第八章 第1课时 机械振动（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 苏京）

考情分析 试题情境 生活实践类 共振筛、摆钟、地震波、多普勒彩超等 学习探究类 简谐运动的特征、单摆的周期与摆长的定量关系、用单摆测量重力加速度、受迫振动的特点、共振的条件及其应用、波的干涉与衍射现象、多普勒效应 第1课时　机械振动 目标要求　1.知道简谐运动的概念，掌握简谐运动的特征，理解简谐运动的表达式和图像。2.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式。3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件。 考点一　简谐运动的基本特征 1．简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，这样的运动就是简谐运动。 2．平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。 3．回复力 (1)定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力。 (2)方向：总是指向平衡位置。 4．简谐运动的特点 受力特点 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反 运动特点 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小(填“增大”或“减小”) 能量特点 对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒 1．简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(　×　) 2．做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。(　×　) 3．做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。(　√　) 4．振动物体经过半个周期，路程等于2倍振幅；经过个周期，路程等于振幅。(　×　) 例1　如图所示，弹簧振子在C、B间做简谐运动，O点为其平衡位置，则(　　) A．物块在由C点运动到O点的过程中，回复力逐渐增大 B．物块在由O点运动到B点的过程中，速度不断增大 C．物块在B点速度为零且加速度最小 D．物块通过平衡位置O点时，动能最大，势能最小 答案　D 解析　物块在由C点运动到O点的过程中，位移减小，由回复力公式F＝－kx可知，回复力逐渐减小，A错误；物块在由O点运动到B点的过程中，回复力做负功，动能转化为势能，所以速度不断减小，B错误；由牛顿第二定律和回复力公式可知，物块的位移越大加速度越大，位移越小加速度越小，在B点加速度最大，C错误；由简谐运动的规律可知，物块通过平衡位置O点时，速度最大，所以动能最大，势能最小，D正确。 例2　小球做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过0.5 s，小球第一次经过P点，又经过0.2 s，小球第二次经过P点，小球第三次经过P点可能是(　　) A．1.0 s B．2.4 s C．0.8 s D．2.2 s 答案　D 解析　若小球从O点开始向指向P点的方向振动，作出示意图如图甲所示 　 则小球的振动周期为T1＝(0.5＋0.1)×4 s＝2.4 s，则该小球再经过时间Δt＝T1－0.2 s＝2.2 s，第三次经过P点；若小球从O点开始向背离P点的方向振动，作出示意图如图乙所示， 则有0.5 s＋0.1 s＝T2，小球的振动周期为T2＝0.8 s，则该小球再经过时间Δt′＝T2－0.2 s＝0.6 s，第三次经过P点，A、B、C错误，D正确。 简谐运动的周期性与对称性 周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 对称性 (1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O点对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用的时间，即tPO＝tOP′ (3)物体往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反 考点二　简谐运动的公式和图像 1．简谐运动的表达式 x＝Asin(ωt＋φ)，ωt＋φ为相位，φ为初相位，ω为圆频率，ω与周期T的关系为ω＝。 2．简谐运动的振动图像 表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线。 1．简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(　×　) 2．简谐运动的振动图像一定是正弦曲线。(　√　) 例3　如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是(　　) A．在t＝0.2 s时，小球的加速度为正向最大 B．在t＝0.4 s与t＝0.8 s两个时刻，小球的速度相同 C．从t＝0到t＝0.2 s时间内，小球做加速度增大的减速运动 D．在t＝0.6 s时，小球有最小位移 答案　C 解析　在t＝0.2 s时，小球的位移为正向最大，根据a＝－可知小球的加速度为负向最大，A错误； 图像上某点的切线斜率表示该时刻小球的速度，在t＝0.4 s与t＝0.8 s两个时刻，小球的速度大小相等，方向相反，B错误； 从t＝0到t＝0.2 s时间内，小球向正向最大位移处运动，其加速度为负方向且加速度大小逐渐增大，故小球做加速度增大的减速运动，C正确； 在t＝0.6 s时，小球有负方向的最大位移，D错误。 例4　(2023·江苏镇江市预测)如图所示，轻质弹簧上方固定，下方连接质量为m的小球，弹簧原长为L0，小球静止时位于图中的O点，此时弹簧伸长量为L。将小球从O点向下拉一小段距离A(A<L)，然后由静止释放并开始计时。已知小球做简谐运动的周期为T，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。以O点为坐标原点，取竖直向下为正方向，则小球运动的位移x与时间t的表达式为(　　) A．x＝Asin(t＋) B．x＝Asin(t－) C．x＝(L＋A)sin(t－) D．x＝(L＋A)sin(t＋) 答案　A 解析　小球做简谐运动的平衡位置在O点，振幅为A，取向下为正方向，小球从正向位移最大处开始振动，初相位为，故简谐运动位移与时间的表达式为x＝Asin(t＋)，故选A。 从振动图像可获取的信息 1．振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。 2．某时刻振动质点离开平衡位置的位移。 3．某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的绝对值和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点位移的变化来确定。 4．某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。 5．某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。 考点三　单摆 1.如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆。(如图) 2．单摆做简谐运动的条件：θ<5°。 3．回复力：F回＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反，故单摆做简谐运动。 4．周期公式：T＝2π。 (1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。 (2)g为当地重力加速度。 说明：当单摆处于月球上时，重力加速度为g月；当单摆处于超重或失重状态时，重力加速度为等效重力加速度。 5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和摆球质量无关。 1．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(　×　) 2．单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定。(　×　) 3．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，所受合力为零。(　×　) 例5　(2023·江苏省南京外国语学校模拟)正在修建的楼房顶上固定一根不可伸长的细线垂到图示窗沿下，某同学想应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，他先将线的下端系上一个小球，当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为l＝1 m。现使小球在垂直于墙的竖直平面内做小角度摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时到第21次通过B点共用时40 s。当地重力加速度g值取π2(m/s2)，根据以上数据，求： (1)该单摆的周期； (2)房顶到窗上沿的高度h。 答案　(1)4 s　(2)8 m 解析　(1)从小球第1次通过题图中的B点开始计时到第21次通过B点共用时40 s，则周期为T＝ s＝4 s。 (2)球心到窗上沿的距离l＝1 m，由于该单摆在左右两侧摆动的摆长变化，故周期为 T＝(T1＋T2)＝(2π＋2π) g值取π2(m/s2)，代入数据解得，房顶到窗上沿的高度为h＝8 m。 考点四　受迫振动和共振 1．受迫振动 (1)概念：系统在驱动力作用下的振动。 (2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 2．共振 (1)概念：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象。 (2)共振的条件：驱动力的频率等于物体的固有频率。 (3)共振的特征：共振时振幅最大。 (4)共振曲线(如图所示)。 f＝f0时，A＝Am，f与f0相差越大，物体做受迫振动的振幅越小。 1．物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率有关。(　×　) 2．物体在发生共振时的振动是受迫振动。(　√　) 3．驱动力的频率越大，物体做受迫振动的振幅越大。(　×　) 简谐运动、受迫振动和共振的比较 振动 项目 简谐运动 受迫振动 共振 受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0 振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 例6　(2023·江苏宿迁市联考)如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2 Hz。现匀速转动摇把，转速为240 r/min，则(　　) A．当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5 s B．当振子稳定振动时，它的振动频率是6 Hz C．当转速增大时，弹簧振子的振幅增大 D．当转速减小时，弹簧振子的振幅可能增大 答案　D 解析　摇把匀速转动的频率f＝n＝ Hz＝4 Hz，周期T＝＝0.25 s，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A、B错误；当转速减小时，其频率将更接近振子的固有频率2 Hz，弹簧振子的振幅将增大，C错误，D正确。 例7　(2023·江苏南京市检测)一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则(　　) A．此单摆的固有周期约为0.5 s B．此单摆的摆长约为1 m C．若摆长增大，单摆固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动 答案　B 解析　由题图可知，振幅最大时，此单摆的振动频率与固有频率相等，则有f＝0.5 Hz，可知此单摆的固有周期为T＝＝2 s，根据单摆周期公式T＝2π，可知此单摆的摆长为l＝≈1 m，故A错误，B正确；若摆长增大，由单摆周期公式T＝2π可知，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故C、D错误。 课时精练 1.(2023·江苏徐州市期中)如图为弹簧振子的频闪照片。频闪仪闪光的瞬间振子被照亮，从而得到闪光时小球的位置，拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球的一系列像。图中A为小球运动过程中的一个位置，此时小球(　　) A．向左运动 B．回复力在增大 C．加速度方向向右 D．动能在增大 答案　B 解析　拍摄时底片从下向上匀速运动，可知此时小球向右运动，回复力在增大，加速度方向向左，速度在减小，动能在减小，故选B。 2．(2023·江苏淮安市联考)如图所示，光滑水平面上一小滑块与一端固定的轻弹簧相连，现将滑块推至M点由静止释放，滑块运动的周期为T，O点为平衡位置，N是MO的中点。下列说法正确的是(　　) A．滑块从M运动到O的时间为 B．滑块从M运动到N的时间为 C．若改变滑块的质量，周期不变 D．若将滑块推至N点由静止释放，周期不变 答案　D 解析　由题可知，弹簧和小滑块构成一个弹簧振子，根据小滑块的振动方程x＝Acos ωt＝ Acos t，故滑块从M运动到O的时间为，滑块从M运动到N的时间为，A、B错误；由弹簧振子的周期公式可知T＝2π，系统的振动周期与质量有关，与振幅无关，C错误，D正确。 3.(2023·江苏南京市秦淮中学检测)一个水平弹簧振子的振动图像如图所示，已知小球质量为10 g，弹簧的劲度系数为20 N/m，下列说法正确的是(　　) A．小球位移随时间变化的关系式为x＝5sin (πt) cm B．在第1 s末到第2 s末这段时间内，小球的动能在减少，弹簧的弹性势能在增加 C．小球的最大加速度为100 m/s2 D．该小球在0～50 s时间内的位移为0，路程为2.5 cm 答案　C 解析　由题图可知弹簧振子的振幅为5 cm，振动周期为4 s，可得小球位移随时间变化的关系式为x＝Asin t＝5sin t (cm)，选项A错误；在第1 s末到第2 s末这段时间内，小球从最大位移处回到平衡位置，故小球的动能在增加，弹簧弹性势能在减少，选项B错误；当小球运动到最大位移处时，加速度最大，据牛顿第二定律可得kA＝ma，解得小球的最大加速度为a＝100 m/s2，选项C正确；0～50 s时间相当于12T，每个周期的路程为4A，故该小球在0～50 s内的路程为l＝12.5×4A＝2.5 m，小球从平衡位置出发，12T后又恰好回到平衡位置，故位移为0，选项D错误。 4．(2024·江苏泰州市期末)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置位于坐标原点O，简谐运动的振幅为A＝0.1 m。t＝0时刻振子的位移为x1＝－0.1 m，t＝1 s时刻振子的位移为x2＝0.1 m，则振子做简谐运动的周期可能为(　　) A．4 s B．3 s C．0.5 s D. s 答案　D 解析　由题可知，t＝0时刻振子的位移为x1＝－0.1 m，t＝1 s时刻振子的位移为x2＝0.1 m，则(n＋)T＝1 s (n＝0,1,2…)，解得T＝ s(n＝0,1,2…)，当n＝0时，可得T＝2 s，当n＝1时，可得T＝ s，随着n的增大，周期变小，故选D。 5．(2023·江苏南京市联考)如图甲所示，把小球安装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球和弹簧穿在光滑的水平杆上。小球振动时，沿垂直于振动方向以速度v匀速拉动纸带，纸带上可留下痕迹，a、b是纸带上的两点，不计阻力，如图乙所示。由此可判断(　　) A．t时间内小球的运动路程为vt B．小球和弹簧组成的系统机械能在a点多 C．小球通过a点时的速度大于通过b点时的速度 D．如果小球以较小的振幅振动，周期也会变小 答案　C 解析　vt是t时间内纸带运动的路程，并不是小球的运动路程，故A错误；小球振动过程只有弹簧的弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故B错误；由题图乙可知小球通过a点时更靠近平衡位置，其速度大于通过b点时的速度，故C正确；小球的运动为简谐运动，其振动周期与振幅无关，故D错误。 6.(2023·江苏南通市检测)如图所示，可视为质点的小球在半径为R的光滑球面上的A、B之间做小角度的往返运动，则(　　) A．小球的质量越大，其振动的频率越大 B．OA、OB之间夹角越小，小球振动的频率越小 C．球面半径R越大，小球振动的频率越小 D．将整个装置移至我国空间站“天和”核心舱中，小球振动的频率减小 答案　C 解析　由于小球在半径为R的光滑球面上的A、B之间做小角度的往返运动，所以小球的运动可以视为简谐运动，周期为T＝2π，则小球振动的频率为f＝＝，可见小球振动的频率只与g和R有关，在同一地点R越大，小球振动的频率越小，A、B错误，C正确；将整个装置移至我国空间站“天和”核心舱中，小球在完全失重情况下不能下落，该实验不能进行，D错误。 7．(2023·江苏连云港市模拟)飞力士棒是物理治疗师发明的一种康复器材，它由一根PVC软杆、两端的负重头和中间的握柄组成，棒的固有频率为4.5 Hz，如图所示。下列说法正确的是(　　) A．用力越大，棒振动得越快 B．增大手驱动的频率，棒的振幅一定变大 C．增大手驱动的频率，棒的振动频率可能减小 D．双手驱动该棒每分钟振动270次，则棒的振幅最大 答案　D 解析　使用者用力大小影响的是振幅，与振动快慢没有关系，故A错误；增大手驱动的频率，飞力士棒振动的频率随之增大，但是振幅不一定越来越大，故B、C错误；双手驱动该飞力士棒每分钟振动270次，则驱动力的频率为f＝ Hz＝4.5 Hz，驱动力的频率与飞力士棒的固有频率相等，此时振幅最大，故D正确。 8.(2022·海南卷·4)在同一地方，甲、乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图像如图所示，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为(　　) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶4 答案　C 解析　由振动图像可知甲、乙两个单摆周期之比为T甲∶T乙＝0.8∶1.2＝2∶3，根据单摆周期公式T＝2π，可得l＝，则甲、乙两个单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝T甲2∶T乙2＝4∶9，故选C。 9.(2024·江苏镇江市检测)如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道对应的圆心角的度数很小，O是圆弧的最低点。两个完全相同的小球M、N(可视为质点)从圆弧左侧的不同位置同时释放。它们从释放到O点过程中都经过图中的P点。下列说法正确的是(　　) A．M比N后到达O点 B．M、N通过P点时所受的回复力相同 C．M有可能在P点追上N并与之相碰 D．从释放到O点过程中，重力对M的冲量比重力对N的冲量大 答案　B 解析　根据T＝2π，两个小球做简谐运动的周期相同，M、N同时到达O点，故A错误； M、N通过P点时所受的回复力相同，均为小球重力沿着该点切线方向的分力，故B正确； M、N同时到达O点，则M不可能在P点追上N并与之相碰，故C错误； 从释放到O点过程中，根据I＝mgt，重力对M的冲量等于重力对N的冲量，故D错误。 10.(2021·江苏卷·4)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　) A．x＝Rsin(ωt－) B．x＝Rsin(ωt＋) C．x＝2Rsin(ωt－) D．x＝2Rsin(ωt＋) 答案　B 解析　由题图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向， 设P的振动方程为x＝Rsin(ωt＋φ)， 由题图可知，当t＝0时，P的位移为R， 代入振动方程解得φ＝， 则P做简谐运动的表达式为x＝Rsin(ωt＋)， 故B正确，A、C、D错误。 11．(2024·江苏无锡市期中)一位游客在太湖边欲乘游船，当日风浪较大，游船上下浮动，当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。把船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。若游客能舒服地登船，地面与甲板的高度差不能超过10 cm，则在一个周期内，游客能舒服地登船时间是(　　) A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s 答案　C 解析　根据题意，游船的振动方程为y＝20cos(t) cm 由题知地面与甲板的高度差不超过10 cm时游客能舒服地登船， 则当y＝20cos(t) cm＝10 cm时 在一个周期内对应的点分别为t1＝0.5 s，t2＝2.5 s 根据余弦函数图像可知，在一个周期内，游客能舒服地登船时间是Δt＝1.0 s，故选C。 12.(2023·江苏扬州市三模)如图所示，“杆线摆”可以绕着固定轴OO′来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动。轻杆水平，杆和线长均为L，重力加速度为g，摆角很小时，“杆线摆”的周期为(　　) A．2π B．2π C．2π D．2π 答案　A 解析　由于摆球绕OO′轴转动，摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，则在摆角很小时，重力沿图中虚线向下的分力沿摆球摆动的切线方向的分力提供回复力，“杆线摆”的摆长为l＝Lcos 30°＝L，摆球沿虚线方向等效重力G′＝Gcos 60°＝mg＝mg′，故g′＝g，“杆线摆”的周期为T＝2π＝2π，故选A。 学科网（北京）股份有限公司 $