精品解析：上海金山实验中学2025-2026学年第二学期九年级 （1）班 摸底检测卷数学

2025学年第二学期初三（1）班第二学期摸底检测卷 一．选择题 1. 下列运算中正确是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知嘉嘉五次党史测试的成绩如条形统计图所示，现再测试一次，若六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（ ） A. 7分 B. 7.5分 C. 8分 D. 10分 4. 已知正方形ABCD的边长为1，设，那么的模为（ ） A B. C. D. 2 5. 已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为（ ） A B. C. D. 二．填空题 6. 因式分解：______． 7. 不等式的解集是______； 8. 方程的解是______． 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 10. 将抛物线先向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则平移后的抛物线的函数解析式为___________． 11. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是______． 12. 如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、黄、蓝三种颜色中随机选取一种，那么三个方格所涂颜色均不相同的概率是______． 13. 已知质量为的铁的体积是．现有一个体积为的铁钉，那么它的质量是______千克（结果用科学记数法表示）． 14. 如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点P，点B，C分别在y轴和x轴上，轴，轴，则的面积为____． 15. 如图，D是等边边上点，，作的垂线交、分别于点E、F，那么________． 三．解答题 16. 计算： 17. 解方程：． 18. 某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 （1）请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） （2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 19. 【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 （1）根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； （2）根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； （3）在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 20. 如图，在中，和是弦，半径、分别交于点、，且． （1）求证：； （2）若，求证：． 21. 定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． （1）如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． （2）如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 22. 如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点． （1）如果，，求边的长； （2）连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数； （3）连接并延长，交于点，如果，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期初三（1）班第二学期摸底检测卷 一．选择题 1. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了幂的运算(积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法)和合并同类项的核心法则，是幂运算的基础题型．对每个选项，先识别它属于哪种运算类型，逐一验证每个选项即可． 【详解】解：∵，∴选项A错误； ∵，∴选项B错误； ∵，∴选项C错误； ∵，∴选项D正确； 故选：D． 2. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，，正比例函数的定义为形如（为常数且）的函数，据此求解即可． 【详解】选项A：，x位于分母，不是正比例函数，不符合定义． 选项B：，x次数为2，不是正比例函数，不符合定义． 选项C：，含常数项，属于一次函数但非正比例函数． 选项D：，可化简为，符合的形式，k为，是正比例函数． 故选：D． 3. 如图，已知嘉嘉五次党史测试的成绩如条形统计图所示，现再测试一次，若六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（ ） A. 7分 B. 7.5分 C. 8分 D. 10分 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数推出第六次的测试成绩，再求出中位数即可． 【详解】解：由条形统计图可知，前五次的测试成绩为7、7、8、8、10， 若六次测试成绩的众数为7分，则第六次的测试成绩为7分， 所以，六次测试成绩的中位数是分． 4. 已知正方形ABCD的边长为1，设，那么的模为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的三角形法则将所求式子变形，利用正方形的边对应的向量表示，即可求解． 【详解】解：如图，∵正方形ABCD的边长为1， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的三角形法则，根据平面向量的特点将所求的式子结合正方形特点表示为是解题关键． 5. 已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，，过点A作于点D，设点E为的中点，过点E作交的延长线于点O，则点O即为的外接圆的圆心，利用三线合一定理和勾股定理求出的长，证明，得到，据此代入数值求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， 过点A作于点D，设点E为的中点，过点E作交的延长线于点O， ∵， ∴，即垂直平分， ∴； ∵点E为的中点，， ∴，且垂直平分， ∴点O即为的外接圆的圆心， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的外接圆的半径为． 二．填空题 6. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，准确找出多项式的公因式即可求解． 【详解】解： ． 7. 不等式的解集是______； 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式性质变形即可得到解集． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 8. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查无理方程的解法；根据两边同时平方，计算求解，再进行检验即可． 【详解】解： 两边同时平方得 解得：， 经检验，是原方程的解， 即原方程的解为； 故答案为：． 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，解之即可得出的值． 【详解】关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 10. 将抛物线先向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则平移后的抛物线的函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，熟练掌握平移口诀是解题关键． 根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”进行计算即可． 【详解】解：由函数平移口诀“左加右减，上加下减”可得， 平移后的函数解析式为． 故答案为：． 11. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、黄、蓝三种颜色中随机选取一种，那么三个方格所涂颜色均不相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图求解概率，正确画出树状图是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下， ∵在给每个方格涂色时，均从红、黄、蓝三种颜色中随机选取一种情况共有种，三个方格所涂颜色均不相同的情况共有种， ∴三个方格所涂颜色均不相同概率是 故答案为：． 13. 已知质量为的铁的体积是．现有一个体积为的铁钉，那么它的质量是______千克（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．先将体积单位从立方毫米转换为立方米，再求质量，最后用科学记数法表示结果，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为 ． 14. 如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点P，点B，C分别在y轴和x轴上，轴，轴，则的面积为____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，矩形和菱形的性质，根据反比例函数k值的几何意义求得，再逐步推理解答即可． 【详解】解：如图，连接， 轴，轴， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 点P在反比例函数图象上， ， 四边形是菱形， ， 故答案为：6． 15. 如图，D是等边边上点，，作的垂线交、分别于点E、F，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，过作交于，延长交于，过作于，作于，设，则，可得，，，证明，，同理可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作交于，延长交于，过作于，作于， ∵为等边三角形，， ∴，， 设，则， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是本题的关键． 三．解答题 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】分别化简各项，再作加减法． 【详解】解： = = = 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则． 17 解方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【详解】解： 方程两边同时乘以，得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 经检验，当时，， 原分式方程无解． 18. 某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 （1）请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） （2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】（1）， （2）8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【小问1详解】 解： 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 【小问2详解】 ． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 19. 【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 （1）根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； （2）根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； （3）在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，平行四边形的判定； （1）根据是平行四边形，添加条件即可； （2）由题意得，，计算即可解答； （3）延长，利用圆规在延长线上截取，连接；作，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可知是平行四边形，则需添加； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴，； ∵，，， ∴，； ∴ ∴， 【小问3详解】 解：如图所示即为所求： 延长，利用圆规在延长线上截取，连接； 作，交边于点E即可． 20. 如图，在中，和是弦，半径、分别交于点、，且． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由得，得到，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，连接， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． （1）如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． （2）如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键． （1）过点M作，设圆M的半径为R，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求，再利用同角三角函数值相等得：，求解即可； （2）①过点M作,，则，，则，对运用勾股定理即可建立y关于x的函数关系式； ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E，构造相似三角形，用x，y的代数式表示出B点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解． 【小问1详解】 解：过点M作，设圆M的半径为R， ∵，， ∴， ∵圆M是点P与直线的点切圆， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①过点M作,， 由（1）得，则，，则， 在中，得：，化简得：． ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E， ∵， ∴， ∴，则， ∴点代入得： 解得：或， ∴点或． 22. 如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点． （1）如果，，求边的长； （2）连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数； （3）连接并延长，交于点，如果，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，过点作，垂足为，由圆周角定理可得，进而可得，再证明，根据，可得，即可求解； （2）连接，设，则，，求出，得到，进而得到，，分和两种情况解答即可求解； （3）由可得，进而得到，可证明，得到，设，，则，，证明，得到，即可得到，由勾股定理，即可求解． 小问1详解】 解：连接，过点作，垂足为， ∵为的中点， ， ， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， 在与中，， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：连接， 设，则 在中，， 当时， 即 解得 ； 当时，， 即，不存在； 综上． 【小问3详解】 解：如图， 由 可得 ， ，，， ， ， 设 ，，由题意得 ，， 四边形为矩形， ， ，，， ， ， ， 即 ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $