第1-3章复习专题（11大考点34类题型）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

第1-3章复习专题（11大考点34类题型） 新教材北师大版七下：第1章 整式的乘除， 第2章 相交线与平行线， 第3章 概率初步. 目录 一、基础篇 2 【考点一】运算法则与乘法公式的辨析 2 【题型1】幂的运算法则辨析 2 【题型2】单（多）项式相乘运算法则辨析 3 【题型3】乘法公式辨析 3 【考点二】定义、概念的辨析与理解 4 【题型1】事件的分类 4 【题型2】概率的意义 4 【题型3】科学记数法表示绝对值小于1的有理数 5 【题型4】零指数、负整指数的意义 6 【考点三】几何定义理解与图形识别 6 【题型1】垂直、对顶角、邻补角 6 【题型2】同位角、内错角、同旁内角 7 【考点四】运算法则与乘法公式中的参数 8 【题型1】幂的乘除运算与逆运算中的参数 8 【题型2】单（多）项式相乘中不含某项参数问题 8 【题型3】乘法公式中的参数 9 【考点五】幂的运算与整式的乘除基础运算 9 【题型1】零指数、负整指数、乘方综合运算 9 【题型2】幂的综合运算 10 【题型3】单（多）项式相乘运算 10 【题型4】利用乘法公式进行运算 10 【题型5】利用（单）多项式除以单项式进行运算 11 【考点六】相交线与平行线性质与判定的基本计算与推理 11 【题型1】垂直、对顶角、角平分线相关计算 11 【题型2】垂直、余角、补角相关计算 12 【题型3】平行线性质与判定的基本计算与推理 14 二、综合篇 15 【考点七】幂的运算与整式的乘除运算化简求值 15 【题型1】幂的运算与零指数、负整指数综合 15 【题型2】整式的乘除与乘法公式综合运算 15 【题型3】整式的乘除与乘法公式综合化简求值 16 【考点八】几何性质与判定的求值证明 16 【题型1】对顶角、余（补）角性质综合求值与推理 16 【题型2】平行线性质求值证明 17 【题型3】平行线性质与判定求值证明 18 【考点九】频率的稳定性与等可能事件的概率 20 【题型1】频率的稳定性 20 【题型2】等可能事件的概率 21 【考点十】整式乘法与图形变换实际应用 22 【题型1】整式乘除与乘法公式的应用 22 【题型2】相交线与平行线的实际应用 23 三、压轴篇 24 【考点十一】整式的乘除 24 【题型1】整式的乘除运算与几何图形面积探究 24 【题型2】杨辉三角与整式展开式系数规律探索 26 【考点十二】相交线与平行线 28 【题型1】相交线与平行线与折叠问题探究 28 【题型2】相交线与平行线与旋转问题探究 29 一、基础篇 【考点一】运算法则与乘法公式的辨析 【题型1】幂的运算法则辨析 1-1．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 1-2．（24-25七年级下·广东梅州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 1-3．（24-25七年级下·广东河源·期中）下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 1-4．（24-25七年级下·广东佛山·月考）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】单（多）项式相乘运算法则辨析 2-1．（23-24七年级下·重庆·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024·安徽·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2-3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 2-4．（23-24七年级下·湖南永州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】乘法公式辨析 3-1．（25-26七年级下·全国·期中）下列多项式的乘法可用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3-2．（23-24七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3-3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 3-4．（25-26七年级下·河北保定·期中）在下列多项式的乘法中，不可以用乘法公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【考点二】定义、概念的辨析与理解 【题型1】事件的分类 1-1．（25-26九年级上·江西上饶·期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 1-2．（25-26九年级上·广东广州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．购买1张彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．温度降到以下，纯净的水结冰 D．汽车累积行驶，从未出现故障 1-3．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　） A．成语“刻舟求剑”是随机事件 B．诗句“手可摘星辰”是必然事件 C．成语“水中捞月”是不可能事件 D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 1-4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）在一个不透明的盒子中装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外没有其他差别，现随机从盒子中摸出2个球，则下列事件属于必然事件的是（    ） A．摸出1个白球和1个黑球 B．摸出2个白球； C．至多摸出1个黑球 D．至少摸出1个黑球 【题型2】概率的意义 2-1．（25-26九年级上·广东江门·期末）下列说法正确的是（    ） A．自然现象中，“太阳从东方升起”是随机事件 B．成语“水中捞月”所描述的事件是必然事件 C．“我市明天降雨的概率为”，表示我市明天一定降雨 D．小陈夺冠的概率是，表示小陈夺冠的可能性很大 2-2．（25-26九年级上·河南许昌·月考）一个事件的概率为0.8，则下列说法正确的是（   ） A．这个事件一定会发生 B．这个事件一定不会发生 C．这个事件发生的可能性较大 D．这个事件发生的可能性较小 2-3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷5次，都是反面朝上，则抛掷第6次出现正面朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D．无法确定 2-4．（25-26九年级上·北京·期末）下列说法正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖 C．抛掷一枚图钉， “针尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率 【题型3】科学记数法表示绝对值小于1的有理数 3-1．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）泉州湾跨海高铁大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用了自主创新的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破，单层石墨烯的标准厚度为，用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 3-2．（25-26八年级上·重庆·期末）嘉嘉同学在物理课中学了密度后，想通过实验测量一枚一元硬币的密度，他找到一枚1999年的一元硬币，测得质量大约是，通过排水法测得体积大约为，计算出了密度约．将数据用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 3-3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）红花岗区空气质量监测数据显示，平均浓度为克/立方米，用科学记数法表示为克/立方米，则______． 3-4．（25-26七年级下·全国·月考）厚度仅为的“手撕钢”是至今世界上最薄的不锈钢．数据是____________m（用科学记数法表示）． 【题型4】零指数、负整指数的意义 4-1．（24-25七年级下·四川巴中·月考）若有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．，且 4-2．（24-25七年级下·广西梧州·期中）若式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4-3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若式子有意义，则实数满足___________ 4-4．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若，则整数x的值为______． 【考点三】几何定义理解与图形识别 【题型1】垂直、对顶角、邻补角 1-1．（24-25七年级下·上海·单元测试）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 1-2．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 1-3．（2024·河北唐山·三模）如图，直线与直线交于点，此时图中有两对对顶角，若过点再画一条不与直线，重合的直线，则新增加的对顶角有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 1-4．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法中正确的有_________________． ①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． ②如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．③有一条公共边的两个角是邻补角． ④如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角． ⑤有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角． 【题型2】同位角、内错角、同旁内角 2-1．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 2-2．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 2-3．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 2-4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线与被直线所截得的内错角是________；直线与被直线所截得的内错角是________；图中的内错角是________． 【【考点四】运算法则与乘法公式中的参数 【题型1】幂的乘除运算与逆运算中的参数 1-1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 1-2．（24-25七年级下·江西九江·月考）已知，，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 1-3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则____________． 1-4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为________． 【题型2】单（多）项式相乘中不含某项参数问题 2-1．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）若关于x，y的多项式的结果中不含项，则m的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 2-2．（25-26八年级上·福建福州·期中）计算的结果不含项，那么m的值为（　　） A． B． C．4 D．12 2-3．（25-26八年级上·四川巴中·月考）若展开后不含项，求a、m的值． 2-4．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）若多项式与多项式的乘积中不含一次项和项，求的值． 【题型3】乘法公式中的参数 3-1．（25-26八年级上·全国·期末）若是完全平方式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 3-2．（23-24七年级下·重庆·期末）若是一个完全平方式，且为一个常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 3-3．（25-26八年级上·北京大兴·期末）若是完全平方式，则k的值是_______ ． 3-4．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是______． 【考点五】幂的运算与整式的乘除基础运算 【题型1】零指数、负整指数、乘方综合运算 1-1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下列计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 1-2．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 1-3．（2024九年级下·广西·专题练习）若实数，满足，则的值为__________． 1-4．（25-26八年级上·北京丰台·期末）计算：． 【题型2】幂的综合运算 2-1．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； 2-2．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： 2-3．（25-26七年级上·上海·期末）计算：． 2-4．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值． （2）已知，求所有满足条件的整数的值． 【题型3】单（多）项式相乘运算 3-1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3-2．（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： ________． 3-3．（25-26八年级上·天津南开·月考）计算： （1）； （2） 3-4．（25-26八年级上·河南新乡·期中）计算： （1） （2） 【题型4】利用乘法公式进行运算 4-1．（25-26八年级上·江西赣州·月考）下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4-2．（25-26八年级上·广东汕头·月考）计算： __________； __________． 4-3．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）化简： （1）； （2）． 4-4．（24-25七年级下·山西太原·月考）用简便方法计算下列各题： （1） （2） 【题型5】利用（单）多项式除以单项式进行运算 5-1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）的运算结果是（   ） A． B． C． D． 5-2．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：_____． 5-3．（25-26七年级上·上海宝山·月考）计算： 5-4．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【考点六】相交线与平行线性质与判定的基本计算与推理 【题型1】垂直、对顶角、角平分线相关计算 1-1．（25-26九年级下·河南信阳·开学考试）如图，直线于，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1-2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，射线平分．若，则__________． 1-3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点，将一个直角三角板的直角顶点放置在点处，且平分． （1）若，求的度数； （2）判断是否平分，并说明理由． 1-4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线与相交于点，于点，平分，且． （1）求的度数． （2）求的度数． 【题型2】垂直、余角、补角相关计算 2-1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，O是直线上一点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2-2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）常言道：不以规矩，不成方圆．这里的“矩”指的是矩尺，它的起源可追溯至先秦时期，主体为直角曲尺，是中国古代绘图测量使用的工具，如图，在同一平面内，将直尺和矩尺按如图方式摆放，若，则___________． 2-3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图．直线相交于点O，分别在、的内部，且平分，． （1）写出图中的余角：___________； （2）若，求的度数． 2-4．（25-26七年级上·北京延庆·期末）已知点是直线上的一点，平分． （1）如图1，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：， ___________． ． ___________． 是直线上的一点． ___________． 平分． ．（理由：___________） ___________． （2）如图2，若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【题型3】平行线性质与判定的基本计算与推理 3-1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 3-2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）填空： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， ______（______）． （已知）， ______（______）， （______）． 3-3．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 3-4．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，已知，求证：，以下是小明不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：如图、过点作， （______）， ， （______）， ______（两直线平行，内错角相等）， ______． 二、综合篇 【考点七】幂的运算与整式的乘除运算化简求值 【题型1】幂的运算与零指数、负整指数综合 1-1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算： （1） （2） 1-2．（25-26七年级下·全国·周测）计算： （1）； （2）． 1-3．（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： （1）； （2） 1-4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【题型2】整式的乘除与乘法公式综合运算 2-1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）计算： （1）； （2）． 2-2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算： （1） （2） 2-3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： （1）． （2）． 2-4．（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： （1）； （2）． 【题型3】整式的乘除与乘法公式综合化简求值 3-1．（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中，． 3-2．（25-26七年级下·重庆·开学考试）先化简，再求值：，其中，． 3-3．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： （1）已知，求的值． （2），其中，． 3-4．（23-24九年级下·湖北·自主招生）已知实数满足，求的值． 【考点八】几何性质与判定的求值证明 【题型1】对顶角、余（补）角性质综合求值与推理 1-1．（25-26七年级上·全国·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1-2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则___________． 1-3．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图1，和都是直角． （1）如果，那么________； （2）找出图1中相等的锐角．如果，它们还会相等吗？请说明理由； （3）在图2中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（请标出你所画的直角，并写出与相等的角） 1-4．（25-26七年级上·福建泉州·月考）如图，是直线上一点，平分，且． （1）请写出图中所有与互补的角______； （2）求证：平分． 下面给出平分的证明过程，请你将过程补充完整． 证明：平分， ______（角平分线的定义）． 是直线上一点， ． ， ______－______． ， ， ______（    ）． 平分． 【题型2】平行线性质求值证明 2-1．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处，与交于点．则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 2-2．（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，将一副直角三角板如图所示放置（点、、在同一直线上），点在上，其中，，，，则的度数为___________． 2-3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图所示，，且与的平分线交于点F， （1）判断与的数量关系． （2）若，求的大小． 2-4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【题型3】平行线性质与判定求值证明 3-1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3-2．（25-26八年级上·全国·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有_____个人的说法是正确的． 3-3．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． （1）___________； （2）求证：直线； （3）若，求的度数． 3-4．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）与相等吗？为什么？ （3）若，，求的大小． 【考点九】频率的稳定性与等可能事件的概率 【题型1】频率的稳定性 1-1．（25-26九年级上·山西晋城·期末）将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（    ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 1-2．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有_________个． 1-3．（2025九年级上·全国·专题练习）一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 1-4．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【题型2】等可能事件的概率 2-1．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）如图，是甲、乙两同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率是（    ） A． B． C． D．1 2-2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）一个不透明的布袋里装有4个1号球和3个2号球，这些球除编号不同外，其余均相同．从该布袋中随机摸出一个球，是2号球的概率是____ ． 2-3．（25-26九年级上·广西河池·期末）为了解我县初中在校生的课外阅读情况，现从中随机抽取部分学生分为“：每天阅读1小时以上”“：每天阅读小时”“：每天阅读小时以下”“：从不阅读”四类，绘制了如下扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出）． （1）本次调查共抽取_________名学生；扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为_____ （2）补全条形统计图； （3）若从此次调查抽取的样本中，随机抽取1名学生做进一步访谈，恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率是多少？ 2-4．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． （1）用适当的方法列举摸球所有可能的结果． （2）求出小明同学获得篮球的概率． 【考点十】整式乘法与图形变换实际应用 【题型1】整式乘除与乘法公式的应用 1-1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 1-2．（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 1-3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形，内部挖去两个相同的小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，每个小长方形的长为，宽为． （1）用含x，y的代数式表示该零件模型的面积并化简； （2）当，时，求该零件模型的面积． 1-4．（25-26八年级上·广西桂林·月考）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为___________． （2）根据图②所得的公式，若，求的值． （3）如图③，某学校有一块梯形空地于点，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【题型2】相交线与平行线的实际应用 2-1．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2-2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 2-3．（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 2-4．（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 三、压轴篇 【考点十一】整式的乘除 【题型1】整式的乘除运算与几何图形面积探究 1-1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 1-2．（25-26七年级上·上海·月考）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧（面积较大）与客卧都为正方形，它们的面积之和比其余面积（阴影部分）多 ，则主卧与客卧的周长差_____ ． 1-3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． （1）请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． （2）请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； （3）结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 1-4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 【题型2】杨辉三角与整式展开式系数规律探索 2-1．（23-24八年级上·重庆城口·期末）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（    ）个 ①的展开式中的系数是9 ②的展开式为： ③能被28整除 A．0 B．1 C．2 D．3 2-2．（23-24七年级下·四川成都·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是 __________． 2-3．（23-24八年级上·四川宜宾·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为______； （2）展开式共有______项，第19项系数为______； （3）根据上面的规律，写出的展开式：______； （4）利用上面的规律计算：； （5）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 2-4．（24-25八年级上·福建泉州·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）图中括号内的数为______； （2）利用上面的规律计算：； （3）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【考点十二】相交线与平行线 【题型1】相交线与平行线与折叠问题探究 1-1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1-2．（25-26八年级上·浙江金华·开学考试）如图，已知，点E，F分别在直线上，点P在之间，EF的右侧，且．若将射线沿直线折叠得射线，射线沿直线折叠得射线，与所在直线交于点H，则_____________ ． 1-3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系． 1-4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【题型2】相交线与平行线与旋转问题探究 2-1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如下图，点，，，在同一直线上，现将绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转一周后与同时停止转动，设旋转时间为秒，下列的值，不能满足的是（   ） A．18 B．36 C．45 D．54 2-2．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知，点P，Q分别在上，如图，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便停止，此时射线也停止旋转．若射线先旋转45秒，射线才开始转动，当射线旋转时间为________秒时，．（为旋转后对应的射线．）    2-3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知一副直角三角尺先按如图1的方式拼接在一起，其中直角边、斜边都与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为_____________． （2）在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒． ①在旋转过程中，请求出当时的值； ②在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出所有满足条件的值． 2-4．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． （1）求的度数． （2）如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1-3章复习专题（11大考点34类题型） 新教材北师大版七下：第1章 整式的乘除， 第2章 相交线与平行线， 第3章 概率初步. 目录 一、基础篇 2 【考点一】运算法则与乘法公式的辨析 2 【题型1】幂的运算法则辨析 2 【题型2】单（多）项式相乘运算法则辨析 4 【题型3】乘法公式辨析 6 【考点二】定义、概念的辨析与理解 8 【题型1】事件的分类 8 【题型2】概率的意义 9 【题型3】科学记数法表示绝对值小于1的有理数 11 【题型4】零指数、负整指数的意义 12 【考点三】几何定义理解与图形识别 14 【题型1】垂直、对顶角、邻补角 14 【题型2】同位角、内错角、同旁内角 16 【考点四】运算法则与乘法公式中的参数 18 【题型1】幂的乘除运算与逆运算中的参数 18 【题型2】单（多）项式相乘中不含某项参数问题 20 【题型3】乘法公式中的参数 22 【考点五】幂的运算与整式的乘除基础运算 23 【题型1】零指数、负整指数、乘方综合运算 23 【题型2】幂的综合运算 25 【题型3】单（多）项式相乘运算 27 【题型4】利用乘法公式进行运算 28 【题型5】利用（单）多项式除以单项式进行运算 30 【考点六】相交线与平行线性质与判定的基本计算与推理 31 【题型1】垂直、对顶角、角平分线相关计算 31 【题型2】垂直、余角、补角相关计算 34 【题型3】平行线性质与判定的基本计算与推理 37 二、综合篇 40 【考点七】幂的运算与整式的乘除运算化简求值 40 【题型1】幂的运算与零指数、负整指数综合 40 【题型2】整式的乘除与乘法公式综合运算 42 【题型3】整式的乘除与乘法公式综合化简求值 44 【考点八】几何性质与判定的求值证明 46 【题型1】对顶角、余（补）角性质综合求值与推理 46 【题型2】平行线性质求值证明 50 【题型3】平行线性质与判定求值证明 54 【考点九】频率的稳定性与等可能事件的概率 58 【题型1】频率的稳定性 58 【题型2】等可能事件的概率 61 【考点十】整式乘法与图形变换实际应用 63 【题型1】整式乘除与乘法公式的应用 63 【题型2】相交线与平行线的实际应用 67 三、压轴篇 70 【考点十一】整式的乘除 70 【题型1】整式的乘除运算与几何图形面积探究 70 【题型2】杨辉三角与整式展开式系数规律探索 75 【考点十二】相交线与平行线 80 【题型1】相交线与平行线与折叠问题探究 80 【题型2】相交线与平行线与旋转问题探究 87 一、基础篇 【考点一】运算法则与乘法公式的辨析 【题型1】幂的运算法则辨析 1-1．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方和幂的乘方计算，根据相关计算法则求出各个选项中式子的结果，再逐一判断即可得到答案． 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 1-2．（24-25七年级下·广东梅州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算性质，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 1-3．（24-25七年级下·广东河源·期中）下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算．根据幂的运算法则，逐一进行判断即可． 解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 1-4．（24-25七年级下·广东佛山·月考）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法与乘法法则计算即可． 解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选C． 【点拨】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法与乘法，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【题型2】单（多）项式相乘运算法则辨析 2-1．（23-24七年级下·重庆·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，根据以上运算法则进行计算即可求解． 解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2-2．（2024·安徽·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握知识点是解题的关键． 直接利用单项式乘单项式法则、幂的乘方法则、单项式乘多项式法则以及合并同类项法则分别判断得出答案． 解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法正确，符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、与不能合并，不符合题意， 故选：B． 2-3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多项式乘以多项式法则逐项计算即可得． 解：A、，则此项不符合题意； B、，则此项符合题意； C、，则此项不符合题意； D、，则此项不符合题意； 故选：B． 2-4．（23-24七年级下·湖南永州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，单项式乘多项式的法则．根据以上运算法则进行计算即可求解． 解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【题型3】乘法公式辨析 3-1．（25-26七年级下·全国·期中）下列多项式的乘法可用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式，逐项判断，即可求解． 解：A、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、能用平方差公式计算，故本选项符合题意； D、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：C 3-2．（23-24七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 解：A、，为平方差公式，不符合题意； B、，为平方差公式，不符合题意； C、，可用完全平方公式计算，符合题意； D、，为平方差公式，不符合题意； 故选：C． 3-3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括完全平方公式和平方差公式．通过观察各选项的形式，判断是否可以直接应用公式． 解：A. 不符合乘法公式的形式； B. ，可以用完全平方公式； C. 不符合乘法公式的形式； D. 不符合乘法公式的形式． 故选：B． 3-4．（25-26七年级下·河北保定·期中）在下列多项式的乘法中，不可以用乘法公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式及平方差公式逐一判断即可． 解：A、属于多项式乘多项式，不符合乘法公式，故符合题意； B、，符合完全平方公式进行运算，故不符合题意； C、符合平方差公式进行运算，故不符合题意； D、，符合完全平方公式进行运算，故不符合题意； 故选A． 【点拨】本题主要考查完全平方公式及平方差公式，熟练掌握完全平方公式-及平方差公式-是解题的关键． 【考点二】定义、概念的辨析与理解 【题型1】事件的分类 1-1．（25-26九年级上·江西上饶·期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类． 根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，判断各选项描述的事件类型即可． 解：A．旭日东升是必然会发生的自然现象，属于必然事件，不符合题意； B．萍水相逢指偶然相遇，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合题意； C．瓮中捉鳖是肯定能达成的事件，属于必然事件，不符合题意； D．天方夜谭指不可能发生的事情，属于不可能事件，不符合题意． 故选：B． 1-2．（25-26九年级上·广东广州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．购买1张彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．温度降到以下，纯净的水结冰 D．汽车累积行驶，从未出现故障 【答案】C 【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义分别分析得出答案． 解：A、“购买1张彩票，中奖”是随机事件，故本选项不符合题意； B、“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件，故本选项不符合题意； C、“温度降到以下，纯净的水结冰”是必然事件，故本选项符合题意； D、“汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 1-3．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　） A．成语“刻舟求剑”是随机事件 B．诗句“手可摘星辰”是必然事件 C．成语“水中捞月”是不可能事件 D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 【答案】C 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念辨析，需根据三类事件的定义判断各选项语句对应的事件类型，然后即可求解． 解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， ∴A. 成语“刻舟求剑”是不可能事件，判断错误； B. 诗句“手可摘星辰”是不可能事件，判断错误； C. 成语“水中捞月”是不可能事件，判断正确； D. 谚语“竹篮打水一场空”是必然事件，判断错误． 故选：C． 1-4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）在一个不透明的盒子中装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外没有其他差别，现随机从盒子中摸出2个球，则下列事件属于必然事件的是（    ） A．摸出1个白球和1个黑球 B．摸出2个白球； C．至多摸出1个黑球 D．至少摸出1个黑球 【答案】D 【分析】本题主要考查必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．结合盒子内球的数量，分析摸出2个球的所有可能情况来判断各事件类型即可． 解：∵盒子中装有1个白球和2个黑球，摸出2个球的所有可能为1白1黑、2黑 ∴A选项摸出1个白球和1个黑球是随机事件，不是必然事件； ∵盒子中仅有1个白球，无法摸出2个白球， ∴B选项摸出2个白球是不可能事件，不是必然事件； ∵存在摸出2个黑球的情况，此时摸出的黑球数量多于1个， ∴C选项至多摸出1个黑球是随机事件，不是必然事件； ∵摸出2个球时，最多只能有1个白球，因此至少会摸出1个黑球， ∴D选项至少摸出1个黑球是必然事件． 故选：D． 【题型2】概率的意义 2-1．（25-26九年级上·广东江门·期末）下列说法正确的是（    ） A．自然现象中，“太阳从东方升起”是随机事件 B．成语“水中捞月”所描述的事件是必然事件 C．“我市明天降雨的概率为”，表示我市明天一定降雨 D．小陈夺冠的概率是，表示小陈夺冠的可能性很大 【答案】D 【分析】本题考查了事件类型和概率意义的理解，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 解：A、自然现象中，“太阳从东方升起”是必然事件，故该选项不符合题意； B、成语“水中捞月”所描述的事件是不可能事件，故该选项不符合题意； C、“我市明天降雨的概率为”，表示我市明天很大概率是降雨，但不是一定降雨，故该选项不符合题意； D、小陈夺冠的概率是，表示小陈夺冠的可能性很大，故该选项符合题意； 故选：D 2-2．（25-26九年级上·河南许昌·月考）一个事件的概率为0.8，则下列说法正确的是（   ） A．这个事件一定会发生 B．这个事件一定不会发生 C．这个事件发生的可能性较大 D．这个事件发生的可能性较小 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，概率表示事件发生的可能性大小，概率为0.8大于0.5，表示事件发生的可能性较大． 解：∵一个事件的概率为0.8，且0.8＞0.5， ∴事件发生的可能性较大． 故选C． 2-3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷5次，都是反面朝上，则抛掷第6次出现正面朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查随机事件的概率，明确质地均匀的硬币每次抛掷结果互不影响是解题关键． 解：∵质地均匀的硬币每次抛掷时，正面朝上与反面朝上的可能性相等，概率均为，且每次抛掷的结果互不影响，之前的抛掷结果不会改变第6次抛掷的概率． ∴抛掷第6次出现正面朝上的概率是． 故选：C． 2-4．（25-26九年级上·北京·期末）下列说法正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖 C．抛掷一枚图钉， “针尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率 【答案】D 【分析】本题考查概率的基本概念，包括必然事件、概率的意义、列举法的适用条件以及频率与概率的关系，因此此题可根据定义逐一判断即可． 解：∵A选项：射击运动员射击一次，命中靶心不是必然事件，可能发生也可能不发生，∴A错误； ∵B选项：彩票中奖概率并不意味着买100张一定中奖，因为每次购买独立，可能都不中奖，∴B错误； ∵C选项：抛掷图钉时，针尖朝上和朝下不是等可能事件，无法用列举法求概率，∴C错误； ∵D选项：在大量重复试验中，事件A发生的频率稳定于常数p，则，符合概率的统计定义，∴D正确． 故选：D． 【题型3】科学记数法表示绝对值小于1的有理数 3-1．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）泉州湾跨海高铁大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用了自主创新的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破，单层石墨烯的标准厚度为，用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：. 3-2．（25-26八年级上·重庆·期末）嘉嘉同学在物理课中学了密度后，想通过实验测量一枚一元硬币的密度，他找到一枚1999年的一元硬币，测得质量大约是，通过排水法测得体积大约为，计算出了密度约．将数据用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 解：． 故选：C． 3-3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）红花岗区空气质量监测数据显示，平均浓度为克/立方米，用科学记数法表示为克/立方米，则______． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此求解即可． 解：， 则． 故答案为：． 3-4．（25-26七年级下·全国·月考）厚度仅为的“手撕钢”是至今世界上最薄的不锈钢．数据是____________m（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】将毫米单位转换为米单位，再使用科学记数法表示结果。 解：因为1 mm = m，所以 故答案为： 【点拨】本题主要考查了科学记数法，解决本题的关键是熟练掌握科学记数法变式形式以及单位换算. 【题型4】零指数、负整指数的意义 4-1．（24-25七年级下·四川巴中·月考）若有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．，且 【答案】D 【分析】本题主要考查了负整数指数幂及零次幂有意义的条件，熟练掌握负整数指数幂及零次幂有意义的条件，是解题的关键． 根据负整数指数幂及零次幂有意义的条件得出不等式，求解不等式即可得出答案． 解：∵有意义， ∴，且， 解得，且． 故选：D． 4-2．（24-25七年级下·广西梧州·期中）若式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据题意可得，然后进行计算即可解答． 解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 4-3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若式子有意义，则实数满足___________ 【答案】 【分析】依据零指数幂有意义的条件求解． 解：， 解不等式得． 4-4．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若，则整数x的值为______． 【答案】0或2 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂．分三种情况，结合零指数幂，负整数指数幂解答即可． 考虑方程 中整数 的取值，需分析指数为0时底数非0的情况和底数为1的情况，同时排除负指数无解的情形． 解：当时，，此时，满足题意； 当时，，此时，不满足题意； 当时，，此时，满足题意； 综上所述，整数x的值为0或2． 故答案为：0或2． 【考点三】几何定义理解与图形识别 【题型1】垂直、对顶角、邻补角 1-1．（24-25七年级下·上海·单元测试）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D 1-2．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 解：因为，，所以与重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 1-3．（2024·河北唐山·三模）如图，直线与直线交于点，此时图中有两对对顶角，若过点再画一条不与直线，重合的直线，则新增加的对顶角有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】此题考查了对顶角，画出图形，再判断增加的对顶角即可. 解：如图， 直线c与直线相交得到两对对顶角，直线c与直线b相交得到两对对顶角，共增加了4对对顶角， 故选：C 1-4．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列说法中正确的有_________________． ①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． ②如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．③有一条公共边的两个角是邻补角． ④如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角． ⑤有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角． 【答案】④ 【分析】根据对顶角，邻补角的定义以及性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：①相等的两个角是对顶角，边应为互为反向延长线，故错误； ②有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角，边应为互为反向延长线，故错误； ③有一条公共边的两个角是邻补角，另一边应为互为反向延长线，故错误． ④如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角，正确； ⑤有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角，另一边应为互为反向延长线，故错误． 故答案为：④． 【点拨】本题主要考查了邻补角，对顶角的定义以及对顶角相等的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键． 【题型2】同位角、内错角、同旁内角 2-1．（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 2-2．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 2-3．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 解：根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 2-4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线与被直线所截得的内错角是________；直线与被直线所截得的内错角是________；图中的内错角是________． 【答案】 和 和 和 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 根据内错角的定义，先确定每组被截直线和截线，再找出对应的内错角；最后分析的两边，确定所有能与构成内错角的角． 解：①直线与 BC 被直线 所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ②直线与被直线所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ③分析的两边： 当截线为时，被截直线为，与是内错角； 当截线为时，被截直线为 ，与是内错角． 即：和． 故答案为：和；和；和． 【考点四】运算法则与乘法公式中的参数 【题型1】幂的乘除运算与逆运算中的参数 1-1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂除法及幂的乘方，将进行正确的变形是解题的关键． 利用同底数幂除法及幂的乘方法则将变形后可得，将已知数值代入计算即可． 解：， ， ，， ， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 1-2．（24-25七年级下·江西九江·月考）已知，，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，熟悉同底数幂的除法运算法则是解题的关键。 根据同底数幂的除法法则、幂的乘方的运算法则求解． 解：， ， 故选：A． 1-3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂相乘及其逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法法则，将和相乘得到，计算其值并化为以为底的幂，从而求出． 解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 1-4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查同底数的除法和幂的乘方，先将25和125化为以5为底的幂，再利用同底数幂的除法法则和指数相等求解即可． 解：因为， 所以， 所以， 因此， 解得． 故答案为：1． 【题型2】单（多）项式相乘中不含某项参数问题 2-1．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）若关于x，y的多项式的结果中不含项，则m的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则以及多项式不含某一项的意义是解题的关键．先根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后根据结果中不含项，即可求出m的值． 解： ， 多项式不含项， ， ， 故选：D． 2-2．（25-26八年级上·福建福州·期中）计算的结果不含项，那么m的值为（　　） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算是关键．先合并多项式中的同类项，再求出展开后结果含的项，令项的系数为零，求出m的值即可． 解：， 展开后结果含的项为和， 根据题意，结果不含项，故， ． 故选：B． 2-3．（25-26八年级上·四川巴中·月考）若展开后不含项，求a、m的值． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先理解题意，则，结合展开后不含项，得，解得a、m的值，即可作答． 解： ， ∵原式不含项， ∴， ∴， 则， ∴． 2-4．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）若多项式与多项式的乘积中不含一次项和项，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则．多项式与多项式相乘积中含项和项的系数为0，求出m、m的值，再计算的值． 解： ； ∵乘积中不含项和项， ∴，且， ∴，， ∴． ∴的值为2． 【题型3】乘法公式中的参数 3-1．（25-26八年级上·全国·期末）若是完全平方式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方式的特点是关键；根据完全平方式的定义，比较系数求解． 解：∵是完全平方式， ∴， 当时，则； 当时，则； ∴或． 故选：D． 3-2．（23-24七年级下·重庆·期末）若是一个完全平方式，且为一个常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，将原式展开后，设，通过比较系数法求常数a的值． 解：∵，且该式为完全平方式， ∴设， 比较系数得：， ∴， 又， ∴． 故选：D． 3-3．（25-26八年级上·北京大兴·期末）若是完全平方式，则k的值是_______ ． 【答案】49 【分析】此题考查了完全平方公式，根据完全平方公式，一次项系数一半的平方即为常数项k的值求解即可． 解：∵ ∴． 故答案为：49． 3-4．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是______． 【答案】或6 【分析】此题考查完全平方式，熟知完全平方式的特征是解答的关键． 根据整式为完全平方式，比较系数求解即可． 解：∵关于x的整式是某个关于x的整式的平方， ∴， ∴， ∴，解得或． 故答案为：或6． 【考点五】幂的运算与整式的乘除基础运算 【题型1】零指数、负整指数、乘方综合运算 1-1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下列计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方．根据负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方的运算法则分别计算各选项的值，再比较大小得出结果． 解：∵，，，，且， ∴计算结果最大的是， 故选：A． 1-2．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂的运算规则，根据相关定义逐一验证各选项即可． 解：A、，原选项计算错误，故不符合题意； B、，原选项计算错误，故不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，故不符合题意． 故选：C． 1-3．（2024九年级下·广西·专题练习）若实数，满足，则的值为__________． 【答案】2 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 直接利用非负数的性质得出m，n的值，进而利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案． 解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：2． 1-4．（25-26八年级上·北京丰台·期末）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、绝对值、有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 根据零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂、绝对值、有理数的混合运算进行计算即可． 解：原式 ． 【题型2】幂的综合运算 2-1．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2-2．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法运算，涉及到了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算．本题先计算乘方运算、乘法运算、再计算加减即可求解． 解： ． 2-3．（25-26七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项． 先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 解： ． 2-4．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值． （2）已知，求所有满足条件的整数的值． 【答案】（1）8；（2）整数的值为或0或2 【分析】本题考查了幂的运算法则、整体代入思想以及乘方为的分类讨论思想，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）考察幂的运算法则和整体代入思想，核心是将不同底数的幂统一为同底数，再结合已知条件整体代入求值； （2）考察乘方结果为的分类讨论，需考虑“的任何次幂为”“的偶次幂为”“非零数的次幂为”三种情况，全面求解并验证条件． 解：（1）∵， ∴， ∴． （2）①当，时，； ②当时，； ③当且为偶数时，． 综上所述，所有满足条件的整数的值为或或． 【题型3】单（多）项式相乘运算 3-1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方与单项式乘单项式，先利用积的乘方法则计算各部分的乘方，再单项式乘单项式法则计算即可． 解： 故选：C． 3-2．（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： ________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法的运算，根据分配律展开两个二项式的乘积，并合并同类项即可． 解：原式 ． 故答案为：． 3-3．（25-26八年级上·天津南开·月考）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 对于（1），先根据积的乘方和幂的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算； 对于（2），根据多项式乘以多项式法则计算． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3-4．（25-26八年级上·河南新乡·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式法则计算，即可作答． （2）根据多项式乘多项式法则计算，即可作答． 解：（1）解： （2）解： 【题型4】利用乘法公式进行运算 4-1．（25-26八年级上·江西赣州·月考）下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，先理解题意，再把整理为，再结合选项进行分析比较，即可作答． 解：依题意，， 故选：D． 4-2．（25-26八年级上·广东汕头·月考）计算： __________； __________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式．第一个表达式使用平方差公式计算；第二个表达式使用完全平方公式计算，据此进行计算，即可作答． 解：，， 故答案为：，． 4-3．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先将式子变形为，再计算平方差公式，然后计算完全平方公式即可； （2）先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4-4．（24-25七年级下·山西太原·月考）用简便方法计算下列各题： （1） （2） 【答案】（1）4020025；（2）3999999 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式； （1）利用完全平方公式简便计算即可； （2）利用平方差公式简便计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型5】利用（单）多项式除以单项式进行运算 5-1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂的指数相减，保留独有因式，即可求解． 解： ， 故选：D． 5-2．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解： ， 故答案为：． 5-3．（25-26七年级上·上海宝山·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式，先运算完全平方公式，平方差公式，积的乘方，再合并同类项，最后运算多项式除以单项式，即可作答． 解： ． 5-4．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式进行计算即可求解． 解：原式. ．. 【考点六】相交线与平行线性质与判定的基本计算与推理 【题型1】垂直、对顶角、角平分线相关计算 1-1．（25-26九年级下·河南信阳·开学考试）如图，直线于，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据垂直的定义，求得，再根据角平分线的定义，得到，从而求得，最后根据对顶角相等，即可求解． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选C． 1-2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，射线平分．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、角平分线的定义和平角的性质，掌握对顶角相等，角平分线分角为相等的两部分，平角为是解题的关键． 先利用对顶角相等求出的度数，再根据角平分线定义求出 ，最后通过平角的性质求出． 解：根据题意，得． ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：． 1-3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点，将一个直角三角板的直角顶点放置在点处，且平分． （1）若，求的度数； （2）判断是否平分，并说明理由． 【答案】（1）；（2）平分，理由见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差计算，对顶角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 对于（1），先由对顶角相等和角平分线定义求出，进而求解即可； 对于（2），根据题意证明出，即可得到平分． 解：（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴； （2）解：是，理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 1-4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线与相交于点，于点，平分，且． （1）求的度数． （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了垂线的定义，角的和差计算，角平分线的定义等知识点． （1）根据垂直得到，再由求解即可； （2）根据对顶角相等得到，再由角平分线得到，最后由求解即可． 解：（1）解：因为， 所以, 因为 所以． （2）解：因为，， 所以． 因为平分， 所以． 所以 【题型2】垂直、余角、补角相关计算 2-1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，O是直线上一点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的定义，求一个角的余角，根据垂直得到，再由求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2-2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）常言道：不以规矩，不成方圆．这里的“矩”指的是矩尺，它的起源可追溯至先秦时期，主体为直角曲尺，是中国古代绘图测量使用的工具，如图，在同一平面内，将直尺和矩尺按如图方式摆放，若，则___________． 【答案】/54度 解：∵， ∴， ∴． 2-3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图．直线相交于点O，分别在、的内部，且平分，． （1）写出图中的余角：___________； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的定义，余角，对顶角，以及角的和差计算等知识点． （1）根据垂直的意义得到，而，再由余角的定义即可求解； （2）由垂直的意义得到，根据角的和差结合对顶角得到，再由角平分线的意义即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2-4．（25-26七年级上·北京延庆·期末）已知点是直线上的一点，平分． （1）如图1，若，求的度数；完成下面的解答过程： 解：， ___________． ． ___________． 是直线上的一点． ___________． 平分． ．（理由：___________） ___________． （2）如图2，若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1），角平分线定义，；（2） 【分析】（1）由垂直定义及互余定义求出，再由平角定义及角平分线定义得到即可得到答案； （2）由（1）的求解过程，同理即可得到的度数（用含的式子表示）． 解：（1）解：， ． ． ． 是直线上的一点． ． 平分． ．（理由：角平分线定义） ． 故答案为：，角平分线定义，； （2）解：， ， ， ， 是直线上的一点， ， 平分， ． 【点拨】本题考查几何图形中求角度，涉及垂直定义、互余定义、平角定义及角平分线定义，数形结合，准确表示图中各个角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 【题型3】平行线性质与判定的基本计算与推理 3-1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，理解题意，作出辅助线是解题关键． 过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 解：如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 3-2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）填空： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， ______（______）． （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】 D 两直线平行，同旁内角互补 D 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，根据题干思路解答即可． 解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：D；两直线平行，同旁内角互补；D；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 3-3．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）证明，即可得出结果． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3-4．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，已知，求证：，以下是小明不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：如图、过点作， （______）， ， （______）， ______（两直线平行，内错角相等）， ______． 【答案】两直线平行，内错角相等 ；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，两直线平行，内错角相等；． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 利用两直线平行，内错角相等，平行公理推论即可． 解：证明：如图、过点作， （两直线平行，内错角相等 ）， ， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， 故答案为：两直线平行，内错角相等 ；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，两直线平行，内错角相等；． 二、综合篇 【考点七】幂的运算与整式的乘除运算化简求值 【题型1】幂的运算与零指数、负整指数综合 1-1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）6；（2） 【分析】（1）原式分别计算绝对值、有理数的乘方、负整数指数幂以及零指数幂，然后再进行加减运算即可； （2）原式先计算同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方，然后再合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 1-2．（25-26七年级下·全国·周测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2）9 【分析】本题考查了幂的运算法则，包括同底数幂的乘法、积的乘方以及负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握这些法则，并能够灵活运用． （1）先进行乘方运算确定符号，再进行同底数幂的乘法，最后合并同类项． （2）分别计算各项（负指数、零指数、乘方），再进行加减运算． 解：（1）解：原式． （2）解：原式． 1-3．（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、幂的混合运算及合并同类项等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，然后再计算减法即可； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，然后再合并同类项即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 1-4．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法和幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先化简负指数幂和零指数幂，然后计算乘除，最后算加法即可； （2）先算括号内幂的乘方，再算括号内同底数幂的乘法和除法，最后算同底数幂的除法即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型2】整式的乘除与乘法公式综合运算 2-1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查单项式乘多项式及多项式乘多项式的运算法则，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）先根据平方差公式及完全平方公式化简，最后将两个结果相加． 解：（1）解：原式； （2）原式 ． 2-2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）先运用单项式乘多项式法则与完全平方公式计算，再合并同类项化简． （2）先运用多项式乘多项式法则与平方差公式展开各项，再去括号合并同类项化简 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2-3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 2-4．（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方差公式的连续应用，解题的关键是灵活运用平方差公式简化运算； （1）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式； （2）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式． 解：（1）解： （2）解： 【题型3】整式的乘除与乘法公式综合化简求值 3-1．（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 解：（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 3-2．（25-26七年级下·重庆·开学考试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】先利用平方差公式、多项式乘多项式的运算法则化简所求式子，然后将、的值代入化简后的式子计算即可． 解： ， 当，时，原式． 3-3．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： （1）已知，求的值． （2），其中，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键． （1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值； （2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算． 解：（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解： ． 当，时， 原式． 3-4．（23-24九年级下·湖北·自主招生）已知实数满足，求的值． 【答案】8 【分析】根据实数满足，得，两边同时除以x，得到，从而得到，结合，代入代数式降幂计算求解即可． 解：根据题意，得，，， 故， 故， . 【考点八】几何性质与判定的求值证明 【题型1】对顶角、余（补）角性质综合求值与推理 1-1．（25-26七年级上·全国·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角尺的角度特征、余角与补角的性质，解题的关键是结合三角尺的固定角度，利用角度和差关系判断与的大小． 对每个图形依次分析：第一个图形通过平角与直角的角度和差计算，与比较；第二个图形利用同角的余角相等判断；第三个图形通过补角计算两角大小；第四个图形直接根据三角尺角度及互补关系判断． 解：第一个图形： ． 第二个图形：，， （同角的余角相等）． 第三个图形： ，， ． 第四个图形：，， ． ． 综上，满足的图形有3个． 故选：C． 1-2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，一元一次方程． 根据，得到，，根据同角的余角相等列方程求解即可． 解：∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 1-3．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图1，和都是直角． （1）如果，那么________； （2）找出图1中相等的锐角．如果，它们还会相等吗？请说明理由； （3）在图2中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（请标出你所画的直角，并写出与相等的角） 【答案】（1）；（2）；如果，它们还会相等，理由见详解；（3）见详解 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的概念、尺规作图，解题的关键是熟练掌握相关知识点的应用． （1）利用余角的定义可求得，从而可求解； （2）结合图形，利用余角的性质进行分析即可； （3）先用尺规画直角，再利用等角的余角相等进行求解即可． 解：（1）解：根据题意，可知， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）图1中． 如果，它们还会相等， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 如果，它们仍相等； （3）如图， 以为边画，再以为边画， 由同角的余角相等得． 1-4．（25-26七年级上·福建泉州·月考）如图，是直线上一点，平分，且． （1）请写出图中所有与互补的角______； （2）求证：平分． 下面给出平分的证明过程，请你将过程补充完整． 证明：平分， ______（角平分线的定义）． 是直线上一点， ． ， ______－______． ， ， ______（    ）． 平分． 【答案】（1）和；（2），，，，等角的余角相等 【分析】本题考查了角平分线，互余、互补，角的和差，数形结合是解题的关键． （1）结合图形找到与和为的角； （2）根据证明过程逐一回答即可． 解：（1）解：如图，是直线上一点， ，即与互补， ， ，， 平分， ， ， ，即与互补， 与互补的角有和． 故答案为：和． （2）证明：平分， ．（角平分线定义） 是直线上一点， ． ， ． ， ， ，（等角的余角相等） 平分． 故答案为：，，，，等角的余角相等． 【题型2】平行线性质求值证明 2-1．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处，与交于点．则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质，折叠的性质逐一排除即可，掌握折叠的性质是解题的关键． 解：、由长方形得，， ∴， 由折叠性质可知， ∴，即，选项A正确，不符合题意； 、不能说明，选项B错误，符合题意， 、由长方形得，， ∴， 由折叠性质可知， ∴，选项B正确，不符合题意； 、由折叠性质可知，选项D正确，不符合题意； 故选：． 2-2．（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，将一副直角三角板如图所示放置（点、、在同一直线上），点在上，其中，，，，则的度数为___________． 【答案】/15度 【分析】先利用三角板固定角度得到和，再通过两直线平行同位角相等将转化为，最后用角的差算出． 解：根据题意可知，， ， ， ． 2-3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图所示，，且与的平分线交于点F， （1）判断与的数量关系． （2）若，求的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点E作，根据猪蹄模型进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 解：（1）解：过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， （2）解：∵， ∴． 2-4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见分析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 解：（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 【题型3】平行线性质与判定求值证明 3-1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、几何图形中的角度计算等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 如图：过点A作，过点B作，由平行线的性质可得；再说明可得，最后根据角的和差以及等量代换即可解答． 解：如图：过点A作，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 3-2．（25-26八年级上·全国·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有_____个人的说法是正确的． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；因此此题根据平行线的性质与判定进行求解即可． 解：小方：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小方的说法正确，小明的说法错误； 小辉：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小辉的说法正确； 小杰：连接，如图所示： 由已知条件并不能得出关于的判定条件，故小杰的说法错误； 综上所述：正确的说法有2个； 故答案为2． 3-3．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． （1）___________； （2）求证：直线； （3）若，求的度数． 【答案】（1）70；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 3-4．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）与相等吗？为什么？ （3）若，，求的大小． 【答案】（1），理由见分析；（2）， 理由见分析；（3） 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由对顶角相等得到， 等量代换得到， 即可判定； （2）根据平行线的性质即可求解； （3）由平行线的性质得到， 再根据已知条件得出，最后根据平行线的性质即可得解． 解：（1）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点九】频率的稳定性与等可能事件的概率 【题型1】频率的稳定性 1-1．（25-26九年级上·山西晋城·期末）将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（    ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 【答案】C 【分析】本题考查随机事件、概率的意义及等可能事件的判断，需依据相关概念逐一分析选项. 解：∵随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. ∴钉尖触地的结果不确定，属于随机事件，A选项说法正确; ∵抛起图钉后，所有可能结果为钉尖触地和钉尖朝上，二者是对立事件; ∴P（钉尖触地）（钉尖朝上），B选项说法正确; ∵“钉尖触地”和“钉尖朝上”这两种结果发生的可能性不相等，不属于等可能事件, ∴不能得出P（钉尖触地），C选项说法错误; ∵根据频率估计概率的知识，大量重复试验后，频率会逐渐接近概率. ∴D选项说法正确. 故选：C． 1-2．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有_________个． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键，根据频率估计概率，摸到白球的频率稳定在附近，即摸到白球的概率为，利用概率公式建立方程求解． 解：设黑球有个，则总球数为个．根据题意得： ， 解方程：． 经检验，是方程的解， 故答案为：11． 1-3．（2025九年级上·全国·专题练习）一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，见分析 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义作答即可． 解：不正确． 5次试验属于少量试验，频率为0是可能出现的偶然情况（如连续掷5次硬币都正面朝上）． 若该同学摸球1000次，每次放回摇匀，摸出白球的频率会逐渐趋近于，从而验证概率的正确性． 1-4．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【答案】（1）；（2）补全条形统计图，见分析；阅读部分圆心角是；（3） 【分析】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息． （1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 解：（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 故答案为：100； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示，    阅读部分圆心角是， 故答案为：； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比为， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 【题型2】等可能事件的概率 2-1．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）如图，是甲、乙两同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据概率公式计算概率即可． 解：甲手中的牌为2，5，8，乙手中有4张牌，分别为4，5，8，9， 当甲从乙手中抽到4和9的时候，则恰好与自己手中牌是相邻数， 故恰好与自己手中牌是相邻数的概率是． 2-2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）一个不透明的布袋里装有4个1号球和3个2号球，这些球除编号不同外，其余均相同．从该布袋中随机摸出一个球，是2号球的概率是____ ． 【答案】 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是根据概率计算公式，总球数为7，2号球有3个，故概率为． 解：布袋中总共有4个1号球和3个2号球，总球数为7． 随机摸出一个球，是2号球这一事件的概率等于有利事件数（2号球数量）与总可能事件数（总球数）的比值，即． 故答案为． 2-3．（25-26九年级上·广西河池·期末）为了解我县初中在校生的课外阅读情况，现从中随机抽取部分学生分为“：每天阅读1小时以上”“：每天阅读小时”“：每天阅读小时以下”“：从不阅读”四类，绘制了如下扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出）． （1）本次调查共抽取_________名学生；扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为_____ （2）补全条形统计图； （3）若从此次调查抽取的样本中，随机抽取1名学生做进一步访谈，恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率是多少？ 【答案】（1）；；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查扇形统计图与条形统计图的综合应用，以及概率的计算，核心是利用扇形圆心角与人数的比例关系求出总样本数，进而分析各类数据． （1）通过类学生的人数和对应百分比，根据“”求出总人数，根据“类圆心角类人数占比”计算圆心角； （2）根据总人数和类人数占比求出的类人数，在条形图中绘制对应高度的直条即可补全图形； （3）根据类人数占比即可求出抽到类学生的概率． 解：（1）解：从条形图和扇形图可以得到类有人，占总人数的， ∴总人数为名； ∵类占总人数的， ∴扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为； 故答案为：；． （2）解：∵类占总人数的， ∴类人数为人， 在条形统计图中，补全类对应的条形如图； （3）解：“每天阅读1小时以上”的学生占总人数的， ∴恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率为． 2-4．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． （1）用适当的方法列举摸球所有可能的结果． （2）求出小明同学获得篮球的概率． 【答案】（1）种，列表见分析；（2）． 【分析】本题考查了列举随机试验的所有可能结果，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接用列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果即可； （）由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种，然后通过概率公式即可求解． 解：（1）解：（1）列表如下： 红 红 黄 黄 红 红红 红黄 红黄 红 红红 红黄 红黄 黄 黄红 黄红 黄黄 黄 黄红 黄红 黄黄 所以摸球所有可能的结果共有种； （2）解：由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种， 所以小明同学获得篮球的概率． 【考点十】整式乘法与图形变换实际应用 【题型1】整式乘除与乘法公式的应用 1-1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 1-2．（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景及图形面积的计算，解题的关键是通过计算两种不同图形的面积，建立等式，从而推导出平方差公式． （1）用大正方形面积减去小正方形面积，得到图①阴影部分的面积； （2）观察图形，确定图②中平行四边形的底边长和高，再用底乘高计算其面积； （3）根据两个图形中阴影部分面积相等，列出等式，推导出平方差公式． 解：（1）解： 故答案为：． （2）解：底边长为；对应的高为； 故答案为：；；． （3） 故答案为：． 1-3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形，内部挖去两个相同的小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，每个小长方形的长为，宽为． （1）用含x，y的代数式表示该零件模型的面积并化简； （2）当，时，求该零件模型的面积． 【答案】（1）；（2）67 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、平方差公式和合并同类项法则． （1）根据该零件模型的面积=大长方形的面积-2个小长方形的面积，列出算式，再根据多项式乘多项式法则、平方差公式和合并同类项法则进行化简即可； （2）把代入（1）中化简的结果进行计算即可． 解：（1）解：该零件模型的面积为： ； （2）解：当时， 该零件模型的面积 ． 1-4．（25-26八年级上·广西桂林·月考）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为___________． （2）根据图②所得的公式，若，求的值． （3）如图③，某学校有一块梯形空地于点，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）种草区域的面积和为60平方米． 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为平方米． 解：（1）解：∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又， ； （3）解：设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 【题型2】相交线与平行线的实际应用 2-1．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，可得，根据光的反射定律得到,则，再由平行线的性质得到． 解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2-2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 【答案】/度 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2-3．（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2-4．（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，先根据得到，再求出，最后根据求出． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与地面平行，， ∴， ∴， ∴． 三、压轴篇 【考点十一】整式的乘除 【题型1】整式的乘除运算与几何图形面积探究 1-1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 1-2．（25-26七年级上·上海·月考）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧（面积较大）与客卧都为正方形，它们的面积之和比其余面积（阴影部分）多 ，则主卧与客卧的周长差_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用问题，完全平方公式，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． 假设主卧的边长为，客卧的边长为，且，根据面积列出方程求解即可． 解：假设主卧的边长为，客卧的边长为，且， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（负值已舍）， ∴主卧与客卧的周长差为， 故答案为：． 1-3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． （1）请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． （2）请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； （3）结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【答案】（1）；；；（2）；（3）3 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积， （2）根据这两个面积相等列出等式即可； （3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解． 解：（1）解：利用图1，可以得到等式：； 利用图2，可以得到等式：； 利用图3，可以得到等式：； （2）类比（1）可得： （3）， ， 即： ， ， 解得． 1-4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 【答案】（1），；（2）；（3），；（4） 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式与图形面积等知识点，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）直接根据图形列出等式即可解答； （2）根据（1）的结论作差即可解答； （3）①由，得，即可求解，②令，则，根据题意可知，代入，即可求解； （4）由，两边平方再化简，可得，根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，即，代入，即可求解． 解：（1）解：由①可得， 由②可得， 故答案为：，； （2），， ， 即， 故答案为：； （3）解：①， ， 故答案为：； ②令， 则， ， ； 由（2）可知， 则． （4）解：根据题意可知， ， ， 根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，故阴影部分的面积为， 故答案为：． 【题型2】杨辉三角与整式展开式系数规律探索 2-1．（23-24八年级上·重庆城口·期末）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（    ）个 ①的展开式中的系数是9 ②的展开式为： ③能被28整除 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查数字的变换类规律，解题的关键是读懂题意，找到“杨辉三角”的规律．求出的展开式中的系数即可判定①；由计算规律可判断②正确；将分解为，再将分解成即可判定． 解：由计算规律可得，的展开式中，字母部分因式依次为，，，…， ∴含的为第二项， 又由“杨辉三角”可知，的展开式中第二项的系数为n， ∴的展开式中含的项为，故①正确； 由计算规律可得， ，故②正确； ∵， 而 ， ∴能被28整除，故③正确； ∴正确的有①②③，共3个； 故选：D． 2-2．（23-24七年级下·四川成都·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是 __________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法运算、杨辉三角，规律探究等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 解：展开式中含项的系数， 由 可知，展开式中第二项为， 展开式中含项的系数是， 故答案为：． 2-3．（23-24八年级上·四川宜宾·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为______； （2）展开式共有______项，第19项系数为______； （3）根据上面的规律，写出的展开式：______； （4）利用上面的规律计算：； （5）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）四 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）罗列后按照规律展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数是 ，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令 时代入展开式即可得到所求代数式的值； （5）将变形为展开后前项和是的倍数，所以 除结果的余数为，则有假如今天是星期五，那么再过 天是星期四． 解：（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：； （2），展开式有项； ，展开式有 项，倒数第三项系数为； ，展开式有 项，倒数第三项系数为 ； ，展开式有项，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第三项系数为 ； ……； 以此类推，展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数 ； 展开式共有项，第项系数为 ； 故答案为：；； （3）根据图示， 故答案为：； （4） ∴当时，， ； （5） （、、、、是一列常数） , ， 刚好是的整数倍， ∴除结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四. 故答案为：四． 2-4．（24-25八年级上·福建泉州·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）图中括号内的数为______； （2）利用上面的规律计算：； （3）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】（1）6；（2）32；（3）四 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）根据展开式，令，时，代入展开式即可得到所求代数式的值； （3）将变形为，展开后前21项和是7的倍数，所以除以7的余数为6，即可求解． 解：（1）解：根据表中数据得， 故答案为：． （2）解： ∴当，时，， ． （3）解：∵ （、、、、是一列常数）， ∴，刚好是的整数倍， ∴除以结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四． 【考点十二】相交线与平行线 【题型1】相交线与平行线与折叠问题探究 1-1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用折叠的性质得到相等的角，结合长方形的直角和已知角的度数，求出折叠后相关角的度数；再根据折叠后线段的平行关系，利用平行线的性质求出的度数． 解：由折叠的性质可知． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠前后对应角相等、两直线平行时同旁内角互补是解题的关键． 1-2．（25-26八年级上·浙江金华·开学考试）如图，已知，点E，F分别在直线上，点P在之间，EF的右侧，且．若将射线沿直线折叠得射线，射线沿直线折叠得射线，与所在直线交于点H，则_____________ ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，折叠的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 过点P作交于点Q，过点H作，分H在的左侧和右侧两种情况解答即可． 解：当H在的左侧时，过点P作交于点Q，过点H作， ∵， ∴， ∴，，， ， ∴ ， ∴； 当H在的右侧时，如图， ∴， ， ∴； 故答案为：或． 1-3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）；（2），证明见分析；（3） 【分析】（1）根据折叠得出，根据平行线的性质得出； （2）过点M作，证明，再证明，得出； （3）根据折叠可知：，，，，，，， 设，，，得出，，即可得出，求出结果即可． 解：（1）解：∵， ∴， 根据折叠可知：， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 过点M作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 根据折叠可知：，，，，，，， 设，， 则， 又∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 在中，， 设， ， ∴， 在四边形中，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的性质． 1-4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【题型2】相交线与平行线与旋转问题探究 2-1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如下图，点，，，在同一直线上，现将绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转一周后与同时停止转动，设旋转时间为秒，下列的值，不能满足的是（   ） A．18 B．36 C．45 D．54 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，根据题意，第一次时，应有即；第二次时，应有即；第三次时，应有即，分类计算即可． 解：根据题意，t秒后，转过，转过，即， 如图，第一次时，即，则即， 解得：； 第二次时，即，则即， 解得：； 第三次时，即，则即， 解得：； 综上，不能满足的值是． 故选：C． 2-2．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知，点P，Q分别在上，如图，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便停止，此时射线也停止旋转．若射线先旋转45秒，射线才开始转动，当射线旋转时间为________秒时，．（为旋转后对应的射线．）    【答案】或或 【分析】由题意可知，射线再旋转45秒后到达，射线在此过程中旋转．作出，分类讨论旋转度数为和的情况，以及两射线分别与重合时，即可求解． 解：①若旋转度数为，即，如图所示：   ，， ， ， ， 解得：； ②若旋转度数为，即，如图所示：    由①得：， ， ， 解得：， ③当时，与重合，与重合， 此时， 综上所述：或或； 故答案为：或或． 【点拨】本题考查平行线中的运动问题，将一元一次方程与平行线的性质结合起来．建立分类讨论的依据是解决此题的关键． 2-3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知一副直角三角尺先按如图1的方式拼接在一起，其中直角边、斜边都与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为_____________． （2）在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒． ①在旋转过程中，请求出当时的值； ②在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出所有满足条件的值． 【答案】（1）；（2）①的值为或；②或或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，角的和差计算等知识点，解题的关键是正确运用分类讨论的思想． （1）根据平角得到，据此即可求解； （2）①由题意得，，，，，然后分三种情况讨论，根据列方程求解即可； ②分三种情况讨论，利用平行线的性质以及角的和差计算求解的度数即可． 解：（1）解：由题意得，，，， ∴； （2）解：①由题意得，， ∴， 由题意得，，，，， ∵， ∴当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）， ∴的值为或； ②当时，如图， ∴， ∴， 解得； 当时，如图： ∴， ∴， 解得； 当时，如图：记交点为点，过点作， ∴， ∴， 解得， 综上：当与三角尺的某一边平行时，满足条件的值为或或． 2-4．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． （1）求的度数． （2）如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 【答案】（1）；（2）①或；②或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当当转到之前时，构建方程即可解决问题．当落在射线上时返回，构建方程即可解决问题． 解：（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， 当转到之前时 ， ， ， ， ， ， 当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 在旋转过程中，若边，t的值为或； ②当转到之前时 绕点B旋转，平分的角平分线， ， ； 绕点E旋转，平分 ， 当时 ∵ ∴ 即 解得：； 当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 如图 ，， 当时 ， ∵ ∴， ∵ 即 解得：； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $