第四章 第5课时 专题强化：圆周运动的临界问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 浙江专用）

第5课时　专题强化：圆周运动的临界问题 目标要求　1.掌握竖直面内和斜面上的圆周运动的动力学问题的分析方法。2.学会分析水平面内、竖直面内和斜面上圆周运动的临界问题。 考点一　水平面内圆周运动的临界问题 1．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2．与弹力有关的临界极值问题 (1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 例1　一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是(　　) A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2 答案　D 解析　汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；汽车转弯的速度为20 m/s时，根据Fn＝m，得所需的向心力为1.0×104 N，没有超过最大静摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为am＝＝7.0 m/s2，D正确。 例2　(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(　　) A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg 答案　AC 解析　小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a有Ffa＝mωa2l，当Ffa＝kmg时，kmg＝mωa2l，ωa＝；对木块b有Ffb＝mωb2·2l，当Ffb＝kmg时，kmg＝mωb2·2l，ωb＝，则ω＝是b开始滑动的临界角速度，即b比a先开始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa<Ffb，选项B错误；ω＝<ωa＝，a没有滑动，则Ffa′＝mω2l＝kmg，选项D错误。 拓展　如图所示，若在a、b之间拴一根轻绳，当轻绳恰好出现弹力时，角速度多大？当a、b恰好开始滑动时，角速度多大，此时剪断轻绳，分析a、b各做什么运动？ 答案　没有轻绳时，b先滑动，b开始滑动时，a、b距离增大，此时若有轻绳，绳发生形变，开始有弹力，即ω＝时，轻绳开始有弹力；当a、b恰好开始滑动时，对b有kmg＋FT＝mω2·2l，对a有kmg－FT＝mω2·l，解得ω＝，此时剪断轻绳，b做离心运动，a仍和圆盘保持相对静止。 例3　(2024·浙江金华市模拟)如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，绳a与水平方向成θ角，绳b沿水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A．a绳的张力不可能为0 B．a绳的张力随角速度的增大而增大 C．当角速度ω>时，b绳将出现弹力 D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化 答案　A 解析　由于小球在水平面内做匀速圆周运动，合力沿水平方向指向圆心，而b绳沿水平方向，故小球重力与a绳的拉力在竖直方向上的分力等大反向，A正确；当小球角速度较小时，b绳处于松弛状态，分析小球受力，设a绳与竖直方向的夹角为α，由力的平衡条件及牛顿第二定律得FTacos α＝mg，FTasin α＝mlω2，解得FTa＝，ω＝，因此a绳与竖直方向的夹角α随角速度的增大而增大，当ω>时，b绳上将出现张力，之后，角速度再增大时，a绳与竖直方向的夹角不再改变，则a上的张力FTa＝也不再改变，B、C错误；b绳中无张力时有tan θ＝，即ω＝时，剪断b绳对小球运动状态无影响，a绳弹力不变，D错误。 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各物理量的变化，找出临界状态。 考点二　竖直面内圆周运动的临界问题 1．竖直面内圆周运动的特点 (1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。 (2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。 (3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周最高点时的速度。 (4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形。 2．一般的曲线运动的处理方法：可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧。研究质点在某一小段的运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。 思考　在变速圆周运动中，an＝＝ω2r和Fn＝m＝mω2r等公式还能用吗？ 答案　将物体所受的力正交分解，指向圆心的分力产生向心加速度，仍可用公式an＝＝ω2r和Fn＝m＝mω2r，指向圆心的分力只改变速度的方向，沿切线方向的分力改变速度的大小。 3．竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受力特征 除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上 最高点受力示意图 动力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ ①恰好过最高点，v＝0，F弹＝mg ②恰好无弹力，F弹＝0，v＝ 过最高点的条件 在最高点的速度v≥ v≥0 例4　如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，且可视为质点，g取10 m/s2。 (1)求小球刚好通过最高点时的速度大小v1； (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，求绳的拉力大小FT。 答案　(1)2 m/s　(2)15 N 解析　(1)小球刚好通过最高点时，小球的重力恰好提供向心力，有mg＝m 解得v1＝＝2 m/s。 (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力和小球的重力的合力提供向心力，有 FT＋mg＝m 解得FT＝15 N。 拓展　若轻绳能承受的最大张力为FT′＝45 N，求小球速度的最大值。 答案　4 m/s 解析　分析可知小球通过最低点时绳的张力最大，在最低点由牛顿第二定律得 FT′－mg＝ 将FT′＝45 N代入解得 v3＝4 m/s 即小球的速度的最大值是4 m/s。 例5　如图所示，竖直面内的圆形管道半径R远大于横截面的半径，有一小球直径比管横截面直径略小，在管道内做圆周运动。小球过最高点时，小球对管壁的弹力大小用F表示、速度大小用v表示，当小球以不同速度经过管道最高点时，其F－v2图像如图所示。重力加速度为g，则(　　) A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．v2＝b时，小球对管壁的弹力方向竖直向下 D．v2＝3b时，小球受到的弹力大小是重力大小的5倍 答案　D 解析　在最高点，若v＝0，则F＝mg＝c 若F＝0，重力提供向心力，则mg＝m＝m 解得g＝，m＝，故A、B错误； 若F＝0，有v2＝a，则v2＝b时，小球所受的弹力方向向下，所以小球对管壁的弹力方向竖直向上，故C错误； 当v2＝b时，根据mg＋F＝m，F＝c＝mg，解得b＝2gR 当v2＝3b时，根据mg＋F′＝m，解得F′＝5mg，故D正确。 例6　汽车通过拱形桥面和凹形桥面是生活中常见的两种现象。如图所示，若在可视为质点的汽车中固定一力传感器，力传感器下端挂有一小球。当汽车通过拱形桥面的最高点和通过凹形桥面最低点时速度大小均为v。已知小球的质量为m，桥面的圆弧半径均为r，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A．甲图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力 B．乙图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力 C．甲图中力传感器的示数为FT1＝mg－ D．乙图中力传感器的示数为FT2＝mg＋ 答案　A 解析　当汽车通过凹形桥面最低点时，根据曲线运动特点可知，汽车处于超重状态，凹形桥面对汽车的支持力大于汽车所受的重力，当汽车通过拱形桥面的最高点时，汽车处于失重状态，桥面对汽车的支持力小于汽车所受的重力，故A正确，B错误； 对题图甲中的小球受力分析如图a所示，根据牛顿第二定律得FT1－mg＝ 则力传感器的示数FT1＝mg＋，故C错误； 对题图乙中的小球受力分析如图b所示， 根据牛顿第二定律得mg－FT2＝ 则力传感器的示数FT2＝mg－，故D错误。 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 考点三　斜面上圆周运动的临界问题 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等。 物体在转动过程中，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R。 例7　如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面与水平面的夹角为37°，盘面上离转轴距离1.0 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，小物体的质量为1.0 kg，小物体与盘面间的动摩擦因数为0.8(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)。则当ω达到最大值时，小物体运动到最高点时所受摩擦力的大小为(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　) A．5.6 N B．6.0 N C．6.4 N D．8.0 N 答案　A 解析　经分析，当物体运动到最低点时，摩擦力达到最大值，角速度达到最大值，根据牛顿第二定律得μmgcos 37°－mgsin 37°＝mrωm2 在最高点，根据牛顿第二定律得Ff＋mgsin 37°＝mrωm2，联立以上两式并代入数据得Ff＝－5.6 N 负号表示摩擦力的方向沿盘面向上，大小为5.6 N，故选A。 课时精练 1.如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时，汽车对桥顶的压力为车重力的，如果要使汽车在粗糙的桥面经过桥顶时，恰好不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为(　　) A．15 m/s B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s 答案　B 解析　如果要使汽车在粗糙的桥面经过桥顶时，不受摩擦力作用，即汽车只受重力作用，则有mg＝m，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时，汽车对桥顶的压力为车重力的，即支持力为mg，则有mg－mg＝m，联立解得v′＝20 m/s，所以B正确，A、C、D错误。 2.(2020·全国卷Ⅰ·16)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　) A．200 N B．400 N C．600 N D．800 N 答案　B 解析　以该同学与踏板为研究对象，到达最低点时，受力如图所示，设每根绳子中的平均拉力大小为F，由牛顿第二定律知：2F－mg＝，取g＝10 m/s2，代入数据得F＝410 N，故每根绳子平均承受的拉力约为410 N，选项B正确。 3.(2022·全国甲卷·14)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　运动员从a到c根据动能定理有mgh＝mvc2，在c点有FNc－mg＝m，FNc≤ kmg，联立有Rc≥，故选D。 4．如图甲所示为“铁笼飞车”的特技表演，其抽象出来的理想模型为如图乙所示的内壁光滑的圆球，其中a、b、c分别表示做圆周运动时的不同轨道，a轨道与b轨道均水平，c轨道竖直，一个质点在球内绕其光滑内壁做圆周运动时，下列有关说法正确的是(　　) A．沿a轨道可能做变速圆周运动 B．沿c轨道运动的最小速度为0 C．沿a轨道运动的速度比沿b轨道运动的速度大 D．沿a轨道运动的周期比沿b轨道运动的周期大 答案　D 解析　沿a轨道运动，设弹力与竖直方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律得 mgtan θ＝m＝mr，r＝Rsin θ 解得v＝，T＝2π 沿a轨道一定做匀速圆周运动，θ越小，v越小，周期越大，沿a轨道运动的速度比沿b轨道运动的速度小，周期大，A、C错误，D正确； 沿c轨道运动到最高点时，根据牛顿第二定律得mg＝m，解得vmin＝，故在最高点的最小速度为，B错误。 5.(2023·浙江杭州市期末)作用在飞机上的气动力和发动机推力的合力与飞机质量之比称为飞机的过载。则当飞机以g的加速度向上加速时，我们称飞机的过载为2g。现有一位飞行员所能承受的最大过载为9g，已知g取10 m/s2，声速约为340 m/s，当飞机在竖直面内以声速做圆周运动，在经过最低点时对其半径的要求是(　　) A．小于1 445 m B．大于1 445 m C．小于1 284 m D．大于1 284 m 答案　B 解析　飞机在竖直面内以声速做圆周运动在经过最低点时，根据牛顿第二定律可得 F－mg＝m 飞行员所能承受的最大过载为9g，则有<9g 联立解得R>＝ m＝1 445 m，故选B。 6．(2023·浙江嘉兴市统考)如图所示为电影中空间站模拟地球重力的装置。环形实验装置的外侧壁相当于“地板”，让环形实验装置绕O点旋转，能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”，则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为g，装置的外半径为R)(　　) A. B. C．2 D. 答案　A 解析　在空间站模拟地球重力的装置能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”，那么环形实验装置的外侧壁对物体的支持力提供向心力，这个支持力大小应刚好与地球上的重力大小相等，即有FN＝mg＝mω2R，解得ω＝，故A正确，B、C、D错误。 7．(2024·浙江金华市期末)如图所示，轻质细绳一端系着质量M＝1 kg的物体，静止在水平平台上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.5 kg的物体，物体M与圆孔距离为r＝0.5 m，已知物体M和水平平台间的动摩擦因数μ＝0.4，现使此平台绕过小孔的中心轴线匀速转动，取重力加速度大小g＝10 m/s2，两物体均可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若物体M与水平平台之间不发生相对滑动，则其转动角速度可能是(　　) A．0.5 rad/s B．1 rad/s C．3 rad/s D．5 rad/s 答案　C 解析　物体m始终处于静止状态，绳的弹力大小等于mg，当角速度达到最大值时有mg＋μMg＝Mωmax2r，解得ωmax＝3 rad/s，当角速度为最小值时有mg－μMg＝Mωmin2r，解得ωmin＝ rad/s，可知，若物体M与水平平台之间不发生相对滑动，则其转动角速度满足 rad/s≤ω≤3 rad/s，故选C。 8.如图所示，两等长轻绳一端打结，记为O点，并系在小球上。两轻绳的另一端分别系在同一水平杆上的A、B两点，两轻绳与固定的水平杆夹角均为53°。给小球垂直纸面的速度，使小球在垂直纸面的竖直面内做往复运动。某次小球运动到最低点时，轻绳OB从O点断开，小球恰好做匀速圆周运动。已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，则轻绳OB断开前后瞬间，轻绳OA的张力大小之比为(　　) A．1∶1 B．25∶32 C．25∶24 D．3∶4 答案　B 解析　轻绳OB断开前，小球沿以A、B中点为圆心的圆弧做往复运动，设小球经过最低点的速度大小为v，绳长为L，小球质量为m，轻绳的张力大小为F1，由向心力公式有2F1sin 53°－mg＝m，轻绳OB断开后，小球在水平面内做匀速圆周运动，其圆心在A点的正下方，设轻绳的张力大小为F2，有F2cos 53°＝m，F2sin 53°＝mg，联立解得＝，故B正确。 9.越野滑雪集训队在某雪上项目室内训练基地，利用工作起来似巨型“陀螺”的圆盘滑雪机模拟一些特定的训练环境和场景，滑雪机转速和倾角根据需要可调。一运动员的某次训练过程简化为如图模型：圆盘滑雪机绕垂直于盘面的固定转轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离为10 m处的运动员(保持如图滑行姿势，可看成质点)与圆盘始终保持相对静止，运动员质量为60 kg，与盘面间的动摩擦因数为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为15°，g取10 m/s2，已知sin 15°≈0.260，cos 15°≈0.966。则下列说法正确的是(　　) A．运动员随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到两个力的作用 B．ω的最大值约为0.47 rad/s C．ω取不同值时，运动员在最高点受到的摩擦力一定随ω的增大而增大 D．某次运动员转到最低点时恰好不滑动，若运动员离转轴距离变为11 m处，则运动员仍可随圆盘做匀速圆周运动 答案　B 解析　运动员随圆盘做匀速圆周运动时，在最高点位置可能只受到重力和支持力，二者的合力恰好提供向心力，其他位置一定受重力、支持力、摩擦力三个力，三者的合力提供向心力，故A错误；在圆盘最低点，根据μmgcos 15°－mgsin 15°＝mωmax2r，解得ωmax≈0.47 rad/s，故B正确；ω取不同数值时，若摩擦力指向圆心，则有mgsin 15°＋Ff＝mω12r，若摩擦力背离圆心，则有mgsin 15°－Ff′＝mω22r，由两式可知ω取不同数值时，运动员在最高点受到的摩擦力可能大小相等，方向相反，故C错误；运动员转到最低点时恰好不滑动，有μmgcos 15°－mgsin 15°＝mωmax2r，若此时半径变大，合力不足以提供向心力，运动员将会做离心运动，故D错误。 10.如图，轻杆长2l，中点固定在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B(均可视为质点)，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直面内绕O轴做圆周运动。 (1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小； (2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小和方向； (3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小。 答案　(1)　(2)2mg　竖直向下 (3)能　 解析　(1)A在最高点时，对A根据牛顿第二定律得mg＝m，解得vA＝，因为A、B两球的角速度相等，半径相等，则vB＝vA＝； (2)B在最高点时，对B根据牛顿第二定律得2mg＋FTOB′＝2m 代入(1)中的vB，可得FTOB′＝0 对A有FTOA′－mg＝m 可得FTOA′＝2mg 根据牛顿第三定律，O轴所受力的大小为2mg，方向竖直向下； (3)要使O轴不受力，根据B的质量大于A的质量，设A、B的速度为v，可判断B球应在最高点， 对B有FTOB″＋2mg＝2m 对A有FTOA″－mg＝m O轴不受力时有FTOA″＝FTOB″ 联立可得v＝ 所以当A、B球的速度大小为时，O轴不受力。 11.(多选)如图所示，竖直平面内有一半径为R＝0.35 m且内壁光滑的圆形轨道，轨道底端与光滑水平面相切，一小球(可视为质点)以v0＝3.5 m/s的初速度进入轨道，g＝10 m/s2，则(　　) A．小球不会脱离圆轨道 B．小球会脱离圆轨道 C．小球脱离圆轨道时的速度大小为 m/s D．小球脱离圆轨道的位置与圆心的连线和水平方向间的夹角为30° 答案　BCD 解析　若小球恰能到达最高点，由重力提供向心力，则有mg＝m，解得v＝＝ m/s，若小球从最低点恰好能到最高点，根据机械能守恒定律得mv0′2＝mg·2R＋mv2，解得v0′＝ m/s>v0＝3.5 m/s，故小球不可能运动到最高点，若小球恰好到达与圆心等高的点，则mv0″2＝mgR，得v0″＝ m/s<v0＝3.5 m/s，则小球会脱离圆轨道，故A错误，B正确；设当小球脱离圆轨道时，其位置与圆心的连线和水平方向间的夹角为θ，小球此时只受重力作用，将重力分解如图所示。 在脱离点，支持力等于0，由牛顿第二定律得mgsin θ＝m，从最低点到脱离点，由机械能守恒定律得mv02＝mgR(1＋sin θ)＋mv12，联立解得sin θ＝，即θ＝30°，则v1＝ m/s，故C、D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $