精品解析：江西九江外国语学校2025-2026学年九年级下学期数学第六次综合练习

九江外国语学校2025－2026学年度第六次综合练习 九年级数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数，根据无理数和有理数的概念，对各个选项中的数进行判断即可． 【详解】解：A. 是无理数，不符合题意； B. 是无理数，不符合题意； C. 是有理数，符合题意； D. 是无理数，不符合题意； 故选：C． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘的运算规则，掌握其运算法则是关键． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此即可求解． 【详解】解：根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加， ∴， 故选：B． 3. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 观察下列图形的构成规律，按此规律，第6个图形中棋子的个数为（ ）． A. 18 B. 19 C. 21 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据图形找规律. 根据各个图形中棋子的个数，找出棋子的变化规律，并归纳公式即可得出结论． 【详解】解：第1个图形中棋子的个数为； 第2个图形中棋子的个数为； 第3个图形中棋子的个数为； …… 第n个图形中棋子的个数为； 第6个图形中棋子的个数为； 故选：B． 5. 某学校篮球队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16这五种情况，如图所示，其中部分数据因破损无法看到，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则年龄为14岁的队员人数可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据众数和中位数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：由图中数据可知小于14的4人，大于14的也是4人， ∴这组数据的中位数为14， ∵队员年龄的唯一的众数与中位数相等， ∴众数是14， 即年龄为14的人最多， ∴14岁的队员最少有4人． 故选：D． 6. 物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据得，结合图象解答即可． 【详解】解：根据图象得，，， 又， 故． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据题意可知，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 8. 赣江是江西省最大河流，位于长江中下游南岸，源出赣闽边界武夷山西麓，自南向北纵贯全省，全长．数字766000用科学记数法可表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，n为整数，是解题的关键．根据科学记数法的表示方法，进行表示即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 如图，以正五边形的顶点为旋转中心，将正五边形顺时针旋转，若得到的新五边形的顶点落在的延长线上，则旋转的最小度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题重点考查正多边形内角度数的求法、旋转的性质等知识，求得是解题的关键． 由五边形是正五边形，求得，若点在的延长线上，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 点在的延长线上， ， ， 旋转的最小度数为， 故答案为：． 10. 若m、n是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为_____． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故答案为：0． 11. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示 “企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了七巧板，勾股定理，等腰三角形的判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是理解图形． 根据题意对应上图1和图2中七巧板，过点E作交的延长线于点H，算出，，再根据勾股定理即可求解； 【详解】解：如图，图1和图2中七巧板对应如下， ∵正方形的边长为4， ∴， 过点E作交的延长线于点H， 则， ， ， ， 故答案为：． 12. 在矩形中，，点E在边上，且，P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为________． 【答案】或或6 【解析】 【分析】是直角三角形，分三种情况画出图形，利用相似三角形的判定和性质分别进行解答即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 若是直角三角形，则有以下三种情况： ①如图，当时，， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图（2）当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ③如图（3），当时，设，则．同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，CP的长是或或6． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1）； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、解一元一次不等式组，解题关键是掌握解一元一次不等式组的步骤及实数混合运算时先化简各项． （1）先计算绝对值、零指数幂以及特殊角的正弦值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 14. 先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键； 先根据分式的混合运算法则化简原分式，然后结合分式有意义的条件代值求解即可． 【详解】解： ， ∵a满足，即但， ∴， ∴当时，原式． 15. 在，．请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，点E在边上，且，作的平分线． （2）如图2，点E、F分别在边、上，且 ，连接 ．过点A 作的垂线． 【答案】（1） 如图，连接， 即为所求， 证明∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2） 连接、，与交于点O，连接，并延长交于N，连接，如图， 即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接，即可作答； （2）连接、，与交于点O，连接，并延长交于N，连接，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：连接，并延长交于M，连接、、， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可证明：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 16. 某校组织学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因"为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A．中央红军长征出发地纪念园，B．南昌八一起义纪念馆，C．秋收起义修水纪念馆，D．井冈山革命博物馆，小佳、小文、小雨三位同学各自随机选择一条研学线路． （1）小佳同学选择线路D的概率为 ； （2）请用画树状图法或列表法，求小文、小雨两位同学选择不同线路的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数． （1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比； （2）根据列表法即可求得概率． 【小问1详解】 解：依题意，共四条研学线路，每条线路被选择的可能性相同． 小佳选择线路D的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意，列表可得 小文\小雨 A B C D A B C D 由列表可得，共有16种等可能性结果，其中不同线路的可能结果有12种， 小文、小雨选择不同线路的概率为． 17. 智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． （1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） （2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】（1）元 （2）这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； 【小问2详解】 解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A的坐标为，点C在反比例函数的图象上，BC与反比例函数的图象交于点D，连接OD． （1）点C的坐标为（_______，_______）． （2）求BC所在直线的解析式： （3）求的面积． 【答案】（1）2；3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为、，通过证明得到，，则； （2）过点A作轴，过点B作，交FA的延长线于点G，证明，得到，则，最后利用待定系数法求出对应的解析式即可； （3）先求出的长度，再求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为、， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴，， ∵的坐标为， ∴，， 故点的坐标为， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：如图，过点A作轴，过点B作，交FA的延长线于点G， ． 四边形为正方形， ， ， ， ， ． 设BC所在直线的解析式为， 则 解得 ∴BC所在直线的解析式为． 【小问3详解】 解：， ， 联立，得 解得或 ， ， ． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定等等，正确求出、的坐标是解题的关键． 19. 如图是某校操场上的一种漫步机，图是其侧面结构示意图，已知主支架长为，且与水平地面基架的夹角为，前支架与所成的，扶手长为，． （1）求的度数； （2）求漫步机的高度（点到的距离）． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】（1）； （2）漫步机的高度约为． 【解析】 【分析】（）利用三角形内角和定理计算即可求解； （）过点作的平行线，过点作于，于，解直角三角形和直角三角形即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：过点作的平行线， ∵， ∴， ∵， ∴， 分别过点作于，于， ∵，，，， ∴， ， ∴漫步机的高度为． 20. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛.为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下： ①收集数据 从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下： 81 83 84 85 86 87 87 88 89 90 92 92 93 95 95 95 99 99 100 100 ②整理、描述数据． 按下表分段整理描述样本数据： 分数x 七年级 4 6 2 8 八年级 3 a 4 7 ③分析数据． 两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91 89 97 40.9 八年级 91 b c 33.2 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，______同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）； （3）从样本数据分析来看，分数较整齐的是______年级（填“七”或“八”）； （4）如果七年级共有500人参赛，请你估计七年级参赛学生的分数不低于95分的人数． 【答案】（1），， （2）甲 （3）八 （4）估计七年级参赛学生的分数不低于95分的人数为200人 【解析】 【分析】（1）根据七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数可得a＝6，第10，11名学生的成绩为90分，92分，即可求出b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值； （2）根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论； （3）根据方差进行评价即可作出判断； （4）用七年级不低于95分的比例乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：∵七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数， ∴a＝20﹣3﹣4﹣7＝6， 八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分， ∴b＝（分）， 八年级成绩的95分出现了3次，次数最多， ∴c＝95， 故答案为：6，91，95； 【小问2详解】 解：甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下： ∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分， ∴90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数， ∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前； 故答案为：甲； 【小问3详解】 解：∵八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差， ∴分数较整齐的是八年级， 故答案为：八； 【小问4详解】 解：∵样本中七年级不低于95分的有8人， ∴500×＝200（人）， 答：估计七年级参赛学生的分数不低于95分的有200人． 【点睛】本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如果是的中点，且，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：如图所示， ∵平分 ∴ 又∵， 则， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，根据，得出，则可得，根据已知，得出，即可得证； （2）根据角平分线的定义得出，又，根据三角形内角和定理得出，由是的直径，即可得证； （3）取的中点，连接，证明，由是的中点，是的中点，得出，进而得出，设，则，勾股定理得出，,证明得出，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，取的中点，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴ 设，则， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1），为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： （1）求水柱所在抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； （3）河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； 河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为米，喷水口离地面的最小高度随着的变化而变化，求与的关系式． 【答案】（1）； （2）水柱不能喷射到护栏上， 理由如下： 当时，， ， 水柱不能喷射到护栏上； （3）河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上； 与的关系式为：． 【解析】 【分析】根据当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米，所以二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，因为二次函数经过原点，所以把原点的坐标代入，可得：，解方程求出的值即可； 因为绿道路面宽米，当时，可得水柱的高度为米，而护栏的高度为米，所以水柱不能喷射到护栏上； 根据坡比和的长度求出的长度，从而可得点的坐标为，点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，解方程求出抛物线与直线的交点即可； 将抛物线向上平移米，则可得新的抛物线解析式为，当坝中水面离地平面距离为米，则坝面截线与水面截线的交点的坐标为，因为点在抛物线的图象上，所以可得与的关系式为． 【小问1详解】 解：当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米， 二次函数的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 二次函数经过原点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ， ， 则点与原点的水平距离为， 点的坐标为， 又点的坐标为， 设的解析式为， 解得：， ， 解方程：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，， 即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上； 将抛物线向上平移米，则可得新的抛物线解析式为， 当坝中水面离地平面距离为米，则坝面截线与水面截线的交点的纵坐标为， 如下图所示， 坝面的坡比为， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 点在抛物线的图象上， ， 整理得：， 即与的关系式为． 【点睛】本题主要考查了坡比、二次函数的实际应用、用待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、解直角三角形，本题的综合性质较强，需要借助坡比求出点的坐标，再根据点与抛物线的关系列出关系式． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 【综合与实践】定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】（1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________． 【问题解决】（2）如图2，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】（3）如图3，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到．连接，若，请直接写出的面积． 【答案】（1），；（2）1；（3）6或12 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）如图，过点作于点，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点D的对应点F在的上方时；②当点D的对应点F在的下方时，分别画出图形解答即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，当点D的对应点F在的上方时，则，， ，即， ， ， ， ， ， ∴， ∴； 如图，当点D的对应点F在的下方时， 同理得：， ， ， ， ． 综上可得，的面积为6或12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江外国语学校2025－2026学年度第六次综合练习 九年级数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 观察下列图形的构成规律，按此规律，第6个图形中棋子的个数为（ ）． A. 18 B. 19 C. 21 D. 24 5. 某学校篮球队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16这五种情况，如图所示，其中部分数据因破损无法看到，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则年龄为14岁的队员人数可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 8. 赣江是江西省最大河流，位于长江中下游南岸，源出赣闽边界武夷山西麓，自南向北纵贯全省，全长．数字766000用科学记数法可表示为_______． 9. 如图，以正五边形的顶点为旋转中心，将正五边形顺时针旋转，若得到的新五边形的顶点落在的延长线上，则旋转的最小度数为_____． 10. 若m、n是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为_____． 11. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示 “企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为________． 12. 在矩形中，，点E在边上，且，P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1）； （2）解不等式组：． 14. 先化简，再求值：，其中a满足． 15. 在，．请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，点E在边上，且，作的平分线． （2）如图2，点E、F分别在边、上，且 ，连接 ．过点A 作的垂线． 16. 某校组织学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因"为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A．中央红军长征出发地纪念园，B．南昌八一起义纪念馆，C．秋收起义修水纪念馆，D．井冈山革命博物馆，小佳、小文、小雨三位同学各自随机选择一条研学线路． （1）小佳同学选择线路D的概率为 ； （2）请用画树状图法或列表法，求小文、小雨两位同学选择不同线路的概率． 17. 智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． （1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） （2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A的坐标为，点C在反比例函数的图象上，BC与反比例函数的图象交于点D，连接OD． （1）点C的坐标为（_______，_______）． （2）求BC所在直线的解析式： （3）求的面积． 19. 如图是某校操场上的一种漫步机，图是其侧面结构示意图，已知主支架长为，且与水平地面基架的夹角为，前支架与所成的，扶手长为，． （1）求的度数； （2）求漫步机的高度（点到的距离）． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 20. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛.为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下： ①收集数据 从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下： 81 83 84 85 86 87 87 88 89 90 92 92 93 95 95 95 99 99 100 100 ②整理、描述数据． 按下表分段整理描述样本数据： 分数x 七年级 4 6 2 8 八年级 3 a 4 7 ③分析数据． 两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91 89 97 40.9 八年级 91 b c 33.2 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，______同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）； （3）从样本数据分析来看，分数较整齐的是______年级（填“七”或“八”）； （4）如果七年级共有500人参赛，请你估计七年级参赛学生的分数不低于95分的人数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如果是的中点，且，求的长． 22. 为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1），为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： （1）求水柱所在抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； （3）河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； 河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为米，喷水口离地面的最小高度随着的变化而变化，求与的关系式． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 【综合与实践】定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】（1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________． 【问题解决】（2）如图2，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】（3）如图3，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到．连接，若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $