内容正文:
2025-2026学年九年级数学学科适应性练习(六)
满分150分;考试时间120分钟
一、选择题:本题共10小题,每题4分,共40分.
1. 下列实数中是无理数的是( )
A. 3.14 B. C. D.
2. 华为Mate 30 5G系列是近期相当火爆的5G国产手机,它采用的麒麟990 5G芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管,将103亿用科学记数法表示为( )
A. 1.03×109 B. 10.3×109 C. 1.03×1010 D. 1.03×1011
3. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图,将绕点 逆时针旋转 得到 ,若 且 于点,则的度数为( )
A. B. C. D.
6. 若点,,都在反比例函数的图象上,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
7. 如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. 2 C. D. 6
8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,纸书大约在一千五百年前,其中一道题,原文是:“今三人共车,两车空;二人共车,九人步.问人与车各几何?”意思是:现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余两辆车:若每辆车乘坐2人,则有9人步行,问人与车各多少?设有x人,y辆车,可列方程组为( )
A. B. C. D.
9. 1月19日徐州地区下了一场大雪,如图,将“雪花”图案(边长为4的正六边形 )放在平面直角坐标系中,若与x轴垂直,顶点A的坐标为,则顶点C的坐标为( )
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中,已知点,在抛物线上,则的值可以是( )
A. 0.5 B. 1.1 C. 1.5 D. 2.2
二、填空题:本题共6小题,每题4分,共24题.
11. 分解因式:_____________.
12. 代数式有意义时,x应满足的条件是______.
13. 分别写有数字、、 、0、的五张大小和质地均相同的卡片,从中任意抽取一张,抽到无理数的概率的是_____.
14. 世界陶瓷看中国,釉下五彩看醴陵.如图,小宜将两根木条,在点处固定,测量一件醴陵花瓶内径的宽度.若,且量得,则的宽度为_______ .
15. 如图所示,在中, ,D、E是内两点,平分,,若 ,,则的长度是______.
16. 已知点在反比例函数的图象上,点B在一次函数的图象上,若点A和点B关于x轴对称,则______.
三、解答题:本题共9小题,共86分.
17. 计算:.
18. 如图,点在上,点在上, , .求证: .
19. 先化简,再求值:,其中.
20. 随着智能手机和互联网的普及,手机 (手机应用软件)因其对生活的便捷性而得到了迅速发展,某研发小组设计了甲、乙两款手机 ,为测试两款 的实用性能,随机抽取了20名用户进行体验并分别对两款 进行评分,规定7分及以上为手机 的受益人群,相关数据统计、整理如下:甲款手机 用户评分情况扇形统计图如图所示;
乙款手机 具体评分情况为(单位:分):6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9;
甲、乙两款手机 评分统计情况如表所示:
手机 统计量
平均数
中位数
众数
受益人数
甲
8
13
乙
15
根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:______,______;
(2)若有4000人下载了甲款手机 ,5000人下载了乙款手机 ,请分别估计该两款手机 的受益人数;
(3)通过以上数据分析用户对哪款手机 实用性的满意度更高,并说明理由.
21. 如图,在中 , ,平分交于点D
(1)请用无刻度的直尺和圆规作,使得,且射线在线段左侧,交于点E(保留作图痕迹,不写作法).
(2)在(1)的条件下判断与的数量关系,并证明.
22. 如图,在等腰直角中,是边上任意一点(不与B、C重合),将线段绕点A顺时针旋转 得到线段,连接和 .
(1)求的度数;
(2)若,求 的长.
23. 在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为A.
(1)求顶点A的坐标(用含有字母m的代数式表示);
(2)若点,在抛物线上,且,则m的取值范围是 ;(直接写出结果即可)
(3)当时,函数y的最小值等于6,求m的值.
24. 【问题背景】
如图①,的直径,,是的两条切线,切点分别为点A、点B,直线与相切于点E,并与、分别交于点D、C两点.
【问题探究】
(1)如果设,,小明和小华同学在探究过程中,发现线段与线段的乘积为一个定值,他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法,请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论.
①小明同学的思路是:如图②,过点D作于点F,请完成解答过程.
②小华同学的思路是:如图③,连接、、,也顺利的完成了探究,请补全图形,并完成解答过程.
【问题解决】
(2)请结合图形解决下列问题:如图③,若 的面积是,求此时线段的长度;
(3)在(1)的条件下,令,,,,请比较a、b的大小,并说明理由.
25. 如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD,交⊙O于点D.连接CD交AB于点E,延长BD和CA相交于点P,过点A作AG∥CD交BP于点G.
(1)求证:直线GA是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=GD•BD;
(3)若tan∠AGB=,PG=6,求cos∠P的值.
第1页/共1页
学科网(北京)股份有限公司
$
2025-2026学年九年级数学学科适应性练习(六)
满分150分;考试时间120分钟
一、选择题:本题共10小题,每题4分,共40分.
1. 下列实数中是无理数的是( )
A. 3.14 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得.
【详解】A、是有限小数,属于有理数,此项不符题意;
B、,是有理数,此项不符题意;
C、是无理数,此项符合题意;
D、是分数,属于有理数,此项不符题意;
故选:C.
【点睛】本题考查了算术平方根、无理数,熟记定义是解题关键.
2. 华为Mate 30 5G系列是近期相当火爆的5G国产手机,它采用的麒麟990 5G芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管,将103亿用科学记数法表示为( )
A. 1.03×109 B. 10.3×109 C. 1.03×1010 D. 1.03×1011
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可.
【详解】解:103亿=103 0000 0000=1.03×1010.
故选:C.
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法,科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【详解】解:从上面看,一个正方形里面有一个圆且是实线.
故选C.
【点睛】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.
4. 下列计算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项,同底数幂的乘法,负整数指数幂,零指数幂的运算法则进行计算,逐个判断.
【详解】解:A.,故错误;
B.,故错误;
C.,正确;
D.,故错误;
故选C.
【点睛】本题考查同底数的乘法,负整数指数幂和零指数幂的计算,掌握运算法则正确计算是解题关键.
5. 如图,将绕点逆时针旋转 得到,若 且于点 ,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°,∠E=∠ACB=70°,由直角三角形的性质可得∠DAC=20°,即可求解.
【详解】解:∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE,
∴∠BAD=55°,∠E=∠ACB=70°,
∵AD⊥BC,
∴∠DAC=20°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°.
故选C.
【点睛】本题考查了旋转的性质,掌握旋转的性质是本题的关键.
6. 若点,,都在反比例函数的图象上,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质,理解反比例函数的性质是正确判断的前提,把点的坐标代入是常用的方法.把点、、三点坐标代入反比例函数,求出的值,比较得出答案.
【详解】解:把点代入反比例函数得,
,,,
∴,
故选:B.
7. 如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. 2 C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先由题意得到大正方形的边长和小正方形的边长,再求阴影部分的面积.
【详解】由题意可得,大正方形的边长为,小正方形的边长为,
∴图中阴影部分的面积为:,故选B.
【点睛】本题考查矩形面积的求法,解题的关键是得到大正方形的边长和小正方形的边长.
8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,纸书大约在一千五百年前,其中一道题,原文是:“今三人共车,两车空;二人共车,九人步.问人与车各几何?”意思是:现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余两辆车:若每辆车乘坐2人,则有9人步行,问人与车各多少?设有x人,y辆车,可列方程组为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据若每辆车乘坐3人,则空余两辆车:若每辆车乘坐2人,则有9人步行,列二元一次方程组.
【详解】解:设有x人,y辆车,
依题意得: ,
故选B.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用,解决问题的关键是找出题中等量关系.
9. 1月19日徐州地区下了一场大雪,如图,将“雪花”图案(边长为4的正六边形)放在平面直角坐标系中,若与x轴垂直,顶点A的坐标为,则顶点C的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知和 都是等边三角形,进而可知,的长度,根据平移的性质即可求解.
【详解】解:设正六边形中心为点,连接,作于点,
,
∵,,
和 都是等边三角形,
正六边形的边长为,
,,
∴,
∵与轴垂直,
∴轴,
轴,
,
,
∵,
,
,
.
10. 在平面直角坐标系中,已知点,在抛物线上,则的值可以是( )
A. 0.5 B. 1.1 C. 1.5 D. 2.2
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查二次函数的性质,将两点代入抛物线解析式得到m、n的表达式,根据列出不等式,设转化为关于k的不等式,求解k的取值范围后结合选项判断
【详解】∵点在抛物线上
∴将代入得:
将代入得:
∵
∴
∵,两边同除以(,不等号方向不变)
∴
设,则上式化为:
提取公因式得:
两边同除以3得:
该不等式等价于(另一组情况无解)
解得:
解得:
∴
结合选项,只有1.1在此范围内,故选B
二、填空题:本题共6小题,每题4分,共24题.
11. 分解因式:_____________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解,提公因式,即可求解.
【详解】解:,
故答案为:.
12. 代数式有意义时,x应满足的条件是______.
【答案】.
【解析】
【分析】直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x的取值范围.
【详解】解:代数式有意义,可得:,所以,
故答案为.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,熟练掌握是解题的关键.
13. 分别写有数字、、 、0、的五张大小和质地均相同的卡片,从中任意抽取一张,抽到无理数的概率的是_____.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用无理数的定义结合概率求法得出答案.
【详解】解:∵5个数字中,无理数有,共2个,
∴从中任意抽取一张,抽到无理数的概率的是,
故答案为:.
【点睛】此题主要考查了概率公式以及无理数的定义,正确把握相关定义是解题关键.
14. 世界陶瓷看中国,釉下五彩看醴陵.如图,小宜将两根木条 , 在点 处固定,测量一件醴陵花瓶内径的宽度.若,且量得,则的宽度为_______ .
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定,掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键,连接、,由得,根据对顶角相等,可得 ,进而可证,所以,进而可求出.
【详解】解:连接、,如图所示:
,
,
,
,
,
,
,
,
故答案为: .
15. 如图所示,在中,,D、E是内两点,平分,,若 ,,则的长度是______.
【答案】
8
【解析】
【分析】作出辅助线后根据已知条件可知 是等边三角形,,进而可知的长度即可求解.
【详解】解:如图,延长交于点 ,延长交于点 ,
在中,,平分 ,
,
∴,
,
是等边三角形,
∴,,
∵,
,
在中,,
,
,
.
16. 已知点在反比例函数的图象上,点B在一次函数的图象上,若点A和点B关于x轴对称,则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据点A和点B关于x轴对称,得到点B的坐标为,分别代入解析式,得到a,b之间的关系,以此为基础求代数式的值即可.
本题考查了点的对称,图象的解析式与点的坐标,求代数式的值,熟练掌握对称,求代数式的值是解题的关键.
【详解】解:点在反比例函数的图象上,
,
点A和点B关于x轴对称,
点B的坐标为,
点B在一次函数的图象上,
,
,
故答案为:.
三、解答题:本题共9小题,共86分.
17. 计算:.
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的性质,特殊角的三角函数值,零次幂,负整数指数幂进行运算即可.
【详解】
【点睛】本题考查了绝对值的性质,特殊角的三角函数值,零次幂,负整数指数幂,熟知以上运算是解题的关键.
18. 如图,点在上,点在 上,,.求证: .
【答案】证明:∵,,
∴,即 ,
在和中,
∴,
∴ .
【解析】
【分析】先由线段和差得出 ,然后根据“”证明,最后由全等三角形的性质即可求证.
【详解】略
19. 先化简,再求值:,其中.
【答案】,
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将x的值代入计算可得.
【详解】解:原式
,
当时,原式.
【点睛】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
20. 随着智能手机和互联网的普及,手机 (手机应用软件)因其对生活的便捷性而得到了迅速发展,某研发小组设计了甲、乙两款手机 ,为测试两款 的实用性能,随机抽取了20名用户进行体验并分别对两款 进行评分,规定7分及以上为手机 的受益人群,相关数据统计、整理如下:甲款手机 用户评分情况扇形统计图如图所示;
乙款手机 具体评分情况为(单位:分):6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9;
甲、乙两款手机 评分统计情况如表所示:
手机 统计量
平均数
中位数
众数
受益人数
甲
8
13
乙
15
根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:______,______;
(2)若有4000人下载了甲款手机 ,5000人下载了乙款手机 ,请分别估计该两款手机 的受益人数;
(3)通过以上数据分析用户对哪款手机 实用性的满意度更高,并说明理由.
【答案】(1)7;8 (2)估计这两款手机 的受益人数为甲为2600人,乙为3750人
(3)
解:乙款手机 实用性的满意度更高,理由如下:
甲款手机 的受益人数的百分比为 ,
乙款手机 的受益人数的百分比为 ,
∴乙款手机 实用性的满意度更高.
【解析】
【分析】本题考查统计图表,中位数,众数以及利用样本估计总量.从统计图表中有效的获取信息,是解题的关键.
(1)将数据排序后,求出第10个和第11个数据的平均数即为中位数,得到a的值,找到出现次数最多的数据,得到b的值;
(2)利用总人数乘以样本中受益人数所占的比例,进行计算即可得出结果;
(3)结合表格数据进行分析即可.
【小问1详解】
解:乙款手机 具体评分情况(单位:分)如下:
6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,
∴ , ,
故答案为:7,8;
【小问2详解】
解:由题意得, (人), (人),
答:估计这两款手机 的受益人数为甲为2600人,乙为3750人;
【小问3详解】
略
21. 如图,在中 , ,平分交 于点D
(1)请用无刻度的直尺和圆规作,使得,且射线在线段左侧,交于点E(保留作图痕迹,不写作法).
(2)在(1)的条件下判断 与的数量关系,并证明.
【答案】(1)
即为所作:
(2)
,
证明:∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵ ,
∴ .
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角,平行线的判定,平行线分线段成比例定理,熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.
(1)根据尺规作一个角等于已知角的方法即可作图;
(2)证明出,再根据平行线分线段成比例定理即可求证.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
22. 如图,在等腰直角中,是边上任意一点(不与B、C重合),将线段绕点A顺时针旋转 得到线段,连接和.
(1)求的度数;
(2)若,求的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据是等腰直角三角形,,得出,由旋转性质得,证明,得出,即可求出.
(2)在等腰直角中, ,勾股定理求出,结合,得出,由(1)知,则,在中,再根据勾股定理求解即可.
【小问1详解】
解:∵是等腰直角三角形,,
,
由旋转性质得,
,
,
在与 中,
,
,
则,
.
【小问2详解】
解:在等腰直角中, ,
,
,
,
由(1)知,
,
又,
∴在中,
.
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
23. 在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为A.
(1)求顶点A的坐标(用含有字母m的代数式表示);
(2)若点,在抛物线上,且,则m的取值范围是 ;(直接写出结果即可)
(3)当时,函数y的最小值等于6,求m的值.
【答案】(1)顶点A的坐标为;(2);(3)或
【解析】
【分析】(1)将抛物线解析式化成的形式,即可求得顶点A的坐标;
(2)将,代入抛物线中求得和的值,然后再解不等式即可求解;
(3)分类讨论,分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值,进而求出m的值.
【详解】解:(1)由题意可知:
抛物线,
∴顶点A的坐标为;
(2)将代入中,
得到,
将代入中,
得到,
由已知条件知:,
∴,
整理得到:,
解得:,
故m的取值范围是:;
(3)二次函数的开口向上,故自变量离对称轴越远,其对应的函数值越大,二次函数的对称轴为,
分类讨论:
①当,即时,
时二次函数取得最小值为,
又已知二次函数最小值为6,
∴,解得或,
又,故符合题意;
②当,即时,
时二次函数取得最小值为,
又已知二次函数最小值为6,
∴,解得或,
又,故或都不符合题意;
③当,即时,
时二次函数取得最小值为,
又已知二次函数最小值为6,
∴,解得或,
又,故符合题意;
综上所述,或 .
【点睛】本题考查待定系数求二次函数的解析式,二次函数的最值问题,不等式的解法等,计算过程中细心,熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键.
24. 【问题背景】
如图①,的直径,,是的两条切线,切点分别为点A、点B,直线与相切于点E,并与、分别交于点D、C两点.
【问题探究】
(1)如果设,,小明和小华同学在探究过程中,发现线段与线段 的乘积为一个定值,他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法,请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论.
①小明同学的思路是:如图②,过点D作于点F,请完成解答过程.
②小华同学的思路是:如图③,连接 、、,也顺利的完成了探究,请补全图形,并完成解答过程.
【问题解决】
(2)请结合图形解决下列问题:如图③,若 的面积是,求此时线段的长度;
(3)在(1)的条件下,令,,,,请比较a、b的大小,并说明理由.
【答案】(1)①解答过程见解析;②图见解析,解答过程见解析(2)的长度为或;(3),见解析
【解析】
【分析】(1)①由切线长定理可得,,,,证明四边形 是矩形,由矩形的性质得出,,.,再由勾股定理计算即可得出结果;②连接 、、,由①知,则 ,证明 ,再结合勾股定理计算即可得出结果;
(2)由,,,得,从而可得,再结合,计算即可得出结果;
(3)由(1)知,,把代入中,得,再结合,即可得出结果.
【详解】解:(1)①∵,、是的切线,是的切线,
,,,,
于F,则四边形 是矩形,
,,.
又,
在 中,由勾股定理:,
,
展开得:,
化简得:,
,即为定值;
②连接 、、,
由①知,则 ,
,
由切线长定理知 平分,平分,
,,
则,
是直角三角形,
,
在中,由勾股定理得:,
在中,由勾股定理得:,
在中,,由勾股定理得:,
代入得:,
整理得,
化简得:,
;
(2),,,
,
,
又,
联立,
解得或,
∴此时,的长度为或.
(3),理由如下:
由(1)知,,
把代入中,得,
又,
.
【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、角平分线的定义等知识点,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
25. 如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD,交⊙O于点D.连接CD交AB于点E,延长BD和CA相交于点P,过点A作AG∥CD交BP于点G.
(1)求证:直线GA是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=GD•BD;
(3)若tan∠AGB=,PG=6,求cos∠P的值.
【答案】(1)证明:∵将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD,
∴BC=BD.
∴点B在CD的垂直平分线上.
同理得:点A在CD的垂直平分线上.
∴AB⊥CD即OA⊥CD,
∵AG∥CD.
∴OA⊥GA.
∵OA是⊙O的半径,
∴直线GA是⊙O的切线;
(2)证明:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵∠GAB=90°,
∴∠GAD+∠BAD=90°.
∴∠ABD=∠GAD.
∵∠ADB=∠ADG=90°,
∴△BAD∽△AGD.
∴.
∴AD2=GD•BD.
∵AC=AD,
∴AC2=GD•BD;
(3)
【解析】
【分析】(1)欲证明直线GA是⊙O的切线,只需推知OA⊥GA即可;
(2)根据折叠的性质得到:AC=AD.通过相似三角形△BAD∽△AGD的对应边成比例得到:.所以AC2=AD2=GD•BD.
(3)cos∠P=,所以需要求得线段PD、PA的长度;利用(2)中的AD2=GD•BD和锐角三角函数的定义求得BD=2GD;根据△PAG∽△PBA是对应边成比例得到:PA2=PG•PB,即PA2=6(6+3GD);结合勾股定理知PA2=AD2+PD2.所以6(6+3GD)=()2+(6+GD)2.利用方程思想求得答案.
【详解】(1)略
(2)略
(3)解:∵tan∠AGB=,∠ADG=90°,
∴.
∴.
∵AD2=GD•BD,
∴BD=2GD.
∵= ,
∴∠GAD=∠GBA=∠PCD.
∵AG∥CD,
∴∠PAG=∠PCD.
∴∠PAG=∠PBA.
∵∠P=∠P,
∴△PAG∽△PBA.
∴PA2=PG•PB
∵PG=6,BD=2GD,
∴PA2=6(6+3GD).
∵∠ADP=90°,
∴PA2=AD2+PD2.
∴6(6+3GD)=()2+(6+GD)2.
解得:GD=2或GD=0(舍去).
∴PD=8,AP=6,
∴cos∠P=.
【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和勾股定理等知识,解答关键是根据题意添加辅助线运用切线的性质.
第1页/共1页
学科网(北京)股份有限公司
$