2025-2026学年沪教版（五四制）七年级下册解答题专项突破之一元一次不等式

解答题专项突破之一元一次不等式2025-2026学年沪教版 （五四制）七年级下册（五板块） 板块一：解一元一次不等式 1．解不等式． （1）2（2x+3）≤5（x+1）；（2）1． 2．解不等式：． 3.解下列不等式并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）5（x+2）≥1﹣2（x﹣1）；（2）． 4.解不等式：．并把它的解集在数轴上表示出来． 5.解不等式：，并写出该不等式的正整数解． 板块二：解不等式组 1．解不等式组：． 2．解不等式组：． 3．解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 4.解不等式组． 请结合解题过程，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　 　； （Ⅱ）解不等式②，得 　 　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　． 5.解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的整数解． 板块三：不等式（组）与新定义运算 1.对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算规则如下：a⊗b＝a﹣2b．例如：5⊗2＝5﹣2×2＝1．若x⊗3的值不小于﹣5，求x的取值范围，并在数轴上表示出来． 2．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6． （1）求（﹣2）※； （2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 3.（1）如果x﹣y＝0，那么x　 　y，如果x﹣y＞0，那么x　 　y，如果x﹣y＜0，那么x　 　y．（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）用（1）的方法尝试比较a2﹣5a+4与（8﹣10a）大小； （3）对于任意实数a、b，定义运算@如下，a@b＝2a﹣b，例如5@3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝﹣6﹣5＝﹣11，已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的取值范围． 4.阅读材料：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：一元一次不等式组的解集是1＜x＜5，x＝2是它的一个解，则称一元一次方程x＝2是一元一次不等式组的关联方程． 解决下列问题： （1）判断方程3x﹣1＝0是否为不等式组的关联方程，并说明理由； （2）若m＞0，关于x的不等式组的所有关联方程的整数解是同一个整数，求m的最大值． 5.阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，例如：2×5﹣3×4＝﹣2． （1）填空：若0，则x＝　　 ，0，则x的取值范围　 ； （2）若对于正整数m，n满足，13，求m+n的值； （3）若对于两个非负数x，y，k，求实数k的取值范围． 板块四：一元一次不等式应用题 1.“桃之夭夭，灼灼其华”，每年2﹣3月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光．小王抓住这一商机，计划从市场购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售．据调查，购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元，其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍． （1）求1件A型号和1件B型号自拍杆的进价各是多少元？ （2）若小王计划购进A、B两种型号自拍杆共100件，并将这两款手机自拍杆分别以20元50元的价钱进行售卖．为了保证全部售卖完后的总利润不低于1100元，求最多购进A型号自拍杆多少件？ 2.为推进顺义区创建文明城区，某班开展“我爱顺义”主题知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的同学，班级准备从文具店一次性购买若干橡皮和笔记本（橡皮的单价相同，笔记本的单价相同）作为奖品．笔记本的单价比橡皮的单价多3元，若购买2块橡皮和3本笔记本共需19元． （1）橡皮和笔记本的单价各是多少元？ （2）班级需要购买橡皮和笔记本共30件作奖品，购买的总费用不超过90元，班级最多能购买多少本笔记本？ 3.为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需284元． （1）每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为多少元？ （2）社区计划购进科技类图书和文学类图书共60本，且总费用不超过2000元，那么最多购进科技类图书多少本？ 4.春节前小六从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，蔬菜批发价格与零售价格如表： 品种 青椒 土豆 批发价（元/kg） 1.5 3 零售价（元/kg） 3 4 请解答下列问题： （1）第一天，小六批发青椒和土豆两种共200kg，用去了450元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？ （2）第二天，还是用去450元钱仍然批发青椒和土豆，要想当天全部售完后所赚钱数不少于270元，则该最多能批发土豆多少kg？ 5.端午节将至，某商家预测粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种粽子400个，乙种粽子200个，需要1800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要2950元． （1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？ （2）该商家准备1400元全部用来购买甲、乙两种粽子，销售每个甲种粽子可获利1.5元，销售每个乙种粽子可获利3元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于930元，那么商家至多购进甲种粽子多少个？ 板块五：不等式组应用题 1.某班男女同学分别参加植树劳动，要求男女同学各种8行树，男同学种的树比女同学种的树多，如果每行都比预定的多种一棵树，那么男女同学种树的数目都超过100棵；如果每行都比预定的少种一棵树，那么男女同学植树的数目都达不到100棵．这样原来预男女同学各种树多少棵？ 2．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答） 4.某校筹备20周年校庆，学校决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造形需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．你班承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？ 5.某初中新校区需要设计建设一些大餐厅和小餐厅，经过预算：如果建设1个大餐厅和2个小餐厅，需要花38600元；如果建设2个大餐厅、1个小餐厅，需要花46600元． （1）建设1个大餐厅、1个小餐厅分别需要花多少钱？ （2）某初中新校区想用不少于7.5万元又不超过9万元，建设这两种餐厅共6个，那么有哪几种设计方案？ 【答案】 解答题专项突破之一元一次不等式2025-2026学年沪教版 （五四制）七年级下册（五板块） 板块一：解一元一次不等式 1．解不等式． （1）2（2x+3）≤5（x+1）；（2）1． 【答案】解：（1）去括号得：4x+6≤5x+5， 移项得：4x﹣5x≤5﹣6， 合并得：﹣x≤﹣1， 系数化为1得：x≥1， 故不等式的解集为：x≥1； （2）去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6， 去括号得：4x﹣2﹣15x﹣3≥6， 移项得：4x﹣15x≥6+2+3， 合并得：﹣11x≥11， 系数化为1得：x≤﹣1， 故不等式的解集为：x≤﹣1； 2．解不等式：． 【答案】解：， 去分母得：3（3+x）﹣6＜4x+3， 去括号得：9+3x﹣6＜4x+3， 移项合并得：﹣x＜0， 系数化为1得：x＞0． 3.解下列不等式并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）5（x+2）≥1﹣2（x﹣1）；（2）． 【答案】解：（1）5（x+2）≥1﹣2（x﹣1）， 去括号得：5x+10≥1﹣2x+2， 移项并合并得：7x≥﹣7， 系数化为1得解集为：x≥﹣1， 把不等式的解集在数轴上表示为： ； （2）， 去分母得：2（x﹣2）﹣3x≤6， 去括号得：2x﹣4﹣3x≤6， 移项并合并得：﹣x≤10， 系数化为1得解集为：x≥﹣10， 把不等式的解集在数轴上表示为： ． 4.解不等式：．并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】解：去分母得：2x﹣1≤2（3x+2）﹣4， 去括号得：2x﹣1≤6x+4﹣4， 移项合并得：﹣4x≤1， 化系数为1：x． 在数轴上表示为： ． 5.解不等式：，并写出该不等式的正整数解． 【答案】解：去分母得：3x﹣6＞10x﹣20， 移项得：3x﹣10x＞6﹣20， 合并得：﹣7x＞﹣14， 解得：x＜2， ∴正整数解为1． 板块二：解不等式组 1．解不等式组：． 【答案】解：， 由①得：x＞3， 由②得：x≤4， 2．解不等式组：． 【答案】解：， 由1得x， 由4x﹣5≤3x+2得x≤7， 3．解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】解：解不等式①得，x≥﹣1， 解不等式②得，x＞0， 所以不等式组的解集为x＞0． 这个不等式组的解集在数轴上表示如图： 4.解不等式组． 请结合解题过程，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　 　； （Ⅱ）解不等式②，得 　 　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　． 【答案】解：， 解不等式①， 得x＞﹣2， 解不等式②， 得x≤2， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 故原不等式组的解集为﹣2＜x≤2． 故答案为：x＞﹣2，x≤2，﹣2＜x≤2． 5.解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的整数解． 【答案】解：， 由①得：x≤2， 由②得：x＞﹣2， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2， 解集表示在数轴上，如图所示： 则不等式组的整数解为﹣1，0，1，2． 板块三：不等式（组）与新定义运算 1.对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算规则如下：a⊗b＝a﹣2b．例如：5⊗2＝5﹣2×2＝1．若x⊗3的值不小于﹣5，求x的取值范围，并在数轴上表示出来． 【答案】解：∵x⊗3的值不小于﹣5， ∴x﹣6≥﹣5， 解得：x≥1． 不等式的解集在数轴上表示为： ． 2．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6． （1）求（﹣2）※； （2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 【答案】解：（1）（﹣2）※（﹣2）2（﹣2）34233； （2）3※m≥﹣6， 则32m﹣3m﹣3m≥﹣6， 解得：m≥﹣2， 将解集表示在数轴上如下： 3.（1）如果x﹣y＝0，那么x　 　y，如果x﹣y＞0，那么x　 　y，如果x﹣y＜0，那么x　 　y．（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）用（1）的方法尝试比较a2﹣5a+4与（8﹣10a）大小； （3）对于任意实数a、b，定义运算@如下，a@b＝2a﹣b，例如5@3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝﹣6﹣5＝﹣11，已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的取值范围． 【答案】解：（1）如果x﹣y＝0，那么x＝y，如果x﹣y＞0，那么x＞y，如果x﹣y＜0，那么x＜y， 故答案为：＝，＞，＜； （2）∵a2﹣5a+4（8﹣10a） ＝a2﹣5a+4﹣4+5a ＝a2≥0， ∴a2﹣5a+4（8﹣10a）； （3）解方程2（2x﹣1）＝x+1得x＝1， 由x@a＜5知2x﹣a＜5， 解得x， 由题意知1， 解得a＞﹣3． 4.阅读材料：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：一元一次不等式组的解集是1＜x＜5，x＝2是它的一个解，则称一元一次方程x＝2是一元一次不等式组的关联方程． 解决下列问题： （1）判断方程3x﹣1＝0是否为不等式组的关联方程，并说明理由； （2）若m＞0，关于x的不等式组的所有关联方程的整数解是同一个整数，求m的最大值． 【答案】解：（1）解方程3x﹣1＝0得x， 解不等式组得﹣2＜x＜1， ∴方程3x﹣1＝0是不等式组的关联方程； （2）解不等式组得， 由题意得m只有一个正整数解， 所以m的最大值是12． 5.阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，例如：2×5﹣3×4＝﹣2． （1）填空：若0，则x＝　　 ，0，则x的取值范围　 ； （2）若对于正整数m，n满足，13，求m+n的值； （3）若对于两个非负数x，y，k，求实数k的取值范围． 【答案】解：（1）由题意可得﹣x﹣0.5（2x﹣1）＝0， 整理可得﹣x﹣x+0.5＝0， 解得x； 由题意可得2x﹣（3﹣x）＞0， 解得x＞1， 故答案为，x＞1； （2）由题意可得，1＜4﹣mn＜3， ∴1＜mn＜3， ∵m、n是正整数， ∴m＝1，n＝2，或m＝2，n＝1， ∴m+n＝3； （3）由题意可得3（x﹣1）﹣2y＝﹣x+2y＝k， ∴， ①+②得：2x＝2k+3， 解得：x， 将x代入②，得：2y＝k， 解得y， ∵x、均为非负数， ∴， 解得k． 板块四：一元一次不等式应用题 1.“桃之夭夭，灼灼其华”，每年2﹣3月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光．小王抓住这一商机，计划从市场购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售．据调查，购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元，其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍． （1）求1件A型号和1件B型号自拍杆的进价各是多少元？ （2）若小王计划购进A、B两种型号自拍杆共100件，并将这两款手机自拍杆分别以20元50元的价钱进行售卖．为了保证全部售卖完后的总利润不低于1100元，求最多购进A型号自拍杆多少件？ 【答案】解：（1）设A型号自拍杆的进价是x元，B型号自拍杆的进价是2x元， 根据题意得，x+2x＝45， 解得x＝15， 答：A型号自拍杆的进价是15元，B型号自拍杆的进价是30元； （2）设购进A型号自拍杆m件，则购进B型号自拍杆（100﹣m）件， 根据题意得，（20﹣15）m+（50﹣30）（100﹣m）≥1100， 解得m≤60， 答：最多购进A型号自拍杆60件． 2.为推进顺义区创建文明城区，某班开展“我爱顺义”主题知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的同学，班级准备从文具店一次性购买若干橡皮和笔记本（橡皮的单价相同，笔记本的单价相同）作为奖品．笔记本的单价比橡皮的单价多3元，若购买2块橡皮和3本笔记本共需19元． （1）橡皮和笔记本的单价各是多少元？ （2）班级需要购买橡皮和笔记本共30件作奖品，购买的总费用不超过90元，班级最多能购买多少本笔记本？ 【答案】解：（1）设橡皮的单价是x元，笔记本的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：橡皮的单价是2元，笔记本的单价是5元； （2）设购买m本笔记本，则购买（30﹣m）块橡皮， 根据题意得：2（30﹣m）+5m≤90， 解得：m≤10， ∴m的最大值为10． 答：班级最多能购买10本笔记本． 3.为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需284元． （1）每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为多少元？ （2）社区计划购进科技类图书和文学类图书共60本，且总费用不超过2000元，那么最多购进科技类图书多少本？ 【答案】解：（1）设每本科技类图书的价格为x元，每本文学类图书的价格为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本科技类图书的价格为36元，每本文学类图书的价格为28元； （2）设购进科技类图书m本，则购进文学类图书（60﹣m）本， 根据题意得：36m+28（60﹣m）≤2000， 解得：m≤40， ∴m的最大值为40． 答：最多购进科技类图书40本． 4.春节前小六从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，蔬菜批发价格与零售价格如表： 品种 青椒 土豆 批发价（元/kg） 1.5 3 零售价（元/kg） 3 4 请解答下列问题： （1）第一天，小六批发青椒和土豆两种共200kg，用去了450元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？ （2）第二天，还是用去450元钱仍然批发青椒和土豆，要想当天全部售完后所赚钱数不少于270元，则该最多能批发土豆多少kg？ 【答案】解：（1）设批发青椒xkg，土豆（200﹣x）kg， 由题意得：1.5x+3×（200﹣x）＝450， 解得：x＝100， 故批发青椒100kg，土豆100kg， 则这两种蔬菜当天全部售完一共能赚：100×1.5+100×1＝250（元）， 答：这两种蔬菜当天全部售完一共能赚250元； （2）设批发了土豆ykg，则青椒批发（450﹣3y）÷1.5 kg 由题意得（3﹣1.5）×（450﹣3y）÷1.5+（4﹣3）y≥270 解得 y≤90 答：最多能批发土豆90kg． 5.端午节将至，某商家预测粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种粽子400个，乙种粽子200个，需要1800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要2950元． （1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？ （2）该商家准备1400元全部用来购买甲、乙两种粽子，销售每个甲种粽子可获利1.5元，销售每个乙种粽子可获利3元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于930元，那么商家至多购进甲种粽子多少个？ 【答案】解：（1）设甲种粽子每个进价是a元，乙种粽子每个进价是b元， 由题意可得：， 解得， 答：甲种粽子每个的进价是2.5元，乙种粽子每个的进价是4元； （2）设该商家购进甲种粽子x个，则购进乙种粽子个． 由题意，得：1.5x3≥930， 解得x≤320， ∴x的最大整数值为320， 答：该商家至多购进甲种粽子320个． 板块五：不等式组应用题 1.某班男女同学分别参加植树劳动，要求男女同学各种8行树，男同学种的树比女同学种的树多，如果每行都比预定的多种一棵树，那么男女同学种树的数目都超过100棵；如果每行都比预定的少种一棵树，那么男女同学植树的数目都达不到100棵．这样原来预男女同学各种树多少棵？ 【答案】解：设原来每行树的棵数为x． ， 解得11.5＜x＜13.5， ∵x为整数， ∴x为12，13． ∵男同学种的树比女同学种的树多， ∴男同学每行种13棵树，女同学每行种12棵树． ∴男同学种了13×8＝104棵树，女同学种了12×8＝96棵树． 答：预定男同学种树104棵，女同学种树96棵． 2．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答） 【答案】解：设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树， 依题意，得：， 解得：44＜x＜45， 又∵x为正整数， ∴x＝45，3x+86＝221． 答：该班有45名学生，本次一共种植221棵树． 3．李明和小华的年龄相差8岁．今年，李明的年龄比小华年龄的2倍大；两年后，小华的年龄比李明年龄的大．试问：李明和小华今年各多少岁？ 【答案】解：设今年李明x岁，则今年小华（x﹣8）岁， 根据题意，得：， 解不等式组，得：14＜x＜16， ∵x为正整数， ∴x＝15，x﹣8＝15﹣8＝7， 答：李明和小华今年分别是15岁、7岁． 4.某校筹备20周年校庆，学校决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造形需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．你班承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？ 【答案】解：设搭配A种造型x个，则搭配B种造型（50﹣x）个， 依题意得：， 解得：31≤x≤33． 又∵x为正整数， ∴x可以为31，32，33， ∴共有3种搭配方案， 方案1：搭配A种造型31个，B种造型19个； 方案2：搭配A种造型32个，B种造型18个； 方案3：搭配A种造型33个，B种造型17个． 5.某初中新校区需要设计建设一些大餐厅和小餐厅，经过预算：如果建设1个大餐厅和2个小餐厅，需要花38600元；如果建设2个大餐厅、1个小餐厅，需要花46600元． （1）建设1个大餐厅、1个小餐厅分别需要花多少钱？ （2）某初中新校区想用不少于7.5万元又不超过9万元，建设这两种餐厅共6个，那么有哪几种设计方案？ 【答案】解：（1）设建设1个大餐厅需要花x元，1个小餐厅需要花y元， 根据题意得：， 解得：． 答：建设1个大餐厅需要花18200元，1个小餐厅需要花10200元； （2）设建设m个大餐厅，则建设（6﹣m）个小餐厅， 根据题意得：， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m可以为2，3， ∴该初中新校区共有2种设计方案， 方案1：建设2个大餐厅，4个小餐厅； 方案2：建设3个大餐厅，3个小餐厅． 学科网（北京）股份有限公司 $