精品解析：福建省福州市仓山区实验中学2023-2024学年九年级4月月考数学试题

福州仓山区实验中学2024年4月九年级数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看到的视图．根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示． 【详解】解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中间有两条纵向的实线， 故选：B． 3. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中，是确定性事件的是（　） A. 向上一面的点数是2 B. 向上一面的点数是奇数 C. 向上一面的点数小于3 D. 向上一面的点数小于7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是确定性事件的概念，理解相关概念是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A．向上一面的点数是2是随机事件； B．向上一面的点数是奇数是随机事件； C．向上一面的点数小于3是随机事件； D．向上一面的点数小于7是必然事件； 必然事件和不可能事件都是确定事件． 故选：D． 4. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 由①得： 由②得： ∴原不等式组的解集为 故选： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解此题的关键． 5. 如图，在下列四组条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵，∴，故A选项不符合题意； ∵，∴，故B选项符合题意； ∵，∴，故C选项不符合题意； ∵，∴．故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6. 下列运算正确的是（ ） A. a+2a=3a2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐项分析即可． 【详解】A．a+2a=3a,该选项错误; B．,该选项正确; C．,该选项错误; D．,该选项错误; 故选B． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 7. 已知反比例函数，则下列描述正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. 图象必经过点 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质即可解答． 【详解】∵该反比例函数解析式为， ∴， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，故A错误，不符合题意； 当或时，y随x的增大而增大，故B错误，不符合题意； 反比例函数的图象不可能与坐标轴相交，故C正确，符合题意； 当时，，故图象不经过点，选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数的图象不可能与坐标轴相交，对于反比例函数，当时，图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大是解题关键． 8. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A. 每天比原计划多修，结果延期10天完成 B. 每天比原计划多修，结果提前10天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期10天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前10天完成 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的实际运用．根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解． 【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修， ∵方程， 其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间， ∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成． 故选：B． 9. 如图，点，是上的定点，点为优弧上的动点（不与点，重合），在点运动的过程中，以下结论正确的是（ ） A. 的大小改变 B. 点到弦所在直线的距离存在最大值 C. 线段与的长度之和不变 D. 图中阴影部分的面积不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理，点到直线的距离的定义、极限思想和三角形三边关系、三角形面积公式等进行逐一判断即可． 【详解】解：A、因为点，是上的定点，所以所对的圆周角的大小不变，故A错误； B、连接PO，当PO⊥AB时，此时点到弦所在直线的距离最大，故B正确； C、当点P无限接近点B时，线段与的长度之和无限接近AB，而当点P从点B向点A移动过程中，线段与的长度之和发生变化，故C错误； D、阴影部分面积分为弓形AB面积和△ABP面积之和，弓形面积不变，而点P到AB距离不一定，所以△ABP面积非定值，故阴影部分面积随着点P的移动发生变化，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查圆的基本性质，圆周角定理，点到直线的距离，掌握基础知识的综合运用是解此题的关键． 10. 抛物线（）与轴交于、两点，它们的横坐标分别为、（其中），若，都有，下列说法一定正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对于任意的，都有，可知：，且，，进而可知：时，，或时，，或时，，逐一进行判断即可．根据对于任意的，都有，得到抛物线开口向下，且与轴的两个交点都在负半轴上，是解决本题的关键． 【详解】解：由对于任意的，都有，可知：，且，， ∴时，；或时，；或时，， ∵二次函数与x轴交于、两点， ∴二次函数的对称轴为：； A、当时，当时，，当时，，选项不一定正确，不符合题意； B、当时， ∵， ∴，选项错误，不符合题意； C、当时， ∵， ∴，选项正确，不符合题意； D、当时， ∵， ∴，选项错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（共6小题） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥4． 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案． 【详解】解：依题意有x﹣4≥0， 解得x≥4． 故答案为：x≥4． 【点睛】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键． 12. 我国开展的月球探测工程(即“嫦娥工程”)为人类和平使用月球作出了新的贡献．地球与月球之间的平均距离大约为384000km，384000用科学记数法可表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法，把一个大于10的数表示成的形式，使用的是科学记数法，即可表示出来． 【详解】解：∵， 故答案为． 【点睛】本题目考查的是科学记数法，难度不大，是中考的常考题型，熟练掌握其转化方法是顺利解题的关键． 13. 帆帆计算数据方差时，使用公式，则公式中___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的定义即可求解． 【详解】∵， ∴这组数据为：1、2、5、7、9， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了方差的定义，熟练地掌握“方差是各个数据与平均数差的平方的平均数”是解题的关键． 14. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇． 【答案】0.35 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出小明和小亮的速度，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了， ∴小明的速度为：， 小亮0.4小时行驶了， ∴小亮的速度为：， 设两人出发后两人相遇， ∴ 解得， ∴两人出发0.35后两人相遇， 故答案为：0.35 【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 15. 如图，已知正方形ABCD，E为边BC上一个动点（E点不与B、C重合），F为BC延长线上的一个动点，且有BE=CF，AE交BD于H，连接DF，过F作FG⊥BD于G，连接AG、EG，则下列结论： ①四边形AEFD为菱形；②AG=EG；③当E为BC中点时，tan∠BGE=；④当时，．其中正确的有____________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】证明 结合可判断①，如图，连接CG，过G作于N，证明 可判断②，如图，延长NG交AD于M，证明三角形为等腰直角三角形，可得 从而可判断③，如图，过作于 过作于 设 则 则 证明 再求解 再利用面积公式计算可判断④． 【详解】解：∵正方形ABCD， ∴ ∵ ∴ 在Rt中， ∴ ∴四边形AEFD不为菱形；故①不符合题意； 如图，连接CG，过G作于N， 由正方形的对称性可得： ∵ ∴ ∵ 则 ∴ 故②符合题意； 如图，延长NG交AD于M， 由正方形的对称性可得： ∵ ∴ 则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为BC的中点， ∴ ∴ 故③符合题意； 如图，过作于 过作于 ∴ ∵ 则 设 则 ∴ 由正方形的性质可得： ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故④符合题意； 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，属于填空题中的压轴题． 三、解答题（共9小题） 16. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、负整数指数幂与零指数幂、特殊角的正弦值，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算二次根式的化简、负整数指数幂与零指数幂、特殊角的正弦值，再计算乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，点E，F分别在菱形的边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的性质．熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 先算括号里面的加法，再算除法，最后代入求值． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝， 当时，原式＝． 19. 为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题． （1）九年级（1）班的学生人数 人，扇形统计图中 %； （2）扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为 °； （3）在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】（1）40，55 （2）36 （3） 【解析】 【分析】（1）根据投中1次的人数及所占百分数求总人数，求出投中2次的人数，除以总人数即可求出所占的百分数； （2）求出投中3次的人数所占比例，乘以360度即可； （3）画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到一男一女的情况数，利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：九年级（1）班的学生人数（人）， 投中2次的人数为：（人）， 扇形统计图中， 故答案为：40，55； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为：， 故答案为：36； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到一男一女的情况有8种， ， 即恰好抽到一男一女的概率是． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、列表或画树状图法求概率，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图间的信息进行关联，掌握列表或画树状图法求概率的原理． 20. 如图，在中，． （1）在线段上作点，使得点到的距离与点到的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）的条件下，若，求证：． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 证明：∵， ∴， 由（）得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（）作的角平分线与的交点即为点； （）证明即可求证； 本题考查了角平分线的作法，相似三角形的判定和性质，正确画出图形是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵D是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）5 【解析】 【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证． （2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，在中，利用勾股定理计算x即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，是的直径， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键． 22. 根据背景素材，探索解决问题． 测算发射塔的高度 背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． 问题解决 任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________ 获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离． 任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度． 任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1． 【答案】规划一：[任务 1]选择点和点；，，，测得图上；[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；规划二：[任务 1]选择点和点．[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米； 【解析】 【分析】规划一：[任务 1]选择点和点,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上 [任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解； [任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得， 规划二：[任务 1]选择点和点．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上； [任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．根据，，得出，．根据，得出，然后根据，得出，进而即可求解． [任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，即可求解． 【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可． 规划一： [任务 1]选择点和点． ，，，测得图上． [任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点， 则，设． ∵，， ∴，． ∵， ∴ 解得， ∴． ∵， ∴， ∴． [任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米． 由题意，得，解得， ∴发射塔的实际高度为米． 规划二： [任务 1]选择点和点． ，，，测得图上． [任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设． ∵，， ∴，． ∵， ∴，解得， ∴． ∵，∴， ∴． [任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米． 由题意，得，解得． ∴发射塔的实际高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． 23. 如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，． （1）求证：； （2）将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，已知，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，即：， 在与中， ∴， ∴； （2） 解：为等腰直角三角形，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出，即可证得结论； （2）由旋转的性质得，从而利用等腰三角形的性质推出，再结合正方形对角线的性质推出，即可证得结论； （3）结合已知信息推出，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质，掌握勾股定理等相关计算方式是解题关键． 24. 已知抛物线与x轴交于A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式和点A的坐标； （2）如图1，点P为直线下方抛物线上一点，求的最大面积； （3）如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 【答案】（1）该函数表达式为，点A坐标为 （2） （3）直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）求出点即可得抛物线的解析式，令可得点A的坐标； （2）过点P作于D，P作轴于E，交于点F，求出直线的解析式，设，则；可证得，根据即可求解； （3）设点，，直线，直线，直线，求出直线与直线的交点即可求解； 【小问1详解】 解：对于，令，则， ， ， 点， ， ， 即该函数表达式为， 令，则， 解得，， 点A坐标为； 【小问2详解】 解：过点P作于D，P作轴于E，交于点F，如图1， 设直线的解析式为，将点，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 当时，的最大面积为：； 【小问3详解】 证明：如图2，设点，， 直线，直线，直线， 将点代入直线的解析式得：， 将点代入直线的解析式得：， 联立直线与抛物线的解析式得：， 整理得：，则，， 同理：，， ，， ，， ， ， 联立直线与直线的解析式得：， 解得：， 直线与直线的交点始终在直线上， ，化简得：， ， 直线， 不论为何值，均有时，，即：直线恒过定点． 【点睛】本题综合考查了二次函数与一次函数的性质、二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及二次函数与面积问题，掌握函数的相关性质是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州仓山区实验中学2024年4月九年级数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中，是确定性事件的是（　） A. 向上一面的点数是2 B. 向上一面的点数是奇数 C. 向上一面的点数小于3 D. 向上一面的点数小于7 4. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在下列四组条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. a+2a=3a2 B. C. D. 7. 已知反比例函数，则下列描述正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. 图象必经过点 8. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A. 每天比原计划多修，结果延期10天完成 B. 每天比原计划多修，结果提前10天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期10天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前10天完成 9. 如图，点 ，是上的定点，点为优弧上的动点（不与点 ，重合），在点运动的过程中，以下结论正确的是（ ） A. 的大小改变 B. 点到弦所在直线的距离存在最大值 C. 线段与的长度之和不变 D. 图中阴影部分的面积不变 10. 抛物线（）与轴交于、两点，它们的横坐标分别为、（其中），若，都有，下列说法一定正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共6小题） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 我国开展的月球探测工程(即“嫦娥工程”)为人类和平使用月球作出了新的贡献．地球与月球之间的平均距离大约为384000km，384000用科学记数法可表示为_______． 13. 帆帆计算数据方差时，使用公式，则公式中___________． 14. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇． 15. 如图，已知正方形ABCD，E为边BC上一个动点（E点不与B、C重合），F为BC延长线上的一个动点，且有BE=CF，AE交BD于H，连接DF，过F作FG⊥BD于G，连接AG、EG，则下列结论： ①四边形AEFD为菱形；②AG=EG；③当E为BC中点时，tan∠BGE=；④当时，．其中正确的有____________． 三、解答题（共9小题） 16. 计算： 17. 如图，点E，F分别在菱形的边上，且．求证：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题． （1）九年级（1）班的学生人数 人，扇形统计图中 %； （2）扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为 °； （3）在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 20. 如图，在中，． （1）在线段上作点，使得点到的距离与点到的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）的条件下，若，求证：． 21. 如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． （1）求证：． （2）若，求的半径． 22. 根据背景素材，探索解决问题． 测算发射塔的高度 背 景 素 材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在 ，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． 问题解决 任务1 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________ 获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离． 任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度． 任务3 换算高度 楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1． 23. 如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，． （1）求证：； （2）将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，已知，当时，求的长． 24. 已知抛物线与x轴交于A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式和点A的坐标； （2）如图1，点P为直线下方抛物线上一点，求的最大面积； （3）如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $