第一次月考模拟卷（基础卷） 2025-2026学年苏科版数学七年级下册（考试范围7～8章 幂的运算+整式乘法）

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年七年级数学下学期第一次月考模拟卷 基础卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：苏科版新教材七年级数学下册第7~8章（幂的运算+整式乘法）． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 2．神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（    ） A． B． C． D． 3．计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 5．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．如图，小明用四个边长为的正方形．两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（    ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 9．若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 10．若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 11．下列公式中，适用平方差公式化简的是（    ）． A． B． C． D． 12．如果是一个完全平方式，那么k 的值是 （     ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．若，则________． 14．计算： __________． 15．，则代数式___________． 16．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______块．    三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，满分72分） 17．计算： (1)． (2)________． 18．先化简，再求值：，其中． 19．阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示． (1)请写出图②所代表的恒等式； (2)请你自己画出一个平面图形，使它的面积表示：． 20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形．         (1)请根据图1写出一个乘法公式：____________； (2)①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； (3)如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 21． 观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： (2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简： 22．在微生物实验中，为了准确计算细菌菌落数量，常常需要将样品进行稀释，稀释后计数得到的菌落数量需要乘以稀释倍数才能得到原始样品中的实际菌落数量．某次实验的稀释倍数为倍． (1)如果稀释后计数得到的菌落数量为个，求原始样品中的实际菌落数量．（请用幂的形式表示结果） (2)如果原始样品中的实际菌落数量为个，且稀释后计数得到的菌落数量为个，求的值． 23．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故， 则，即． (1)根据上述规定，填空：_______；________． (2)计算______，并说明理由． 24．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休，”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）： 方法一：______； 方法二：______； (2)【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式之间的等量关系为_____； (3)【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数a，b满足：，，求的值 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年七年级数学下学期第一次月考模拟卷 基础卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：苏科版新教材七年级数学下册第7~8章（幂的运算+整式乘法）． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法、有理数的乘方，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 2．神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据速度、时间、路程的关系计算即可． 【详解】解：∵飞行速度约为每秒， ∴飞行1分钟的路程约为：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查有理数的乘方运算，理解题意是解题关键． 3．计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系． 【详解】∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 4．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可． 本题考查了同底数幂除法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 5．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂和幂的乘方运算，负整数指数幂的运算法则为，幂的乘方法则为，零指数幂的条件为，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式不成立，不符合题意； B、，原式不成立，不符合题意； C、当时，无意义，原式不成立，不符合题意； D、（此时，满足原式有意义的条件），原式成立，符合题意； 故选：D． 6．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 7．如图，小明用四个边长为的正方形．两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形的面积问题． 分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可． 【详解】解：由题意可知，图1的面积为：； 图2的面积为：； 即． 故选：C． 8．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 9．若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 10．若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，需先展开式子，根据结果不含x的一次项即一次项系数为0，建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 又∵结果中不含x的一次项 ∴ 解得 故选：D． 11．下列公式中，适用平方差公式化简的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的适用条件，掌握好平方差公式的结构是关键． 平方差公式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：对于A选项：，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式的形式，故A正确； 对于B选项：是完全平方公式的形式，不符合平方差公式，故B错误； 对于C选项：，是完全平方的形式，不符合平方差公式，故C错误； 对于D选项：中，与不是互为相反数，不符合平方差公式，故D错误． 故选：A． 12．如果是一个完全平方式，那么k 的值是 （     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据完全平方式的结构特征，通过对比完全平方公式的展开式，确定中间项系数与首尾两项的关系，进而求出k的值． 【详解】解：∵完全平方公式为， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．若，则________． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 14．计算： __________． 【答案】 【分析】先依据积的乘方法则计算，再运用同底数幂的乘法法则计算乘法运算，最后合并同类项得出结果． 【详解】解：原式 15．，则代数式___________． 【答案】1 【分析】本题考查多项式乘法中的化简求值，将代数式展开后利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：1． 16．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______块．    【答案】12 【分析】根据完全平方式进行配方可得此题结果． 【详解】解：∵， ∴还需取丙纸片12块， 故答案为：12． 【点睛】此题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，满分72分） 17．计算： (1)． (2)________． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了幂的混合运算和积的乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用积的乘方和同底数幂乘法计算后，再计算减法即可； （2）逆用积的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 故答案为： 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为0 【分析】本题考查整式的乘法运算及化简求值，核心是掌握多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则及合并同类项的方法．先依据整式乘法法则展开原式的各项，再通过去括号、合并同类项将整式化简为最简形式，最后代入的值计算结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示． (1)请写出图②所代表的恒等式； (2)请你自己画出一个平面图形，使它的面积表示：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于长乘以宽或者两个边长为的正方形的面积两个边长为的正方形的面积个 长与宽分别为的长方形的面积，即可写出等式． （2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：如图所示，即为所求； 20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形．         (1)请根据图1写出一个乘法公式：____________； (2)①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； (3)如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①图见解析；②29 (3)17 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式的变形应用： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）①画出一个边长为的正方形即可； ②利用①中等式进行变形计算即可； （3）设，得到，分割法表示出阴影部分的面积，整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可表示为：或， ∴； 故答案为：； （2）解：①可以看成是一个边长为的正方形的面积，故可画图如下： ②， ， ； 故答案为：29； （3）解：设， ， ， ， ，即， ； 答：阴影部分的面积为17． 21． 观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： (2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简： 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的乘法运算和探究与表达规律． （1）根据上述式子，即可得到规律； （2）根据整式的乘法运算法则进行运算，即可证明； （3）利用结论，把看成，进行化简，即可． 【详解】（1）由题意得，． 故答案为：． （2） ． （3） ． 22．在微生物实验中，为了准确计算细菌菌落数量，常常需要将样品进行稀释，稀释后计数得到的菌落数量需要乘以稀释倍数才能得到原始样品中的实际菌落数量．某次实验的稀释倍数为倍． (1)如果稀释后计数得到的菌落数量为个，求原始样品中的实际菌落数量．（请用幂的形式表示结果） (2)如果原始样品中的实际菌落数量为个，且稀释后计数得到的菌落数量为个，求的值． 【答案】(1)个 (2)4 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法和除法的应用，解题的关键是根据题意列出算式． （1）根据题意列出算式，求出结果即可； （2）根据原始样品中的实际菌落数量为个，稀释倍数为倍，求出稀释后计数得到的菌落数量，即可得出x的值． 【详解】（1）解：原始样品中的实际菌落数量为： （个）； 答：原始样品中的实际菌落数量为个； （2）解：稀释后计数得到的菌落数量为： ， ∴． 23．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故， 则，即． (1)根据上述规定，填空：_______；________． (2)计算______，并说明理由． 【答案】(1)0；3 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义，零指数幂，同底数幂乘法计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义求解即可； （2）设，根据新定义可得，则可得到，可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：，理由如下； 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休，”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）： 方法一：______； 方法二：______； (2)【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式之间的等量关系为_____； (3)【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数a，b满足：，，求的值 【答案】(1)， (2) (3)6；-6 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）由（2）中的等量关系即可求解． 【详解】（1）方法一：； 方法二：， （2）代数式，，之间的等量关系为： ； 故答案为： （3）由（2）可得． ∴或． 试卷第2页，共15页 试卷第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $