第五章 第1课时 万有引力定律及应用（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（粤教版 粤）

考情分析 试题情境 生活实践类 地球不同纬度重力加速度的比较 学习探究类 开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型 第1课时　万有引力定律及应用 目标要求　1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。 考点一　开普勒定律 开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，其中k只与中心天体有关且只能用在同一中心天体的两星体之间，例如月球、地球卫星绕地球的运动，此时k是一个与地球有关的常量。 思考 1.已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离为r1，远日点距太阳距离为r2。 (1)v1与v2大小什么关系？ (2)试推导＝。 答案　(1)v1>v2 (2)证明：由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2， v1Δt·r1＝v2Δt·r2， 解得＝。 2．把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求k值。 答案　由＝mr得：＝，即k＝。 1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(　√　) 2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(　×　) 3．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。(　×　) 例1　(2024·广东清远市南阳中学阶段测试)如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是(　　) A．太阳位于焦点F1处 B．S1>S2 C．在M和N处，小行星的动能EkM>EkN D．在N和P处，小行星的加速度aN>aP 答案　B 解析　已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳位于焦点F2处，A错误；根据开普勒行星运动定律可知小行星由M到P的过程中速度逐渐增大，小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M到N运动时间大于由N到P的运动时间，由开普勒第二定律可知S1>S2，B正确；由动能定理，由M到N过程中W＝ΔEk，万有引力做正功，则速度增大，动能增大，即EkM<EkN，C错误；根据万有引力公式F＝G，可知小行星在N处的引力小于在P处的引力，由牛顿第二定律F＝ma，得aN<aP，D错误。 例2　2021年2月，我国首次火星探测任务探测器“天问一号”成功进入周期为T的大椭圆环火轨道。14天后，“天问一号”成功实施近火制动，经过极轨转移轨道(图中未画出)，进入近火点高度为h、远火点高度为H、周期为T的火星停泊轨道。已知火星半径R。则大椭圆环火轨道半长轴为(　　) A.(h＋H) B.(h＋H＋2R) C.(H＋h) D.(H＋h＋2R) 答案　B 解析　根据开普勒第三定律可得 ＝ 解得r＝(h＋H＋2R)，故选B。 考点二　万有引力定律 1．万有引力定律 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由物理学家卡文迪许测定。 (2)适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度大小g′ 地球上空距离地球中心r＝R＋h处，由mg′＝，得g′＝。 1．地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。(　×　) 2．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(　√　) 3．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(　×　) 例3　(2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　) A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5 答案　B 解析　万有引力表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为＝＝0.4，选项B正确。 例4　(2022·广东省一模)在北极重力为G1的物体，在赤道上重力变为G2。若将地球看成质量分布均匀的球体，北极的重力加速度为g，则地球半径与自转周期的平方之比为(　　) A.g B.g C.g D. 答案　C 解析　在北极有＝G1＝mg 在赤道上－G2＝mr 联立解得＝＝ 故选C。 万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上： G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 考点三　天体质量和密度的计算 1．利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝mr，得M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例5　(2023·广东省模拟)我国在航天技术方面取得了瞩目的成就，早在2021年2月10日“天问一号”成功实施了火星捕获，5月择机实施降轨软着陆火星表面。航天中心测得：当“天问一号”距火星表面高度约为火星半径的2倍时，其环绕周期为T。已知引力常量为G，则火星的密度为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据万有引力提供向心力有G＝m(2R＋R)，其中M＝ρ·πR3，解得ρ＝，故选C。 例6　航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求： (1)月球表面的自由落体加速度大小g月； (2)月球的质量M； (3)月球的密度ρ。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2 则月球表面的自由落体加速度大小g月＝ (2)不考虑月球自转的影响，有G＝mg月， 得月球的质量M＝ (3)月球的密度ρ＝＝＝。 课时精练 1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　) A．太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案　C 解析　由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常量，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。 2.(2023·广东深圳市二模)二十四节气是中华民族的文化遗产。地球沿椭圆形轨道绕太阳运动，所处四个位置分别对应北半球的四个节气，如图所示。下列关于地球绕太阳公转的说法正确的是(　　) A．冬至时线速度最大 B．夏至和冬至时的角速度相同 C．夏至时向心加速度最大 D．可根据地球的公转周期求出地球的质量 答案　A 解析　由开普勒第二定律可知地球在近日点线速度最大，在远日点线速度最小，冬至时地球在近日点线速度最大，A正确；由开普勒第二定律可知相同时间内地球与太阳连线扫过的面积相同，因此相同时间转过角度不同，角速度不同，B错误；夏至时地球距离太阳最远，引力最小，因此向心加速度最小，C错误；可根据地球的公转周期计算的是中心天体太阳的质量，D错误。 3．位于贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单口径射电望远镜，通过FAST可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍。若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为(　　) A．年 B．年 C．年 D．年 答案　A 解析　设地球与太阳距离为r，根据题述可知木星与太阳的距离R＝＝ 设木星的公转周期为T年，根据开普勒第三定律，则有＝，T地＝1年 解得T＝年 选项A正确，B、C、D错误。 4．(2023·广东佛山市二模)中国空间站轨道高度为400～450千米，地球半径约为6 370千米。当航天员出舱在空间站舱外作业时，其所受地球的引力大约是他在地面所受地球引力的(　　) A．0.9倍 B．0.25倍 C．0.1倍 D．0.01倍 答案　A 解析　设地球半径为R，空间站的轨道高度为h，航天员的质量为m，地球质量为M，在地球表面时F1＝，在空间站时F2＝，代入数据可得≈0.9，故选A。 5．(2024·广东省模拟)2022年11月27日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，成功将“遥感三十六号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若已知该卫星在预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，其线速度大小为v，角速度大小为ω，引力常量为G，则地球的质量为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设地球质量为M，卫星质量为m，运动半径为r，根据牛顿第二定律有G＝mω2r 根据匀速圆周运动规律有v＝ωr 联立以上两式解得M＝，故选C。 6．(2023·广东梅州市联考)开普勒22b行星的直径是地球直径的2.4倍，平均气温为22 ℃，是可能存在外星生命的星球之一。已知地球的半径为R，表面的重力加速度大小为g，距离开普勒22b行星表面h高处的重力加速度大小也为g，地球及开普勒22b行星均可看作均质球体，忽略地球及开普勒22b行星的自转，开普勒22b行星表面的重力加速度大小为(　　) A.g B．g C.g D.g 答案　D 解析　设开普勒22b行星质量为M′，其表面一物体质量为m′，开普勒22b行星表面重力加速度为g′，有＝m′g，＝m′g′ 解得g′＝g，故选D。 7.(2023·辽宁卷·7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　) A．k3()2 B．k3()2 C.()2 D.()2 答案　D 解析　设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G＝mr，可得G＝m月r1，G＝m地r2，其中＝＝，ρ＝，联立可得＝()2，故选D。 8．已知中子星自转的周期为T，两极处的重力加速度是赤道处的a倍，引力常量为G，由此可计算出该星的(　　) A．密度 B．质量 C．半径 D．第一宇宙速度 答案　A 解析　设该星的密度为ρ，半径为R，根据题意可得，G＝a(G－mR)，解得ρ＝，由已知条件无法求出该星的质量、半径以及第一宇宙速度，故选A。 9.(2023·广东茂名市一模)2020年12月3日23时10分，携带样品的“嫦娥五号”上升器成功进入到预定高度的环月轨道，这是我国首次实现地外天体起飞。假设上升器绕月球做圆周运动的半径为r1、周期为T1；月球绕地球做圆周运动的半径为r2、周期为T2，引力常量为G。根据以上条件能得出(　　) A．月球的平均密度 B．地球对月球的引力 C．“嫦娥五号”上升器的质量 D．关系式＝ 答案　B 解析　由题知，上升器绕月球做圆周运动，则有G＝mr1，解得M月＝ 则月球的密度为ρ＝ 由于月球半径未知，所以无法求出月球密度，故A错误； 根据月球绕地球做圆周运动，地球对月球的引力提供向心力，则有F＝M月r2，由前面分析可知月球的质量，故可以求出地球对月球的引力，故B正确； 由题知，上升器绕月球做圆周运动，则有G＝mr1，可知上升器的质量m被约掉，无法求解，故C错误； 因月球和上升器环绕的中心天体不同，故＝不成立，故D错误。 10.(2023·广东韶关市期中)某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，航天员发现有T时间会经历“日全食”过程，如图所示，已知地球的半径为R，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光，则下列说法正确的是(　　) A．宇宙飞船离地球表面的高度为2R B．一天内飞船经历“日全食”的次数为 C．航天员观察地球的最大张角为120° D．地球的平均密度为ρ＝ 答案　D 解析　由几何关系，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过α角，所需的时间为t＝T 由于航天员发现有T时间会经历“日全食”过程，则＝，所以α＝π 设宇宙飞船离地球表面的高度为h，由几何关系可得＝sin ＝sin ＝，可得h＝R，故A错误； 地球自转一圈时间为T0，飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，故一天内飞船经历“日全食”的次数为，故B错误； 设航天员观察地球的最大张角为θ，则由几何关系可知sin ＝，可得θ＝60°，故C错误； 万有引力提供向心力，所以＝mr 解得M＝，其中r＝R＋h＝2R 又ρ＝＝，联立可得ρ＝，故D正确。 11．(2023·广东东莞市期末)2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，距火星表面的高度为h，周期为T。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星自转的影响。求： (1)“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v； (2)火星的质量M； (3)火星表面的重力加速度的大小g。 答案　(1)　(2) (3) 解析　(1)根据v＝可得v＝ (2)根据万有引力提供向心力可知 ＝m(R＋h) 解得M＝ (3)根据＝mg 解得g＝＝ 12．(2024·广东茂名市检测)如图所示，“天问一号”在环火星的椭圆轨道上运行，其中“天问一号”在近火点265 km附近探测2小时、在远火点11 945.6 km附近探测1小时、再在途中进行288分钟的探测。已知我国空间站在距离地球表面400 km的轨道上运行，绕地球的运行周期约为90分钟，地球直径为1.28×104 km，火星直径为6.779×103 km。设地球的质量为M，根据以上数据可以求出火星的质量最接近(　　) A．100M B．0.1M C．0.001M D．1 000M 答案　B 解析　“天问一号”的运行周期T＝468 min 轨道的半长轴a＝ km＝9 494.8 km 空间站的运行周期T0＝90 min 轨道半径r＝(6 400＋400) km＝6 800 km “天问一号”绕火星运动，由万有引力提供向心力G＝mr可得＝ 解得火星的质量为M火＝ 空间站绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力G＝mr可得＝，解得地球的质量为M＝，综上可得M火＝()3×()2M≈0.1M，故B正确。 谢谢！ 学科网（北京）股份有限公司 $