19.2 第3课时 平行四边形的判定 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

19.2 平行四边形 第 3 课时 平行四边形的判定 第 19 章 四边形 八年级下册数学（沪科版） 学习目标 1.平行四边形判定方法的探究. (重点) 2.平行四边形判定方法的理解和灵活应用. (难点) 平行四边形的性质 边 平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等 角 平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补 平行四边形的对角线互相平分 对角线 导入新课 学习了平行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形. 第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示. 小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢? 活动1：将线段 AB 按下图中所给的方向和距离平移成线段 A'B'，连接 AA'，BB'. 得到四边形 ABB'A'，它一定是平行四边形吗 ? 为什么 ? 平行四边形的判定定理1 A B A' B' 1 新知探究 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC ，且 AB = DC 。 求证：四边形 ABCD 为平行四边形。 证明：连接 AC. ∵ AB // DC，∴ ∠BAC = ∠DCA. 在 △ABC 和 △CDA 中， ∴ △ABC≌△CDA . ∴∠ACB =∠CAD. ∴ AD // BC . 因此，四边形 ABCD 是平行四边形. AB = CD， ∠BAC =∠DCA， CA = AC， A B D C 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB = CD， AB∥CD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 几何语言： 平行四边形判定定理 1 B D C A 常用符号“ ” 表示 “ 平行且相等 ”，“ AB CD ” 读作“AB 平行且等于 CD”. ∥ ∥ 归纳总结 例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，求证：四边形 AFCE 是平行四边形． 证明：在 □ ABCD 中， ∠B =∠D，AB = CD，∠DAB =∠BCD. ∵ AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线， ∴∠BAE =∠DCF = ∠DAB = ∠BCD. ∴△ABE≌△CDF (ASA). 典例精析 例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AE，CF 分别是∠DAB，∠BCD 的平分线，求证：四边形 AFCE 是平行四边形． ∴ BE = DF. 则由 BC = DA 可得 CE = AF. 又∵ CE∥AF， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 活动2：用两根长 30 cm 的木条和两根长 20 cm 的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流. 20 cm 30 cm 猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 活动2 如图，过点 A 画两条线段 AB， AD，以点 B 为圆心、 AD 长为半径画弧，再以点 D 为圆心、 AB 长为半径画弧，两弧相交于点 C ，连接 BC，DC . 这样画出的四边形 ABCD 的两组对边分别相等，它是平行四边形吗? 为什么 ? B D C A 平行四边形的判定定理2 2 已知：四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = CB. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D 连接 BD． 在 △ABD 和 △CDB 中， AB = CD， BD = DB， AD = CB， ∴△ABD≌△CDB (SSS). ∴∠1 =∠3，∠2 =∠4. ∴ AB∥CD，AD∥CB. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 证明： 1 4 2 3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵ AB = CD， AD = BC， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 几何语言： 平行四边形判定定理 2 B D C A 归纳总结 例2 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 BC 和 AD 上的两点，且 AF = CE. 求证：四边形 AECF 为平行四边形. B A C D F E 证明：易得 △ABE≌△CDF (SAS). ∴ AE = CF. 又∵ AF = CE， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 平行四边形的判定定理 3 活动3 如图，作两条直线 l1，l2 交于点 O，在直线 l1上截取 OA = OC，在直线 l2 上截取 OB = OD，连接AB，BC，CD，DA. 这样画出的四边形 ABCD 的对角线互相平分，它是平行四边形吗 ? 为什么? B D C A O l1 l2 2 已知：四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明： 在△AOB 和 △COD 中， OA = OC，(已知) OB = OD，(已知) ∠AOB =∠COD，(对顶角相等) ∴ △AOB≌△COD (SAS). ∴ AB = CD，∠ABO =∠CDO. ∴ AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. A C B O D 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵ OA = OC， OB = OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 几何语言： 平行四边形判定定理 3 A C B O D 归纳总结 1. 请你判断下列四边形中哪些是平行四边形： ⑷ A D C B 110° 70° 110° ⑶ ⑴ A B C D O 5 ㎝ 5 ㎝ 4 ㎝ 4 ㎝ 4.8 ㎝ B A D C 4.8 ㎝ 7.6 ㎝ 7.6㎝ A B C D 120° 60° ⑵ 5 cm 5cm ( ( ( ( ( √ √ √ √ 练一练 例3 如图，点 E ，F 是 □ ABCD 的对角线 AC 上两点，且 AE = CF. 求证：四边形 BEDF 是平行四边形 证明：连接 BD 交 AC 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. ∵ AE = CF，∴OE = OA - AE = OC - CF = OF . ∴四边形 BEDF 是平行四边形. 思考：还有其他证法吗? 例4 已知：如图，直线 l1，l2 ，l3 互相平行，直线 l4 和 l5 分别交直线 l1，l2 ，l3 于点 A，B，C 和点 A1，B1，C1，且 AB = BC. 求证：A1B1 = B1C1 . 证明：过点 B1 作 l6 ∥l4，分别交直线 l1，l3 于点 E，F. ∴ 四边形 ABB1E 和四边形 BCFB1 都是平行四边形. ∴ EB1 = AB，B1F = BC . ∵ AB = BC， ∴ EB1= B1F. A B C A1 B1 C1 E F l1 l2 l3 l4 l5 l6 又∵ l1 ∥l3 ，∴ ∠A1EB1 =∠B1FC1. 平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. A B C A1 B1 C1 E F l1 l2 l3 l4 l5 l6 ∴ △A1B1E≌△C1B1F. ∴ A1B1 = B1C1. ∠A1EB1 = ∠C1FB1， EB1 = FB1， ∠A1B1E = ∠ C1B1F， 在△A1B1E 和△C1B1F 中， 延伸 前面的例题中，将直线 l 向左平移，使点 A1，A 重合，你能发现什么规律 ? 推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边. A B C A1 B1 C1 E F l1 l2 l3 l4 l5 l6 思考：我们可以从对角的关系出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？ A B C D 你能根据平行四边形的定义证明它们吗？ 已知：四边形 ABCD 中，∠A =∠C，∠B =∠D， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D 且∠A =∠C，∠B =∠D， ∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°， ∴ 2∠A + 2∠B = 360°， 即∠A +∠B = 180°. ∴ AD∥BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 同理得 AB∥CD， 证明： 判定方法： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 1. 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件：∠A :∠B : ∠C :∠D 的值为（ ） A. 1 : 2 : 3 : 4 B. 1 : 4 : 2 : 3 C. 1 : 2 : 2 : 1 D. 3 : 2 : 3 : 2 D 课本练习 2. 如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若 △ABC 的周长为 24，则 PD + PE + PF = . A F B D C E P 8 3. 已知 AD∥BC ，要使这个四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加条件__________ ________. AD = BC 或 AB∥CD 4. 已知：如图，E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AD，BC 的中点. 求证：BE = DF. D F E C B A 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC， AD = BC. ∵ E，F 分别是 AD，BC 的中点， ∴ ED = BF，即 ED BF. ∥ = ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ∴ BE = DF（平行四边形的对边分别相等）. 5. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 是 BC 的中点，直线 AE 交 DC 的延长线于点 F．试判断四边形 ABFC 的形状，并证明你的结论． 解：四边形 ABFC 是平行四边形. 证明如下： ∵ AB∥CD，∴∠BAE =∠CFE. ∵ E 是 BC 的中点，∴ BE = CE. 又∵∠AEB =∠FEC， ∴ △ABE≌△FCE（AAS）. ∴ AE = FE． ∴ 四边形 ABFC 是平行四边形． 从边考虑 两组对边分别平行(定义法) 两组对边分别相等(判定定理2) 一组对边平行且相等（判定定理1） 从角考虑 从对角线考虑 平行四边形的判定方法 两组对角分别相等（定义拓展） 对角线互相平分（判定定理3） 课堂小结 $