2025-2026学年沪教版（五四制）七年级下册解答题专项突破之相交线与平行线

解答题专项突破之相交线与平行线2025-2026学年沪教版 （五四制）七年级下册（五板块） 板块一：与相交线有关的角度计算 1.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG平分∠BOC，∠DOF＝90°． （1）写出∠AOE的余角和补角； （2）若∠BOF＝30°，求∠AOE和∠COG的度数． 2.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOD＝88°，求∠BOD的度数． 3.如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE、OF在∠AOD内，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 3.如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE． （1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数； （2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由． 4.如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并证明； （2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数． 板块二：平行线的判定 1.如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且∠2＝∠3，求证：BC∥AD． 2.已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4． 求证：AB∥CD． 3.已知：如图，∠B＝80°，∠C＝50°，AC平分∠BAF．求证：EF∥BC． 4.如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由． 5.如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F．求证：CE∥DF． 板块三：用平行线的判定与性质性质求角度 1.如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB、直线CD相交于点E，F，点G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度数． 2.如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数． 3.如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OE⊥OF，∠D＝50°，求∠BOF的度数． 4.如图，AB∥CD，CE与AB交于点O，OF平分∠AOE，OG⊥OF． （1）若∠C＝50°，求∠BOF的度数； （2）求证：OG平分∠AOC． 5.如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠B+∠BCD＝180°，求证：∠CFE＝∠E． 板块四：利用平行线的判定与性质证明垂直或平行 1.如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB． 2.如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2． （1）试判断直线EF与直线CD的位置关系，并说明理由； （2）若EF⊥AB，∠1＝56°，求∠ADG的度数． 3.如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF． 4.如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF． 5.如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数． 板块五：平行线中的拐点问题 1.如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数． 2.如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数． 3.如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD. 4.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧． （1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝　 　； （2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为　 　．（用含n的式子表示） 5.小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究： （1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程； （2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由； （3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 【答案】 解答题专项突破之相交线与平行线2025-2026学年沪教版 （五四制）七年级下册（五板块） 板块一：与相交线有关的角度计算 1.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG平分∠BOC，∠DOF＝90°． （1）写出∠AOE的余角和补角； （2）若∠BOF＝30°，求∠AOE和∠COG的度数． 【答案】解：（1）∠AOE的余角是∠AOC，∠BOD；补角是∠AOF，∠EOB； （2）∠AOE＝∠BOF＝30°； ∵∠DOF＝90°， ∴∠COF＝90°， ∵∠BOC＝∠BOF+∠COF， ∴∠BOC＝90°+30°＝120°， ∵OG平分∠BOC， ∴∠COG∠BOC＝60°． 2.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOD＝88°，求∠BOD的度数． 【答案】解：∵∠EOD＝88°， ∴∠EOC＝180°﹣88°＝92°， ∵OA平分∠EOC，∠EOC＝92°， ∴∠AOC∠EOC92°＝46°， ∴∠BOD＝∠AOC＝46°． 3.如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE、OF在∠AOD内，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 【答案】解：∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD， ∴∠BOD：∠AOD＝1：5． ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝30°， ∵OD平分∠BOE， ∴∠BOD＝∠EOD＝30°， ∵OF⊥CD， ∴∠DOF＝90°， ∴∠EOF＝60°． 3.如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE． （1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数； （2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：∵BF⊥AE， ∴∠EBF＝∠ABF＝90°， ∵∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE， ∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°； （2）∠CBE﹣∠DBF＝90°． 证明：∵∠ABD﹣∠FBD＝∠ABF， ∴∠ABD﹣∠FBD＝90°， ∵∠CBE＝∠ABD， ∴∠CBE﹣∠DBF＝90°． 4.如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并证明； （2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数． 【答案】解：（1）OF⊥OD， 理由如下：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE， ∴∠EOF∠AOE，∠EOD∠BOE， ∵∠AOE+∠BOE＝180°， ∴∠EOF+∠EOD＝90°， ∴OF⊥OD； （2）∵∠AOC＝30°， ∴∠BOD＝∠AOC＝30°， ∴∠EOD＝∠BOD＝30°， ∴∠EOF＝90°﹣∠EOD＝60°． 板块二：平行线的判定 1.如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且∠2＝∠3，求证：BC∥AD． 【答案】证明：∵BE、DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴BC∥AD． 2.已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4． 求证：AB∥CD． 【答案】证明：∵∠1＝∠2＝∠E， ∴AD∥BE，∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE， 即∠BAE＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠3， ∴∠3＝∠BAE， ∵∠3＝∠4， ∴∠4＝∠BAE， ∴AB∥CD． 3.已知：如图，∠B＝80°，∠C＝50°，AC平分∠BAF．求证：EF∥BC． 【答案】证明：∵∠B＝80°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°， ∵AC平分∠BAF， ∴∠BAC＝∠CAF＝50°， ∴∠C＝∠CAF， ∴EF∥BC． 4.如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由． 【答案】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知）， ∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的性质）， 所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等）， 因为EA平分∠BAG， 所以∠1∠BAG（ 角平分线的性质）， 因为FG平分∠AGC，所以∠2∠AGC， 得∠1＝∠2（等量代换）， 所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行）． 5.如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F．求证：CE∥DF． 【答案】证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，（已知） ∴∠DBC∠ABC，∠ECB∠ACB．（角平分线的定义） 又∵∠ABC＝∠ACB，（已知） ∴∠DBC＝∠ECB．（等量代换） 又∵∠DBF＝∠F，（已知） ∴∠ECB＝∠F．（等量代换） ∴CE∥DF．（同位角相等，两直线平行） 板块三：用平行线的判定与性质性质求角度 1.如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB、直线CD相交于点E，F，点G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度数． 【答案】解：∵AB∥CD，∠EGC＝58°， ∴∠BEG＝∠EGC＝58°， ∵EG平分∠BEF， ∴∠BEF＝2∠BEG＝116°， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝180°﹣∠BEF＝180°﹣116°＝64°． 2.如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数． 【答案】解：∵CD平分∠ACM， ∴∠ACM＝2∠DCM． ∵∠DCM＝60°， ∴∠ACM＝120°． ∵直线AB与OM交于点C， ∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等）， ∵AB∥ON， ∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠O＝60°． 3.如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OE⊥OF，∠D＝50°，求∠BOF的度数． 【答案】解：∵CD∥AB， ∴∠CDO+∠DOB＝180°， ∴∠DOB＝180°﹣∠CDO＝180°﹣50°＝130°， ∵OE平分∠DOA， ∴∠DOE∠DOA＝65°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠BOF＝∠EOF﹣∠EOD＝25°． 4.如图，AB∥CD，CE与AB交于点O，OF平分∠AOE，OG⊥OF． （1）若∠C＝50°，求∠BOF的度数； （2）求证：OG平分∠AOC． 【答案】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BOE＝∠C＝50°， ∴∠AOE＝130°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠EOF＝∠AOF＝65°， ∴∠BOF＝∠BOE+∠EOF＝50°+65°＝115°； （2）∵OG⊥OF，即∠GOF＝90°， ∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠EOF+∠COG＝90°， ∵∠AOF＝∠EOF， ∴∠AOG＝∠COG， ∴OG平分∠AOC． 5.如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠B+∠BCD＝180°，求证：∠CFE＝∠E． 【答案】证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠2＝∠E，（两直线平行，内错角相等） ∵AE平分∠BAD， ∴∠1＝∠2．（角平分线的定义） ∴∠1＝∠E．（等量代换） ∵∠B+∠BCD＝180°（已知）， ∴AB∥DC．（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠1＝∠CFE．（两直线平行，同位角相等） ∴∠CFE＝∠E．（等量代换） 板块四：利用平行线的判定与性质证明垂直或平行 1.如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB． 【答案】证明： ∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB， ∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝90°， ∴DA⊥AB． 2.如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2． （1）试判断直线EF与直线CD的位置关系，并说明理由； （2）若EF⊥AB，∠1＝56°，求∠ADG的度数． 【答案】解：（1）EF∥DC， 理由：∵DG∥BC， ∴∠1＝∠DCB， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠DCB， ∴EF∥CD； （2）∵EF⊥AB， ∴∠AEF＝90°， ∵EF∥DC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠1＝56°， ∴∠ADG＝180°﹣90°﹣56°＝34°． 3.如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF． 【答案】解：∵∠3＝∠4（已知）， ∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠EDC＝∠5（两直线平行，内错角相等）， ∵∠5＝∠A（已知）， ∴∠EDC＝∠A（等量代换）， ∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行）， ∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 即∠5+∠2+∠3＝180°， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换）， 即∠BCF+∠3＝180°， ∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）． 4.如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF． 【答案】证明：∵∠1＝∠2，（已知） ∵∠2＝∠3，（对顶角相等） ∴∠1＝∠3．（等量代换） ∴DF∥CE．（同位角相等，两直线平行） ∴∠C＝∠ADM．（两直线平行，同位角相等） ∵∠C＝∠F，（已知） ∴∠F＝∠ADM．（等量代换） ∴AC∥BF．（内错角相等，两直线平行） ∴∠A＝∠B．（两直线平行，内错角相等） ∵AB⊥AC，（已知） ∴∠A＝90°． ∴∠B＝90°． ∴AB⊥BF．（垂直的定义）， 5.如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数． 【答案】证明：（1）∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC， 又∵∠AGE＝∠DGC， ∴∠A＝∠D， ∴AB∥CD； （2）∵∠1+∠2＝180°， 又∵∠CGD+∠2＝180°， ∴∠CGD＝∠1， ∴CE∥FB， ∴∠C＝∠BFD，∠CEB+∠B＝180°． 又∵∠BEC＝2∠B+30°， ∴2∠B+30°+∠B＝180°， ∴∠B＝50°． 又∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BFD， ∴∠C＝∠BFD＝∠B＝50°． 板块五：平行线中的拐点问题 1.如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数． 【答案】解：过C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°， ∵∠1＝120°，∠2＝110°， ∴∠ACF＝60°，∠DCF＝70°， ∴∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF， ＝180°﹣60°﹣70°＝50°， 答：∠3的度数是50°． 2.如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数． 【答案】解：如图：过点C作CF∥AB， ∵CF∥AB ∴∠3＝∠1＝25° ∵AB∥DE， ∴DF∥CE， ∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°， ∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°， ∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°． 3.如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD. 【答案】证明：如图，过点E在∠BEC的内部作EM∥AB， ∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°, ∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°， ∵EM//AB, ∴∠BEM=∠1=70°， ∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°， ∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，. ∴EM∥CD,又∵EM∥AB ∴AB∥CD. 4.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧． （1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝　 　； （2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为　 　．（用含n的式子表示） 【答案】解：（1）过点M作MP∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MP， ∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD， ∵∠M＝∠1+∠2＝90°， ∴∠MEB+∠MFD＝90°， ∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°， ∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°． 故答案为：270°； （2）过点N作NQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥NQ， ∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD， ∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF， ∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N， ∵∠NEB∠MEB，∠DFNMFD， ∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN（∠MEB+∠MFD）， 由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF， ∴∠ENF∠EMFn°． 故答案为：n°． 5.小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究： （1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程； （2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由； （3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 【答案】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B， 理由是：∵AB∥CD，OM∥CD， ∴AB∥CD∥OM， ∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM， ∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D； （2）∠B＝∠BOD+∠D， 理由是：如图：过O作OM∥CD， ∵AB∥CD，OM∥CD， ∴AB∥CD∥OM， ∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM， ∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB； （3）∠D＝∠DOB+∠B， 理由是：如图：过O作OM∥CD， ∵AB∥CD，OM∥CD， ∴AB∥CD∥OM， ∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM， ∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB． 学科网（北京）股份有限公司 $