专题07 期中解答压轴题（九大题型）-2025-2026学年 沪教版（五四制 )七年级数学下册期中期末专项练

专题07 期中解答压轴题（九大题型） 题型1：（类）“笔尖”型 1．问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 2．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°． （1）如图1，求证：AB∥CD； （2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM； （3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数． 题型2：角平分线在平行线中的应用 3．在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 4．如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，求的度数； ②如图2，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 题型3：动点问题 5．如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 6．如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 题型4：情景探究题 7．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 8．问题情境：如图1，，，，求度数. 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求. (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案) (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系. 题型5：三角板旋转问题 9．如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 10．在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 11．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)在图1中， ； (2)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，转速为/秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立； (3)如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 题型6：其他动态问题 12．如图，已知C为两条相互平行的直线，之间一点，和的角平分线相交于F．．    (1)求证：． (2)连接，当，时，求的度数． (3)若时，将线段沿射线方向平移，记平移后的线段为，B，C分别对应P，Q，当时，求的度数． 13．如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°． （1）求∠AEP的度数； （2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）； ②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝　 　． 题型7：三角形的有关概念、内角和（含新定义题） 14．如图，，点A，B分别在射线和射线上，平分，交于点C，过点C作于点D，在上找到一点E，使，连接，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，请直接写出的面积． 15．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 16．点D，E分别在的两边，上，，相交于点F． (1)如图1，若平分，平分． （ⅰ）已知，，求； （ⅱ）已知，求；（用含α的式子表示） (2)如图2，设，，，若与的周长相等，与的周长相等，分别求和的长．（用含a，b，c的式子表示） 题型8：平行线在三角形中的应用 17．如图，已知直线，且和，分别交于A，B两点，和，分别交于C，D两点，，点P在线段上． (1)若，则________． (2)试找出之间的等量关系，并说明理由． (3)应用（2）中的结论解答下面的问题： 如图，点A在B的北偏东的方向上，在C的北偏西的方向上，求的度数． (4)如果点P在直线上且在A，B两点外侧运动（点P和A，B两点不重合），其他条件不变，试探究之间的关系． 18．如图，在中，，点在边上，于点，为的角平分线，的平分线交于点． (1)如图1，延长，交于点，若，，求的度数． (2)如图2，当，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由． (3)如图3，若，与线段交于点，用含的代数式表示，并说明理由． 题型9：一元一次不等式综合 19．对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题： (1)解关于的不等式：； (2)若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围； (3)若关于的不等式：，当时，在上总存在的值使得其成立，求的取值范围． 20．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 21．小云想用天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：将诗词分成组，第组有首，；对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，；每天最多背诵首，最少背诵首．解答下列问题： 第天 第天 第天 第天 第天 第天 第天 第组 第组 第组 第组 (1)填入，补全上表； (2)若，，，则的所有可能取值为 ； (3)天后，小云背诵的诗词最多为 首． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中解答压轴题（九大题型） 题型1：（类）“笔尖”型 1．问题探究： 如图①，已知 ，我们发现 ．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作 ，把 分成 与 的和，然后分别证明 ， ． 李思同学：如图③，过点B作 ，则 ，再证明 ． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴ ______， ∵ ， ， ∴ （______）， ∴ ______ （______）， ∴ ， 即 ， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作 交 的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知 ， 平分 ， 平分 ．若 ，请直接写出 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）如图②中，过点E作 ，利用平行线的性质求出 ， ，根据 证明即可； （2）如图③中，过点B作 交 的延长线于G，利用平行线的性质求出 ， ， ，根据 证明即可； （3）设 ， ，则 ，求出 ， ，根据 ，构建方程求出 可得结论． 【详解】（1）证明：如图②，过点E作 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ （平行于同一直线的两直线平行）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴ ， 即 ， （2）如图③，过点B作 交 的延长线于G． ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）如图④中， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， 设 ， ， 结合（1）可得： ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 2．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°． （1）如图1，求证：AB∥CD； （2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM； （3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+ ∠FGN，求∠MHG的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60° 【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明； （2）如图2，过点M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．进而可以证明； （3）如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，过点H作HT∥GN，可得∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，进而可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF． ∴∠BGF+∠DHE＝180°， ∴AB∥CD； （2）证明：如图2，过点M作MR∥AB， 又∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MR． ∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM． ∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM． （3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β， ∵射线GH是∠BGM的平分线， ∴ ， ∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α， ∵ ， ∴ ， ∴∠FGN＝2β， 过点H作HT∥GN， 则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β， ∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β， ∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β， ∵AB∥CD， ∴∠AGH+∠CHG＝180°， ∴90°+α+2α+3β＝180°， ∴α+β＝30°， ∴∠GHM＝2（α+β）＝60°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角的性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 题型2：角平分线在平行线中的应用 3．在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1， ，直线 分别交 于点E，F． 的角平分线 与 的角平分线 交于点G． (1)直线 有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作 的角平分线 与 的角平分线 交于点M，得到图2，求 的度数． (3)如图3， ，直线 分别交 于点E，F，点O在直线 之间，且在直线 右侧， 的角平分线 与 的角平分线 交于点P，请直接写出 与 满足的数量关系 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键 ． （1）由平行线的性质推出 ，由角平分线定义得到 ，由三角形内角和定理求出 ，推出 ； （2）过M作 ，得到 ，由平行线的性质推得到 ，同理 ，由角平分线定义得到 ，即可求出 ； （3）由角平分线定义得到 ，而 ，得到 ． 【详解】（1）解：（1）如图1，直线 ，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ； （2）解：如图2，过M作 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理： ， ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ∴ ， 由（1）知 ， ∴ ； （3）解： ，理由如下： ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ∴ ， 由（2）的证明可得： ， ∴ ． 故答案为： ． 4．如图，已知 ， 、 分别在 、 上，点 在 、 之间，连接 、 ． (1)当 ， 平分 ， 平分 时： ①如图1，若 ，求 的度数； ②如图2，在 的下方有一点 ， 平分 ， 平分 ，求 的度数； (2)如图3，在 的上方有一点 ，若 平分 ．线段 的延长线平分 ，则当 时，请直接写出 与 的数量关系．（用含 的式子表示） 【答案】(1)① ；② (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义， （1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解； （2）过点 作 ，则 ，设 ， ， ，根据平行线的性质求得 ，从而求解． 掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图，分别过点 ， 作 ， ， ， ， ， ， ， 同理可得 ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， 故答案为： ； ②如图，过点 作 ， ， 恰好平分 ， 恰好平分 ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由①可知 ， ； （2）结论： ； 理由： 在 的上方有一点 ，若 平分 ，线段 的延长线平分 ，设 为线段 的延长线上一点， ， ， 设 ， ， 如图，过点 作 ，则 ， ， ， ， ， ， 由（1）可知 ， ， ， ， ， ． 题型3：动点问题 5．如图，已知 ，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分 和 ，交射线AM于点C，D． (1)求 的度数． (2)当点P运动时， 与 的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使 的位置时，求 的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用平行线的性质得出 的度数，再结合角平分线的定义求出 ； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析 与 的关系； （3）通过角的等量关系和已知条件，求出 的度数． 【详解】（1）解： ， ， ， ． EMBED Equation.DSMT4 平分 ， 平分 ， ， ， ． （2）不变， ． 证明： ， ， EMBED Equation.DSMT4 平分 ， ， ． （3）解： ， ， 当 时， ， ， ． 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题考查平行线与角平分线的综合应用，掌握利用平行线的性质得出角的关系，结合角平分线的定义进行角的计算与推导是解题的关键． 6．如图1，直线 ，直线 、 及直线 把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接 、 ，观察 、 、 三个角．规定：直线 、 、 上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证： ． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时， 、 、 之间的关系是怎样的？请直接写出 、 、 之间满足的关系式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当动点P落在第②部分时， ， 当动点P落在第③部分时， ， 当动点P落在第⑤部分时， ． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． （1）首先过点 作 的平行线，交 于点 ，进而利用平行线的性质得出即可； （2）当动点P落在第②部分时，首先过点 作 的平行线，交 于点 ，进而利用平行线的性质得出即可；当动点P落在第③部分时，过点 向右作 ，根据平行公理可得 ，然后根据两直线平行，同旁内角互补用 表示出 ，用 表示出 ，然后结合图形整理即可得解．当动点P落在第⑤部分时，如图， 过点 向右作 ，则 ， ，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点 作 ，交 于点 ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当动点P落在第②部分时， ，理由如下： 如图，过点 作 的平行线，交 于点 ， ， ， ， ， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时， ，理由如下： 过点 向右作 ，则 ， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时， ，理由如下： 过点 向右作 ，则 ， ， ， ， ， ． 题型4：情景探究题 7．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1）， ， 为 ， 之间一点，连接 ， ，得到 ，试探究 与 ， 之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若 在 之间， ， 平分 ， ，求 与 的数量关系； （3）如图（3），射线 从 开始，绕 点以 每秒的速度逆时针旋转，同时射线 从 开始，绕 点以 每秒的速度逆时针旋转，直线 与直线 交于 ，若直线 与直线 相交所夹的锐角为 ，直接写出运动时间 秒 的值． 【答案】（1） ，理由见解析（2） （3） 或 或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． （1）过点 作 ，根据平行线定理及性质得出 ， ，再根据角的和差即可得出答案； （2）设 ，则 ，设 ，则 ， 由（1）知， ， ，可列出 ，再代入化简即可得出答案； （3）将直线将直线 的点M平移与直线 的N点重合，根据运动的角度为 ，结合题意将角度转化为 、 、 角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案． 【详解】解：（1）过点 作 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， 即 ； （2）如图， 设 ，则 ，设 ，则 ， 由（1）知， ， 同理可得 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 由 ，得 ， 由 ，得 ， 将 ， 代入 ， 可得 ； （3）将直线 的点M平移与直线 的N点重合，如图， 根据题意得， ， ， 则 ， 直线 与直线 相交所夹的锐角为 ， ， ， ， ； 根据题意得， ， ， 直线 与直线 相交所夹的锐角为 ， ， ， 即 ， ； 根据题意得， ， ， 直线 与直线 相交所夹的锐角为 ， ， ， 即 ， ； 综上所述， 或 或 ． 8．问题情境：如图1， ， ， ，求 度数. 小明的思路是：过P作 ，通过平行线性质来求 . (1)按小明的思路，易求得 的度数为 度；(直接写出答案) (2)问题迁移：如图2， ，点P在射线 上运动，记 ， ，当点P在B、D两点之间运动时，问 与 ， 之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出 与 ， 之间的数量关系. 【答案】(1)110 (2) ，理由见解析 (3)当P在 延长线上时， ； 当P在 延长线上时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出 度数，利用 ，进行求解即可； （2）过点 作 ，易得 ，得到 ，进而得到 ； （3）分P在 延长线上，和P在 延长线上，两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ . （2）解： ，理由如下： 过点 作 ，    ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . （3）解：如图所示，当P在 延长线上时， 过点 作 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ，   如图所示，当P在 延长线上时， 同理可得： ， ， ． 题型5：三角板旋转问题 9．如图1，将三角板 与三角板 摆放在一起，其中 ， ，， ，如图2，固定三角板 ，将三角板 绕点 按顺时针方向旋转，记旋转角 ． (1)当 为______度时， ，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当 时，试探究 与 之间的数量关系； (3)若 旋转速度为 /秒，当它的一边与 的某一边平行（不共线）时，直接写出时间 的所有值． 【答案】(1)15；见解析 (2) (3)3秒或9秒或21秒或27秒或30秒 【分析】本题考查了图形的旋转、平行线的性质、三角尺中角的和差的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后 的位置，． （1）先根据平行线的性质可求出 ，再根据角的和差即可得出 的度数，然后画图即可； （2）根据角的和差关系可得 ，据此可得结论； （3）分 ， ， ， ， 五种情况，分别利用平行线的性质、角的和差求出旋转角 的度数，从而可求出时间t的值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵ ， ∴ ， ； （2）解：由旋转的性质可得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：依题意，分以下五种情况： ①当 时 由（1）知， ， 则 （秒）， ②当 时，此时， 与 重合 则 ∴ （秒）； ③当 时，此时， ， 则 ， ∴ （秒）； ④当 时，此时， 与 重合 则 ， ∴ （秒）； ⑤当 时 则 ， ∴ （秒）； 综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 10．在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形 和三角形 ，其中 ， ， ，且 ）开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，将三角形 沿 方向移动，得到三角形 ， ，如果 ， ，那么 ______； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点 作直线 平行于边 所在的直线 ，点 与点 重合，则 的度数为____________度（直接写出结果）； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形 ，将三角形 绕点 旋转一周，当 时，请判断直线 和直线 是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)15 (3)垂直，理由见解析 【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键． （1）由平移的性质可得答案； （2）过A作直线 ，交 于G，而 ，则 ，可得 ， ，再利用角的和差关系可得答案； （3）分两种情况讨论，由平行线的判定与性质的性质可求解． 【详解】（1）解：由平移的性质得， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故答案为：3； （2）解：过A作直线 ，交 于G，而 ， ∴ ， EMBED Equation.DSMT4 ， 同理 ， EMBED Equation.DSMT4 ； 故答案为：15； （3）解：垂直，理由如下 如图，延长 交 于H，交 于N，延长 交 于M， 交直线a于G， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 直线a， ∵ ， ∴ 直线b； 如图所示，当 时， 旋转到如下位置，延长 交 于点H EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∵ EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ， ∴ ， EMBED Equation.DSMT4 ． 11．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中 ， ）， ， 与直线 重合，且三角板 ，三角板 均可以绕点 逆时针旋转． (1)在图1中， ； (2)如图2，若三角板 保持不动，三角板 绕点P逆时针旋转，转速为 /秒，转动一周三角板 就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有 成立； (3)如图3，在图1基础上，若三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，同时三角板 的边 从 处开始绕点 逆时针旋转，转速为 秒，当 转到与 重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当 时，求旋转的时间是多少？ 【答案】(1) (2) 秒或 秒 (3) 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键． （1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）如图1，根据平行线的性质得到 ，求得 ，于是得到结论；如图 ，根据平行线的性质得到 ，根据三角形的内角和得到 ，求得 ，于是得到结论； （3）设旋转的时间为 秒，由题知， ，根据周角得到 ，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， 故答案为： ； （2）解：如图1，此时， 成立， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵转速为 秒， ∴旋转时间为 秒； 如图2， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵三角板 绕点 逆时针旋转的角度为 ， ∵转速为 秒， ∴旋转时间为 秒， 综上所述，当旋转时间为 或 秒时， 成立； （3）解：设旋转的时间为t秒，由题知， ， ∴ ， ∴ ， 当 ，即 ， 解得： ， ∴当 ，旋转的时间是 秒． 题型6：其他动态问题 12．如图，已知C为两条相互平行的直线 ， 之间一点， 和 的角平分线相交于F． ．    (1)求证： ． (2)连接 ，当 ， 时，求 的度数． (3)若 时，将线段 沿射线 方向平移，记平移后的线段为 ，B，C分别对应P，Q，当 时，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）平行线的性质和角平分线平分角，推出 ，进而得到 ，即可得证； （2）设 ，则 ，根据平行线的性质和角平分线平分角，求出 ， ，再根据两直线平行，同旁内角互补，得到 ，进行求解即可； （3） ，得到 ，进而得到 ，根据平行线的性质和角平分线平分角，推出 ，根据 ，求出 的度数，根据平移的性质，以及两直线平行同旁内角互补，得到 ，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）∵ ，设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）如图，    ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 分别平分 ， ∴ ， ∴ ，       ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵线段 沿直线 方向平移得到线段 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算．熟练掌握平行线的性质和判定定理，是解题的关键． 13．如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°． （1）求∠AEP的度数； （2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）； ②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝　 　． 【答案】（1）150°；（2）①∠MEP＝60°或120°；② 或 【分析】（1）根据平行线的性质及三角形外角性质可得答案； （2）①由角平分线的定义得∠EPN＝30°，再根据三角形外角性质可得答案； ②利用三角形外角性质列出方程，通过解方程即可得到问题的答案． 【详解】解：（1）如图1，∵AB//CD，PF⊥CD， ∴PF⊥AB， ∴∠AMP＝90°， ∵∠FPE＝60°， ∴∠AEP＝∠FPE +∠AMP ＝150°； （2）如图2，①当PN平分∠EPF时，∠EPN＝30°时， 运动时间t＝ ＝3（秒），此时ME也运动了3秒， ∴∠AEM＝3×10°＝30°， ∴∠MEP＝150°﹣30°＝120°； PN继续运动至PF时，返回时，当PN平分∠EPF时，运动时间至 ＝9（秒）时，此时ME也运动了9秒， ∴∠AEM＝9×10°＝90°， ∴∠MEP＝150°﹣90°＝60°； 当第二次PE运动至PF时，当PN平分∠EPF时，运动了 （秒） ∴∠AEM＝15×10°＝150°， ∴∠MEP＝150°﹣150°＝0°，不符合题意； 综上所述，∠MEP的度数为60°或120°； ②如图3， 当0≤t≤6时，此时∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t，∠PEN＝30°， ∠PHE＝180°﹣∠HPE﹣∠PEH＝180°﹣10t﹣30°﹣10t＝150°﹣20t， 当150°﹣20t＝120°时，t＝ ， 当150°﹣20t＝60°时，t＝ ； 当6＜t≤12时，此时∠EPN＝120°﹣10t，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°， ∠PHE＝30°，不成立， 当12＜t≤15时，此时∠EPN＝10t﹣120°，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°， ∠PHE＝270°﹣20t， ∠PHE＝270°﹣20t＝60°时，t＝ （不合题意），∠PHE＝270°﹣20t＝120°，t＝ （不合题意） 故答案为： 或 ． 【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形外角性质是解决此题关键． 题型7：三角形的有关概念、内角和（含新定义题） 14．如图， ，点A，B分别在射线 和射线 上， 平分 ，交 于点C，过点C作 于点D，在 上找到一点E，使 ，连接 ，且 ． (1)求 的度数； (2)求证： 平分 ； (3)若 ， ，请直接写出 的面积． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 的面积为28 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的外角的性质，垂线的定义，三角形的面积的计算，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质得到 ，根据垂线的定义得到 ，即可得到 ； （2）首先过C作 于点H， 于点G，再根据角平分线的性质得到 ，最终证明出角平分线上一点到角两边的线段相等即可得到 平分 ； （3）首先由（2）知 ，再根据三角形的面积公式即可得到 的面积． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：如图，过C作 于点H， 于点G， ∵ 平分 ， ∴ ， 由（1）知， ， ∴ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 平分 ； （3）解：由（2）知， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 的面积为28． 15．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为 ， ， 的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1， ，点 在边 上，过点 作 交 于点 ，以 为端点作射线 ，交线段 于点 （点 不与 ， 重合） （1） 的度数为　　， 　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若 ，试说明： 是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点 在 的边 上，连接 ，作 的平分线交 于点 ，在 上取点 ，使 ， ．若△ 是“和谐三角形”，请直接写出 的度数． 【答案】（1） ，不是；（2）见解析；（3） 或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据 ，得到 ，求得 ，得到 ，所以 不是“和谐三角形”； （2）因为 是 的一个外角，得到 ，求出 ， ，所以 ，所以得到 是“和谐三角形”； （3）由 ， ，得到 ，可以证明 ，得到 ，而 ，得到 ，由 ，得到 ，根据△ 是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1） ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 不是“和谐三角形”； 故答案为： ，不是； （2） 是 的一个外角， ， 又 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 是“和谐三角形”； （3） ， ， ， ， ， 而 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 平分 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 是“和谐三角形”， 或 ， 或 ． 16．点D，E分别在 的两边 ， 上， ， 相交于点F． (1)如图1，若 平分 ， 平分 ． （ⅰ）已知 ， ，求 ； （ⅱ）已知 ，求 ；（用含α的式子表示） (2)如图2，设 ， ， ，若 与 的周长相等， 与 的周长相等，分别求 和 的长．（用含a，b，c的式子表示） 【答案】(1)（ⅰ） ；（ⅱ） (2) ， 【分析】本题考查了三角形的角平分线，三角形外角的性质，三角形内角和定理， （1）（ⅰ）根据角平分线定义求出 ，再根据三角形外角的性质求 即可； （ⅱ）先求 ，然后利用三角形内角和定理求 即可； （2）根据 与 的周长相等，得 ，结合 ，消去 用 表示 ，同理根据 与 的周长相等可求 ． 【详解】解：（1）（ⅰ） ， ， 平分 ， ， 在 中， ， （ⅱ） ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， 在 中， ， （2） 与 的周长相等， ， 即 ， ， ， ， ，解得 ； 与 的周长相等， ， ，即 ， ， ， ． 题型8：平行线在三角形中的应用 17．如图 ，已知直线 ，且 和 ， 分别交于A，B两点， 和 ， 分别交于C，D两点， ，点P在线段 上． (1)若 ，则 ________． (2)试找出 之间的等量关系，并说明理由． (3)应用（2）中的结论解答下面的问题： 如图 ，点A在B的北偏东 的方向上，在C的北偏西 的方向上，求 的度数． (4)如果点P在直线 上且在A，B两点外侧运动（点P和A，B两点不重合），其他条件不变，试探究 之间的关系． 【答案】(1) (2)∠3=∠1+∠2，理由见解析 (3) (4)见解析 【分析】（1）延长 交于点E，利用两直线平行同位角相等与三角形的外角性质即可求解． （2）延长 交于点E，利用两直线平行同位角相等与三角形的外角性质即可求解． （3）由（2）可得 即可求解． （4）分类讨论，作辅助线，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长 交于点E， ∵直线 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （2）解： ； 理由：如图，延长 交于点E， ∵直线 ， ∴ ， ∵ ， ∴∠3=∠1+∠2； （3）解：由题可知： ， 由（2）可知 ； （4）解：当点P在 的延长线上时，如图，延长 交于点M， ∵直线 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 当点P在 的延长线上时，如图，延长 交于点N， ∵直线 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 【点睛】本题考查了平行线之间的拐点问题，解题关键是正确作辅助线，利用平行线的性质与三角形外角的性质解题，本题涉及到了分类讨论的思想方法． 18．如图，在 中， ，点 在边 上， 于点 ， 为 的角平分线， 的平分线交 于点 ． (1)如图1，延长 ，交 于点 ，若 ， ，求 的度数． (2)如图2，当 ， 与 的延长线交于点 ，用含 的代数式表示 ，并说明理由． (3)如图3，若 ， 与线段 交于点 ，用含 的代数式表示 ，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由见解析 (3) ，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得 ，根据角平分线性质得 ，根据平行线的性质得 ，根据垂直定义得 ，根据直角三角形锐角性质得 ，根据角平分线性质得 ，由三角形内角和定理得 ； （2）由八字模型可得， 和 中， ，再利用四边形内角和整理可得答案； （3）根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∵ 为 的角平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）解： ．理由： 由八字模型可得， 和 中， ． （3）解： ．理由： 由四边形的内角和得， ． 【点睛】本题主要考查四边形内角和，三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 题型9：一元一次不等式综合 19．对于不等式： （ 且 ），当 时， ；当 时， ，请根据以上信息，解答以下问题： (1)解关于 的不等式： ； (2)若关于 的不等式： ，其解集中无正整数解，求 的取值范围； (3)若关于 的不等式： ，当 时，在 上总存在 的值使得其成立，求 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的性质，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键 （1）由 ，可得 ，计算求解即可； （2）由 ，可得 ，即 ，由解集中无正整数解，可得 ，即 ，解得 ，由解集中无正整数解，可得 ，计算求解即可； （3）由 ， ，可得 ，解得， ，由在 上总存在 的值使得其成立，可得 ，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， 解得， ； （2）解：∵ ， ∴ ， ， ∵解集中无正整数解， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵解集中无正整数解， ∴ ， ， 解得， ， ∴ 的取值范围为 ； （3）解：∵ ， ， ∴ ， 解得， ， ∵在 上总存在 的值使得其成立， ∴ ， 解得， ， ∴ 的取值范围为 ． 20．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程 的解为 ，而不等式组 的解集为 ，不难发现 在 的范围内，所以方程 是不等式组 的“相依方程”． (1)请判断 是否是不等式组 的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程 是关于x的不等式组 的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程 是关于x的不等式组 的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 或 【分析】（1）先求一元一次方程的解为 ，再求不等式组的解集为 ，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为 ，根据不等式组有两个整数解，可得 ，解得 ，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得 ，最后求出 ； （3）先求一元一次方程的解为 ，不等式组的解集分情况讨论：① 时， ，根据题意可得 ， ，此情况下k的取值为 ；②当 时， ，根据题意可得 ， ，此情况下k的取值为 ；③当 时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解： 不是不等式组 的“相依方程”，理由如下： ， ， 解得 ， ， 由①得： ， 解得， ， 由②得： ， ， ， ， ， ∴ ， ∵ 不在 的范围内， ∴ 不是不等式组 的“相依方程”； （2）解： ， ， ， ， ， 解不等式组： ， 由①得 ， 由②得 ， ∴不等式组的解集是 ， ∵不等式组有两个整数解， ∴ ， 解得 ， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴ ， 解得 ， ∴ ； （3）解： ， 解得 ， ， 由①得 ， 由②得 ， ①当 时， ， ∴ ， ∵方程 是关于x的不等式组 的“相依方程”， ∴ ， 解得 或 ； ∴此情况下k的取值为 ， ②当 时， ， 此时 ，即 或 ， 不等式组的解集为 ， ∴ ， 解得 或 ， ∴此情况下k的取值为 ， ③当 时，无解，不合题意， 综上所述： 或 ． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，弄懂定义，分类讨论是解题的关键． 21．小云想用 天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： 将诗词分成 组，第 组有 首， ； 对于第 组诗词，第 天背诵第一遍，第 天背诵第二遍，第 天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵， ； 每天最多背诵 首，最少背诵 首．解答下列问题： 第 天 第 天 第 天 第 天 第 天 第 天 第 天 第 组 第 组 第 组 第 组 (1)填入 ，补全上表； (2)若 ， ， ，则 的所有可能取值为 ； (3) 天后，小云背诵的诗词最多为 首． 【答案】(1)补表见解析； (2) ， ； (3) ． 【分析】（ ）根据表中的规律即可得到结论； （ ）根据题意列不等式即可得到结论； （ ）根据题意列不等式，即可得到结论； 本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键. 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， ∴ 应填入第 组，第 天、第 天、第 天空格内， ∴补全表格如下： 第 天 第 天 第 天 第 天 第 天 第 天 第 天 第 组 第 组 第 组 第 组 （2）解：∵每天最多背诵 首，最少背诵 首， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ， 由 可得 ， ∴ ， ∵ 为整数， ∴ 或 ， 故答案为： ， ； （3）解：∵每天最多背诵 首，最少背诵 首， ∴由第 天，第 天，第 天，第 天可得， ， ， ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ 天后，小云背诵的诗词最多为 首， 故答案为： ． 学科网（北京）股份有限公司 $