第七章 第5课时 实验八：验证动量守恒定律（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 浙江专用）

第5课时　实验八：验证动量守恒定律 目标要求　1.理解动量守恒定律成立的条件，会利用不同方案验证动量守恒定律。2.知道在不同实验方案中要测量的物理量，会进行数据处理及误差分析。 考点一　实验技能储备 一、实验原理 在一维碰撞中，测出相碰的两物体的质量m1、m2和碰撞前、后物体的速度v1、v2、v1′、v2′，算出碰撞前的动量p＝m1v1＋m2v2及碰撞后的动量p′＝m1v1′＋m2v2′，比较碰撞前、后动量是否相等。 二、实验方案及实验过程 方案一：研究气垫导轨上滑块碰撞时的动量守恒 1．实验器材 气垫导轨、数字计时器、天平、滑块(两个)、弹簧、细绳、弹性碰撞架、胶布、撞针、橡皮泥等。 2．实验过程 (1)测质量：用天平测出滑块的质量。 (2)安装：正确安装好气垫导轨，如图所示。 (3)实验：接通电源，利用配套的光电计时装置测出两滑块各种情况下碰撞前、后的速度。 (4)改变条件，重复实验： ①改变滑块的质量； ②改变滑块的初速度大小和方向。 (5)验证：一维碰撞中的动量守恒。 3．数据处理 (1)滑块速度的测量：v＝，式中Δx为滑块上挡光片的宽度(仪器说明书上给出，也可直接测量)，Δt为数字计时器显示的滑块(挡光片)经过光电门的时间。 (2)验证的表达式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。 方案二：研究斜槽末端小球碰撞时的动量守恒 1．实验器材 斜槽、小球(两个)、天平、复写纸、白纸、圆规、铅垂线等。 2．实验过程 (1)测质量：用天平测出两小球的质量，并选定质量大的小球为入射小球。 (2)安装：按照如图甲所示安装实验装置。调整固定斜槽使斜槽末端水平。 (3)铺纸：白纸在下，复写纸在上，且在适当位置铺放好。记下铅垂线所指的位置O。 (4)放球找点：不放被撞小球，每次让入射小球从斜槽上某固定高度处自由滚下，重复10次。用圆规画尽量小的圆把所有的小球落点圈在里面。圆心P就是小球落点的平均位置。 (5)碰撞找点：把被撞小球放在斜槽末端，每次让入射小球从斜槽同一高度[同步骤(4)中的高度]自由滚下，使它们发生碰撞，重复实验10次。用步骤(4)的方法，标出碰后入射小球落点的平均位置M和被撞小球落点的平均位置N，如图乙所示。 (6)验证：连接ON，测量线段OP、OM、ON的长度。将测量数据填入表中，最后代入m1·OP＝m1·OM＋m2·ON，计算并判断在误差允许的范围内是否成立。 (7)整理：将实验器材放回原处。 3．数据处理 验证的表达式：m1·OP＝m1·OM＋m2·ON。 三、注意事项 1．前提条件：碰撞的两物体应保证“水平”和“正碰”。 2．方案提醒 (1)若利用气垫导轨进行验证，调整气垫导轨时，应确保导轨水平。 (2)若利用平抛运动规律进行验证： ①斜槽末端的切线必须水平； ②入射小球每次都必须从斜槽同一高度由静止释放； ③选质量较大的小球作为入射小球； ④实验过程中实验桌、斜槽、记录的白纸的位置要始终保持不变。 例1　(2023·浙江绍兴市期末)图甲为实验“研究斜槽末端小球碰撞时动量守恒”的情景，将其简化为如图乙所示。实验中先让质量为m1的A球从斜槽轨道上某一固定位置C由静止开始滚下，从轨道末端水平抛出，落到位于水平地面的复写纸上，在复写纸下面的白纸上留下痕迹。重复上述操作多次，得到多个落点痕迹。再把质量为m2的玻璃球B球放在斜槽轨道末端，让A球仍从C位置由静止滚下，与B球碰撞后，分别在白纸上留下各自的落点痕迹，重复操作多次。M、P、N为三个落点的平均位置，O点是轨道末端在白纸上的竖直投影点，A、B球大小相同。 乙 (1)根据题意，本实验中A球应该选________；(选填“玻璃球”或“小铁球”) (2)以下提供的器材中，本实验必须使用的是________； A．刻度尺 B．游标卡尺 C．秒表 D．天平 (3)关于本实验，下列说法中正确的是________； A．斜槽轨道末端必须水平 B．斜槽轨道必须光滑 C．为了验证动量是否守恒，必须测出乙图中的高度h来计算碰撞的初速度 D．同一组实验中，入射小球必须从同一位置由静止释放 (4)本实验中测出A、B两球最终落点距O的平均长度OM、OP、ON，若满足关系式________，则可以认为两小球碰撞前后总动量守恒； (5)若A、B两球最终落点距O的平均长度满足________，则可进一步证明本次实验为弹性碰撞； A．OM＝MN B．OP＝PN C．OP＝MN D．MP＝PN 答案　(1)小铁球　(2)AD　(3)AD　(4)m1OP＝m1OM＋m2ON　(5)C 解析　(1)该实验A球应选择质量较大的小铁球； (2)根据实验原理可知实验无需测量时间，不需要秒表，同时也不需要游标卡尺，需要测量小球落地点的水平距离和质量，所以需要刻度尺和天平，故选A、D。 (3)为保证小球做平抛运动，需使斜槽轨道末端水平，故A正确；斜槽轨道是否光滑对实验无影响，故B错误；根据实验原理，可用落地点的水平距离代表小球的速度，故C错误；同一组实验中，入射小球必须从同一位置由静止释放，以保证碰撞速度相等，故D正确。 (4)若两球相碰前后的总动量守恒，则m1v0＝m1v1＋m2v2，球在空中的运动时间t相等，则OP＝v0t，OM＝v1t，ON＝v2t，代入得m1OP＝m1OM＋m2ON。 (5)若碰撞是弹性碰撞，满足机械能守恒，则有m1v02＝m1v12＋m2v22，可得OP＝MN，故选C。 例2　(2022·全国甲卷·23)利用图示的实验装置对碰撞过程进行研究。让质量为m1的滑块A与质量为m2的静止滑块B在水平气垫导轨上发生碰撞，碰撞时间极短，比较碰撞后A和B的速度大小v1和v2，进而分析碰撞过程是否为弹性碰撞。完成下列填空： (1)调节导轨水平； (2)测得两滑块的质量分别为0.510 kg和0.304 kg。要使碰撞后两滑块运动方向相反，应选取质量为________ kg的滑块作为A； (3)调节B的位置，使得A与B接触时，A的左端到左边挡板的距离s1与B的右端到右边挡板的距离s2相等； (4)使A以一定的初速度沿气垫导轨运动，并与B碰撞，分别用传感器记录A和B从碰撞时刻开始到各自撞到挡板所用的时间t1和t2； (5)将B放回到碰撞前的位置，改变A的初速度大小，重复步骤(4)。多次测量的结果如下表所示； 1 2 3 4 5 t1/s 0.49 0.67 1.01 1.22 1.39 t2/s 0.15 0.21 0.33 0.40 0.46 k＝ 0.31 k2 0.33 0.33 0.33 (6)表中的k2＝________(保留2位有效数字)； (7)的平均值为______(保留2位有效数字)； (8)理论研究表明，对本实验的碰撞过程，是否为弹性碰撞可由判断。若两滑块的碰撞为弹性碰撞，则的理论表达式为__________________(用m1和m2表示)，本实验中其值为______________(保留2位有效数字)，若该值与(7)中结果间的差别在允许范围内，则可认为滑块A与滑块B在导轨上的碰撞为弹性碰撞。 答案　(2)0.304　(6)0.31　(7)0.32　(8)＝　0.34 解析　(2)用质量较小的滑块碰撞质量较大的滑块，碰后运动方向相反，故A选质量为0.304 kg的滑块。 (6)由于两段位移大小相等，根据表中的数据可得k2＝＝＝≈0.31。 (7)的平均值为＝≈0.32。 (8)弹性碰撞时满足动量守恒和机械能守恒，可得m1v0＝－m1v1＋m2v2 m1v02＝m1v12＋m2v22 联立解得＝，代入数据可得≈0.34。 例3　某小组用如图甲所示的装置验证动量守恒定律。 (1)关于橡皮泥在本实验中的作用，下列说法正确的是________。 A．改变小车的质量 B．在两车碰撞时起到缓冲作用，防止撞坏小车 C．若在两个小车的碰撞端分别贴上尼龙搭扣(魔术贴)，可起到相同的作用 (2)关于实验的操作，下列说法正确的是________。 A．实验前应微调木板的倾斜程度，使小车P能静止在木板上 B．接通打点计时器电源后，应将小车P由静止释放 C．与小车P碰撞前，小车Q应静止在木板上的适当位置 D．加砝码以改变小车质量再次实验，必须再次调整木板倾角 (3)打点计时器每隔0.02 s打一次点，实验得到的一条纸带如图乙所示，已将各计数点之间的距离标在图上。则小车P碰撞前的速度为________ m/s。(计算结果保留三位有效数字) (4)测得小车P的总质量为m，小车Q的总质量为m2，图乙中AB、BC、CD、DE四段长度分别为x1、x2、x3、x4，为了验证动量守恒定律，需要验证的表达式是________。(用题中所给物理量符号表示) 答案　 (1)C　(2)C　(3)1.63　(4)m1x2＝(m1＋m2)x4 解析　(1)在碰撞过程中，橡皮泥在本实验中的作用是使碰撞后两车粘连在一起，故选C。 (2)实验前应微调木板的倾斜程度，使小车P能在木板上匀速直线运动，平衡摩擦力，故A错误；接通 打点计时器电源后，小车P匀速运动，故释放时需有一定的初速度，故B错误；与小车P碰撞前，小车Q应静止在木板上，保证碰撞前速度为0，且位置要适当，保证可以测量出小车P的碰前速度，故C正确；加砝码以改变小车质量再次实验，不需要再次调整木板倾角，故D错误。 (3)碰撞前的速度应该选择BC段求平均速度，则v＝＝×10－2 m/s≈1.63 m/s (4)x4为碰撞后二者的运动距离，则根据动量守恒定律可得m1v＝(m1＋m2)v′ v＝，v′＝ 解得m1x2＝(m1＋m2)x4 考点二　探索创新实验 例4　如图为验证动量守恒定律的实验装置，实验中选取两个半径相同、质量不等的小球E、F，按下面步骤进行实验： ①用天平测出两个小球E、F的质量分别为m1和m2； ②安装实验装置，将斜槽AB固定在桌边，使槽的末端切线水平，再将一斜面BC连接在斜槽末端； ③先不放小球F，让小球E从斜槽顶端A处由静止释放，标记小球在斜面上的落点位置P； ④将小球F放在斜槽末端B处，仍让小球E从斜槽顶端A处由静止释放，两球发生碰撞，分别标记小球E、F在斜面上的落点位置； ⑤用毫米刻度尺测出各落点位置到斜槽末端B的距离。图中M、P、N三点是实验过程中记下的小球在斜面上的三个落点位置，从M、P、N到B的距离分别为sM、sP、sN。依据上述实验步骤，请回答下面问题： (1)两小球的质量m1、m2应满足m1________m2(填“>”“＝”或“<”)； (2)小球E与F发生碰撞后，E的落点是图中________点，F的落点是图中________点； (3)用实验中测得的数据来表示，只要满足关系式________________，就能说明两球碰撞前后动量是守恒的； (4)若要判断两小球的碰撞是否为弹性碰撞，用实验中测得的数据来表示，只需验证________与________是否相等即可。 答案　(1)>　(2)M　N (3)m1＝m1＋m2 (4)m1sP　m1sM＋m2sN 解析　(1)为了防止入射小球碰撞后反弹，一定要保证入射小球的质量大于被碰小球的质量，故m1>m2； (2)碰撞前，小球E落在题图中的P点，由于m1>m2，当小球E与F发生碰撞后，E的落点是题图中M点，F的落点是题图中N点； (3)设碰前小球E的水平初速度为v1，当小球E与F发生碰撞后，小球E落到M点，设其水平速度为v1′，F落到N点，设其水平速度为v2′，斜面BC与水平面的倾角为α，由平抛运动规律得sMsin α＝gt2，sMcos α＝v1′t， 联立解得v1′＝， 同理可得v2′＝， v1＝， 因此只要满足m1v1＝m1v1′＋m2v2′， 即m1＝m1＋m2。 (4)如果小球的碰撞为弹性碰撞， 则满足m1v12＝m1v1′2＋m2v2′2 代入以上速度表达式可得m1sP＝m1sM＋m2sN 故验证m1sP和m1sM＋m2sN相等即可。 例5　(2021·江苏卷·11改编)小明利用如图甲所示的实验装置验证动量定理。将遮光条安装在滑块上，用天平测出遮光条和滑块的总质量M＝200.0 g，槽码和挂钩的总质量m＝50.0 g。实验时，将滑块系在绕过定滑轮悬挂有槽码的细线上。滑块由静止释放，数字计时器记录下遮光条通过光电门1和2的遮光时间Δt1和Δt2，以及这两次开始遮光的时间间隔Δt，用游标卡尺测出遮光条宽度，计算出滑块经过两光电门速度的变化量Δv。 甲 乙 (1)游标卡尺测量遮光条宽度如图乙所示，其宽度d＝________ mm； (2)打开气泵，待气流稳定后调节气垫导轨，直至看到导轨上的滑块能在短时间内保持静止，其目的是________； (3)多次改变光电门2的位置进行测量，得到Δt和Δv的数据如下表。 请根据表中数据，在方格纸上作出Δv－Δt图线。 Δt/s 0.721 0.790 0.854 0.913 0.968 Δv/(m·s－1) 1.38 1.52 1.64 1.75 1.86 (4)查得当地的重力加速度g＝9.80 m/s2，根据动量定理，Δv－Δt图线斜率的理论值为__________ m/s2。 答案　(1)10.20　(2)将气垫导轨调至水平　(3)见解析图　(4)1.96 解析　(1)游标卡尺的读数为 10 mm＋4×0.05 mm＝10.20 mm； (2)滑块保持稳定，说明气垫导轨水平； (3)根据表格中数据描点并用直线连接 (4)根据动量定理有mgΔt＝(M＋m)Δv， 则有Δv＝Δt， 代入数据解得斜率k＝＝1.96 m/s2。 课时精练 1．(2022·浙江1月选考·17(2))“探究碰撞中的不变量”的实验装置如图所示，阻力很小的滑轨上有两辆小车A、B，给小车A一定速度去碰撞静止的小车B，小车A、B碰撞前后的速度大小可由速度传感器测得。 (1)实验应进行的操作有________(单选)。 A．测量滑轨的长度 B．测量小车的长度和高度 C．碰撞前将滑轨调成水平 (2)下表是某次实验时测得的数据： A的质量/kg B的质量/kg 碰撞前A的速度大小/(m·s－1) 碰撞后A的速度大小/(m·s－1) 碰撞后B的速度大小/(m·s－1) 0.200 0.300 1.010 0.200 0.800 由表中数据可知，碰撞后小车A、B所构成系统的总动量大小是________ kg·m/s。(结果保留3位有效数字) 答案　(1)C　(2)0.200 解析　(1)碰撞前将滑轨调成水平，保证碰撞前后A、B做匀速直线运动即可，没有必要测量滑轨的长度和小车的长度、高度。故选C。 (2)由表中数据可知小车A的质量小于B的质量，则碰后小车A反向运动，设碰前小车A的运动方向为正方向，则可知碰后系统的总动量大小为p′＝mBvB－mAvA′，解得p′＝0.200 kg·m/s。 2．用如图甲所示的装置根据平抛运动规律验证两小球碰撞中的动量守恒。使用频闪相机对小球碰撞前后的运动情况进行拍摄。图中背景是放在竖直平面内带方格的纸板，纸板平面与小球运动轨迹所在的平面平行，每个小方格的边长为a＝5 cm，取g＝10 m/s2，实验核心步骤如下： (1)让质量为m1的小球从挡板处由静止释放，从斜槽末端水平抛出后频闪照片如图乙中的A所示。 (2)把质量为m2的小球静置于轨道末端，让质量为m1的小球从挡板处由静止释放，两球在斜槽末端碰撞。碰撞后两小球从斜槽末端水平抛出。抛出后的频闪照片分别如图乙中的B、C所示。 (3)由图乙结合已知数据可计算出频闪相机闪光的周期T＝__________ s(结果保留2位有效数字)。 (4)由图乙结合已知数据可计算出碰撞后质量为m2的小球速度v2＝__________ m/s(结果保留2位有效数字)。 (5)若碰撞过程中动量守恒，则m1∶m2＝__________。 答案　(3)0.10　(4)3.0　(5)3∶1 解析　(3)小球在空中做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，竖直方向上有Δy＝y2－y1＝2a＝gT2，解得频闪相机闪光的周期为T＝＝ s＝0.10 s； (4)小球在水平方向上做匀速直线运动，由题图乙可知碰撞后质量为m2的小球水平速度为v2＝＝ m/s＝3.0 m/s； (5)碰撞前质量为m1的小球水平速度为v1＝＝ m/s＝2.0 m/s，碰撞后质量为m1的小球水平速度为v1′＝＝ m/s＝1.0 m/s，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律可得m1v1＝m1v1′＋m2v2，代入数据解得＝＝＝。 3．(2023·辽宁卷·11)某同学为了验证对心碰撞过程中的动量守恒定律，设计了如下实验：用纸板搭建如图所示的滑道，使硬币可以平滑地从斜面滑到水平面上，其中OA为水平段。选择相同材质的一元硬币和一角硬币进行实验。 测量硬币的质量，得到一元和一角硬币的质量分别为m1和m2(m1>m2)。将硬币甲放置在斜面某一位置，标记此位置为B。由静止释放甲，当甲停在水平面上某处时，测量甲从O点到停止处的滑行距离OP。将硬币乙放置在O处，左侧与O点重合，将甲放置于B点由静止释放。当两枚硬币发生碰撞后，分别测量甲乙从O点到停止处的滑行距离OM和ON。保持释放位置不变，重复实验若干次，得到OP、OM、ON的平均值分别为s0、s1、s2。 (1)在本实验中，甲选用的是________(填“一元”或“一角”)硬币； (2)碰撞前，甲到O点时速度的大小可表示为________(设硬币与纸板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g)； (3)若甲、乙碰撞过程中动量守恒，则＝________(用m1和m2表示)，然后通过测得的具体数据验证硬币对心碰撞过程中动量是否守恒； (4)由于存在某种系统或偶然误差，计算得到碰撞前后甲动量变化量大小与乙动量变化量大小的比值不是1，产生这种误差可能的原因_________________________________________。 答案　(1)一元　(2)　(3)　(4)见解析 解析　(1)根据题意可知，甲与乙碰撞后没有反弹，可知甲的质量大于乙的质量，甲选用的是一元硬币； (2)甲从O点到P点，根据动能定理－μm1gs0＝0－m1v02，解得碰撞前，甲到O点时速度的大小v0＝ (3)同理可得，碰撞后甲的速度和乙的速度分别为v1＝，v2＝ 若动量守恒，则满足m1v0＝m1v1＋m2v2 整理可得＝ (4)由于存在某种系统或偶然误差，计算得到碰撞前后甲动量变化量大小与乙动量变化量大小的比值不是1，这种误差可能的原因有： ①测量误差，因为无论是再精良的仪器总是会有误差的，不可能做到绝对准确； ②碰撞过程中，我们认为内力远大于外力，动量守恒，实际上碰撞过程中，两个硬币组成的系统合外力不为零。 4．某同学利用如图所示的装置进行“验证动量守恒定律”的实验，操作步骤如下： ①在水平桌面上的适当位置固定好弹簧发射器，使其出口处切线与水平桌面相平； ②在一块长平木板表面先后钉上白纸和复写纸，将该木板竖直并贴紧桌面右侧边缘。将小球a向左压缩弹簧并使其由静止释放，a球碰到木板，在白纸上留下压痕P； ③将木板向右水平平移适当距离，再将小球a向左压缩弹簧到某一固定位置并由静止释放，撞到木板上，在白纸上留下压痕P2； ④将半径相同的小球b放在桌面的右边缘，仍让小球a从步骤③中的释放点由静止释放，与b球相碰后，两球均撞在木板上，在白纸上留下压痕P1、P3。 (1)下列说法正确的是________。 A．小球a的质量一定要大于小球b的质量 B．弹簧发射器的内接触面及桌面一定要光滑 C．步骤②③中入射小球a的释放点位置一定相同 D．把小球轻放在桌面右边缘，观察小球是否滚动来检测桌面右边缘末端是否水平 (2)本实验必须测量的物理量有________。 A．小球的半径r B．小球a、b的质量m1、m2 C．弹簧的压缩量x1，木板距离桌子右边缘的距离x2 D．小球在木板上的压痕P1、P2、P3分别与P之间的竖直距离h1、h2、h3 (3)用(2)中所测的物理量来验证两球碰撞过程中动量是否守恒，当满足关系式________时，则证明a、b两球碰撞过程中动量守恒。 答案　(1)AD　(2)BD　(3) ＝＋ 解析　(1)小球a的质量一定要大于小球b的质量，以防止入射球碰后反弹，选项A正确；弹簧发射器的内接触面及桌面不一定要光滑，只要a球到达桌边时速度相同即可，选项B错误；步骤②③中入射小球a的释放点位置不一定相同，但是步骤③④中入射小球a的释放点位置一定要相同，选项C错误；把小球轻放在桌面右边缘，观察小球是否滚动来检测桌面右边缘末端是否水平，选项D正确。 (2)小球离开桌面右边缘后做平抛运动，设其水平位移为L，则小球做平抛运动的时间t＝ 小球的竖直位移h＝gt2 联立解得v0＝L 碰撞前入射球a的水平速度v1＝L 碰撞后入射球a的水平速度v2＝L 碰撞后被碰球b的水平速度v3＝L 如果碰撞过程系统动量守恒，则m1v1＝m1v2＋m2v3 即m1L＝m1L＋m2L， 整理得＝＋ 则要测量的物理量是：小球a、b的质量m1、m2和小球在木板上的压痕P1、P2、P3分别与P之间的竖直距离h1、h2、h3，故选B、D。 (3)由以上分析可知当满足关系式＝＋时，则证明a、b两球碰撞过程中动量守恒。 5．(2020·全国卷Ⅰ·23)某同学用如图所示的实验装置验证动量定理，所用器材包括：气垫导轨、滑块(上方安装有宽度为d的遮光片)、两个与计算机相连接的光电门、砝码盘和砝码等。 实验步骤如下： (1)开动气泵，调节气垫导轨，轻推滑块，当滑块上的遮光片经过两个光电门的遮光时间________时，可认为气垫导轨水平； (2)用天平测砝码与砝码盘的总质量m1、滑块(含遮光片)的质量m2； (3)用细线跨过轻质定滑轮将滑块与砝码盘连接，并让细线水平拉动滑块； (4)令滑块在砝码和砝码盘的拉动下从左边开始运动，和计算机连接的光电门能测量出遮光片经过A、B两处的光电门的遮光时间Δt1、Δt2及遮光片从A运动到B所用的时间t12； (5)在遮光片随滑块从A运动到B的过程中，如果将砝码和砝码盘所受重力视为滑块所受拉力，拉力冲量的大小I＝________，滑块动量改变量的大小Δp＝________；(用题中给出的物理量及重力加速度g表示) (6)某次测量得到的一组数据为：d＝1.000 cm，m1＝1.50×10－2 kg，m2＝0.400 kg，Δt1＝3.900×10－2 s，Δt2＝1.270×10－2 s，t12＝1.50 s，取g＝9.80 m/s2。计算可得I＝____ N·s，Δp＝______ kg·m·s－1；(结果均保留3位有效数字) (7)定义δ＝×100%，本次实验δ＝________ %(保留1位有效数字)。 答案　(1)大约相等　(5)m1gt12　 m2(－)　(6)0.221　 0.212　(7)4 解析　(1)若气垫导轨调整水平，则滑块在气垫导轨上自由滑动时，做匀速运动。则遮光片通过两个光电门的时间大约相等时可认为气垫导轨水平。 (5)拉力的冲量I＝m1gt12 滑块经过A、B两光电门时的速度分别为：v1＝，v2＝，故滑块动量的改变量Δp＝m2v2－m2v1＝m2(－)。 (6)I＝m1gt12＝1.50×10－2×9.80×1.50 N·s≈0.221 N·s， Δp＝m2(－)＝0.400×(－) kg·m/s≈0.212 kg·m/s。 (7)δ＝||×100%＝||×100%≈4%。 学科网（北京）股份有限公司 $