解答题77分冲刺保分强化训练(11)-2026届高三数学三轮复习(新高考适用)

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(11) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·河南·模拟预测）BMI指数是体重指数，当18.5≤BMI≤23.9时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的BMI数据进行统计，得到如下2×2列联表： BMI数据 合计 正常范围 不正常范围 男顾客 75 15 90 女顾客 30 20 50 合计 105 35 140 (1)依据小概率值（＝0.005的独立性检验，能否推断出男、女顾客的BMI是否存在差异？ (2)该机构统计出上述男顾客平均体重为70kg，女顾客的平均体重为56kg，试估计该机构全体顾客的平均体重． 公式：，其中n＝a＋b＋c＋d． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)能推断出男、女顾客的BMI存在差异 (2)65kg 【解题思路】（1）根据列联表数据，利用公式计算的值，再与临界值比较，即可得出结论. （2）利用样本中男女顾客的比例作为全体顾客中男女比例的估计值，通过加权平均计算全体顾客的平均体重. 【解析】（1）零假设为：男、女顾客的BMI不存在差异， . 因为，所以依据小概率值的独立性检验， 能够推断出男、女顾客的BMI存在差异. （2）由题意，样本中男顾客占，女顾客占. 估计该机构全体顾客的平均体重为kg. 2．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】(1)； (2)2 【解题思路】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【解析】（1）因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； （2）由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 3．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，. (1)求的方程； (2)若直线过点且的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）当直线垂直轴时，可求出、的坐标进而求出的值； （2）三角形的面积可以用弦长公式和点到直线的距离公式表示底和高. 【解析】（1）设点 因为抛物线，所以， 当直线过点且垂直轴时，直线的方程为， 把代入可得， 故，所以，所以方程为. （2）由（1）可知，设直线方程为， 联立得， 则，， 所以， 又点到直线距离， 所以， 令，所以，所以，解得或， 所以直线方程为或. 4．（2026·广东深圳·一模）已知球的半径为1，在球的内接八面体中，顶点，分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥. (1)如图1，若点在平面上，求证：平面； (2)如图2，若二面角的正切值为，求该内接八面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【解题思路】（1）先证明，再利用线面平行的判定定理直接证明即可； （2）解法1  记正方形的中心为，取中点，设，利用二面角的平面角定义求得，， 因为为二面角的平面角且，列方程求出，进而得到即可利用体积公式求解； 解法2  记正方形的中心为，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，利用向量法列方程求出，进而得到即可利用体积公式求解； 解法3  以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，利用向量法列方程求出，进而得到即可利用体积公式求解； 【解析】（1）如图，连接，则必过点， 在四边形中，由于对角线，互相平分， 则四边形为平行四边形，故， 由于平面且平面， 所以平面； （2）解法1  如图，记正方形的中心为，取中点，连接，，，，由于，则，同理可证，则为二面角的平面角，又，则， 则为二面角的平面角，为二面角的平面角， 不妨设点在的下方， 设 则，，，，， 于是，， 于是， ， 由于，则，解得， 则，则，即内接八面体的体积为； 解法2  如图，记正方形的中心为，连接，， 则，，两两垂直，如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 不妨设点在的下方， 则，，，， 于是点，，，， 设平面的一个法向量为，，， 由，，令，则， 于是平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 由，，令，则， 于是平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，由于， 则，则，， 则，即内接八面体的体积为. 解法3  如图，过点作，记正方形的中心为，连接，， 由于平面，，平面，则，， 且，则，，两两垂直，如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由对称性，不妨设点在的下方，设 则，，，， 于是点，，，， 设平面的一个法向量为，， ， 由，， 令，则，， 于是平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 由，， 令，则，， 于是平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，由于， 则，则， 则，即内接八面体的体积为. 5．（2026·河南·模拟预测）设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程. （2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论不等式恒成立时的范围. （3）对函数求导，判断单调性，设，求导判断单调性，进而证明结论. 【解析】（1）时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. （2）由得. 因为在上单调递增，所以. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 若，令得或，且. 当时，，单调递减， 所以，与在上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. （3）证明：当时，， 所以在上单调递增，又， 所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设，则. 所以在上单调递增，因为，所以. 因为，所以. 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【解析】（1）由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； （2）令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥. (1)证明：平面平面； (2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，判断二面角对应的平面角，求出相关点的坐标，结合线面角的向量求法求解即可. 【解析】（1）由题意得，为等边三角形， 又为中点，所以，，故. 又因为，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）如图，以为原点，，以及垂直于平面的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知，， 又，所以即为二面角的平面角，即. 则，，，. ，，， 设平面的法向量， 则，即，取 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式基本量运算计算求解； （2）利用等差数列求和公式结合裂项相消法求和； （3）放缩法解等比数列求和公式证明不等式问题． 【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可知 解得，故． （2）由（1）得，所以， 数列的前项和为； （3）由（2）知，其中， 当时， ，    当时，．             综上所述，． 4．（2026·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，右顶点为，左焦点为，且． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且点在第一象限内，直线，过点且平行于的直线交轴于点，直线交轴于点，点为线段的中点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用离心率和的几何意义，结合椭圆中的基本关系，联立方程组即可求出，进而得到椭圆方程； （2）法一：先通过直线和的方程求得点和的坐标，再借助两点间距离公式得到，再由条件为线段的中点即可得结论; 法二：先通过直线和的方程求得点和的坐标，再由条件为线段的中点得到点的坐标，最后得出即可得结论. 【解析】（1）由题意，解得． 所以椭圆的方程为． （2） 依题意，，因为点是椭圆上一点，可得，且， 直线的斜率，直线的方程为， 令，得． 直线的斜率为，直线方程为， 令，得． 法一：因为， ， 所以，所以三角形为等腰三角形，因为点为底边的中点， 所以． 法二：点为线段的中点，，所以， 所以， ，所以，所以． 5．（2026·河北唐山·一模）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励. (1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张. （ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p； （ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值. （估值参考：当时，，，，.） 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）所以的最大值约为0.3679，此时． 【解题思路】（1）合理设出事件，再根据全概率公式即可得到答案； （2）（i）设：抽到的第张奖券金额为，再利用全概率公式求出概率通式，再代入即可； （ii）根据估值参考公式得，再设函数，求导得其最值，从而得到的估计值，最后结合其整数范围即可得到答案. 【解析】（1）设抽到的第张奖券的金额为． 设甲获得最大金额奖励． 注意到． 则． （2）（i）仍设：甲获得最大金额奖励， 若，则，故只需考虑的情况． 设：抽到的第张奖券金额为． 由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的机会均等，则． 只有当是前张奖券中的最大金额，甲才会保留第张奖券，则． 则． 若，当时，． （ii）由估值参考得，则． 令，则． 当时，． 当时，单调递增； 当时，单调递减， 因此，当时，取得最大值． 此时，不是整数， 又， 所以的最大值约为0.3679，此时． $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(11) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·河南·模拟预测）BMI指数是体重指数，当18.5≤BMI≤23.9时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的BMI数据进行统计，得到如下2×2列联表： BMI数据 合计 正常范围 不正常范围 男顾客 75 15 90 女顾客 30 20 50 合计 105 35 140 (1)依据小概率值（＝0.005的独立性检验，能否推断出男、女顾客的BMI是否存在差异？ (2)该机构统计出上述男顾客平均体重为70kg，女顾客的平均体重为56kg，试估计该机构全体顾客的平均体重． 公式：，其中n＝a＋b＋c＋d． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 2．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 3．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，. (1)求的方程； (2)若直线过点且的面积为，求的方程. 4．（2026·广东深圳·一模）已知球的半径为1，在球的内接八面体中，顶点，分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥. (1)如图1，若点在平面上，求证：平面； (2)如图2，若二面角的正切值为，求该内接八面体的体积. 5．（2026·河南·模拟预测）设函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥. (1)证明：平面平面； (2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值. 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)证明：． 4．（2026·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，右顶点为，左焦点为，且． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且点在第一象限内，直线，过点且平行于的直线交轴于点，直线交轴于点，点为线段的中点，求证：． 5．（2026·河北唐山·一模）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励. (1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张. （ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p； （ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值. （估值参考：当时，，，，.） $