精品解析：新疆乌鲁木齐市第二十九中学2025-2026学年第一学期九年级数学学科期末测试

乌鲁木齐市第二十九中学2025-2026学年第一学期 九年级数学学科期末测试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 如图是一个由五个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此可得答案． 【详解】解；从正面看，看到的图形分为上下两层，共3列，从左边起，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形，第三列上下两层各有一个小正方形，即看到的图形如下：， 故选；C． 2. 已知反比例函数 ，它的图象一定经过点( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于即可判断该点在函数图象上，据此求解． 【详解】解：∵，，，， ∴比例函数的图象一定经过点， 故选：A． 3. 如图，是的内接三角形，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键． 4. 一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，分别将它们标上1，2，3，4，随机摸出标号为3的小球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案. 【详解】∵一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4， ∴随机摸取一个小球，“摸出的小球标号是3”的概率为：， 故选：C． 【点睛】本题考查根据概率公式计算概率，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 5. 用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 6. 如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理求得，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B. 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为，将绕点O逆时针旋转到的位置，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，旋转的性质．根据点D的坐标求出的长，由旋转的性质得到，推出的长，据此可求解出答案． 【详解】解：∵，轴， ∴，，， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴，，， ∴点B坐标为， 故选：A． 8. 如图，在中，点D，E分别在边，上，那么下列条件中，不能判断、相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，可根据两角相等证明，不符合题意； B、，，，可根据两角相等证明，不符合题意； C、，，不能证明，符合题意； D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键． 9. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点 ∴ ∵ ∴ 故②正确； ∵二次函数的对称轴为直线 ∴ ∴ ∵二次函数的图象开口向上 ∴ ∴ 故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点 ∴ 由图象结合题意可知：当时， 即： 即： 故③正确； 由③可知： 故④正确； 由图象可知：当时，函数有最小值 又对于任意实数，均有 ∴ 故⑤正确； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．熟记相关结论是解题关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 二次函数的图象的对称轴是直线_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，先确定二次函数一般形式中二次项和一次项的系数，代入对称轴公式计算． 【详解】解：， 对称轴是直线， 故答案为：． 11. 如图，四边形是的内接四边形，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：130． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，若，，，则DE的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题中运用了平行线的性质（同位角相等）推导角的关系，通过得同位角相等，结合公共角证明，再通过线段和差求出的长度，最后根据相似三角形对应边成比例列比例式，代入已知边长求解得到的长． 【详解】解：∵， ∴，， ∵ 是公共角， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 14. 在△ABC中，若，则∠C的度数是_____． 【答案】60° 【解析】 【分析】先根据△ABC中， 求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得： 则 ∴ 故答案为60°． 【点睛】考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为1的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当______时，与坐标轴相切． 【答案】1或3或5 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理．设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，证明出是等腰直角三角形，，然后分三种情况进行讨论：①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时． 【详解】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，， 时，， 时，， ，，， 根据勾股定理：，，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时， 点是切点，的半径是1， 轴，， 是等腰直角三角形， ，， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ③当点只与轴相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ． 综上所述，则当或3或5秒时，与坐标轴相切， 故答案为：1或3或5． 三、解答题（共8小题，共计90分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）依次计算零指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值，再进行加减运算； （2）分别运用完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式展开式子，再合并同类项，关键是正确运用整式的运算法则和乘法公式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图,在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中,的顶点均为格点（网格线的交点）,坐标分别为,,． （1）将沿轴向左平移个单位长度,画出平移后的; （2）将绕点按顺时针方向旋转,画出旋转后的; （3）在（2）的条件下,求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查图形的平移,扇形弧长公式,勾股定理． （1）根据题意将,,三点横坐标均减得出新坐标连接即可; （2）先确定顺时针旋转的坐标,再确定的坐标,连接即可; （3）点绕点旋转到点所经过的路径为,利用弧长公式求出本题结果． 【小问1详解】 解:∵,,, ∴沿轴向左平移个单位长度的坐标为,,,将连接即可得到,如图: 【小问2详解】 解:∵绕点按顺时针方向旋转, ∴,则, ∴将连接即可得到,如图: 【小问3详解】 解:∵,, ∴, ∵绕点旋转到点旋转了, ∴的长度为:． 18. 为响应市政府关于“垃圾不落地·市区更美丽”的主题宣传活动，某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况．调查选项分为“：非常了解，：比较了解，：了解较少，：不了解”四种，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）把两幅统计图补充完整； （2）若该校学生数1000名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有________名； （3）已知“非常了解”的4名男生和1名女生，从中随机抽取2名向全校做垃圾分类的知识交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用“非常了解”人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，从而得出选项、选项的人数，求出、选项所占比例，即可补全图形； （2）用1000乘以“非常了解”与“比较了解”的学生比例之和即可得解； （3）列表得出所有20个等可能的结果数，再找出恰好是一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：被调查的学生人数为（人）， 选项的人数为：（人）， 选项的人数为：（人）， 选项所占百分比为， 选项所占百分比为， 补全统计图如图所示： 【小问2详解】 解：估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有（人）； 【小问3详解】 解：列表得： 男1 男2 男3 男4 女 男1 男2，男1 男3，男1 男4，男1 女，男1 男2 男1，男2 男3，男2 男4，男2 女，男2 男3 男1，男3 男2，男3 男4，男3 女，男3 男4 男1，男4 男2，男4 男3，男4 女，男4 女 男1，女 男2，女 男3，女 男4，女 共有20种等可能结果，其中满足条件有8种， ∴恰好抽到1男1女的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数的解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵轴，， ∴点C和点D的纵坐标都为2， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∴， ∵， ∴． 20. 江西南昌市某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过25元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出10件． （1）降价10元后，每件童装盈利是_____元，每周销售量是_____件； （2）要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】（1）70；80 （2）当每件童装应降价20元时，每周销售这种童装盈利6000元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意求出降价后的盈利，再求出每周的销售量即可； （2）设每件童装应降价x元，根据题中等量关系列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：降价10元后，每件童装盈利是：（元）， 每周销售量是：（件）， 故答案为：70，80． 【小问2详解】 解：设每件童装应降价元， 根据题意得：，（） 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每件童装应降价20元． 21. 数学兴趣小组的同学想测量阿克苏融媒体中心电视塔的高度，他们分别在A，B两处用高度为的测角仪测得电视塔顶部C的仰角分别为，两处间的水平距离为，求电视塔的高度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．在和中，求出公共边的长度，进而即可求解 【详解】解：如图，连接交于点G 由题意可得，四边形是矩形， ∴ 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ 即 ∴ 由题意知：. ∴ ∴电视塔的高为 22. 如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若OC=6，AC=8，求sinE的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO=90°，PB是⊙O的切线； （2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在中，也可放在中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题 【详解】（1）证明：如图，连接OB， ∵PO⊥AB， ∴AC=BC，则PO是线段AB的垂直平分线， ∴PA=PB， 在△PAO和△PBO中， ， ∴△PAO≌△PBO（SSS） ∴∠OBP=∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，即PA⊥OA， ∴∠OAP=90°， ∴∠OBP=90°，即PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切线； （2）在Rt△ACO中，OC=6，AC=8， ∴AO=10， 如图，连接BD，则∠ABD=90°， ∴BD∥PO，则BD=2OC=12， 在Rt△ACO与Rt△PAO中， ∠APO=∠APO， ∠PAO=∠ACO=90°， ∴△ACO∼△PAO， ∴，即 ∴PO=，PA=， ∴PB=PA=， ∵BD∥PO， ∴△EPO∽△EBD， ∴，则， ∴， 解得：EB=， ∴PE=PB+EB=， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； （3）是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，正方形的边长为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； 【小问3详解】 存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第二十九中学2025-2026学年第一学期 九年级数学学科期末测试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 如图是一个由五个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数 ，它的图象一定经过点( ) A. B. C. D. 3. 如图，是的内接三角形，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，分别将它们标上1，2，3，4，随机摸出标号为3的小球的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( ) A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为，将绕点O逆时针旋转到的位置，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D，E分别在边，上，那么下列条件中，不能判断、相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 二次函数的图象的对称轴是直线_______ ． 11. 如图，四边形是的内接四边形，，则__________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____________． 13. 如图，在中，，若，，，则DE的长为________． 14. 在△ABC中，若，则∠C的度数是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为1的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当______时，与坐标轴相切． 三、解答题（共8小题，共计90分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图,在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中,的顶点均为格点（网格线的交点）,坐标分别为,,． （1）将沿轴向左平移个单位长度,画出平移后的; （2）将绕点按顺时针方向旋转,画出旋转后的; （3）在（2）的条件下,求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 18. 为响应市政府关于“垃圾不落地·市区更美丽”的主题宣传活动，某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况．调查选项分为“：非常了解，：比较了解，：了解较少，：不了解”四种，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）把两幅统计图补充完整； （2）若该校学生数1000名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有________名； （3）已知“非常了解”的4名男生和1名女生，从中随机抽取2名向全校做垃圾分类的知识交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 20. 江西南昌市某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过25元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出10件． （1）降价10元后，每件童装盈利是_____元，每周销售量是_____件； （2）要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？ 21. 数学兴趣小组的同学想测量阿克苏融媒体中心电视塔的高度，他们分别在A，B两处用高度为的测角仪测得电视塔顶部C的仰角分别为，两处间的水平距离为，求电视塔的高度．（结果保留根号） 22. 如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若OC=6，AC=8，求sinE的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； （3）是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $