、 、之间的等量关系式： ； (3)根据（2）中的结论，若， 则 ． (4)有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了，试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 23．规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：__________，________，__________； (2)小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； (3)求证：． 24．有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：． (1)图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式； (2)如图2，在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积； (3)如图3，以（2）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形的面积． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $