辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学2025-2026学年高三下学期模拟调研卷数学试题（二）

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学（二）】 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 数 试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知全集为R,集合A={x|x>1},B={yly=2x2-1},则CR(A∩B)= A.(1,+∞) B.[-1,+∞) C.(-∞，1) D.(-o∞，1] 2.在复平面内，复数之1对应的点与复数：二1千对应的点关于实轴对称，则21一 A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 3.设随机变量~N(3,4),若P(<m+2)=P(>m),则m= A.1 B.2 C.4 D.9 4.已知函数f(x)=ax2+6x,x∈[-2a+1,1]是偶函数，则f(2) A是 C.2 D.4 5.若抛物线x2=2y(p>0)的准线为直线l,且1被圆C:x2+y2=1所截得的弦长为√3，则该 抛物线的方程为 A.x2=y B.x2=2y C.x2=5 D.x2=4y 岛 6。下列函数既是奇函数又在区间[0，]上单调递增的是 1 A.f(x)=- B.f(x)=sin 2x cos x C.f(x)=tan Ixl D.f(x)=sin 3x 7.从标有0,1,2,3,4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组 千位百位十位个位 成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为 41 A.60 、2 B. C.2 D. 41 96 数学·调研卷（二）1/4页 8.已知a=log169,b=1og0.250.5,c=cos75°，则 A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知正六棱锥的底面边长为2，高为3，则该正六棱锥的 A.侧面积为12√3 B.表面积为18√3 C.体积为12√3 D.外接球的表面积为16π 10.已知数列{an}是公差大于2的等差数列，其前n项和为Sm,a2=5,且a1+1,a2+1,as一2 成等比数列，公比为g.则 A.{am}的公差为3 B.q=2 C.Sm既存在最大值又存在最小值 D.2am一S,只存在最大值不存在最小值 11.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)={x 0<x<2,则下列叙述正确的是 2x,x≥2， A.f(-1)=-8 B.当x1<x2<-2时，有f(x1)>f(x2) C.当0<x≤a时，f(x)的最小值为4，则a≥2 D.若关于x的方程f(x)=x有实数根，则所有实数根之和为零 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(-2,3),b=(3,4),则1a十b|= 13.把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥S0中，底面圆O的半径为 3,则圆锥SO的体积为 14.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且√3sinA=1+cosA.若BC边上的高 发a,则sin Bsin C的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知{am}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sm,且a2十a5=12,S5=25. (1)求{am}的通项公式； (2)若数列(b.}满足6。=，2，其前n项和为T,证明：T.<1 anan+l 数学·调研卷（二）2/4页 16.(15分) 小李为了参加某项考试，对其理论题进行了100次模拟练习，小李记录了自己100次练习 情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示 成绩区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 10 20 30 20 20 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)小李用分层抽样的方式从[60,80)的练习成绩中随机抽取了5次成绩，再从这5次成绩 中随机选2次，设成绩落在区间[70,80)内的次数为X,求X的分布列及数学期望. 17.(15分) 如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中点，DD1=DA=2D1C1. (1)证明：AA:⊥BD; (2)平面A1EC:把四棱台ABCD-A1B1C1D1分成两部分，体积分别是V1和V2(V1< ,号脚值 (3)求平面A:EC1与平面EAC夹角的余弦值. D A 数学·调研卷（二）3/4页 18.(17分) 尼知函数f0x)nx22+a (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a=2时，求f(x)的单调区间； (3)若不等式f(x)≤-：+1恒成立，求a的最大值 19.(17分) x21y2 已知椭圆C:6+3=1. (1)求C的离心率； (②)若直线1：y-牙十4上存在点Q,过点Q可以作C的同条切线，且商条切袋互相重 直，求点Q的坐标； (3)若菱形ABCD的四个顶点都在C上，证明：AC与BD的交点为坐标原点O. 数学·调研卷（二）4/4页高考模拟调研卷 202年普通高等学校招生全国纟 选择题答案速查 题号 2 心 4 5 答案 O C B A B 一、选择题 1.D【解析】由题意得A=(1,+o),B=y y≥-1}=[-1，+∞)，所以AnB=(1, +∞)，所以Ck(AnB)=(-∞，1]， 2(1-i) 2.C【解析1因为：=千1十-D 2 1一ⅰ，因为在复平面内，复数z1对应的点与 复数z2对应的点关于实轴对称，所以之，= 1+i. 3.B【解析】由题意知μ=3，P(ξ p(E>m,所以m+2+m=3,解得m=2. 2 4.A【解析】根据题意得-2a+1+1=0,解 得a=1,此时f(x)=x2+bx,又因为f(x) 为偶函数，所以b=0,故.f(x)=x2,所以 ()= 5.B【解析】拋物线x2=2y(p>0)的准线 方程为y=-号，圆C的圆心为原点，半径 为1，圆心到直线1的距离为d= -(受}-号所以准线方程为y=号 2 得p=1,所以抛物线的方程为.x2=2y. 6.B【解析】对于A,由cosx≠0，可得x≠ kx+k∈2，所以函数fr)=】的定 cos x 义域为：≠x+2∈么因为f-x刘= cos(-x)cos x ≠一f(x),所以f(x)= 1不是奇函数，A不满足要求；对于B,函 cos x 数f(x)=sin2x的定义域为R,且 f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x), 则f(x)=sin2×是奇函数，当 0x≤时， B 统一考试模拟调研卷（二） 6 7 8 9 10 11 B A A AB ABD ACD 0≤2x≤号，所以函数fx)=sin2x在[0， ]上单调递增，B满足要求：对于C,函数 f=tanW的定义域为x≠智十x,k∈ Z,且fl-x)=tanl-x=tan x|≠ 一f(x),则函数f(x)=tanx不是奇函 数，C不满足要求；对于D,函数f(x)= sin3x的定义域为R,且f(-x)= sin(-3x)=-sin3x=-fx),所以函数 fx=sin3x为奇函数，当0≤x≤至时， 0≤3x≤8不，所以函数fW=sin3x在0， π1上不单调，D不满足要求。 4】 7.A【解析】当个位数是0时，有.A3=24种； 当个位数是2或4时，有.A:AA=36种，所 以组成的四位数的偶数共有24+36=60种； 当千位数是4时，比2023大的偶数有 A:A?=122种：当千位数是3时，比2023大 的偶数有.A:A?=18种；当千位数是2时，个 位是0且比2023大的偶数有A:=6种，个 位是4且比2023大的偶数有A一1=5种， 所以比2023大的偶数共有12+18+6+5= 41种，所以所求概率为糾 60 8.A【解析】b=logs0.5=log2=log,2= 又a=1log69>1ogs4=2=6= 2 c0s60°>cos75°=c,所以a>b>c. 二、选择题 9.AB【解析】因为底面正六边形的边长为2， 所以底面积S,=2×分×(4+2)×，5= ·数学 5,又高为3，得体积v=号×3×65= 6√5，故C错误；设侧面三角形的高为h1, 则h1=√32+（√3）2=2√3，侧面积S2=6X 号×2×23=123，所以表面积5手 S,+S2=18√3，故A,B正确；设正六棱锥的 外接球的半径为R,则(3一R)2+22=R,解 得R一日，所以正六棱锥的外接球的表面 积S=4R=4×(得)-169放D错误， 10.ABD【解析】设等差数列{an}的公差为 d(d>2),则a1=a2-d=5-d,as=a2十 3d=5+3d,由a1+1,a2+1,a5-2成等比 数列，得(6-d)(3+3d)=62,而d>2,解 得d=3,故A正确；数列{an}的通项公式 为am=a1+(n-1)d=3n-1,则S. 3m十”，不存在最大值，存在最小值，故 2 C错误；由a1+1=3,a2+1=6,得q=2,故 B正确；由2a,-S.=6m-2-3m+1= 2 一3m2十11n一4，只存在最大值不存在最小 2 值，D正确， 11.ACD【解析】因为f(x)是定义域为R的 奇函数，当X≤ -2时，-×≥2，故 f(x)=-f(-x)=-2=-2,当-2< x<0时，0<-x<2,故f(x)=-f(-x)= -(8)-当x=0时=0综上 2,x≥2， 8 ,0<x<2, x 可f(x)= 0,x=0, f(-1)= P -2<x<0, 2x≤-2， 气=一8，放A正确：画出函数X的图 象，如图， 答案与解析 当x<-2时，y=f(x)单调递增，故当 x1<x2<-2时，有f(x1)<f(x2),故 B错误；由图象可知f(2)=4,当0 时，f(x)的最小值为4，则a≥2，故C正确： 由函数f(x)和y=kx均为定义域为R的 奇函数，故方程f(x)=kx的所有实数根之 和为零，故D正确， 三、填空题 12.52解析】由a=(-2,3),b=(3,4), 得a+b=(-2,3)+(3,4)=(1,7),则la+ b|=√12+7=5√2 13.9π【解析】圆锥的轴截面为等腰直角三角 形ASB,如图所示. 在直角圆锥SO中，AB为底面圆的直径， 由圆锥底面半径r=3,∠ASB=90°，得圆 锥的高为h=r=3,所以圆锥的体积为V= 3r2h=9元. 143 【解析】3sinA=1+cosA,即 2sin(A-若)=1，因为A∈(0，m,所似 A=子由SAr 1 2 ah= 2 besin A,则 空bc,所以a2=2bc,得sin'A- 2sin Bsin C.sin Bsin C=3 8 四、解答题 15.(1)解：由题意得 a2+as=2a1+5d=12, S5=5a1+10d=25, (2分) 高考模拟调研卷 解得1=1， (4分) d=2, 所以an=a1+(n-1)d=2n-1. (6分) (2)证明：由6，=2 ana+1 (2m-10(2m+1)）= 1 2n-12n+1' (8分) 所以工.-6+6，++6，=1-号+号 … 1 、 1 (10分) 5 2n-12+1 1 =1 2m+11. (13分) 16.解：(1)依题意，平均值 7- 1 ×(10× 100 55+20×65+30×75+20×85+20× 95)=77. (2分) 因为0.1+0.2+0.3=0.6<0.75,0.6+0.2= 0.8>0.75, (4分) 所以上四分位数落在区间[80,90)内， 所以上四分位数为80+0.75-0.6 ×10= 0.2 87.5. (6分) (2)由样本数据可知，练习成绩在[60,70)， [70,80)之内的频数之比为2：3， 由分层抽样得，在[60,70)内抽取了2次成 绩，在[70,80)内抽取了3次成绩，(8分) 所以X的所有可能取值有0,1,2， P(X=0)= C8C31 C%101 P(X=1)= CC 3 Cg5 P(X=2)= CC 3 C101 故X的分布列为 0 1 3 3 10 10 (13分) 0+1 所以E(X)=0X +2X36 3 10=5 (15分) 17.(1)证明：由题意知四边形ABCD为正 方形， 所以AC⊥BD, B 将正四棱台ABCD-A1B1C1D1还原为正 四棱锥S-ABCD,如图， 则SO⊥平面ABCD, 又BDC平面ABCD 所以BD⊥SO, (2分) 因为S0nAC=O,S0,ACc平面SAC, 所以BD⊥平面SAC, 因为SAc平面SAC, 所以SA⊥BD,即AA1⊥BD. (4分) (2)解：平面A1EC1把棱台分成三棱锥 E-A1B1C1和几何体ABCDEC1DA, 设DD1=DA=2D1C1=2, 1 由题意得VADA1GD,=3 2 ×(1+ 42)=74 6 VEABIC三3X14XL 4 2X1X1=4 24· (6分) 因为VALCDEA D,G=VAD-AB,GD,一VEA,BG,= 714√14_9/14、√14 6 248241 所以y= 9√14 8, √14 V 24 1 294 27 (8分) (3)解：以O为原点，OA,OB,OS所在直 线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， 数学 设DD1=2, 则E0,3g）AE00.(-2, 以a正-（←，3）.正-(2 C-(竖-3) (9分) 设平面EAC的法向量为m=(x1,y1,之1)， 则 AE·m=0, CE.m=0, -2x1+3 艮 41=0, 2x,+32 4之1=0， 取1=万，则x1=0y1=- 3 所以m=0-弓)： (11分) 设平面AEC1的法向量为n=(X2, y2,z2, 则 EA,·n=0, ECi.n=0, 422=0, 艮 4y,大4 232 22 y2+ 4之2=0， 7 令x2=7,则x2=0,y2=3, 所以n=(0,了)， (13分) 设平面A1EC1与平面EAC的夹角为6， 则cos9=1cos(m,n)|=mn m·n +7 49 1 49 49 8 +7X +7 9 19 9 答案与解析 即平面A1EC1与平面EAC夹角的余弦值 为 8 (15分) 18.解：(1)当a=1时， f)=n-+, 则r)= -x+1,得f'(1)=1.(1分) 又f(1)=2: 1 1 所以y-2=x-1, 即曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方 1 程为x一y一2=0. (3分) (2)当a=2时， f(r)=n:- 2x2+2, 得'x)= -x+2, 令f'(x)=0,得x=1十√2或X=1- √2（舍）， (4分) 当0<x<1+√2时，f(x>0:当×>1+ √2时：f'(x)<0, (6分) 所以f(x)在((0,1十√2)上单调递增， 在(1+√2，十∞)上单调递减， 即f(x)的单调递增区间为 (0,1+√2)，单 调递减区间为(1+√2，十∞) (8分) 3诺/x)≤-名+1恒成立， 则n一+ar 2x2+1恒成立， 即lnx+ax≤1恒成立 (9分) 令h(x)=Inx+ax, 则h'(x)=1+a=ar+l (10分) x 若a≥0，因为h(e)=2+ae2>1,不符合条 件，舍去 (11分) 若a<0,当 x∈(0，-)月 时，h'(x)> 0,h(x)单调递增 当x∈(-，+o)时.hwW<0,hxW单 调递减， (13分) 高考模拟调研卷 故h(x)的最 大值为(-) m(-a）-1, (15分) 令 ）-1≤1，特a≤- (16分) 综上可得，a的最大值为一号 (17分) 19.a)轿：由c君+ =1,得a2=6,b2=3, 3 又a2=b2+c2, 则c=3,即c=√5， 所以离心率e=S=2 21 (3分) a (2)解：由题设，易知两条切线的斜率一定 存在，设切线方程为y=mx+t, 联立x2+2y2=6, 可得x2+2(mx+t)=6, 所以(2m2+1)x2+4mtx+212-6=0, (4分) 则△=16m2t2-4(2m2+1)(2t2-6)=0, 得t=士√6m+3, 则切线方程为y=mx士√6m+3. √7 而Q(xo3xa十4)在切线上， 则 xQ+4=mxQ±V6m2+3, 所以（o+4-mro) =6m2+3,(6分)》 则(x6-6)m-2x(3x0+4m十 (7分) 设m1,m2 分别为过Q点的两条切线的 斜率， 3xo+4-3 2 根据垂直关系有mm2 =一1， x6-6 (8分) 所似[()'+小+8× 3xQ+7=0, 得xo= 37 4 故点Q的坐标为（一3》】 (9分) 10 (3)证明：当AC的斜率不存在时，则BD的 斜率为0，此时菱形ABCD的顶点为椭圆 的四个顶点， 故AC与BD的交点为坐标原点O; (10分) 当AC的斜率为0时，则BD的斜率不存 在，此时菱形ABCD的顶点为椭圆的四个 顶点， 故AC与BD的交点为坐标原点O; 当AC的斜率存在且不为O时，设直线AC 的方程为y=kx+n(k≠0)， (11分) 设点A(X1,y1),B(X2y2),AB的中点为 T(x',y). 联立2+2y2-6=0, y=kx十n, 得(2k2+1)x2+4kn.x+2n2-6=0, (13分) 所以△-16kn2-4(2k2+1)(2m2-6)= 8(6k2-n2+3)>0, 4kn 且x1十x2= 2k2+1’ -2kn 所以x'2+y=x+ 2 n n= 2k2+1' -2kn 即T(2+7'2k+ (14分) 因为菱形的对角线互相垂直平分， 所以直线BD的方程为 y-2+1= + 1 化简得y=一x一22+1' (15分) 同理可得BD中点的横坐标x”= -2(-2”+d -2kn )+ (2k2+1)(k2+2)' (16分) 因为x'=x"且k≠0， 所以n=0,即点T(0,0), 即AC与BD的交点为坐标原点O, 综上所述，AC与BD的交点为坐标原点O. (17分)