精品解析：福建福州市仓山区福州江南水都中学2025-2026学年下学期九年级数学学科适应性练习(六)（3月）

2025-2026学年九年级数学学科适应性练习（六） 满分150分；考试时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每题4分，共40分． 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 2. 华为Mate 30 5G系列是近期相当火爆的5G国产手机，它采用的麒麟990 5G芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（　　） A. 1.03×109 B. 10.3×109 C. 1.03×1010 D. 1.03×1011 3. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. 2 C. D. 6 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 1月19日徐州地区下了一场大雪，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与x轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知点，在抛物线上，则的值可以是（ ） A. 0.5 B. 1.1 C. 1.5 D. 2.2 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24题． 11. 分解因式：_____________． 12. 代数式有意义时，x应满足的条件是______. 13. 分别写有数字、、、0、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率的是_____． 14. 世界陶瓷看中国，釉下五彩看醴陵．如图，小宜将两根木条，在点处固定，测量一件醴陵花瓶内径的宽度．若，且量得，则的宽度为_______． 15. 如图所示，在中，，D、E是内两点，平分，，若，，则的长度是______． 16. 已知点在反比例函数的图象上，点B在一次函数的图象上，若点A和点B关于x轴对称，则______． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算：． 18. 如图，点在上，点在上，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 随着智能手机和互联网的普及，手机（手机应用软件）因其对生活的便捷性而得到了迅速发展，某研发小组设计了甲、乙两款手机，为测试两款的实用性能，随机抽取了20名用户进行体验并分别对两款进行评分，规定7分及以上为手机的受益人群，相关数据统计、整理如下：甲款手机用户评分情况扇形统计图如图所示； 乙款手机具体评分情况为（单位：分）：6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9； 甲、乙两款手机评分统计情况如表所示： 手机统计量 平均数 中位数 众数 受益人数 甲 8 13 乙 15 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）若有4000人下载了甲款手机，5000人下载了乙款手机，请分别估计该两款手机的受益人数； （3）通过以上数据分析用户对哪款手机实用性的满意度更高，并说明理由． 21. 如图，在中 ，，平分交于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明． 22. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与B、C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接和． （1）求的度数； （2）若，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A． （1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）； （2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是 ；（直接写出结果即可） （3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值． 24. 【问题背景】 如图①，的直径，，是的两条切线，切点分别为点A、点B，直线与相切于点E，并与、分别交于点D、C两点． 【问题探究】 （1）如果设，，小明和小华同学在探究过程中，发现线段与线段的乘积为一个定值，他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法，请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论． ①小明同学的思路是：如图②，过点D作于点F，请完成解答过程． ②小华同学的思路是：如图③，连接、、，也顺利的完成了探究，请补全图形，并完成解答过程． 【问题解决】 （2）请结合图形解决下列问题：如图③，若的面积是，求此时线段的长度； （3）在（1）的条件下，令，，，，请比较a、b的大小，并说明理由． 25. 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点．连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学学科适应性练习（六） 满分150分；考试时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每题4分，共40分． 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得． 【详解】A、是有限小数，属于有理数，此项不符题意； B、，是有理数，此项不符题意； C、是无理数，此项符合题意； D、是分数，属于有理数，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记定义是解题关键． 2. 华为Mate 30 5G系列是近期相当火爆的5G国产手机，它采用的麒麟990 5G芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（　　） A. 1.03×109 B. 10.3×109 C. 1.03×1010 D. 1.03×1011 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：103亿＝103 0000 0000＝1.03×1010． 故选：C． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从上面看，一个正方形里面有一个圆且是实线． 故选C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，负整数指数幂，零指数幂的运算法则进行计算，逐个判断． 【详解】解：A．，故错误； B．，故错误； C．，正确； D．，故错误； 故选C． 【点睛】本题考查同底数的乘法，负整数指数幂和零指数幂的计算，掌握运算法则正确计算是解题关键． 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE， ∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质是正确判断的前提，把点的坐标代入是常用的方法．把点、、三点坐标代入反比例函数，求出的值，比较得出答案． 【详解】解：把点代入反比例函数得， ，，， ∴， 故选：B． 7. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. 2 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到大正方形的边长和小正方形的边长，再求阴影部分的面积. 【详解】由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：，故选B． 【点睛】本题考查矩形面积的求法，解题的关键是得到大正方形的边长和小正方形的边长. 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 9. 1月19日徐州地区下了一场大雪，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与x轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知和都是等边三角形，进而可知，的长度，根据平移的性质即可求解． 【详解】解：设正六边形中心为点，连接，作于点, , ∵,, 和都是等边三角形， 正六边形的边长为， ,, ∴, ∵与轴垂直， ∴轴， 轴， ， ， ∵, , , ． 10. 在平面直角坐标系中，已知点，在抛物线上，则的值可以是（ ） A. 0.5 B. 1.1 C. 1.5 D. 2.2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，将两点代入抛物线解析式得到m、n的表达式，根据列出不等式，设转化为关于k的不等式，求解k的取值范围后结合选项判断 【详解】∵点在抛物线上 ∴将代入得： 将代入得： ∵ ∴ ∵，两边同除以（，不等号方向不变） ∴ 设，则上式化为： 提取公因式得： 两边同除以3得： 该不等式等价于（另一组情况无解） 解得： 解得： ∴ 结合选项，只有1.1在此范围内，故选B 二、填空题：本题共6小题，每题4分，共24题． 11. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提公因式，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 代数式有意义时，x应满足的条件是______. 【答案】. 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x的取值范围． 【详解】解：代数式有意义，可得：，所以， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键. 13. 分别写有数字、、、0、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率的是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用无理数的定义结合概率求法得出答案． 【详解】解：∵5个数字中，无理数有，共2个， ∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率的是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率公式以及无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 14. 世界陶瓷看中国，釉下五彩看醴陵．如图，小宜将两根木条，在点处固定，测量一件醴陵花瓶内径的宽度．若，且量得，则的宽度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键，连接、，由得，根据对顶角相等，可得，进而可证，所以，进而可求出． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图所示，在中，，D、E是内两点，平分，，若，，则的长度是______． 【答案】 8 【解析】 【分析】作出辅助线后根据已知条件可知是等边三角形，，进而可知的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，，平分， ， ∴， , 是等边三角形， ∴，， ∵， ， 在中，， ， ， ． 16. 已知点在反比例函数的图象上，点B在一次函数的图象上，若点A和点B关于x轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点A和点B关于x轴对称，得到点B的坐标为，分别代入解析式，得到a,b之间的关系，以此为基础求代数式的值即可． 本题考查了点的对称，图象的解析式与点的坐标，求代数式的值，熟练掌握对称，求代数式的值是解题的关键． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 点A和点B关于x轴对称， 点B的坐标为， 点B在一次函数的图象上， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可． 【详解】 【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键． 18. 如图，点在上，点在上，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先由线段和差得出，然后根据“”证明，最后由全等三角形的性质即可求证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20. 随着智能手机和互联网的普及，手机（手机应用软件）因其对生活的便捷性而得到了迅速发展，某研发小组设计了甲、乙两款手机，为测试两款的实用性能，随机抽取了20名用户进行体验并分别对两款进行评分，规定7分及以上为手机的受益人群，相关数据统计、整理如下：甲款手机用户评分情况扇形统计图如图所示； 乙款手机具体评分情况为（单位：分）：6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9； 甲、乙两款手机评分统计情况如表所示： 手机统计量 平均数 中位数 众数 受益人数 甲 8 13 乙 15 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）若有4000人下载了甲款手机，5000人下载了乙款手机，请分别估计该两款手机的受益人数； （3）通过以上数据分析用户对哪款手机实用性的满意度更高，并说明理由． 【答案】（1）7；8 （2）估计这两款手机的受益人数为甲为2600人，乙为3750人 （3） 解：乙款手机实用性的满意度更高，理由如下： 甲款手机的受益人数的百分比为， 乙款手机的受益人数的百分比为， ∴乙款手机实用性的满意度更高． 【解析】 【分析】本题考查统计图表，中位数，众数以及利用样本估计总量．从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键． （1）将数据排序后，求出第10个和第11个数据的平均数即为中位数，得到a的值，找到出现次数最多的数据，得到b的值； （2）利用总人数乘以样本中受益人数所占的比例，进行计算即可得出结果； （3）结合表格数据进行分析即可． 【小问1详解】 解：乙款手机具体评分情况（单位：分）如下： 6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9， ∴，， 故答案为：7，8； 【小问2详解】 解：由题意得，（人），（人）， 答：估计这两款手机的受益人数为甲为2600人，乙为3750人； 【小问3详解】 略 21. 如图，在中 ，，平分交于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 即为所作： （2） ， 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法即可作图； （2）证明出，再根据平行线分线段成比例定理即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与B、C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接和． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据是等腰直角三角形，，得出，由旋转性质得，证明，得出，即可求出． （2）在等腰直角中，，勾股定理求出，结合，得出，由（1）知，则，在中，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，， ， 由旋转性质得， ， ， 在与中， ， ， 则， ． 【小问2详解】 解：在等腰直角中，， ， ， ， 由（1）知， ， 又， ∴在中， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A． （1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）； （2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是 ；（直接写出结果即可） （3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值． 【答案】(1)顶点A的坐标为；(2)；(3)或 【解析】 【分析】(1)将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标； (2)将，代入抛物线中求得和的值，然后再解不等式即可求解； (3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值． 【详解】解：(1)由题意可知： 抛物线， ∴顶点A的坐标为； (2)将代入中， 得到， 将代入中， 得到， 由已知条件知：， ∴， 整理得到：， 解得：， 故m的取值范围是：； (3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为， 分类讨论： ①当，即时， 时二次函数取得最小值为， 又已知二次函数最小值为6， ∴，解得或， 又，故符合题意； ②当，即时， 时二次函数取得最小值为， 又已知二次函数最小值为6， ∴，解得或， 又，故或都不符合题意； ③当，即时， 时二次函数取得最小值为， 又已知二次函数最小值为6， ∴，解得或， 又，故符合题意； 综上所述，或． 【点睛】本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键． 24. 【问题背景】 如图①，的直径，，是的两条切线，切点分别为点A、点B，直线与相切于点E，并与、分别交于点D、C两点． 【问题探究】 （1）如果设，，小明和小华同学在探究过程中，发现线段与线段的乘积为一个定值，他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法，请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论． ①小明同学的思路是：如图②，过点D作于点F，请完成解答过程． ②小华同学的思路是：如图③，连接、、，也顺利的完成了探究，请补全图形，并完成解答过程． 【问题解决】 （2）请结合图形解决下列问题：如图③，若的面积是，求此时线段的长度； （3）在（1）的条件下，令，，，，请比较a、b的大小，并说明理由． 【答案】（1）①∵，、是的切线，是的切线， ，，，， 于F，则四边形是矩形， ，，． 又， 在中，由勾股定理：， ， 展开得：， 化简得：， ，即为定值； ②连接、、， 由①知，则， ， 由切线长定理知平分，平分， ，， 则， 是直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，，由勾股定理得：， 代入得：， 整理得， 化简得：， ； （2）的长度为或； （3），理由如下： 由（1）知，， 把代入中，得， 又， ． 【解析】 【分析】（1）①由切线长定理可得，，，，证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，，．，再由勾股定理计算即可得出结果；②连接、、，由①知，则，证明，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）由，，，得，从而可得，再结合，计算即可得出结果； （3）由（1）知，，把代入中，得，再结合，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2），，， ， ， 又， 联立， 解得或， ∴此时，的长度为或． （3）略 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、角平分线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25. 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点．连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）欲证明直线是的切线，只需推知即可； （2）根据折叠的性质得到：．通过相似三角形的对应边成比例得到：．所以． （3），所以需要求得线段、的长度；利用（2）中的和锐角三角函数的定义求得；根据得到，即；结合勾股定理知．所以．利用方程思想求得答案． 【详解】（1）证明：∵将沿直线折叠得到， ∴． ∴点在的垂直平分线上． 同理得：点在的垂直平分线上． ∴即， ∵． ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 解得：或（舍去）． ∴，， ∴． 【点睛】此题主要考查了圆的综合应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”．圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $