1.4 整式的除法 题型总结讲义 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

北师大版七年级下册第一单元整式乘除 1.4整式的除法题型总结讲义 【题型一】单项式除以单项式 【例1】（2025秋•雁塔区校级期末）计算：﹣x2y3÷xy＝（　　） A．xy3 B．﹣xy2 C．﹣x2y D．xy2 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：根据单项式除以单项式的运算法则可得： ﹣x2y3÷xy＝﹣（x2÷x）（y3÷y）＝﹣xy2， 故选：B． 【变式1】（2025秋•济阳区期末）下列计算正确的是（　　） A．3a3﹣2a2＝a B．（a+b）2＝a2+b2 C．a6b÷a2＝a3b D．（﹣ab3）2＝a2b6 【变式2】（2025秋•志丹县期末）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a•a3＝a3 C．6a6÷3a3＝2a2 D．（a3）4＝a12 【题型二】多项式除以单项式 【例1】（2025秋•鲤城区校级期末）计算（12x4y2+3x3y）÷3x3y的结果是（　　） A．4xy+1 B．4xy C．4x2y+3 D．4x3y+3x3y 【分析】直接计算多项式除以单项式即可． 【解答】解：直接计算多项式除以单项式可得： （12x4y2+3x3y）÷3x3y＝4xy+1， 故选：A． 【例2】（2025秋•长宁县期末）化简（4x6y3﹣2x4y3）÷2x2y3的结果是　2x4﹣x2 ． 【分析】按照多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝4x6y3÷2x2y3﹣2x4y3÷2x2y3＝2x4﹣x2． 故答案为：2x4﹣x2． 【变式1】（2025秋•榆阳区期末）长方形的面积为x2﹣2xy+x，其中一边长是x，则另一边长是（　　） A．x﹣2y B．x+2y C．x﹣2y﹣1 D．x﹣2y+1 【变式2】（2025秋•厦门校级月考）计算： （1）（2x4y2+x3y3）÷x3y2＝　 ； （2）（12a4﹣8a3+4a）÷（﹣4a）＝　 　 ． 【变式3】（2025秋•朝阳区校级期末）计算：（3m2n+5m）÷m＝　 　 ． 【题型三】混合运算 【例1】（2024秋•石嘴山期末）计算： （1）a2•a4﹣（a2）3+（2a）3； （2）（6x4﹣8x3）÷2x2． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方将原式化简，再进行合并同类项即可； （2）直接利用多项式除以单项式的运算法则进行运算即可． 【解答】解：（1）原式＝a6﹣a6+8a3＝8a3； （2）原式＝6x4÷2x2﹣8x3÷2x2＝3x2﹣4x． 【例2】（2025秋•德惠市期末）计算： （1）（x﹣y）（x2+xy+y2）； （2）（4a3b﹣6a2b2+12ab3）÷2ab． 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算即可； （2）根据单项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：（1）（x﹣y）（x2+xy+y2） ＝x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3 ＝x3﹣y3； （2）（4a3b﹣6a2b2+12ab3）÷2ab ＝4a3b÷2ab﹣6a2b2÷2ab+12ab3÷2ab ＝2a2﹣3ab+6b2． 【变式1】（2025秋•浦东新区期末）计算：（9a3b﹣6a2b2+3ab）÷3ab+3ab． 【变式2】（2025秋•奉贤区期末）计算：（x﹣y）（x﹣2y）﹣（3x3﹣6x2y）÷（3x）． 【题型四】综合应用 【例1】（2025秋•梅里斯区期末）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐： ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图： 所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2+2x﹣1，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）（x2+2x﹣3）÷（x﹣1）＝x+3　 ； （2）计算：（x3﹣x2﹣4）÷（x﹣2）； （3）x3+ax2+bx﹣2能被x2+2x+2整除，求a、b的值． 【分析】（1）模仿例题，可用竖式计算； （2）模仿例题，可用竖式计算； （3）设商式为（x+m），则有x3+ax2+bx﹣2＝（x+m）（x2+2x+2）＝x3+（2+m）x2+（2+2m）x+2m，根据对应项系数相等即可解决问题． 【解答】解：（1）∵（x2+2x﹣3）÷（x﹣1）＝x+3； 故答案为：x+3， （2）（x3﹣x2﹣4）÷（x﹣2）的商式为x2+x+2． （3）设商式为（x+m）， 则有x3+ax2+bx﹣2＝（x+m）（x2+2x+2）＝x3+（2+m）x2+（2+2m）x+2m， ∴﹣2＝2m， ∴m＝﹣1， ∴a＝2+m＝1，b＝2+2m＝0， ∴a＝1，b＝0． 【例2】（2024秋•吴忠期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，围成的矩形面积为Sm2． （1）平行于墙的边BC为　（80﹣2x）　 米．（用含的x代数式表示） （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． 【分析】（1）根据AB+BC+CD＝80可求出BC； （2）根据矩形花圃面积能否为750m2得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可． 【解答】解：（1）一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m． 设AB的长是xm，则BC＝（80﹣2x）米， 故答案为：（80﹣2x）； （2）能，x的值为25，理由如下： ∵（80﹣2x）x＝750， ∴x2﹣40x+375＝0， 此时，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣40）2﹣4×375＝1600﹣1500＝100＞0， ∴， ∴x1＝25，x2＝15， ∵0＜80﹣2x≤42， ∴19≤x＜40， ∴x＝25． 【变式1】（2025秋•闵行区期末）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知（x+2）（2x+1）＝①_____，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得（2x2+5x+2）÷（2x+1）＝②_____，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（x2+9x+20）÷（x+4），可仿照2835÷27用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． （1）任务一：补全材料中的两个空①　 　 ，② 　 ． （2）任务二：仿照例子的做法计算： ①（x2+2x+1）÷（x+1）＝ 　 ； ②（2x2+3x+1）÷（x+1）＝　 　 ． （3）任务三：若（2x3+8x2+8x﹣m）÷（2x+6）的商为整式，求m的值和商式（请列出竖式并回答）． 【变式2】（2025春•江都区校级月考）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算（8x2+6x+1）÷（2x+1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此（8x2+6x+1）÷（2x+1）＝4x+1． （1）（6x2﹣7x+2）÷（2x﹣1）的商是　 　 ． （2）已知一个长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a． （3）在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为（x+9），若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长． 【变式3】（2025秋•京山市月考）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式： （1）求所捂的多项式； （2）若，求所捂多项式的值． 【课后练习】 1．（2025秋•衡阳期末）已知长方形的面积为6a2﹣9ab+3a，如果它的一边长为3a，则它的另一边长为（　　） A．3a﹣6b B．2a﹣3b C．3a﹣6b+1 D．2a﹣3b+1 2．（2025秋•扶余市期末）已知3x4y3÷▲＝xy2，则“▲”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 3．（2025秋•海口期末）已知a3b6÷a2b2＝ambn，则m和n的值分别是（　　） A．m＝4，n＝1 B．m＝1，n＝4 C．m＝5，n＝8 D．m＝6，n＝12 4．（2025秋•大余县期末）下列计算中，正确的是（　　） A．a•a2＝a2 B．（a3）2＝a5 C．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6 D．15x2y3÷3x2y＝5xy3 5．（2025秋•裕华区校级期末）如图，将一个大正方形分成2个矩形和2个正方形，分别标为①，④和②，③，其中③，④两个部分已标注面积，则正方形②的边长为（　　） A．b B．2b C．4b2 D．2a 6．（2025秋•南安市期末）计算：4a2b÷2ab＝　 ． 7．（2025秋•洪山区期末）计算10x2y÷5xy＝　 ． 8．（2025秋•闽清县期末）计算：（28x4y8）÷（2x2y3）2＝　 ． 9．（2025秋•奉贤区期末）已知长方形面积为6y4﹣3x2y3+xy2，它的一边长为3y2，则这个长方形另外一边长为　 　 ． 10．（2026•海口开学）若长方形的面积是9a2﹣6ab+3a，长为3a，则它的宽为　 　 ． 11．（2025秋•泸县期末）计算：（6a2﹣3ab）÷3a＝　 ． 12．（2025秋•奉贤区期末）观察下列各式： （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1 （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1 （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1 （x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1… 观察上面的规律计算：1+2+22+…+262+263＝　 　 ． 13．（2025秋•松山区期末）如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒．若纸盒的容积为4a2b，底面长方形的一边长为b（b＜4a），则这个长方形纸板的面积是 　 ． 14．（2025秋•肇源县期中）已知多项式x3﹣2x2+ax﹣1为被除式，除式为bx﹣1，商式为x2﹣x+2，余式为1，则这个多项式为 　 ． 15．（2025•市南区校级二模）计算（﹣2a2b）3÷4a3b3＝　 ． 16．（2025•太原校级开学）（﹣3ab2c）3÷（﹣3ab2c）2＝　 ． 17．（2025•碑林区校级二模）填空：8x2y•　 　 ＝﹣24x3y3． 18．（2025秋•杨浦区期末）计算： 　 ． 19．（2025秋•金山区期末）计算： 　 　 ． 20．（2025秋•浦东新区校级期末）（﹣3x2y）2÷　 ． 21．（2025秋•西安期末）化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 22．（2025秋•衡南县期末）计算：（12xy2﹣8x2y）÷4xy． 23．（2025春•同安区期中）学习任务卡，请仔细阅读，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知（x+2）（2x+1）＝①　2x2+5x+2　 ，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得（2x2+5x+2）÷（2x+1）＝②x+2　 ，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（x2+9x+20）÷（x+4），可仿照2835÷27用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． （1）任务一：补全材料中的两个空①　 　 ，② 　 ． （2）任务二：仿照例子的做法计算： ①（x2+2x+1）÷（x+1）＝ 　 ； ②（2x2+3x+1）÷（x+1）＝　 　 ． （3）任务三：若（2x3+8x2+3x﹣m）÷（2x+7）的商为整式，求m的值和商式（请列出竖式并回答）． 24．（2026•西城区校级开学）计算： （1）（3x+2）（3x﹣2）； （2）（6x4﹣8x2y）÷2x2． 25．（2025秋•渝中区期末）计算： （1）20252﹣2028×2022； （2）（x﹣y）（x﹣2y）﹣（3x3﹣6x2y）÷3x． 26．（2025秋•苍溪县期末）计算： （1）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y； （2）． 27．（2025秋•嘉鱼县期末）计算： （1）（3a+2b）（2a﹣3b）； （2）（12x4y3﹣8x3y2﹣4x2y2）÷（﹣4x2y2）． 28．（2025秋•晋江市期末）计算：4x3y÷2y•（﹣3xy3）2 29．（2025秋•阳新县期末）计算： （1）； （2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级下册第一单元整式乘除 1.4整式的除法题型总结讲义 【题型一】单项式除以单项式 【例1】（2025秋•雁塔区校级期末）计算：﹣x2y3÷xy＝（　　） A．xy3 B．﹣xy2 C．﹣x2y D．xy2 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：根据单项式除以单项式的运算法则可得： ﹣x2y3÷xy＝﹣（x2÷x）（y3÷y）＝﹣xy2， 故选：B． 【变式1】（2025秋•济阳区期末）下列计算正确的是（　　） A．3a3﹣2a2＝a B．（a+b）2＝a2+b2 C．a6b÷a2＝a3b D．（﹣ab3）2＝a2b6 【分析】直接利用合并同类项，完全平方公式、整式的除法以及积的乘方的知识求解即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：A、3a3﹣2a2＝a2，故本选项错误； B、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故本选项错误； C、a6b÷a2＝a4b，故本选项错误； D、（﹣ab3）2＝a2b6，故本选项正确． 故选：D． 【变式2】（2025秋•志丹县期末）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a•a3＝a3 C．6a6÷3a3＝2a2 D．（a3）4＝a12 【分析】利用幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项及单项式除以单项式的法则逐选项计算即可判断． 【解答】解：根据幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项及单项式除以单项式的法则逐项分析判断如下： A．a2与a3不是同类项，不能合并，选项计算不正确，不符合题意； B．a•a3＝a4，选项计算不正确，不符合题意； C．6a6÷3a3＝2a3，选项计算不正确，不符合题意； D．（a3）4＝a12，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【题型二】多项式除以单项式 【例1】（2025秋•鲤城区校级期末）计算（12x4y2+3x3y）÷3x3y的结果是（　　） A．4xy+1 B．4xy C．4x2y+3 D．4x3y+3x3y 【分析】直接计算多项式除以单项式即可． 【解答】解：直接计算多项式除以单项式可得： （12x4y2+3x3y）÷3x3y＝4xy+1， 故选：A． 【例2】（2025秋•长宁县期末）化简（4x6y3﹣2x4y3）÷2x2y3的结果是　2x4﹣x2 ． 【分析】按照多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝4x6y3÷2x2y3﹣2x4y3÷2x2y3＝2x4﹣x2． 故答案为：2x4﹣x2． 【变式1】（2025秋•榆阳区期末）长方形的面积为x2﹣2xy+x，其中一边长是x，则另一边长是（　　） A．x﹣2y B．x+2y C．x﹣2y﹣1 D．x﹣2y+1 【分析】根据面积除以一边长得到另一边长即可． 【解答】解：根据题意得：（x2﹣2xy+x）÷x＝x﹣2y+1， 故选：D． 【变式2】（2025秋•厦门校级月考）计算： （1）（2x4y2+x3y3）÷x3y2＝　2x+y ； （2）（12a4﹣8a3+4a）÷（﹣4a）＝　﹣3a3+2a2﹣1　 ． 【分析】（1）利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答； （2）利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（2x4y2+x3y3）÷x3y2 ＝2x4y2÷x3y2+x3y3÷x3y2 ＝2x+y， 故答案为：2x+y； （2）（12a4﹣8a3+4a）÷（﹣4a） ＝﹣12a4÷4a+8a3÷4a﹣4a÷4a ＝﹣3a3+2a2﹣1， 故答案为：﹣3a3+2a2﹣1． 【变式3】（2025秋•朝阳区校级期末）计算：（3m2n+5m）÷m＝　3mn+5　 ． 【分析】根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝3m2n÷m+5m÷m ＝3mn+5， 故答案为：3mn+5． 【题型三】混合运算 【例1】（2024秋•石嘴山期末）计算： （1）a2•a4﹣（a2）3+（2a）3； （2）（6x4﹣8x3）÷2x2． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方将原式化简，再进行合并同类项即可； （2）直接利用多项式除以单项式的运算法则进行运算即可． 【解答】解：（1）原式＝a6﹣a6+8a3＝8a3； （2）原式＝6x4÷2x2﹣8x3÷2x2＝3x2﹣4x． 【例2】（2025秋•德惠市期末）计算： （1）（x﹣y）（x2+xy+y2）； （2）（4a3b﹣6a2b2+12ab3）÷2ab． 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算即可； （2）根据单项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：（1）（x﹣y）（x2+xy+y2） ＝x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3 ＝x3﹣y3； （2）（4a3b﹣6a2b2+12ab3）÷2ab ＝4a3b÷2ab﹣6a2b2÷2ab+12ab3÷2ab ＝2a2﹣3ab+6b2． 【变式1】（2025秋•浦东新区期末）计算：（9a3b﹣6a2b2+3ab）÷3ab+3ab． 【分析】先根据多项式除以单项式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【解答】解：（9a3b﹣6a2b2+3ab）÷3ab+3ab ＝3a2﹣2ab+1+3ab ＝3a2+ab+1． 【变式2】（2025秋•奉贤区期末）计算：（x﹣y）（x﹣2y）﹣（3x3﹣6x2y）÷（3x）． 【分析】直接利用整式的乘除运算法则化简，再合并同类项得出答案． 【解答】解：原式＝x2﹣3xy+2y2﹣x2+2xy ＝﹣xy+2y2． 【题型四】综合应用 【例1】（2025秋•梅里斯区期末）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐： ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图： 所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2+2x﹣1，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）（x2+2x﹣3）÷（x﹣1）＝x+3　 ； （2）计算：（x3﹣x2﹣4）÷（x﹣2）； （3）x3+ax2+bx﹣2能被x2+2x+2整除，求a、b的值． 【分析】（1）模仿例题，可用竖式计算； （2）模仿例题，可用竖式计算； （3）设商式为（x+m），则有x3+ax2+bx﹣2＝（x+m）（x2+2x+2）＝x3+（2+m）x2+（2+2m）x+2m，根据对应项系数相等即可解决问题． 【解答】解：（1）∵（x2+2x﹣3）÷（x﹣1）＝x+3； 故答案为：x+3， （2）（x3﹣x2﹣4）÷（x﹣2）的商式为x2+x+2． （3）设商式为（x+m）， 则有x3+ax2+bx﹣2＝（x+m）（x2+2x+2）＝x3+（2+m）x2+（2+2m）x+2m， ∴﹣2＝2m， ∴m＝﹣1， ∴a＝2+m＝1，b＝2+2m＝0， ∴a＝1，b＝0． 【例2】（2024秋•吴忠期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，围成的矩形面积为Sm2． （1）平行于墙的边BC为　（80﹣2x）　 米．（用含的x代数式表示） （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． 【分析】（1）根据AB+BC+CD＝80可求出BC； （2）根据矩形花圃面积能否为750m2得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可． 【解答】解：（1）一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m． 设AB的长是xm，则BC＝（80﹣2x）米， 故答案为：（80﹣2x）； （2）能，x的值为25，理由如下： ∵（80﹣2x）x＝750， ∴x2﹣40x+375＝0， 此时，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣40）2﹣4×375＝1600﹣1500＝100＞0， ∴， ∴x1＝25，x2＝15， ∵0＜80﹣2x≤42， ∴19≤x＜40， ∴x＝25． 【变式1】（2025秋•闵行区期末）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知（x+2）（2x+1）＝①_____，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得（2x2+5x+2）÷（2x+1）＝②_____，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（x2+9x+20）÷（x+4），可仿照2835÷27用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． （1）任务一：补全材料中的两个空①　2x2+5x+2　 ，②x+2　 ． （2）任务二：仿照例子的做法计算： ①（x2+2x+1）÷（x+1）＝x+1　 ； ②（2x2+3x+1）÷（x+1）＝　2x+1　 ． （3）任务三：若（2x3+8x2+8x﹣m）÷（2x+6）的商为整式，求m的值和商式（请列出竖式并回答）． 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则得（x+2）（2x+1）＝2x2+5x+2，则2x2+5x+2＝（x+2）（2x+1），即可作答． （2）①模仿题干的竖式计算过程作答即可；②模仿题干的竖式计算过程作答即可； （3）模仿题干的竖式计算过程作答即可． 【解答】解：（1）（x+2）（2x+1）＝2x2+x+4x+2＝2x2+5x+2； （2x2+5x+2）÷（2x+1）＝x+2， 故答案为：2x2+5x+2；x+2； （2）①如图所示： ∴（x2+2x+1）÷（x+1）＝x+1； 故答案为：x+1； ②如图所示： ∴（2x2+3x+1）÷（x+1）＝2x+1， 故答案为：2x+1； （3）如图所示： ∵（2x3+8x2+8x﹣m）÷（2x+6）的商为整式，且结合上图的竖式过程， ∴﹣m＝6，即m＝﹣6， ∴此时（2x3+8x2+8x+6）÷（2x+6）＝x2+x+1． 【变式2】（2025春•江都区校级月考）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算（8x2+6x+1）÷（2x+1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此（8x2+6x+1）÷（2x+1）＝4x+1． （1）（6x2﹣7x+2）÷（2x﹣1）的商是　3x﹣2　 ． （2）已知一个长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a． （3）在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为（x+9），若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长． 【分析】（1）根据题中竖式求解； （2）根据长方形周长计算公式结合已知条件列出关于a、x的等式即可得到答案； （3）先求出长方形B的面积，进而求出长方形C的面积，再利用短除法求出长方形C的另一边长即可． 【解答】解：（1）（6x2﹣7x+2）÷（2x﹣1）， ， ∴（6x2﹣7x+2）÷（2x﹣1）＝3x﹣2， 故答案为：3x﹣2； （2）长方形A的周长为：2（x+2）+2（x﹣2）＝4x， 长方形B的周长为：2（x+2+8）+2（x﹣2+a）＝4x+16+2a， ∵长方形B的周长是A周长的3倍， ∴4x+16+2a＝3×4x， ∴a＝4x﹣8； （3）∵长方形B的面积为（x+2+8）（x﹣2+a）＝（x+10）（5x﹣10）＝5x2+40x﹣100， 长方形B的面积比C的面积小55， ∴长方形C的面积为 5x2+40x﹣100+55＝5x2+40x﹣45， ∵长方形C的一边长为（x+9）， ∴长方形C的另一边长为5x﹣5． 【变式3】（2025秋•京山市月考）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式： （1）求所捂的多项式； （2）若，求所捂多项式的值． 【分析】（1）设所捂的多项式为A，将乘法转化为除法，由多项式除以单项式法则算即可； （2）将x、y的值代入多项式计算即可． 【解答】解：（1）设所捂的多项式为A， 则 ＝﹣6x+2y﹣1， ∴所捂的多项式是﹣6x+2y﹣1； （2）由条件可得：． 【课后练习】 1．（2025秋•衡阳期末）已知长方形的面积为6a2﹣9ab+3a，如果它的一边长为3a，则它的另一边长为（　　） A．3a﹣6b B．2a﹣3b C．3a﹣6b+1 D．2a﹣3b+1 【分析】根据长方形面积公式列出（6a2﹣9ab+3a）÷3a，然后根据多项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：根据题意得（6a2﹣9ab+3a）÷3a ＝6a2÷3a﹣9ab÷3a+3a÷3a ＝2a﹣3b+1， 即它的另一边长为2a﹣3b+1， 故选：D． 2．（2025秋•扶余市期末）已知3x4y3÷▲＝xy2，则“▲”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 【分析】根据除法运算，将等式变形为求除数的形式，然后利用同底数幂的除法法则计算． 【解答】解：∵3x4y3÷▲＝xy2， ∴▲＝3x4y3÷xy2＝3x3y， 故选：B． 3．（2025秋•海口期末）已知a3b6÷a2b2＝ambn，则m和n的值分别是（　　） A．m＝4，n＝1 B．m＝1，n＝4 C．m＝5，n＝8 D．m＝6，n＝12 【分析】根据单项式除以单项式的法则，即可解答． 【解答】解：a3b6÷a2b2＝ab4＝ambn， ∴m＝1，n＝4． 故选：B． 4．（2025秋•大余县期末）下列计算中，正确的是（　　） A．a•a2＝a2 B．（a3）2＝a5 C．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6 D．15x2y3÷3x2y＝5xy3 【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； B．根据幂的乘方进行计算，然后判断即可； C．根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可； D．根据单项式除以单项式法则进行计算，然后判断即可． 【解答】解：∵A．a•a2＝a1+2＝a3≠a2， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； B．∵（a3）2＝a3×2＝a6≠a5， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； C．∵（﹣2xy2）3＝（﹣2）3•x3•（y2）3＝﹣8x3y6， ∴此选项的计算正确， 故此选项符合题意； D．∵15x2y3÷3x2y＝（15÷3）•（x2÷x2）•（y3÷y）＝5y2≠5xy3， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（2025秋•裕华区校级期末）如图，将一个大正方形分成2个矩形和2个正方形，分别标为①，④和②，③，其中③，④两个部分已标注面积，则正方形②的边长为（　　） A．b B．2b C．4b2 D．2a 【分析】根据面积可得正方形③的边长为a，求解矩形④的宽为2ab÷a＝2b，从而可得答案． 【解答】解：由条件可得正方形③的边长为a， ∴矩形④的宽为2ab÷a＝2b， ∴正方形②的边长为2b， 故选：B． 6．（2025秋•南安市期末）计算：4a2b÷2ab＝　2a ． 【分析】利用整式除法的运算法则，即可得出结论． 【解答】解：4a2b÷2ab ＝（4÷2）a2﹣1b1﹣1 ＝2a． 故答案为：2a． 7．（2025秋•洪山区期末）计算10x2y÷5xy＝　2x ． 【分析】根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则计算即可． 【解答】解：原式 ＝10x2y÷5xy ＝（10÷5）•（x2÷x）•（y÷y） ＝2x， 故答案为：2x． 8．（2025秋•闽清县期末）计算：（28x4y8）÷（2x2y3）2＝　7y2 ． 【分析】先运算积的乘方，再运算单项式除以单项式，即可作答． 【解答】解：原式＝28x4y8÷4x4y6＝7y2， 故答案为：7y2． 9．（2025秋•奉贤区期末）已知长方形面积为6y4﹣3x2y3+xy2，它的一边长为3y2，则这个长方形另外一边长为　　 ． 【分析】因为长方形的面积＝长×宽，所以宽＝长方形的面积÷长，再根据多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，求出商即可． 【解答】解：因为长方形的面积为6y4﹣3x2y3+xy2， 一边长为3y2， 所以它的另一边长为： （6y4﹣3x2y3+xy2）÷3y2 ＝6y4÷3y2﹣3x2y3÷3y2+xy2÷3y2 ＝2y2﹣x2y． 答：这个长方形另外一边长为2y2﹣x2y． 故答案为：2y2﹣x2y． 10．（2026•海口开学）若长方形的面积是9a2﹣6ab+3a，长为3a，则它的宽为　3a﹣2b+1　 ． 【分析】根据整式的除法法则运算即可． 【解答】解：原式＝9a2÷3a﹣6ab÷3a+3a÷3a＝3a﹣2b+1． 11．（2025秋•泸县期末）计算：（6a2﹣3ab）÷3a＝　2a﹣b ． 【分析】运用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝6a2÷3a﹣3ab÷3a ＝2a﹣b， 故答案为：2a﹣b． 12．（2025秋•奉贤区期末）观察下列各式： （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1 （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1 （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1 （x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1… 观察上面的规律计算：1+2+22+…+262+263＝　264﹣1　 ． 【分析】先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+xn＝（xn+1﹣1）÷（x﹣1），从而得出1+2+22+…+262+263＝（263+1﹣1）÷（2﹣1），再进行计算即可． 【解答】解：根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+xn＝（xn+1﹣1）÷（x﹣1）， ∴1+2+22+…+262+263 ＝（263+1﹣1）÷（2﹣1） ＝264﹣1． 故答案为：264﹣1． 13．（2025秋•松山区期末）如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒．若纸盒的容积为4a2b，底面长方形的一边长为b（b＜4a），则这个长方形纸板的面积是 　12a2+6ab ． 【分析】设长方体底面的另一边长为x，根据长方体的体积公式求出纸板的长，则宽为2a+b，运用面积公式求解即可； 【解答】解：设长方体底面的另一边长为x， 则根据长方体的体积公式可得，4a2b＝abx， 解得x＝4a， 所以长方形纸板的长为4a+a+a＝6a， 长方形纸板的面积是＝6a×（2a+b）＝12a2+6ab， 故答案为：12a2+6ab． 14．（2025秋•肇源县期中）已知多项式x3﹣2x2+ax﹣1为被除式，除式为bx﹣1，商式为x2﹣x+2，余式为1，则这个多项式为 x3﹣2x2+3x﹣1　 ． 【分析】由题意得：x3﹣2x2+ax﹣1＝（bx﹣1）（x2﹣x+2）+1，整理为x3﹣2x2+ax﹣1＝bx3﹣（b+1）x2+（2b+1）x﹣1，得出b＝1，a＝2b+1，进而得出b＝1，a＝3，代入多项式x3﹣2x2+ax﹣1，即可得出答案． 【解答】解：由题意得：x3﹣2x2+ax﹣1＝（bx﹣1）（x2﹣x+2）+1， ∴x3﹣2x2+ax﹣1＝bx3﹣（b+1）x2+（2b+1）x﹣1， ∴b＝1，a＝2b+1， ∴b＝1，a＝3， ∴x3﹣2x2+ax﹣1＝x3﹣2x2+3x﹣1， 故答案为：x3﹣2x2+3x﹣1． 15．（2025•市南区校级二模）计算（﹣2a2b）3÷4a3b3＝　﹣2a3 ． 【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式＝﹣8a6b3÷4a3b3 ＝﹣2a3． 故答案为：﹣2a3． 16．（2025•太原校级开学）（﹣3ab2c）3÷（﹣3ab2c）2＝　﹣3ab2c ． 【分析】先运用积的乘方、幂的乘方法则化简，然后再运用单项式除法法则计算即可． 【解答】解：（﹣3ab2c）3÷（﹣3ab2c）2 ＝﹣27a3b6c3÷9a2b4c2 ＝（﹣27÷9）•（a3÷a2）•（b6÷b4）•（c3÷c2） ＝﹣3ab2c， 故答案为：﹣3ab2c． 17．（2025•碑林区校级二模）填空：8x2y•　（﹣3xy2）　 ＝﹣24x3y3． 【分析】根据单项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：根据题意得，﹣24x3y3÷8x2y＝﹣3xy2， 故答案为：（﹣3xy2）． 18．（2025秋•杨浦区期末）计算：　3x2+15x﹣18　 ． 【分析】根据多项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解： ＝3x2+15x﹣18， 故答案为：3x2+15x﹣18． 19．（2025秋•金山区期末）计算： 　6a2﹣3ax+9　 ． 【分析】根据多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【解答】解： ＝2a3x2ax2﹣a2x3ax2+3ax2ax2 ＝6a2﹣3ax+9， 故答案为：6a2﹣3ax+9． 20．（2025秋•浦东新区校级期末）（﹣3x2y）2÷　27x2y ． 【分析】根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【解答】解： ＝（9）x4﹣2y2﹣1 ＝27x2y， 故答案为：27x2y． 21．（2025秋•西安期末）化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 【分析】首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则及平方差公式对括号内的式子进行化简，然后计算多项式与单项式的除法，最后把x，y的值代入求值即可． 【解答】解：原式＝[x2﹣2xy+y2﹣3x2+2xy+x2﹣y2]÷2x ＝（﹣x2）÷2x x， 当x＝1，y＝﹣2时，原式． 22．（2025秋•衡南县期末）计算：（12xy2﹣8x2y）÷4xy． 【分析】根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝12xy2÷4xy﹣8x2y÷4xy ＝3y﹣2x． 23．（2025春•同安区期中）学习任务卡，请仔细阅读，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知（x+2）（2x+1）＝①　2x2+5x+2　 ，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得（2x2+5x+2）÷（2x+1）＝②x+2　 ，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（x2+9x+20）÷（x+4），可仿照2835÷27用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． （1）任务一：补全材料中的两个空①　2x2+5x+2　 ，②x+2　 ． （2）任务二：仿照例子的做法计算： ①（x2+2x+1）÷（x+1）＝x+1　 ； ②（2x2+3x+1）÷（x+1）＝　2x+1　 ． （3）任务三：若（2x3+8x2+3x﹣m）÷（2x+7）的商为整式，求m的值和商式（请列出竖式并回答）． 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则得（x+2）（2x+1）＝2x2+5x+2，则（2x2+5x+2）÷（2x+1）＝x+2，即可作答； （2）①模仿题干的竖式计算过程作答即可； ②模仿题干的竖式计算过程作答即可； （3）模仿题干的竖式计算过程作答即可． 【解答】解：（1）依题意，（x+2）（2x+1）＝2x2+x+4x+2＝2x2+5x+2， 则（2x2+5x+2）÷（2x+1）＝x+2， 故答案为：2x2+5x+2，x+2； （2）①如图所示： ∴（x2+2x+1）÷（x+1）＝x+1， 故答案为：x+1； ②如图所示： ∴（2x2+3x+1）÷（x+1）＝2x+1， 故答案为：2x+1； （3）如图所示： ∵（2x3+8x2+3x﹣m）÷（2x+7）的商为整式，且结合上图的竖式过程， ∴， 此时． 24．（2026•西城区校级开学）计算： （1）（3x+2）（3x﹣2）； （2）（6x4﹣8x2y）÷2x2． 【分析】（1）根据公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（3x）2﹣22＝9x2﹣4． （2）原式＝（6x4÷2x2）+（﹣8x2y÷2x2） ＝3x2﹣4y． 25．（2025秋•渝中区期末）计算： （1）20252﹣2028×2022； （2）（x﹣y）（x﹣2y）﹣（3x3﹣6x2y）÷3x． 【分析】（1）先把2028写成2025+3，2022写成2025﹣3，再利用平方差公式展开，然后去掉括号进行计算即可； （2）先运用多项式乘多项式法则展开，再进行整式除法运算，最后合并同类项． 【解答】解：（1）原式＝20252﹣（2025+3）（2025﹣3） ＝20252﹣（20252﹣9） ＝20252﹣20252+9 ＝9； （2）原式＝x2﹣3xy+2y2﹣x2+2xy ＝﹣xy+2y2． 26．（2025秋•苍溪县期末）计算： （1）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y； （2）． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后按照单项式除以单项式法则进行计算即可； （2）先根据零指数幂与负整数指数幂的性质计算乘方，再算乘法，最后计算减法即可． 【解答】解：（1）原式＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y ＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y ； （2） ＝4﹣2 ＝2． 27．（2025秋•嘉鱼县期末）计算： （1）（3a+2b）（2a﹣3b）； （2）（12x4y3﹣8x3y2﹣4x2y2）÷（﹣4x2y2）． 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：（1）（3a+2b）（2a﹣3b） ＝6a2﹣9ab+4ab﹣6b2 ＝6a2﹣5ab﹣6b2； （2）（12x4y3﹣8x3y2﹣4x2y2）÷（﹣4x2y2） ＝﹣12x4y3÷4x2y2+8x3y2÷4x2y2+4x2y2÷4x2y2 ＝﹣3x2y+2x+1． 28．（2025秋•晋江市期末）计算：4x3y÷2y•（﹣3xy3）2 【分析】根据整式的乘除运算顺序和运算法则计算可得． 【解答】解：原式＝4x3y÷2y•（﹣3xy3）2 ＝4x3y÷2y•9x2y6 ＝2x3•（9x2y6） ＝18x5y6． 29．（2025秋•阳新县期末）计算： （1）； （2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y． 【分析】（1）原式利用零指数幂、负整式指数幂法则，以及乘方运算法则计算即可求出值； （2）原式括号中利用单项式乘以多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷x2y ＝（2x3y2﹣2x2y）÷x2y ＝2x3y2÷x2y﹣2x2y÷x2y ＝2xy﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $