精品解析：陕西榆林市2026届高三模拟预测数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试（五） 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ） A 1 B. 3 C. 4 D. 6 5. 甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在正三棱柱中，，D，E分别为线段，的中点，点F在上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 将双曲线绕原点O逆时针旋转后，得到函数的图象，已知直线是函数图象的一条渐近线，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知函数的定义域为，若，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 10 D. 20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，O为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 点F到直线OM的距离为 10. 已知直线与函数的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，且，则（ ） A. B. 函数的定义域为 C. 点是函数的图象的一个对称中心 D. 函数与函数的图象在上的交点个数为4 11. 一封闭圆锥容器（容器厚度忽略不计）的轴截面是边长为10的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则（ ） A. 该圆锥侧面积为 B. 小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为2 C. 小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离为4 D. 小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 13. 已知数列的前n项和为，，，则______． 14. 若恒成立，则实数a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）估算样本的中位数； （2）已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差． 16. 如图所示，在正四棱柱中，为的中点，． （1）求点到平面的距离； （2）求二面角正弦值． 17. 已知等差数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）证明：． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为． （1）求动点P轨迹方程； （2）直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长； （3）若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围． 19. 已知函数． （1）讨论函数在区间内极值点的个数． （2）设函数，若函数存在两个不同的零点，且． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试（五） 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为为纯虚数，所以，故． 2. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照集合间的运算的定义计算即可. 【详解】 ，. 故选：C 3. 如图所示，每个小菱形的边长均为1，向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由图可知，，，因为每个小菱形的边长均为1， 向量与的夹角为，所以， 则． 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由于，且，所以． 设外接圆的半径为， 因为，所以，可得． 5. 甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】总事件数为，乙获胜的事件数是， 则乙获胜的概率是． 6. 如图所示，在正三棱柱中，，D，E分别为线段，的中点，点F在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正三棱柱性质以及线面垂直判定定理可证明平面，即可得，再由线面垂直性质可知，根据棱长计算求得，可得结果. 【详解】如图所示，取AC的中点G，连接BG，EG，DG． 为线段的中点，， 平面，平面，． ，BG，平面， 平面平面． 平面， 平面，平面，． 三棱柱的棱长为2，， ． 7. 将双曲线绕原点O逆时针旋转后，得到函数的图象，已知直线是函数图象的一条渐近线，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得双曲线旋转后的实轴所在直线方程，结合函数的解析式，利用双曲线的性质求的值即可． 【详解】 如图所示，易知直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 则直线， 由，得， 则． 由题意可知，函数图象的另一条渐近线为直线， 过点和点分别作直线的垂线分别交直线于点N，M，Q，P， ， ． 8. 已知函数的定义域为，若，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法得函数的对称性和周期性，从而得解. 详解】令，则， 令，则． 令，则，所以函数的图象关于直线对称． 令，则， 所以，的图象关于点对称． 由和，可得， 令，则， 故，则， 是周期的函数． 又，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，O为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 点F到直线OM的距离为 【答案】BC 【解析】 【详解】抛物线的焦点，准线， 对于A，由抛物线的定义，得，则，A错误； 对于B，由点在抛物线C上，得，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，设点F到直线OM的距离为d，则，，D错误. 10. 已知直线与函数的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，且，则（ ） A. B. 函数的定义域为 C. 点是函数的图象的一个对称中心 D. 函数与函数的图象在上的交点个数为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数最小正周期求出判断选项A；利用解析式求正切型函数的定义域判断选项B；整体代入法求函数的对称中心判断选项C；作出函数图象得交点个数判断选项D． 【详解】由题意可知，函数最小正周期， 则有，故，A项错误； 因为，所以， 所以，B项正确； 令，解得， 则函数图象的对称中心为， 令，故是图象的一个对称中心，故C项正确； 画出函数与函数的图象， 易知两函数图象在上共有4个交点，故D项正确． 11. 一封闭圆锥容器（容器厚度忽略不计）的轴截面是边长为10的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 小球球心到圆锥顶点的距离的最小值为2 C. 小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离为4 D. 小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用圆锥的几何结构特征，圆锥和圆台的侧面积公式，结合圆锥的轴截面，以及三角形的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由题意知，圆锥的底面圆的半径为，母线长为，高为， 对于A，该圆锥的侧面积为，所以A正确； 对于B，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图所示， 因为小球的半径为，在直角中，可得 即小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为，所以B错误； 对于C，直角中，可得， 所以，且，， 又因为和都是等边三角形，所以， 则圆台的上、下底面圆的半径分别为，母线长， 因为，可得， 当小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离，所以C正确； 对于D，由截得圆台上、下底面圆的半径分别为，母线长为， 所以截得圆台的侧面积为， 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为， 可得其面积为， 所以圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为，所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 【答案】1 【解析】 【详解】因为，则． 13. 已知数列的前n项和为，，，则______． 【答案】2n 【解析】 【分析】根据递推公式及等差数列的概念可得，然后根据通项与前n项和的关系可得数列的通项公式． 【详解】因为，等式两边同时除以， 得，当时，， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以，即， 所以当时，， 当时，也符合上式， 所以． 14. 若恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，结合余弦函数的最值性质、任意性的定义，通过构造函数，利用导数研究函数的最值即可． 【详解】易知， 令，则， 所以．当时，， 当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 由，得函数的最小值为， 因为，所以． 所以实数a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）估算样本的中位数； （2）已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差． 【答案】（1）75 （2）28.2 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估算出样本的中位数. （2）利用分层抽样的方差公式计算即得． 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得， 数据在的频率为，在的频率为， 所以样本的中位数约为. 【小问2详解】 由（1）知数据在上与上的频率之比为， 因此样本数据的总平均重量（克）， 所以总方差. 16. 如图所示，在正四棱柱中，为的中点，． （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点到平面的距离为，利用等体积法，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和的法向量，利用面面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 设点到平面的距离为， 因为是正四棱柱，为的中点，， 所以， 则， 由，即，得到， 解得，故点到平面的距离为． 【小问2详解】 以，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 则， 设为平面的法向量， 所以，即，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设为平面的一个法向量， 所以，即，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 因为， 则， 所以二面角的正弦值为． 17. 已知等差数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式基本量运算计算求解； （2）利用等差数列求和公式结合裂项相消法求和； （3）放缩法解等比数列求和公式证明不等式问题． 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由题意可知 解得，故． 【小问2详解】 由（1）得，所以， 数列的前项和为； 【小问3详解】 由（2）知，其中， 当时， ， 当时，． 综上所述，． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为． （1）求动点P的轨迹方程； （2）直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长； （3）若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合斜率公式计算即得动点的轨迹方程； （2）联立直线与椭圆得出韦达定理，再由弦长公式计算即得； （3）先设直线方程再联立，写出韦达定理，应用题设条件得出斜率关系，计算得出定点，再列出三角形的面积及基本不等式计算范围． 【小问1详解】 设交点P的坐标为，因为直线AP与BP的斜率之积为， 所以，所以，则， 故动点P的轨迹方程为． 【小问2详解】 由与椭圆联立，可得， 设，则， 所以弦长． 【小问3详解】 设直线的方程为， 由得， 所以，， 因为恰好被x轴平分，所以， 所以直线的斜率与直线的斜率存在且， 即，整理得， 即，因，解得，即直线经过定点， 所以的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以面积的取值范围是． 19. 已知函数． （1）讨论函数在区间内极值点的个数． （2）设函数，若函数存在两个不同的零点，且． （i）求实数a取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析. （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数，分情况和讨论极值点； （2）（i）利用导数研究单调性，从而得，由函数存在两个不同的零点可得，得解； （ii）根据零点的分布和大小情况进行考虑入手即可. 【小问1详解】 因为，所以． 若，当时，恒成立， 则函数在上单调递增，无极值点． 若，当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 故是函数的极小值点，且函数无极大值点． 综上可知，当时，函数在区间内极值点的个数为0； 当时，函数在区间内极值点的个数为1． 【小问2详解】 （i）由题意知， 所以． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为函数存在两个不同的零点，所以，即， 所以实数a的取值范围为． （ii）下面找两个点m，，使得， 注意到，且，于是考虑找点， 下面我们证明：． ①要证，即证，设，要证明， 即设，则，则 所以在上单调递增，得， 所以在上单调递增， 故，即 因此． 设，则， 所以在上单调递增，所以， 因此，又，故，即， 又，所以．． ②， 设，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 因为，即，所以，且， 因此， 因为，所以，所以， 即得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $