第一章 整式的乘除 单元练习 广东省佛山市南海区金石实验中学2025-2026学年北师大版七年级下册数学

2025-2026学年第二学期金石实验中学初一数学 第一章 整式的乘除 单元测试卷 试卷满分：100分 考试用时：90分钟 姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 计算 m²·m³ 的结果，正确的是( ) A. m B. m⁵ C. m⁶ D. m⁹ 2. 下列计算中，正确的是( ) A. a·a²=a² B. (a³)²=a⁵ C. (-2xy²)³=-8x³y⁶ D. 15x²y³÷3x²y=5xy³ 3. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开。”若苔花的花粉直径约为0.00000838米，则数据0.00000838用科学记数法表示为( ) A. 8.38×10⁻⁷ B. 8.38×10⁻⁶ C. -8.38×10⁶ D. -8.38×10⁷ 4. 下列各式计算结果为 m²-7m+10 的是( ) A. (m-2)(m+5) B. (m+2)(m+5) C. (m+2)(m-5) D. (m-2)(m-5) 5. 如图，能说明的公式是( ) A. (a+b)²=a²+2ab+b² B. (a-b)²=a²-2ab+b² C. (a+b)(a-b)=a²-b² D. 不能判断 6. 两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为( ) A.12 B.18 C.24 D.36 7. 若a、b是正整数，且满足 4ᵃ+4ᵃ+4ᵃ+4ᵃ=4ᵇ×4ᵇ×4ᵇ×4ᵇ，则下列a与b的关系正确的是( ) A. a=b B. 4a=b⁴ C. a+1=b⁴ D. 4b-a=1 8. 下列式子：①(-x-y)²=(x+y)² ②(-x+y)²=(x-y)² ③(y-x)²=(x-y)² 其中正确的是( ) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 9. 若 a=2025²，b=2024×2026，则下列结论成立的是( ) A. a=b-1 B. a=b C. a=b+2 D. a=b+1 10. 观察下列各式： (x-1)(x+1)=x²-1 (x-1)(x²+x+1)=x³-1 (x-1)(x³+x²+x+1)=x⁴-1 (x-1)(x⁴+x³+x²+x+1)=x⁵-1 根据上述规律计算: 2+2²+2³+…+2⁶⁴+2⁶⁵=( ) A. 2⁶⁶+1 B. 2⁶⁶+2 C. 2⁶⁶-1 D. 2⁶⁶-2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若 2ᵐ=4，2ⁿ=8，则 m+n=__________。 12. 已知某植物表皮细胞的直径约为 2×10⁻⁶ 米，一个水分子的直径约为 4×10⁻¹⁰ 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的_______倍。 13. 已知 a²=b²+4，则 (a+b)(a-b)=__________。 14. 已知 (3x+a)²=9x²+bx+1，则b的值为__________。 15. 要使 (-2x²+mx³+x⁴)÷(-3x²) 的展开式中不含x的一次项，则 m=__________。 三、解答题（16-18题各7分，19-21题各9分，22题13分，23题14分，共55分） 16. 计算： (1) 用平方差公式计算：108×112； (2) 3x²+(x+y)(2x-y)。 17. 化简求值：已知 x²-x-2=0，求代数式 (x-3)(x+5)+(x-3)(x-1) 的值。 18. 小雅同学计算一道整式除法：(ax³y²+bx²y³)÷(2xy)，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 12x⁴y³-8x³y⁴。 (1) 直接写出a、b的值：a=__________，b=__________； (2) 求这道除法计算的正确结果； (3) 若 xy=-5，3x-2y=7，计算(2)中代数式的值。 19. 如图，某体育训练基地，有一块长(3a-5b)米，宽(a-b)米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽(a-2b)米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区（结果需化简）。 (1) 求长方形游泳池的面积； (2) 求休息区的面积； (3) 比较休息区与游泳池面积的大小关系。 20. 阅读与思考 任务： (1) 若 (x)²=1，则x的值为__________； (2) 若 aᵐ=4，a³ᵐ⁺ⁿ=32，请你也利用逆向思考的方法求出 aⁿ 的值； (3) 计算：8²⁰²⁴×(-0.125)²⁰²⁵。 21. 完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b² 经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如： 若 a+b=3，ab=1，求 a²+b² 的值。 解：∵a+b=3,ab=1,∴(a+b)²=9,2ab=2，∴a²+b²+2ab=9,∴a²+b²=7。 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1) ①若 x+y=6，x²+y²=28，则 xy=__________； ②若 2a+b=6，ab=4，则 (2a-b)²=__________； (2) 如图，C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和S₁+S₂=44，求△AFC的面积。 22. 小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大。 证明：设两数和为2a，其中一数为a+b，另一数为a-b（a为定值），因为(a+b)(a-b)=a²-b²，显然当b²越小时，积越大。所以当b=0即a+b=a-b时，(a+b)(a-b)取最大值a²。 (1) 下列各式中，值最大的是__________（填序号）： ①21×29；②22×28；③24×26；④25×25。 (2) 判断代数式 (x+2)(6-x) 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由。 23. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角” 此图，揭示了(a+b)ⁿ（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请解决如下问题： (1) 杨辉三角中括号内的数为__________；(a+b)²¹ 展开式共有__________项；(a+b)ⁿ 的展开式共有__________项，系数和为__________； (2) 根据上面的规律，写出 (a+b)⁷ 的展开式； (3) 利用上面的规律计算：3⁵-5×3⁴+10×3³-10×3²+5×3-1。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期金石实验中学初一数学 第一章 整式的乘除 单元测试卷 参考答案与详细解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 答案：B 解析：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，m²·m³ = m^(2+3) = m⁵。 2. 答案：C 解析：A. a·a² = a³≠a²，错误；B. (a³)² = a⁶≠a⁵，错误；C. (-2xy²)³ = (-2)³x³(y²)³ = -8x³y⁶，正确；D. 15x²y³÷3x²y = 5y²≠5xy³，错误。 3. 答案：B 解析：科学记数法表示较小数，0.00000838 小数点向右移6位，得8.38×10⁻⁶。 4. 答案：D 解析：十字相乘法展开，(m-2)(m-5) = m²-5m-2m+10 = m²-7m+10，符合题意。 5. 答案：C 解析：图形面积可表示为a²-b²，也可表示为(a+b)(a-b)，对应平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²。 6. 答案：C 解析：设长方形长x、宽y，xy=32，阴影面积(x-y)²=24，由(x+y)²=(x-y)²+4xy=152，结合选项适配得周长2(x+y)=24。 7. 答案：D 解析：左边化简=4×4ᵃ=4^(a+1)，右边化简=(4ᵇ)⁴=4^(4b)，同底数幂相等指数相等，得a+1=4b，即4b-a=1。 8. 答案：A 解析：①(-x-y)²=[-(x+y)]²=(x+y)²；②(-x+y)²=[-(x-y)]²=(x-y)²；③(y-x)²=[-(x-y)]²=(x-y)²，均正确。 9. 答案：D 解析：平方差公式变形，b=2024×2026=(2025-1)(2025+1)=2025²-1=a-1，故a=b+1。 10. 答案：D 解析：由规律(x-1)(xⁿ+xⁿ⁻¹+…+1)=x^(n+1)-1，令x=2，得2+2²+…+2⁶⁵=(2-1)(2+2²+…+2⁶⁵)-1=2⁶⁶-1-1=2⁶⁶-2。 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 答案：5 解析：2ᵐ=4=2²→m=2；2ⁿ=8=2³→n=3，故m+n=2+3=5。 12. 答案：2×10⁻⁴ 解析：倍数=(4×10⁻¹⁰)÷(2×10⁻⁶)=(4÷2)×10^(-10+6)=2×10⁻⁴。 13. 答案：4 解析：平方差公式，(a+b)(a-b)=a²-b²，由a²=b²+4得a²-b²=4。 14. 答案：±6 解析：展开(3x+a)²=9x²+6ax+a²，与9x²+bx+1对应，a²=1→a=±1，b=6a→b=±6。 15. 答案：0 解析：化简(-2x²+mx³+x⁴)÷(-3x²)=-1/3 x² - m/3 x + 2/3，不含x一次项则一次项系数-m/3=0，得m=0。 三、解答题（16-18题各7分，19-21题各9分，22题13分，23题14分，共55分） 16. 计算 (1) 解：用平方差公式凑整，108×112=(110-2)(110+2)=110²-2²=12100-4=12096。（3分） (2) 解：先展开乘法再合并同类项， 原式=3x² + [(-3/2 x)×2x + (-3/2 x)×(-2/3 y) + 1/3 y×2x + 1/3 y×(-2/3 y)] =3x² + (-3x² + xy + 2/3 xy - 2/9 y²) =5/3 xy - 2/9 y²。（4分） 17. 化简求值 解：提取公因式化简代数式， 原式=(x-3)[(x+5)+(x-1)]=(x-3)(2x+4)=2(x²-x-6)。（4分） 由x²-x-2=0得x²-x=2，代入得： 原式=2×(2-6)=2×(-4)=-8。（3分） 18. 整式乘除错解问题 (1) 答案：a=6，b=-4（2分） 解析：错写乘号得(ax³y²+bx²y³)×2xy=2ax⁴y³+2bx³y⁴=12x⁴y³-8x³y⁴，对应系数2a=12，2b=-8，得a=6，b=-4。 (2) 解：代入a、b求正确结果， (6x³y²-4x²y³)÷2xy=6x³y²÷2xy - 4x²y³÷2xy=3x²y - 2xy²。（3分） (3) 解：代数式变形后代入， 原式=xy(3x-2y)，代入xy=-5，3x-2y=7，得：-5×7=-35。（2分） 19. 几何与整式应用 (1) 解：游泳池面积=长×宽，S=a(a-2b)=a²-2ab。（2分） (2) 解：休息区面积=空地面积-游泳池面积， 空地面积=(3a-5b)(a-b)=3a²-3ab-5ab+5b²=3a²-8ab+5b²， 休息区面积=3a²-8ab+5b² - (a²-2ab)=2a²-6ab+5b²。（4分） (3) 解：作差比较大小， 休息区面积-游泳池面积=2a²-6ab+5b² - (a²-2ab)=a²-4ab+5b²=(a-2b)²+b²， ∵(a-2b)²≥0，b²≥0，且边长为正，∴(a-2b)²+b²>0， 故休息区面积大于游泳池面积。（3分） 20. 逆向思维解幂的运算 (1) 答案：±3（2分） 解析：(1/3 x)²=1→1/9 x²=1→x²=9→x=±3。 (2) 解：逆向运用幂的乘方和同底数幂乘法， a^(3m+n)=a^(3m)·aⁿ=(aᵐ)³·aⁿ，代入aᵐ=4，a^(3m+n)=32， 得4³·aⁿ=32→64aⁿ=32→aⁿ=1/2。（3分） (3) 解：逆向运用积的乘方公式， 原式=8²⁰²⁴×(-0.125)²⁰²⁴×(-0.125)=[8×(-0.125)]²⁰²⁴×(-0.125)=(-1)²⁰²⁴×(-0.125)=1×(-1/8)=-1/8。（4分） 21. 完全平方公式变形应用 (1) ①答案：4（2分） 解析：由完全平方公式变形，xy=[(x+y)²-(x²+y²)]÷2=(6²-28)÷2=(36-28)÷2=4。 ②答案：4（2分） 解析：由完全平方公式变形，(2a-b)²=(2a+b)²-8ab，代入2a+b=6，ab=4， 得6²-8×4=36-32=4。 (2) 解：设AC=x，则BC=8-x，两正方形面积和S₁+S₂=x²+(8-x)²=44， 展开得x²+64-16x+x²=44→2x²-16x=-20→x²-8x=-10→x(8-x)=10， △AFC的面积=1/2×AC×BC=1/2×x(8-x)=1/2×10=5。（5分） 22. 和定积最大规律应用 (1) 答案：④（3分） 解析：四组式子两数和均为50，根据“差的绝对值越小积越大”，25和25的差为0，积最大。 (2) 解：存在最大值。（10分） 方法：凑和定形式，设m=x+2，n=6-x，则m+n=8（和为定值）， 根据规律，当m=n时积最大，即x+2=6-x→x=2， 此时最大值=(2+2)×(6-2)=4×4=16。 23. 杨辉三角规律应用 (1) 答案：6；22；n+1；2ⁿ（4分，每空1分） 解析：杨辉三角相邻两数和为下一数，故括号内为3+3=6；(a+b)ⁿ展开式有n+1项，故(a+b)²¹有22项；令a=b=1，得(a+b)ⁿ=2ⁿ，即系数和为2ⁿ。 (2) 解：根据杨辉三角系数规律，(a+b)⁷的展开式为： a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷。（4分） (3) 解：逆向构造完全平方公式，对比杨辉三角系数， 原式=3⁵+5×3⁴×(-1)+10×3³×(-1)²+10×3²×(-1)³+5×3×(-1)⁴+(-1)⁵=(3-1)⁵=2⁵=32。（6分） 学科网（北京）股份有限公司 $