第9章 图形的变换单元复习（5大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

该初中数学讲义通过知识框架与对比表格系统梳理图形变换知识，涵盖平移、轴对称、旋转、中心对称四大变换，明确定义、性质及作图步骤，用表格呈现变换特征与不变量，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础变换判断到培优折叠问题，再到压轴将军饮马模型，结合几何直观与空间观念，如通过折叠问题培养推理意识，帮助不同层次学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

第9章 图形的变换 知识点1：平移 1.定义：在平面内，将一个图形沿直线方向移动一定距离的平面变换，称为平移（两要素：方向、距离）。 2.性质： 平移前后图形的形状、大小不变，仅位置改变； 对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等； 连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.作图步骤：一“定”（确定方向和距离）→二“找”（找出关键点）→三“移”（作对应点）→四“连”（连接对应点）。 知识点2：轴对称 1.定义：将一个平面图形沿某条直线翻折后，与另一个图形完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴；若一个图形沿直线翻折后与自身重合，该图形为轴对称图形。 2.性质： 成轴对称的两个图形形状、大小相同； 对应线段相等，对应角相等； 对应点的连线段被对称轴垂直平分。 3.特殊图形的对称性： 线段：是轴对称图形，对称轴为线段的垂直平分线； 角：是轴对称图形，对称轴为角平分线所在直线。 4.作图步骤：一“找”（关键点）→二“作”（对称点，作关键点关于对称轴的垂线并截取等长）→三“连”（连接对称点）。 知识点3：旋转 1.定义：在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度的平面变换，称为旋转（三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角）。 2.性质： 旋转前后图形的形状、大小不变，仅位置改变； 对应线段相等，对应角相等； 对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 3.作图步骤：一“定”（旋转中心、方向、角度）→二“找”（关键点）→三“转”（作旋转角并截取等长得到对应点）→四“连”（连接对应点）。 知识点4：中心对称与中心对称图形 名称 中心对称 中心对称图形 定义 两个图形绕某点旋转180°后重合 一个图形绕某点旋转180°后与自身重合 对象 两个图形 一个图形 性质 1.对应线段相等、对应角相等； 2.对应点连线经过对称中心且被平分 1.对应线段相等、对应角相等； 2.对称点连线经过对称中心且被平分 常见例子 两个全等的平行四边形（绕中心旋转180°） 平行四边形、正方形、圆 联系 1.成中心对称的两图形视为整体，即为中心对称图形； 2.中心对称图形的对称部分可看作成中心对称的两图形 知识点5：四种变换的对比 变换类型 核心特征 改变量 不变量 平移 沿直线移动 位置 形状、大小、方向 轴对称 沿直线翻折 位置、方向 形状、大小 旋转 绕定点转动 位置、方向 形状、大小 中心对称 绕定点旋转180° 位置、方向 形状、大小 【基础必考题型】 【题型1】图形变换类型的判断 1.核心知识点: 平移、轴对称、旋转、中心对称的定义及特征； 生活中常见图形变换的识别。 2.解题方法技巧: 抓核心特征：平移看“直线移动、方向不变”，轴对称看“翻折重合、有对称轴”，旋转看“绕点转动、有旋转角”，中心对称看“旋转180°重合”； 排除法：先排除明显不符合的变换类型，再聚焦剩余类型验证； 生活情境联想：结合荡秋千（旋转）、电梯运行（平移）、剪纸（轴对称）等实例辅助判断。 【例题1】.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·北京·开学考试）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下面选项中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】平移的性质应用 1.核心知识点: 平移的性质（对应线段、对应角、对应点连线的特征）； 线段和角度的计算。 2.解题方法技巧: 找对应关系：根据平移方向和距离，准确识别对应线段、对应角； 直接计算：利用“对应线段相等、对应角相等”直接转化计算； 距离转化：对应点连线的长度即为平移距离，可通过网格或坐标系计算。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式题2-1】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·上海奉贤·期末）如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 【题型3】轴对称图形的识别与对称轴作图 1.核心知识点: 轴对称图形的定义； 对称轴的作图方法（垂直平分线法）。 2.解题方法技巧: 识别技巧：尝试沿某直线翻折，观察两侧是否完全重合； 作图步骤：找一对对称点→连接对称点→作线段的垂直平分线，即为对称轴； 注意事项：对称轴是直线，需延伸至图形外，避免画成线段。 【例题3】.（25-26八年级上·全国·期末）下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各图中的两个三角形成轴对称吗？如果成轴对称，请画出对称轴；如果不成轴对称，请说明理由． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）（1）在如图1所示的编号为，，，的四个三角形中，关于轴对称的两个三角形的编号为 ； （2）在图2中，画出与关于x轴对称的，点，，分别对应点，，． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·辽宁大连·月考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标（其中点与点，点与点分别是对应点）； (2)若点，画出，判断与是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明理由． 【题型4】旋转的基本性质应用 1.核心知识点: 旋转的三要素及性质； 旋转角的定义（对应点与旋转中心连线的夹角）。 2.解题方法技巧: 确定旋转中心：连接两组对应点，作垂直平分线，交点即为旋转中心； 计算旋转角：选取一组对应点，与旋转中心连线，测量夹角即为旋转角； 对应边找法：根据旋转方向和角度，追踪关键点的转动轨迹，确定对应边。 【例题4】.（25-26九年级下·广西钦州·月考）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·山西运城·期末）综合与探究 【问题情境】如图，直线与相交于点，，将一直角三角尺的直角顶点与重合，直角边与重合，在直线的上方． 【拓展延伸】将三角尺绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为． （1）旋转前，的度数为_________； （2）当时，直线与所夹角的度数是_________； （3）在旋转过程中，①当直角边恰好平分时，求的值？此时是否平分？请说明理由； ②是否存在某个时刻，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【题型5】中心对称图形的识别与对称中心作图 1.核心知识点: 中心对称图形的定义； 对称中心的作图方法（线段中点法）。 2.解题方法技巧: 识别技巧：将图形旋转180°，观察是否与原图形重合； 作图步骤：找两组对称点→连接对称点→两线段的交点即为对称中心； 验证方法：连接任意对称点，看是否经过对称中心且被平分。 【例题5】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）在直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)请在图中画出： (2)画出关于原点成中心对称的； (3)将向上平移4个单位长度后得到，请在图中画出； (4)将绕原点按逆时针方向旋转后得到，请在图中画出． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·湖北·月考）已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 【变式题5-2】.（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： (1)的面积为 ； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出．并写出坐标； (3)作出关于成中心对称的，并写出坐标． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山东济南·期末）俄罗斯方块是一款经典游戏，如图是小颖玩俄罗斯方块时某一时刻的截图．图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，小颖以此建立平面直角坐标系，已知点在图形①上，现将图形①先向左平移4个单位，再向下平移8个单位移动到新的位置，此时点A恰好落在点B处，请回答以下问题： (1)请在图中作出小颖建立的平面直角坐标系，点B的坐标为______； (2)上述平移过程中，平移距离为______个单位长度； (3)已知某一图形经历了一系列平移和旋转变换后得到了图形②，变换前后的图形恰好关于原点O成中心对称，则点C的对应点的坐标为______． 【培优高频题型】 【题型6】平移与实际问题 1.核心知识点: 平移的性质（图形平移后面积不变）； 平移法转化不规则图形。 2.解题方法技巧: 面积计算：将不规则道路或区域通过平移转化为规则图形（长方形、正方形），利用规则图形面积公式计算； 路径最短：通过平移线段，将折线路径转化为直线路径，利用“两点之间线段最短”求解； 实例应用：小区通道面积、公园步行路径等问题，先抽象为几何图形再平移转化。 【例题6】.（25-26七年级下·上海奉贤·开学考试）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含a，b的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，则剩余的耕地面积为 平方米． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·上海奉贤·期末）南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【变式题6-2】.（2025七年级下·全国·专题练习）某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计． (1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米； (2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米． 【题型7】轴对称的折叠问题 1.核心知识点: 轴对称的性质（折叠前后对应边、对应角相等）； 三角形内角和、勾股定理。 2.解题方法技巧: 标记对应关系：折叠问题中，折痕为对称轴，明确重合的对应边和对应角； 方程思想：设未知边长或角度，利用对应关系和几何定理列方程求解； 注意事项：折叠后重合的部分全等，避免遗漏“隐蔽的对应关系”（如折叠后重合的角相等）。 【例题7】.（25-26八年级下·湖北荆州·月考）如图所示，把一张长方形纸片沿折叠，若，求的度数． 【变式题7-1】.（22-23七年级上·广东广州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则___________； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【变式题7-2】.（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 【题型8】旋转作图与坐标结合 1.核心知识点: 旋转的作图步骤； 平面直角坐标系中点的旋转规律。 2.解题方法技巧: 网格作图：在方格纸中，利用网格线确定旋转角（如90°、180°），截取等长线段得到对应点； 坐标计算：点绕原点旋转180°得，绕原点顺时针旋转90°得，逆时针旋转90°得； 验证方法：连接对应点与旋转中心，检查距离是否相等、夹角是否符合旋转角。 【例题8】.（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． 【变式题8-1】.（25-26九年级下·广东广州·开学考试）如图，已知点O和．请在网格中画图： (1)画出，使与关于点O成中心对称； (2)把绕点O顺时针旋转，画出旋转后对应的． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江苏南京·月考）图形的变换 (1)如图①，线段经过一次轴对称得到线段，、的对应点分别是、，求作：点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)已知先经过1次轴对称，再经过1次平移得到． （Ⅰ）如图②，还可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论：①2次旋转；②2次轴对称；③1次平移和1次旋转；④1次轴对称和1次旋转．其中正确结论的序号是______． （Ⅱ）如图③，求作：经过点的对称轴．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （Ⅲ）如图④，已知，若，且平移的距离为6，则点到对称轴的距离的取值范围为______． 【压轴素养题型】 【题型9】轴对称的最短路径问题（将军饮马模型） 1.核心知识点: 轴对称的性质； 两点之间线段最短。 2.解题方法技巧: 模型构建：将直线同侧的两点，通过轴对称转化为直线异侧的两点； 作图步骤：找其中一点关于直线的对称点→连接对称点与另一点→与直线的交点即为所求点； 拓展应用：解决“两线段之和最短”“三角形周长最小”等问题，可多次应用轴对称转化。 【例题9】.（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． (1)燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． (2)若测得A，B两镇的距离为，又测得A，B两镇到公路l的距离分别为和，求所铺设管道的最短长度． 【变式题9-1】.（23-24七年级下·河南郑州·期末）【问题呈现】如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间．你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？ 【数学理解】如果把大门、车间和储物点所在的位置都看做点，把道路看作一条直线，那么就可以把上述问题抽象成数学问题，如图（2）． 【回顾思考】（1）你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你已有的认识是____________． （2）相信你能解决以下问题：如图（3），直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使最短．请在图（3）中标注点C，并尝试利用图（2）解决上述问题，保留作图痕迹． 【能力迁移】如下图，四边形是一个长方形的台球桌，有黑，白两球分别位于A，B两点．怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边，反弹后再碰撞台边，最后击中白球．请你认真思考，将黑球移动的路线画在图上（保留作图痕迹），并说明理由． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【变式题9-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 易错点 1.混淆旋转中心与对称轴：旋转中心是点，对称轴是直线，避免将“旋转中心”误称为“对称轴”。 2.平移方向判断错误：平移是沿直线移动，误将“斜向移动”当作旋转，忽略“方向不变”的核心特征。 3.折叠问题中遗漏对应关系：折叠后重合的线段、角度相等，容易忽略隐蔽的对应角（如折叠后形成的等腰三角形底角）。 4.旋转角计算错误：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，而非对应边的夹角，避免找错角的位置。 5.中心对称与轴对称混淆：中心对称需旋转180°，轴对称需翻折，误将“平行四边形”当作轴对称图形。 6.作图不规范：对称轴、旋转角未画成直线，对应点连线未标注，导致作图错误或无法验证。 重点 1.掌握四种图形变换的定义、性质及作图步骤，能准确识别变换类型。 2.熟练应用变换性质解决角度、边长计算问题，尤其是折叠、旋转中的对应关系转化。 3.理解变换的不变量（形状、大小）和改变量（位置、方向），能利用不变量解决实际问题。 4.掌握中心对称与轴对称的区别与联系，能准确识别中心对称图形和轴对称图形。 5.会用图形变换设计简单图案，能解决跨学科、实际情境中的变换问题。 难点 1.多种变换组合的先后顺序判断，尤其是复杂图案的变换过程还原。 2.折叠问题中的多解情况，需结合图形特点分类讨论（如折叠后点的位置在直线同侧或异侧）。 3.旋转规律的探究，从特殊情况总结一般规律，并用含的式子表示。 4.最短路径问题的建模，利用轴对称、平移等变换将折线转化为直线。 5.跨学科情境的数学转化，从航天、机械、艺术等情境中提取图形变换的数学本质。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　） A．平行四边形 B．正五边形 C．一般三角形 D．直角梯形 2．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．下列图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式，是中华传统文化的体现之一下列花窗图案中，对称轴数量最多的是（   ） A． B． C． D． 5．将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 7．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后得到，则_________________． 8．如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为________． 9．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 10．如图，把一长方形纸片的一角沿折叠（长方形的四个内角都是），点D的对应点落在内部．若，且，则的度数为________ ． 三、解答题 11．如图，已知三角形，，．请用尺规作图法在边上求作一点，使得平分．（不写作法，保留作图痕迹） 12．如图所示，三角形和三角形关于某一点成中心对称，其中边的对应边是．请在图中画出中心对称点，并补全三角形． 13．（1）如图1，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图：①过点C画的平行线；②过点A画的垂线，垂足为G；③过点A画的垂线，交于点H；则线段________的长度是点B到直线的距离． （2）如图2，已知，垂足为点A，内部有一条射线，用无刻度的直尺和圆规作图：作出射线，使得．（保留作图痕迹） 14．如图是由边长为的小正方形组成的网格，直线是一条网格线，点、在格点上，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使四边形的周长最小． 15．如图1，为直线上一点，将一副直角三角板按如图所示放置（其中，），将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过3秒； ①此时，__________． ②此时是否平分？请说明理由： (2)若在三角板转动的同时，三角板也绕点每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3．那么经过多长时间直线平分？请说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 图形的变换 知识点1：平移 1.定义：在平面内，将一个图形沿直线方向移动一定距离的平面变换，称为平移（两要素：方向、距离）。 2.性质： 平移前后图形的形状、大小不变，仅位置改变； 对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等； 连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.作图步骤：一“定”（确定方向和距离）→二“找”（找出关键点）→三“移”（作对应点）→四“连”（连接对应点）。 知识点2：轴对称 1.定义：将一个平面图形沿某条直线翻折后，与另一个图形完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴；若一个图形沿直线翻折后与自身重合，该图形为轴对称图形。 2.性质： 成轴对称的两个图形形状、大小相同； 对应线段相等，对应角相等； 对应点的连线段被对称轴垂直平分。 3.特殊图形的对称性： 线段：是轴对称图形，对称轴为线段的垂直平分线； 角：是轴对称图形，对称轴为角平分线所在直线。 4.作图步骤：一“找”（关键点）→二“作”（对称点，作关键点关于对称轴的垂线并截取等长）→三“连”（连接对称点）。 知识点3：旋转 1.定义：在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度的平面变换，称为旋转（三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角）。 2.性质： 旋转前后图形的形状、大小不变，仅位置改变； 对应线段相等，对应角相等； 对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 3.作图步骤：一“定”（旋转中心、方向、角度）→二“找”（关键点）→三“转”（作旋转角并截取等长得到对应点）→四“连”（连接对应点）。 知识点4：中心对称与中心对称图形 名称 中心对称 中心对称图形 定义 两个图形绕某点旋转180°后重合 一个图形绕某点旋转180°后与自身重合 对象 两个图形 一个图形 性质 1.对应线段相等、对应角相等； 2.对应点连线经过对称中心且被平分 1.对应线段相等、对应角相等； 2.对称点连线经过对称中心且被平分 常见例子 两个全等的平行四边形（绕中心旋转180°） 平行四边形、正方形、圆 联系 1.成中心对称的两图形视为整体，即为中心对称图形； 2.中心对称图形的对称部分可看作成中心对称的两图形 知识点5：四种变换的对比 变换类型 核心特征 改变量 不变量 平移 沿直线移动 位置 形状、大小、方向 轴对称 沿直线翻折 位置、方向 形状、大小 旋转 绕定点转动 位置、方向 形状、大小 中心对称 绕定点旋转180° 位置、方向 形状、大小 【基础必考题型】 【题型1】图形变换类型的判断 1.核心知识点: 平移、轴对称、旋转、中心对称的定义及特征； 生活中常见图形变换的识别。 2.解题方法技巧: 抓核心特征：平移看“直线移动、方向不变”，轴对称看“翻折重合、有对称轴”，旋转看“绕点转动、有旋转角”，中心对称看“旋转180°重合”； 排除法：先排除明显不符合的变换类型，再聚焦剩余类型验证； 生活情境联想：结合荡秋千（旋转）、电梯运行（平移）、剪纸（轴对称）等实例辅助判断。 【例题1】.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：D选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、B、C选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·北京·开学考试）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据轴对称图形的定义（沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）判断每个选项是否为轴对称图形，再依据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合）判断是否为中心对称图形，进而找出“是轴对称图形但不是中心对称图形”的选项． 【详解】选项A：平行四边形绕对角线的交点旋转后能与自身重合，所以是中心对称图形；沿任意一条直线折叠后，直线两旁的部分不能完全重合，所以不是轴对称图形，因此选项A不符合题意． 选项B：矩形沿对边中点所在直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，所以是轴对称图形；绕对角线的交点旋转后能与自身重合，所以也是中心对称图形，因此选项B不符合题意． 选项C：该三角形沿任意一条直线折叠后，直线两旁的部分不能完全重合，所以不是轴对称图形；绕任意一点旋转后也不能与自身重合，所以也不是中心对称图形，因此选项C不符合题意． 选项D：该三角形沿底边上的高所在直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，所以是轴对称图形；绕任意一点旋转后不能与自身重合，所以不是中心对称图形，因此选项D符合题意． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下面选项中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、B、C中的图形都符合轴对称图形的定义，故不符合题意； 选项D中的图形不是轴对称图形，故符合题意． 【题型2】平移的性质应用 1.核心知识点: 平移的性质（对应线段、对应角、对应点连线的特征）； 线段和角度的计算。 2.解题方法技巧: 找对应关系：根据平移方向和距离，准确识别对应线段、对应角； 直接计算：利用“对应线段相等、对应角相等”直接转化计算； 距离转化：对应点连线的长度即为平移距离，可通过网格或坐标系计算。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】对于本题，重点把握平移的不变性，即对应边相等． 由平移的性质得到，，，再根据四边形的周长求解即可． 【详解】解：将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到， ，，， 四边形的周长． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵将沿直线平移，得到， ∴， ∵，， ∴ 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，掌握平移不改变角的大小是解题的关键． 直接利用平移的性质求解即可． 【详解】解：∵平移后得到，， ∴． 故选C． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·上海奉贤·期末）如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 【答案】 【分析】平移的距离是平移前后对应点之间的线段长度，点的对应点是点，因此平移的距离即为线段的长度，结合已知和的长度，通过线段的和差关系即可求出的长度． 【详解】解：∵三角形平移到三角形的位置，点的对应点是点， ∴平移的距离为的长度． ∵，， ∴． 即平移的距离为． 【题型3】轴对称图形的识别与对称轴作图 1.核心知识点: 轴对称图形的定义； 对称轴的作图方法（垂直平分线法）。 2.解题方法技巧: 识别技巧：尝试沿某直线翻折，观察两侧是否完全重合； 作图步骤：找一对对称点→连接对称点→作线段的垂直平分线，即为对称轴； 注意事项：对称轴是直线，需延伸至图形外，避免画成线段。 【例题3】.（25-26八年级上·全国·期末）下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 【变式题3-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各图中的两个三角形成轴对称吗？如果成轴对称，请画出对称轴；如果不成轴对称，请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义逐个分析即可，一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：②③④均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的图形能够完全重合，所以不是成轴对称图形， ①能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的图形能够完全重合，所以是成轴对称图形． 如图， 【变式题3-2】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）（1）在如图1所示的编号为，，，的四个三角形中，关于轴对称的两个三角形的编号为 ； （2）在图2中，画出与关于x轴对称的，点，，分别对应点，，． 【答案】（1），；（2）见解析 【分析】本题考查了成轴对称的两个图形的识别，画轴对称图形． （1）根据轴对称的性质可得，两个图形关于轴对称； （2）根据轴对称的性质找到，，的对应点，，，顺次连接，即可求解． 【详解】解：（1）关于轴对称的两个三角形的编号为，； 故答案为：，． （2）如图所示，即为所求 【变式题3-3】.（25-26八年级上·辽宁大连·月考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标（其中点与点，点与点分别是对应点）； (2)若点，画出，判断与是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析，，， (2)是，见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的性质作图，再写出坐标即可； （2）先作出，再由轴对称的性质判断即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所画， 由图可得：，，； （2）解：如图所示，为所画， 与成轴对称，直线即为所画． 【题型4】旋转的基本性质应用 1.核心知识点: 旋转的三要素及性质； 旋转角的定义（对应点与旋转中心连线的夹角）。 2.解题方法技巧: 确定旋转中心：连接两组对应点，作垂直平分线，交点即为旋转中心； 计算旋转角：选取一组对应点，与旋转中心连线，测量夹角即为旋转角； 对应边找法：根据旋转方向和角度，追踪关键点的转动轨迹，确定对应边。 【例题4】.（25-26九年级下·广西钦州·月考）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得到，再由角的和差即可求解． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 【答案】(1)作图见解析，4 (2)作图见解析，P 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解旋转不改变图形的面积，并能通过对应点连线的垂直平分线找到旋转中心． （1）根据旋转的性质，画图，然后根据三角形面积公式即可解答； （2）根据旋转的性质：线段，的垂直平分线的交点P即为所求． 【详解】（1）解：即为所求； ∵旋转不改变图形的面积， ∴的面积等于的面积． 观察的底为2，高为4， ， ∴的面积为4． 故答案为：4； （2）解：如图点P为所求， 【变式题4-3】.（25-26七年级上·山西运城·期末）综合与探究 【问题情境】如图，直线与相交于点，，将一直角三角尺的直角顶点与重合，直角边与重合，在直线的上方． 【拓展延伸】将三角尺绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为． （1）旋转前，的度数为_________； （2）当时，直线与所夹角的度数是_________； （3）在旋转过程中，①当直角边恰好平分时，求的值？此时是否平分？请说明理由； ②是否存在某个时刻，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①，平分， 理由见详解；②不存在，理由见详解 【分析】本题考查几何图形中求角度，涉及旋转性质、角平分线定义等知识，数形结合，表示出相关角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． （1）数形结合，由已知角度直接计算即可得到答案； （2）由题中条件得到当时，三角尺顺时针旋转了，如图所示，数形结合，表示出相关角度即可得到答案； （3）①根据题意，当直角边恰好平分时，如图所示，得到此时三角尺顺时针旋转了，即可求出值，进而由角平分线定义判断平分；②根据题意，当时，得到与重合，三角尺顺时针旋转了，如图所示，此时与重合，与在直线的上方矛盾，从而确定答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，， ， 故答案为：； （2）解：三角尺绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转， 当时，三角尺顺时针旋转了，如图所示： ，， ， 则， ， ， 则直线与所夹角的度数是， 故答案为：； （3）解：① ， ， 当直角边恰好平分时，如图所示： ， 则三角尺顺时针旋转了， ； 平分， 理由如下： ，， ， 则平分； ②不存在， 理由如下： 如图所示： ， ， ， ，， 则， ， ， 即与重合，三角尺顺时针旋转了，如图所示： 此时与重合，与在直线的上方矛盾， 故不存在某个时刻，使得． 【题型5】中心对称图形的识别与对称中心作图 1.核心知识点: 中心对称图形的定义； 对称中心的作图方法（线段中点法）。 2.解题方法技巧: 识别技巧：将图形旋转180°，观察是否与原图形重合； 作图步骤：找两组对称点→连接对称点→两线段的交点即为对称中心； 验证方法：连接任意对称点，看是否经过对称中心且被平分。 【例题5】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）在直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)请在图中画出： (2)画出关于原点成中心对称的； (3)将向上平移4个单位长度后得到，请在图中画出； (4)将绕原点按逆时针方向旋转后得到，请在图中画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了平移作图、作中心对称图形以及旋转作图，解题关键是掌握作图的关键步骤，即描点与连线．本题先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （1）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （2）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （3）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （4）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： （4）如图所示： 【变式题5-1】.（25-26九年级上·湖北·月考）已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查图形的旋转与中心对称作图，核心是掌握“旋转时对应点到旋转中心的距离相等、夹角等于旋转角”以及“中心对称时对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分”的性质． （1）根据旋转的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形； （2）根据中心对称的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形． 【详解】（1）解：作出绕点顺时针旋转得到的如图所示； （2）解：作出关于点的中心对称的图形如图所示； 【变式题5-2】.（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： (1)的面积为 ； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出．并写出坐标； (3)作出关于成中心对称的，并写出坐标． 【答案】(1) (2)见解析, (3)见解析, 【分析】（1）根据割补法得出三角形的面积即可； （2）根据旋转方式和旋转角度结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置，描出，并顺次连接即可； （3）根据成中心对称的特点画出图形解答即可． 【详解】（1）解：的面积； （2）解：如图所示： 坐标为； （3）如图所示： 坐标为． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山东济南·期末）俄罗斯方块是一款经典游戏，如图是小颖玩俄罗斯方块时某一时刻的截图．图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，小颖以此建立平面直角坐标系，已知点在图形①上，现将图形①先向左平移4个单位，再向下平移8个单位移动到新的位置，此时点A恰好落在点B处，请回答以下问题： (1)请在图中作出小颖建立的平面直角坐标系，点B的坐标为______； (2)上述平移过程中，平移距离为______个单位长度； (3)已知某一图形经历了一系列平移和旋转变换后得到了图形②，变换前后的图形恰好关于原点O成中心对称，则点C的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析， (2) (3) 【分析】1本题考查旋转变换，平移变换，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据点A的坐标确定平面直角坐标系即可； （2）利用勾股定理求出即可； （3）利用中心对称变换的性质判断即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为． 故答案为： （2）解：， 故答案为：； （3）解：∵，C与关于原点对称， ∴， 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型6】平移与实际问题 1.核心知识点: 平移的性质（图形平移后面积不变）； 平移法转化不规则图形。 2.解题方法技巧: 面积计算：将不规则道路或区域通过平移转化为规则图形（长方形、正方形），利用规则图形面积公式计算； 路径最短：通过平移线段，将折线路径转化为直线路径，利用“两点之间线段最短”求解； 实例应用：小区通道面积、公园步行路径等问题，先抽象为几何图形再平移转化。 【例题6】.（25-26七年级下·上海奉贤·开学考试）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含a，b的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)40，= (2) (3)448 【分析】本题考查了图形的平移，理解平移的性质是解题的关键． （1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 则平方米，平方米； ∴． （2）解：原长方形的长为a米，宽为b米，小路的宽度是1米， ∵原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为a米，宽为米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， ∴空白部分表示的耕地的面积是平方米． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·上海奉贤·期末）南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． 【变式题6-2】.（2025七年级下·全国·专题练习）某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 【答案】(1)平方米 (2)108米 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）结合图形，利用平移的性质求解； （2）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）解：小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：（平方米）； （2）解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线（图中虚线）长为：（米）． 故答案为：108米． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，桥宽忽略不计． (1)若荷塘的长为90米，宽为50米，则小桥总长为 米； (2)若荷塘周长为米，则小桥总长为 米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和； （2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半，据此即可求出答案． 【详解】（1）解：由平移的性质得，小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和， ∴， 故答案为：． （2）由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半， ∴， 故答案为： 【题型7】轴对称的折叠问题 1.核心知识点: 轴对称的性质（折叠前后对应边、对应角相等）； 三角形内角和、勾股定理。 2.解题方法技巧: 标记对应关系：折叠问题中，折痕为对称轴，明确重合的对应边和对应角； 方程思想：设未知边长或角度，利用对应关系和几何定理列方程求解； 注意事项：折叠后重合的部分全等，避免遗漏“隐蔽的对应关系”（如折叠后重合的角相等）。 【例题7】.（25-26八年级下·湖北荆州·月考）如图所示，把一张长方形纸片沿折叠，若，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】已知，根据长方形对边平行和折叠的性质，可以求得的度数和的度数，则 的度数可求． 【详解】解：由折叠的性质可知：， 四边形是长方形， ， ， ， ， ， ． 【变式题7-1】.（22-23七年级上·广东广州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则___________； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题主要考查了折叠的性质，角平分线定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握折叠的性质． （1）根据折叠性质，求出结果即可； （2）①根据折叠得出，，根据，得出，即可求出结果； ②根据折叠得出，，再求出即可． 【详解】（1）解：由折叠知，， ， ． （2）解：①由折叠知，， ， 由折叠知，， ， 点落在， ， ， ，即； ②由折叠知，，， ， ， ， 即． 【变式题7-2】.（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限） (1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E； (2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查轴对称，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型． （1）作点F关于直线的对称点，连接交于P，连接，点P即为所求； （2）作点F关于直线的对称点，点E关于的对称点，连接交于M，交于N，连接，，点M，N即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，路径是． （2）解：如图2中，路径是． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【发现】小明拿激光笔照射到水平桌面上的平面镜时，发现光线经过反射后投射到天花板上，当他改变激光笔的角度时，天花板上的光点也随之移动．经过查阅资料，小明了解到光线在镜面上反射时，如图1，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即． 【探究】如图2，小明将平面镜放置在水平桌面上，激光笔发出的光线射到平面镜上，反射光线射到天花板（直线）上，． (1)若平面镜水平放置于桌面上，当激光笔与桌面的夹角时，请在图2中，画出反射光线，并在图中标出反射光线与天花板所夹锐角的大小． (2)如图3，转动平面镜，若平面镜与桌面形成的夹角，，且． ①当，时，求的大小； ②直接用含，的代数式表示出的大小． (3)如图4，小明把平面镜水平放置，当时，再添一面平面镜，将两平面镜相对放置，光线经过两次反射，得到反射光线，当平面镜如何放置时，光线？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)当平面镜水平放置时，光线 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，轴对称的性质； （1）根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即可求解； （2）①过点作，分别表示出，得出，进而根据平行线的性质，即可求解； ②根据①的结论，即可求解． （3）根据题意可得，根据得出，由，，得出，即可判断，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：①如图所示，过点作， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ②由①可得 （3）解：如图所示， 依题意， ∵， 又∵ ∴ ∴ ∴，即当平面镜水平放置时，光线 【题型8】旋转作图与坐标结合 1.核心知识点: 旋转的作图步骤； 平面直角坐标系中点的旋转规律。 2.解题方法技巧: 网格作图：在方格纸中，利用网格线确定旋转角（如90°、180°），截取等长线段得到对应点； 坐标计算：点绕原点旋转180°得，绕原点顺时针旋转90°得，逆时针旋转90°得； 验证方法：连接对应点与旋转中心，检查距离是否相等、夹角是否符合旋转角。 【例题8】.（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． 【变式题8-1】.（25-26九年级下·广东广州·开学考试）如图，已知点O和．请在网格中画图： (1)画出，使与关于点O成中心对称； (2)把绕点O顺时针旋转，画出旋转后对应的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出各点关于点O的对称点，再顺次连接即可； （2）作出各点绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，△即为所求； （2）解：如图所示，△即为所求． ． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)，；，， 【分析】本题考查平移作图，轴对称作图，旋转作图，轴对称图形和中心对称图形的辨认，掌握好相应的作图技巧是关键． （1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于轴对称的点。横坐标相等，纵坐标互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： （4）解：由图可知，与成轴对称，与成中心对称，对称中心为． 故答案为：，；，，． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江苏南京·月考）图形的变换 (1)如图①，线段经过一次轴对称得到线段，、的对应点分别是、，求作：点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)已知先经过1次轴对称，再经过1次平移得到． （Ⅰ）如图②，还可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论：①2次旋转；②2次轴对称；③1次平移和1次旋转；④1次轴对称和1次旋转．其中正确结论的序号是______． （Ⅱ）如图③，求作：经过点的对称轴．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （Ⅲ）如图④，已知，若，且平移的距离为6，则点到对称轴的距离的取值范围为______． 【答案】(1)图见解析 (2)（Ⅰ）④；（Ⅱ）图见解析；（Ⅲ）． 【分析】本题考查了尺规作图，平移作图，轴对称图形，平移性质，轴对称性质，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先连接，利用二者连线的垂直平分线作出对称轴，再作关于该对称轴的对称点； （2）（Ⅰ）分析先轴对称再平移与其他变换的等效性，依据轴对称性、平移的特征判断； （Ⅱ）①延长交于点D，②作的角平分线，③过点P作的平行线l，即可得解； （Ⅲ）利用轴对称和平移性质，结合三角形三边关系列不等式求解． 【详解】（1）解：如图，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过两个交点作直线，以点为圆心画弧交于直线于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，作出线段的垂直平分线，交于点，以为圆心，以为半径画弧交于点，该点即为点的对称点； （2）（Ⅰ）①2次旋转得不到； ②2次轴对称相当于一次平移，缺少一次对称； ③旋转无法代替轴对称； ④可以得到，④为正确结论， 故答案为：④； （Ⅱ）已知先经过1次轴对称，再经过1次平移得到． ①延长交于点D， ②作的角平分线， ③过点P作的平行线l， 则直线即为所求对称轴； （Ⅲ）设对称点为，则平移距离为6，又， 当三点，，共线，且在的延长线时， 则，此时（最大）； 当三点，，共线，且在线段上时， 则，此时（最小）； 如果不共线，则由三边关系得， ∴且解得， 综上：． 故答案为：． 【压轴素养题型】 【题型9】轴对称的最短路径问题（将军饮马模型） 1.核心知识点: 轴对称的性质； 两点之间线段最短。 2.解题方法技巧: 模型构建：将直线同侧的两点，通过轴对称转化为直线异侧的两点； 作图步骤：找其中一点关于直线的对称点→连接对称点与另一点→与直线的交点即为所求点； 拓展应用：解决“两线段之和最短”“三角形周长最小”等问题，可多次应用轴对称转化。 【例题9】.（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． (1)燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． (2)若测得A，B两镇的距离为，又测得A，B两镇到公路l的距离分别为和，求所铺设管道的最短长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，作图−应用与设计作图，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，则点P即为所求，即可得出答案． （2）设交直线l于点E，过点B作直线l的垂线，交直线l于点F，过点作于点C，过点A作于点D，则四边形为矩形，四边形为矩形，根据勾股定理求出的长，即可得的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P， 则点P即为所求． 沿线段，铺设管道，管道总长度最短． （2）解：设交直线l于点E，过点B作直线l的垂线，交直线l于点F，过点作于点C，过点A作于点D， 四边形为矩形，四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 所铺设管道的最短长度为． 【变式题9-1】.（23-24七年级下·河南郑州·期末）【问题呈现】如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间．你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？ 【数学理解】如果把大门、车间和储物点所在的位置都看做点，把道路看作一条直线，那么就可以把上述问题抽象成数学问题，如图（2）． 【回顾思考】（1）你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你已有的认识是____________． （2）相信你能解决以下问题：如图（3），直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使最短．请在图（3）中标注点C，并尝试利用图（2）解决上述问题，保留作图痕迹． 【能力迁移】如下图，四边形是一个长方形的台球桌，有黑，白两球分别位于A，B两点．怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边，反弹后再碰撞台边，最后击中白球．请你认真思考，将黑球移动的路线画在图上（保留作图痕迹），并说明理由． 【答案】回顾思考：（1）利用轴对称解决最短问题；（2）见解析；能力迁移：，作图见解析 【分析】此题考查了作图应用与设计作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 回顾思考：（1）利用轴对称解决最短问题． （2）如图所示，连接交直线l于点C，即为所求；作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，连接，点C即为所求； 能力迁移：作点A关于直线的对称点，点B关于直线的对称点，连接交于点M，交于点N，连接，即可． 【详解】回顾思考：（1）可以利用轴对称解决最短问题； 故答案为：利用轴对称解决最短问题； （2）如图所示，点C即为所求； 能力迁移：作点A关于直线的对称点，点B关于直线的对称点，连接交于点M，交于点N，连接，即可． 如图所示，黑球移动的路线为． ∵点A关于直线的对称点， ∴，， ∴，，则，同理， ∴黑球先碰撞台边，反弹后再碰撞台边，最后击中白球． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 【变式题9-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】作图见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、两点之间线段最短以及平移的性质．作关于直线的对称点，根据轴对称的性质可知，再将转化为，根据两点之间线段最短，得出的最小值为的长度；在问题拓展中，通过平移的方法，将桥的长度固定，把问题转化为求两点之间的最短路径问题，利用了平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置的性质即可画出此时桥的位置． 【详解】根据轴对称的性质可知，， ， 根据两点之间线段最短， 故选①， 最小值为， 故答案为：， ① ，； 桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短． 易错点 1.混淆旋转中心与对称轴：旋转中心是点，对称轴是直线，避免将“旋转中心”误称为“对称轴”。 2.平移方向判断错误：平移是沿直线移动，误将“斜向移动”当作旋转，忽略“方向不变”的核心特征。 3.折叠问题中遗漏对应关系：折叠后重合的线段、角度相等，容易忽略隐蔽的对应角（如折叠后形成的等腰三角形底角）。 4.旋转角计算错误：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，而非对应边的夹角，避免找错角的位置。 5.中心对称与轴对称混淆：中心对称需旋转180°，轴对称需翻折，误将“平行四边形”当作轴对称图形。 6.作图不规范：对称轴、旋转角未画成直线，对应点连线未标注，导致作图错误或无法验证。 重点 1.掌握四种图形变换的定义、性质及作图步骤，能准确识别变换类型。 2.熟练应用变换性质解决角度、边长计算问题，尤其是折叠、旋转中的对应关系转化。 3.理解变换的不变量（形状、大小）和改变量（位置、方向），能利用不变量解决实际问题。 4.掌握中心对称与轴对称的区别与联系，能准确识别中心对称图形和轴对称图形。 5.会用图形变换设计简单图案，能解决跨学科、实际情境中的变换问题。 难点 1.多种变换组合的先后顺序判断，尤其是复杂图案的变换过程还原。 2.折叠问题中的多解情况，需结合图形特点分类讨论（如折叠后点的位置在直线同侧或异侧）。 3.旋转规律的探究，从特殊情况总结一般规律，并用含的式子表示。 4.最短路径问题的建模，利用轴对称、平移等变换将折线转化为直线。 5.跨学科情境的数学转化，从航天、机械、艺术等情境中提取图形变换的数学本质。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　） A．平行四边形 B．正五边形 C．一般三角形 D．直角梯形 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形. 根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．一般平行四边形找不到能使折叠后两边重合的直线，不是轴对称图形． C．一般三角形不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形． D．直角梯形找不到符合要求的对称轴，不是轴对称图形． B．正五边形沿过顶点和对边中点的直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，是轴对称图形． 因此选B． 2．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 3．下列图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是中心对称图形，故不符合题意； C．是中心对称图形，故符合题意； D．不是中心对称图形，故不符合题意； 4．花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式，是中华传统文化的体现之一下列花窗图案中，对称轴数量最多的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出每个图形的对称轴，再对比即可． 【详解】 A：，此图有两条对称轴； B：，此图有一条对称轴； C：，此图有四条对称轴； D：，此图不是轴对称图形，没有对称轴； 综上，对称轴最多的为C． 5．将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠前后的两个图形能够完全重合，再结合平角等于求出的度数即可． 【详解】解：∵矩形沿折叠得到 ， ， ∵，， ∴， ∴． 二、填空题 6．如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 【答案】18 【分析】根据轴对称图形的性质可得到的长度，即可计算四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，， ∴， ∴四边形的周长为． 7．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后得到，则_________________． 【答案】/100度 【分析】根据旋转的性质得到，，进而求出的度数． 【详解】解：绕着点顺时针旋转后得到， ，， ． 8．如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质和线段的运算，，，四边形为长方形，求得，进而可求得答案． 【详解】根据题意可知，，，四边形为长方形， 所以． 所以四边形的面积． 故答案为： 9．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，分别得出、、的长度，根据等量代换得出，求解即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形沿方向平移得到直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角三角形与直角三角形面积相同， 即， ∴， 故图中阴影部分的面积为． 10．如图，把一长方形纸片的一角沿折叠（长方形的四个内角都是），点D的对应点落在内部．若，且，则的度数为________ ． 【答案】/33度 【分析】设，则，由折叠的性质得到：，又因为，可得，求出，即可求出． 【详解】解：由题意，， 设， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 三、解答题 11．如图，已知三角形，，．请用尺规作图法在边上求作一点，使得平分．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】作一个角的角平分线：先以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，在这个角的内部两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角的平分线． 【详解】解：在边上作一点，使得平分，如图所示： ． 12．如图所示，三角形和三角形关于某一点成中心对称，其中边的对应边是．请在图中画出中心对称点，并补全三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作中心对称图形，根据题意先作关键点的对应点，最后连接即可． 【详解】解：如图，连接，相交于点O，连接并延长至点，使，连接，， 则点O和三角形即为所求． 13．（1）如图1，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图：①过点C画的平行线；②过点A画的垂线，垂足为G；③过点A画的垂线，交于点H；则线段________的长度是点B到直线的距离． （2）如图2，已知，垂足为点A，内部有一条射线，用无刻度的直尺和圆规作图：作出射线，使得．（保留作图痕迹） 【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据平行线的判定，垂线的定义画出图形即可； （2）利用尺规作直线于点H即可． 【详解】解：（1）如图，直线，直线，直线即为所求，线段的长是点B到直线的距离． 故答案为：； （2）如图，直线即为所求： 14．如图是由边长为的小正方形组成的网格，直线是一条网格线，点、在格点上，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使四边形的周长最小． 【答案】(1) 即为所求； (2)见解析 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）连接交于即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，点即为所求； 15．如图1，为直线上一点，将一副直角三角板按如图所示放置（其中，），将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过3秒； ①此时，__________． ②此时是否平分？请说明理由： (2)若在三角板转动的同时，三角板也绕点每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3．那么经过多长时间直线平分？请说明理由． 【答案】(1)①；②平分，理由见解析 (2)经过直线平分，理由见解析 【分析】（1）①根据，即可解答； ②求得即可进行判断； （2）分两种情况，即运动到的平分线的位置或运动到的平分线的延长线的位置，分别求解即可． 【详解】（1）①解：根据题意可得； ②解：平分，理由如下： ， ， ， ， ， 平分； （2）解：经过直线平分，理由见解析， 设经过直线平分， 当运动到的平分线的位置时，如图， 由题意可得，， ， 平分， ， 解得； 当运动到的平分线的位置时，如图， 由题意可得，， ， 平分， ， 解得； 三角板绕点每秒的速度沿顺时针方向旋转一周， ， 故不符合题意，舍去， 综上，经过直线平分． 【点睛】本题需要分类讨论，即运动到的平分线的位置或运动到的平分线的延长线的位置． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $