第八章 第2课时 实验九：用单摆测量重力加速度（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 浙江专用）

第2课时　实验九：用单摆测量重力加速度 目标要求　1.知道利用单摆测量重力加速度的原理。2.掌握利用单摆测量重力加速度的方法。 考点一　实验技能储备 1．实验原理 当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。 2．实验器材 铁架台、单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。 3．实验过程 (1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆。 (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。 (3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r。 (4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(小于5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T。 (5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。 (6)改变摆长，重做几次实验。 4．数据处理 (1)公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度。 (2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。 5．误差分析 系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。 偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 6．注意事项 (1)一般选用一米左右的细线。 (2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。 (3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。 (4)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。 (5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。 例1　(2023·新课标卷·23)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________ mm，则摆球的直径为________ mm。 (2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。 (3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________ s，该小组测得的重力加速度大小为________ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870) 答案　(1)0.006(0.005、0.007也可)　20.035(20.034、20.036均可)　20.029(20.027、20.028、20.030、20.031均可)　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83 解析　(1)题图(a)读数为0＋0.6×0.01 mm＝0.006 mm(0.005 mm、0.007 mm也可)； 题图(b)读数为20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm(20.034 mm、20.036 mm均可)； 则摆球的直径为20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm(20.027 mm、20.028 mm、20.030 mm、20.031 mm均可) (2)若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。 (3)摆长＝摆线长度＋半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm； 小球从第1次到61次经过最低点经过了30个周期， 则T＝ s＝1.82 s 根据单摆周期公式T＝2π，可得g＝≈9.83 m/s2。 例2　小明同学在学完单摆知识后，在家中利用手机等现有器材自主开展探究本地重力加速度的实验，实验装置图如图所示： (1)下列最适合用作实验的物体是________； A．乒乓球 B．小塑料球 C．实心小铁球 (2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在固定装置的横杆上，则悬挂方式应采用________； (3)手机2用于计时(计时格式为分：秒)，手机1用于录像。经过正确的实验操作，完成录像，然后从视频中截取小球摆线第1次与竖线重合和第21次与竖线重合时的图片，则该单摆的周期为T＝________ s；(计算结果取一位有效数字) (4)因为家中无游标卡尺，无法测量小球的直径d，实验中将摆线长作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出T2－l图像，如图所示： ①实验得到的T2－l图像是________(选填“a”“b”或“c”)； ②实验测得当地重力加速度g＝________ m/s2(π＝3.14，计算结果取三位有效数字)。 答案　(1)C　(2)C　(3)2　(4)①a　②9.87 解析　(1)为了减小实验中空气阻力的影响，应该选密度大、体积小的实心小铁球做实验，故选C。 (2)如果采用A、B两种方式固定单摆，在单摆摆动过程中，单摆的悬点不固定，摆长会发生改变；图C所示方式单摆的悬点固定，单摆摆动过程中摆长不变，故选C。 (3)单摆的周期为T＝＝ s≈2 s (4)①由T＝2π得T2＝l＋，则图像为a。 ②由k＝＝，得g＝9.86 m/s2。 考点二　探索创新实验 例3　(2023·浙江温州市模拟)在探究单摆运动的实验中： (1)如图所示，图(a)是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图(b)是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像。根据图(b)的信息可得，从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为________ s，摆长为__________ m(取重力加速度g＝10 m/s2，π2＝10)； (2)某同学的操作步骤如下，其中正确的是________________________________________； A．取一根弹性细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上 B．用米尺量得细线长度l0，则测得摆长为l0 C．在摆线偏离竖直方向5°位置静止释放小球 D．让小球在水平面内做圆周运动，测得周期，再根据公式计算重力加速度 (3)某小组利用单摆测量当地的重力加速度。改变摆线长度l0，测得了多组数据，在进行数据处理时，甲同学把摆线长l0作为摆长，直接利用公式求出各组重力加速度值再求出平均值；乙同学作出T2－l0图像后求出斜率，然后算出重力加速度。两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲______，乙______(选填“偏大”“偏小”或“无影响”)。 答案　 (1) 0.5　0.64　(2) C　(3) 偏小　无影响 解析　(1)因为摆球在最低点时满足 F－mg＝m， 力传感器显示的力最大，从F－t图像中可以看出从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为t＝0.5 s 由F－t图像可知单摆的周期为T＝1.6 s，又因为T＝2π，可得L＝＝0.64 m (2)取一根细线(伸长量不计)，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，A错误；摆长应为l0＋，B错误；在摆线偏离竖直方向5°位置静止释放小球，C正确；若让小球在水平面内做圆周运动，则为圆锥摆运动，测得的摆动周期不是单摆运动周期，D错误。 (3)根据单摆周期公式T＝2π，解得重力加速度g＝，而摆长应该是摆线长度与摆球半径之和，甲同学把摆线长l0作为摆长，摆长小于实际摆长，故重力加速度的测量值小于真实值；根据T＝2π，得T2＝，则T2－l0图像的斜率k＝，重力加速度g＝，当摆长为实际摆长时，则T2＝＝l0＋，对于T2－l图像来说，两种情况下图像的斜率不变，所以测得的g值不变。 课时精练 1．(2020·浙江7月选考·17(2))某同学用单摆测量重力加速度。 (1)为了减少测量误差，下列做法正确的是________(多选)； A．摆的振幅越大越好 B．摆球质量大些、体积小些 C．摆线尽量细些、长些、伸缩性小些 D．计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处 (2)改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图像如图所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是________。 A．测周期时多数了一个周期 B．测周期时少数了一个周期 C．测摆长时直接将摆线的长度作为摆长 D．测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长 答案　(1)BC　(2)C 解析　(1)摆的振幅过大，摆角大于5°，单摆周期公式不再成立，故A错误；摆球质量大、体积小(用密度大的实心金属球)，摆线细长、伸缩性小可使阻力及摆长变化等影响更小，是单摆模型的要求，故B、C正确；摆球在最高点附近速度小，计时误差大，故计时起、止点应选在平衡位置，故D错误。 (2)测周期时，无论是多数一个周期还是少数一个周期，T2－l图线都是过原点的直线，只是图线的斜率变化，即测得的重力加速度变化，故A、B错误；T2－l的图像的纵轴截距大于0，可知测量的摆长比实际摆长小了一些，故可判断测摆长时未加摆球的半径，直接将摆线的长度作为摆长，故C正确，D错误。 2．在“用单摆测定重力加速度”的实验中： (1)由公式g＝求得的g值偏小，可能是由于__________。 A．测量摆长时，只测量了摆线长度 B．悬点固定不牢，摆动中摆线被拉长了 C．测量周期时，将N次全振动误记为N＋1次全振动 D．选择了质量大、体积小的摆球 (2)下列摆动图像真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程， 图中横坐标原点表示计时开始，纵坐标x表示距离起点的长度，A、B、C、D均为30次全振动图像，已知sin 5°＝0.087, sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是____________(填字母代号)。 答案　(1)AB　(2)A 解析　(1)根据公式g＝可知若测量摆长时，只测量了摆线长度，测得摆长比实际小，则测量的g值偏小；摆动中摆线被拉长了，导致实际摆线比测量摆线长，即测量摆线短，根据公式g＝可知，测量g值偏小，故A、B正确；测量周期时，将N次全振动误记为N＋1次全振动，则周期T＝偏小，所以测量g值偏大，故C错误；实验中为了减小阻力带来的误差，选择质量大、体积小的摆球，所以选择了质量大、体积小的摆球，测量g值不会偏小，故D错误。 (2)当摆角小于5°时，我们认为小球做单摆运动，摆长约为1 m的单摆，可以计算得出振幅为A＝1 m×sin 5°≈8 cm，而在测量周期时，为了减小误差，从平衡位置开始计时，故A正确。 3．某实验小组的同学们利用单摆来测量某地的重力加速度，按如图甲安装好实验仪器。 (1)该小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________； A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时 B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏小 D．尽量选择质量大、体积小的摆球 (2)实验过程中测量小球直径时游标卡尺读数如图乙所示，其读数为__________ mm；小组同学通过改变摆线的长度，获得了多组摆长L和对应的单摆周期T的数据，作出T2－L图像如图丙所示，可测得重力加速度g＝________ m/s2(π＝3.14，结果保留三位有效数字)； (3)在实验中，有三位同学作出的T2－L图线分别如图丁中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值，则相对于图线a和c，下列分析正确的是________。 A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值 D．图线a对应的g值大于图线b对应的g值 答案　(1)D　(2)22.6　9.86　(3)B 解析　(1)单摆的偏角不能太大，且实验应在摆球通过平衡位置时开始计时，故A错误；测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为T＝2×＝，故B错误；根据单摆周期公式T＝2π可得g＝，摆长L为悬线的长度加摆球的半径，用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，L偏大，则代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大，故C错误；单摆实验中应尽量选择质量大、体积小的摆球，故D正确。 (2)实验过程中测量小球直径读数为D＝22 mm＋6×0.1 mm＝22.6 mm 根据单摆周期公式T＝2π 解得T2＝·L 由图像可得k＝＝4 s2/m，可测得重力加速度为g≈9.86 m/s2 (3)若测量摆长时没有加摆球的半径，则摆长变成摆线的长度，则有T＝2π 解得T2＝·L＋ 由此可知，出现图线a的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L，但图线斜率不变，即图线a和图线b的g值相同，故A、D错误； 实验中如果误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，根据单摆周期公式T＝2π， 解得g＝，可知会导致重力加速度测量值偏大，图线斜率偏小，故B正确；根据图线斜率k＝，由于图线c的斜率小于图线b的斜率，可知图线c对应的g值大于图线b对应的g值，故C错误。 4．(2023·重庆卷·11)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。 (1)用游标卡尺测量摆球直径d。当测量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为________ mm。 (2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为________ m/s2(保留3位有效数字)。 (3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图丙所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是______________________________，原因是_______________________________________。 答案　(1)19.20　(2)9.86　(3)随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小　随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的Δg越小 解析　(1)摆球直径d＝19 mm＋0.02×10 mm＝19.20 mm； (2)单摆的摆长为L＝990.1 mm＋×19.20 mm＝999.7 mm，根据T＝2π，可得g＝，代入数据得g＝ m/s2≈9.86 m/s2； (3)由题图丙可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的Δg越小。 5．(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图甲、乙所示。测量方法正确的是____(选填“甲”或“乙”)。 (2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示。光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图像如图丁所示，则该单摆的振动周期为________。若保持悬点到摆球顶点的绳长不变，改用直径是原摆球直径2倍的另一摆球进行实验，则该单摆的周期将________(选填“变大”“不变”或“变小”)，图丁中的Δt将________(选填“变大”“不变”或“变小”)。 答案　(1)乙　(2)2t0　变大　变大 解析　(1)游标卡尺应该用两外测量爪对齐的地方测量，正确的是题图乙。 (2)一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为T＝t1＋2t0－t1＝2t0；摆球的直径变大后，摆长变长，根据T＝2π可知，周期变大；每次经过最低点时小球的挡光的时间变长，即Δt变大。 6．某同学用图(a)所示的沙漏摆研究单摆的运动规律。实验中，木板沿图示O′O方向移动，根据漏在板上的沙描出了如图(b)所示的图形，然后分别沿中心线OO′和沙漏摆摆动方向建立直角坐标系，并测得图(b)中Oa＝ab＝bc＝cd＝s，则： (1)该同学认为此图像经过适当处理可看成单摆的振动图像，则其横坐标表示的物理量应为________； (2)若该同学利用计时器测得沙漏摆的周期为T，则木板移动的速度表达式为v＝________； (3)该同学利用该装置测定当地的重力加速度，他认为只有少量沙子漏出时，沙漏重心的变化可忽略不计，但是重心位置不确定，于是测量了摆线的长度L，如果此时他直接利用单摆周期公式计算重力加速度，则得到的重力加速度值比真实值________(选填“偏大”“偏小”或“相等”)，若要避免由于摆长无法准确测量产生的误差，则可通过改变沙漏摆的摆线长L，测出对应的周期T，并绘制T2－L图像，根据图像的斜率可求得重力加速度，此时____________________表示沙漏摆的重心到摆线下端的距离。 答案　(1)时间　(2)　(3)偏小　图像与横轴L的交点到坐标原点的距离 解析　(1)该同学认为此图像经过适当处理可看成单摆的振动图像，则其横坐标表示的物理量应为时间； (2)若该同学利用计时器测得沙漏摆的周期为T，则木板移动的速度表达式为v＝； (3)根据T＝2π，可得g＝，则只用摆线长作为单摆的摆长，则L偏小，测得的重力加速度值偏小；若沙漏摆的重心到摆线下端的距离为h，则摆长为L＋h，根据T＝2π，可得T2＝L＋，则可绘制T2－L图像，根据图像的斜率可求得重力加速度，当T＝0时L＝－h，则图像与横轴L的交点到坐标原点的距离表示沙漏摆的重心到摆线下端的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $