专题 1.9 乘法公式考点与题型专题训练（6大考点14类题型）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.9 乘法公式考点与题型专题训练（6大考点14类题型） 目录 基础篇（夯实概念与基础计算） 1 【考点一】平方差公式 1 题型 1：直接套用公式计算 1 题型 2：几何图形应用 4 【考点二】完全平方公式 7 题型 3：直接展开计算 7 题型 4：简便运算 9 题型 5：几何图形应用 10 【考点三】整式乘法混合运算 13 题型 6：整式乘法混合运算 13 题型 7：整式乘法混合运算化简求值 15 培优篇（综合运算与应用） 18 【考点四】完全平方公式的逆用与变形 18 题型 8：完全平方公式的基本变形应用 18 题型 9：通过配方求代数式的值 20 题型 10：复杂代数式变形 23 【考点五】求完全平方式中的字母系数 27 题型 11：利用完全平方公式的结构特征，确定系数 27 【考点六】乘法公式的综合拓展 29 题型 12：多次使用平方差公式 29 题型 13：平方差与完全平方的混合 33 题型 14：规律探究 36 基础篇（夯实概念与基础计算） 【考点一】平方差公式 考法：核心公式：，可以是单项式，也可以是多项式。 题型 1：直接套用公式计算 1．（25-26八年级上·天津·月考）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式． 平方差公式适用于形式为的乘法，即两个二项式中一项相同，另一项互为相反数． 解：选项A：，不符合平方差公式的形式； 选项B：，第二项不同，不符合平方差公式的形式； 选项C：，符合平方差公式的形式； 选项D：，不符合平方差公式的形式； 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：． 直接应用平方差公式计算即可． 解：（1） ． （2） ． （3） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可． （1）（2）（3）（4）根据平方差公式进行计算即可； （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 4．（25-26七年级下·全国·课前预习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查平方差公式，掌握是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据平方差公式进行计算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型 2：几何图形应用 1．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 解：左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴验证的等式为， 故选∶C． 2．（25-26八年级上·北京·期中）根据图1到图2的变化过程，可以得到一个整式乘法的恒等式，这个恒等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据观察图1和图2，分别表示出它们各自的面积，结合整个过程面积不变，得，即可作答． 解：依题意，图1的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∵整个过程面积不变， ∴， 故答案为： 3．（25-26七年级下·广东佛山·月考）（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）1 【分析】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）由图可知长方形的宽是，长是， 所以面积是； 故答案为：，，； （3）由题意得：（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4） ． 4．（24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可； （2）由，可得，再把代入计算即可． （1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， ∴图1 的阴影部分面积为：， 图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：， ∴图2长方形的面积为：， ∴验证的等式是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【考点二】完全平方公式 考法：核心公式：，可以是单项式，也可以是多项式。 题型 3：直接展开计算 1．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了完全平方公式．直接利用完全平方公式化简即可得出答案． 解：． 故选：D． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 利用完全平方公式展开，然后通过两式相减消去平方项，得到关于的等式化简即可得到答案． 解：①， ②， 由①②得， 即， 解得， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东济宁·周测）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式：熟练掌握应用完全平方公式是解决此类问题的关键（完全平方公式：． （1）（2）直接利用完全平方公式计算；（3）利用完全平方公式计算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式、单项式乘多项式，熟记完全平方公式是解答的关键． （1）（2）直接利用完全平方公式求解即可； （3）利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则求解即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型 4：简便运算 1．（25-26八年级上·河北保定·期末）用简便方法计算时，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，有理数的乘方运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用完全平方公式进行简便计算． 解：∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东济宁·开学考试）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过观察表达式结构，将其转化为完全平方形式以简化计算． 解：原式 ． 故答案为：1. 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）运用完全平方公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式直接求解即可． （2）利用完全平方公式直接求解即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是平方差公式，完全平方公式，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）将原式变形后利用平方差公式计算即可； （2）将原式变形后利用完全平方公式计算即可． （1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 题型 5：几何图形应用 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，将一个正方形分成面积为、、、四部分，则原正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何意义，熟练运用完全平方公式是做题的关键．四部分的面积和正好是大正方形的面积，根据面积公式即可求得边长． 解：由题意和图可知，， ∴原正方形的边长为． 故选：A． 2．（23-24八年级上·四川资阳·期中）长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据长方形周长公式得到，再由完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 解：∵长方形的周长为14，x、y为该长方形的一组邻边长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个长方形的面积为12， 故答案为：12． 3．（25-26八年级上·河南周口·期末）某学校为了提高学生的实践能力和综合运用知识的能力，计划在其实验基地建立如图所示的种植园．图中阴影部分设计为种植园，该长方形场地的长为，宽为，中间是边长为的正方形空地． (1)用含，的代数式表示该种植园（阴影部分）的面积并化简； (2)学校组织学生种植作物，若，，每平方米的种植成本是40元，则完成种植共需多少元？ 【答案】(1) (2)116000元 【分析】本题考查的是整式的乘法与图形面积，求解代数式的值. （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去正方形的面积可得答案. （2）把，代入（1）中的代数式求解面积，再进一步求解即可. （1）解：设阴影部分的面积为，由图可知： ． （2）解：当，时， ∴（元）． 答：完成种植共需116000元． 4．（23-24八年级上·吉林·期末）如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的运算，面积的计算等，审清题意列式是解题的关键. （1）根据面积公式计算即可； （2）根据图形推导长方形的长与三个宽相等求出即可； （3）由图推出大正方形的边长和阴影小正方形的边长，再根据“大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24”列出关系式即可． （1）解：由长方形的面积公式可得：. 故答案为：； （2）由图可知：. 故答案为：； （3）由图可知：大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为， 又∵大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24 ∴两个关于m，n的等式为：，． 【考点三】整式乘法混合运算 考法：综合运用单项式乘、多项式乘、平方差、完全平方等法则进行化简。 题型 6：整式乘法混合运算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式．先计算完全平方式，再去括号、合并同类项即可． 解：原式 ， 故选B． 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 解： ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·新疆和田·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算，再合并同类项即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知乘法公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． （1）解： ； （2）解： ． 题型 7：整式乘法混合运算化简求值 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先利用整式的乘法公式和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 解：原式 ， ∵， ∴原式 ． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为；值为1 【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、合并同类项及多项式除以单项式的运算法则． 解：原式 ． 当，时，原式． 3．（25-26八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算括号内的，再计算除法，然后根据非负数的性质，求出x，y的值，再把x，y的值代入化简后的结果，即可求解． 解：原式        =． ∵， ∴， ∴， 当时， 原式． 4．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值： ，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务一： ①第一步运算中用到的乘法公式为________（用含字母，的式子表示） ②以上步骤第________步出现了错误，错误的具体原因是________________________________ 任务二：请写出正确的解答过程． 任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出一条建议． 【答案】任务一：①；②一 ，的展开式在去括号时符号错误；任务二：过程见解析；任务三：见解析． 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，平方差公式和完全平方公式． 任务一：①根据完全平方公式即可得出答案；②根据去括号法则即可得出答案； 任务二：根据整式的混合运算顺序解答即可； 任务三：在使用乘法公式展开化简时要注意前面为负号时，展开后要记得先加括号 解：任务一：①第一步运算中用到的乘法公式为； ②以上步骤第一步出现了错误，错误的具体原因是：的展开式在去括号时符号错误； 故答案为：一 ；的展开式在去括号时符号错误； 任务二： ． 当，时，原式． 任务三：在使用乘法公式展开化简时要注意前面为负号时，展开后要记得先加括号（答案不唯一）． 培优篇（综合运算与应用） 【考点四】完全平方公式的逆用与变形 考法：；；. 题型 8：完全平方公式的基本变形应用 1．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A．89 B．74 C．64 D．49 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，代数式求值，关键是完全平方公式能进行准确变形． 运用完全平方公式将原式变形为，再将代入求解． 解：∵， ∴当时， 原式， 故选：A． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知 则 的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解决本题的关键是使用变量代换． 通过变量代换，将原方程转化为关于新变量的简单方程，利用完全平方公式展开并化简求解． 解：令，则，． 代入原方程得． 展开得， 即，解得． 因此． 故答案为：4． 3．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，多项式的乘法． （1）根据完全平方公式得到，进而计算即可； （2）先计算多项式的乘法，再化为，进而计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知，．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，代入，计算即可； （2）因为，代入，计算可得，进而求解即可． （1）解： ； （2）解： ， ∴． 题型 9：通过配方求代数式的值 1．（21-22七年级下·重庆大渡口·期末）阅读材料：我们把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写，即．例如：，，是的三种不同形式的配方．则下列说法正确的个数是（    ） ①和都是不同形式的配方 ②是完全平方式，则k的值为3 ③有最小值，最小值为2 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①各式化简得到结果，比较即可作出判断； ②利用完全平方公式的结构特征判断即可； ③原式配方后，求出最小值，即可作出判断． 解：①∵(x+2)2-2x= x2+2x+4，(x+1)2+3= x2+2x+4，∴(x+2)2-2x和(x+1)2+3都是x2+2x+4不同形式的配方，符合题意； ②x2-2(k-1)x+4是完全平方式，则k-1=2或k-1=-2，即k=3或-1，不符合题意； ③原式=(b2-4b+4)+2=(b-2)2+2，当b=2时，取得最小值，最小值为2，符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南永州·月考）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵， 当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1； ∴的最小值是1． 根据上述方法，解答问题： 知识运用：若，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ． 【答案】 3 大 6 【分析】本题考查了利用完全平方公式的应用；将化为，仿照已知，即可求解；会仿照已知进行配方，利用完全平方公式的性质进行求最值是解题关键． 解： ， ∵ 当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是； ∴的最大值是． 故答案：，大，． 3．（23-24八年级上·北京东城·期中）阅读材料： 我们已经学习过完全平方公式．对于多项式，虽然不能写成某个代数式的平方形式，但是可以写成，即一个含x的代数式的平方与另一个数的和的形式．更一般的，对于二次项系数不为1的二次三项式，它总是可以化为的形式，我们把这种代数式的恒等变形叫做配方．例如：，这就是一个配方的过程．根据以上内容回答下列问题： (1)将代数式配方； (2)已知，那么的值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）根据阅读材料提供的方法变形解答即可； （2）先根据阅读材料提供的方法变形，再根据非负数的性质求出a，b的值，然后代入计算即可． （1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）根据完全平方公式，把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做“配方法”．例如把配方如下：．请完成下列问题： (1)填空：配方多项式的结果为 ； (2)当等于多少时，代数式的值最小？ (3)用一根长为米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)或或 (2)当时，代数式的值最小 (3)当该长方形的相邻两边长均为米时，围成的长方形面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查完全平方公式的应用，平方的非负性， （1）根据“配方法”的定义并根据完全平方公式分常数项、一次项、二次项三种不同形式解答即可； （2）先配方，再根据平方的非负数的性质解答即可； （3）设该长方形的一边长为米，则其相邻边长为米，面积为平方米，根据题意得，再根据配方法求解即可； 掌握完全平方公式的特点是解题的关键。 （1）解：的三种配方分别为： ， ， ， 故答案为：或或； （2）∵， 无论取何值时，都有， ∴当时，取最小值，此时代数式的值最小，最小值为， ∴当时，代数式的值最小． （3）设该长方形的一边长为米，则其相邻边长为米，面积为平方米， 根据题意，得： ， ∴当时，取最大值为， ∴（米）， ∴当该长方形的相邻两边长均为米时，围成的长方形面积最大，最大面积是平方米． 题型 10：复杂代数式变形 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）若，，则的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 通过设，将原式转化为关于和的等式，利用已知平方和求值． ∵，， 设，则，， 将两式相加得：， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选B． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 由条件 可得，再代入 求得，然后代入所求表达式计算即可． 解：由，得， 即， 所以， 代入，得， 所以， 故， 则，，， 所以，，， 因此原式． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河南周口·月考）若的积中不含x和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了多项式乘法法则，合并同类项，完全平方公式的应用，幂的运算法则及方程的求解． （1）先将式子展开计算，再根据积中不含x和项求出m、n的值，最后代入式子求值； （2）先将式子化简，再将（1）中的m、n值代入求得． （1）解：， 由积中不含x和项，得，， 解得：，， ∴原式． （2）解：原式 ， 由（1）知，， ∴原式． 4．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）我们知道完全平方公式有：，．在解题过程中，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，例如：如果，，那么的值为． 我们进一步探讨公式的运用：若满足，求的值． 解：设，， 则， ． 原式． 用上述方法解答下列问题： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值． 设，，利用完全平方公式变形可得：，根据，求出的值； 设，，利用完全平方公式变形可得：，整理可得的值． （1）解：设，， 则，， ， ， 原式 ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ， ， 可得：， 即， 整理可得：． 【考点五】求完全平方式中的字母系数 考法：根据完全平方公式的结构特征，确定待定系数。 题型 11：利用完全平方公式的结构特征，确定系数 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列，的值能使多项式是完全平方式的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式是解题的关键． 多项式为完全平方式时，应满足，故且． 解：∵完全平方式形式为， ∴比较系数得，； 选项A：，则，应为，但，不相等，故不满足； 选项B：，则，应为，与给定相等，故满足； 选项C：，则，应为，但，不相等，故不满足； 选项D：，则，应为，但，不相等，故不满足； 故选B． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，设原式为某个整式的平方，通过比较系数建立方程组求解 设整式为，则其平方为，与原式比较系数，得：，，，， 由得， 由且得， 代入得， 将代入得， 即， 解得， 则， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西宜春·月考）已知代数式． (1)化简代数式． (2)若（a为常数）是完全平方式，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式的应用及整式的化简求值，熟练掌握乘法公式的展开法则与完全平方式的结构特征是解题的关键． （1）通过完全平方公式、平方差公式展开代数式，再合并同类项化简； （2）根据完全平方式的结构特征求出的值，代入化简后的代数式计算． （1）解： ； （2）解：∵是完全平方式，， ∴， 将代入得 ． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，定义新运算， 对于（1），根据题中的新定义解答即可； 对于（2），根据新定义可得原式，再根据完全平方公式可得，即可得出答案. （1）解：根据题意，原式； 故答案为：； （2）解：原式， ∵为完全平方公式，即 ∴， 解得. 【考点六】乘法公式的综合拓展 核心考法：在复杂问题中灵活选择和组合公式。 题型 12：多次使用平方差公式 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）为了利用平方差公式，将原式第一部分乘以和进行配凑然后再连续利用平方差公式计算； （2）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据有理数的乘法计算即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行有理数的简便运算，解决此题的关键是熟练掌握平方差公式；先根据平方差公式写出运算过程，进而运用简便计算即可得到答案； 解： ， ， ． 3．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）计算： 【答案】． 【分析】先对原式中的每一项进行变形，将分子凑成与分母相关的形式，然后拆分每一项为两个数的和，再分别对各项进行化简，最后通过分组求和得出结果．本题主要考查了分式的变形、裂项相消法求和以及平方差公式的应用，熟练掌握分式的变形技巧和裂项相消法是解题的关键． 解： ． 4．（22-23七年级下·江西赣州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知将乘开的结果不含和项．求m、n的值； （3）小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算： 请按照小明的方法，计算． 【答案】（1）72，详见解析 （2），详见解析 （3），详见解析 【分析】（1）由，即可求得答案； （2）先根据多项式乘多项式的计算法则化简代数式，然后根据不含的项和的项得到，据此求出m、n的值即可得到答案． （3）根据题意以及平方差公式即可求出答案． 解：（1）∵， ∴ ； （2） ∵关于x的代数式的化简结果中不含的项和的项， ∴， ∴， （3） ． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，多项式乘以多项式，平方差公式的应用，掌握相关计算法则是解题的关键． 题型 13：平方差与完全平方的混合 1．（2025九年级·浙江杭州·专题练习）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算-化简求值，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把、的值代入进行计算即可． 解： ， 当，时， 原式 ． 2．（24-25九年级上·重庆·月考）计算 (1) (2) (3) (4)为正整数） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据乘法分配律的逆运算法则把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可； （3）先利用积的乘方计算法则把原式变形为，再利用平方差公式分别计算得到，再利用多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （4）利用平方差公式把原式变形，然后计算求解即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（25-26八年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，将103表示为100与3的和进行计算； （2）先将5化为6-1，再连续应用平方差公式逐步化简式子． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】第（1）题：核心技巧是凑整 + 完全平方公式，将接近整百的数拆分，简化计算；第（2）题：核心技巧是构造平方差公式，通过将 5 转化为 6−1，连续使用平方差公式，实现 “连锁化简”． 4．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘、除的运算与我们学过的整式加、减、乘、除的运算类似，例如计算：．根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算；； (3)将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． (4)已知，求复数． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式运算的应用，平方差公式的运用，完全平方公式的运用，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意化简即可； （2）利用完全平方公式运算即可； （3）利用平方差公式和分式的性质运算求解即可； （4）根据分式方程的运算法则运算求解即可． （1）解：，， 故答案为：；1； （2）解：； （3）； （4）， 解：， ， ∴． 题型 14：规律探究 1．（23-24八年级上·福建莆田·期末）观察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得= ①，设=k②，则由①+②得：③，由①-②得：④，由④-③得：=，即可求解． 解：由题意，得=(2-1)()= 即= ①， 设=k②， 由①+②得：， ， 即③， 由①-②得：， 即④， 由④-③得：=， ∴=k， 解得：k=． 故选：D． 【点睛】本题考查数字规律探究，平方差公式的运用，等式的性质，解方程，求得= 是解题的关键． 2．（25-26八年级上·四川内江·月考）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律． 1        1   1       1   2   1 1   3   3   1 …… …… 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的序号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式、幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先研究已有的过程得展开式共有项，系数的和为：，再把②③④结合“杨辉三角”的规律，进行整理化简，即可作答． 解：∵，系数的和为：， ，系数的和为：， ，系数的和为：， ，系数的和为：， ∴，系数的和为：， …… 以此类推，展开式共有项，系数的和为：，故①不符合题意； 结合“杨辉三角”，则， ∴， 即的结果是；故②符合题意； 结合“杨辉三角”，则， 即， ∵当代数式的值是1， ∴， ∴， 解得或，故③不符合题意； ，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为， ∴的余数与的余数相同， ∴的余数为6， 因此今天是星期一，再过天是星期天．故④不符合题意； 综上分析可知：正确的序号是②． 故答案为：②． 3．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）（1）探究规律： ； _______， ．．． （2）猜想规律：_______（表示十位上数字是，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）． （3）请证明上述猜想． （4）知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，也有类似的规律，请直接写出该规律． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分变化的规律是解题的关键． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）由（1）中的发现即可解决问题． （3）对发现的等式进行证明即可． （4）根据题意，直接写出规律即可． （1）解：； ； 故答案为：． （2）解：根据前面的规律，得， 故答案为：． （3）证明：设 则 ∵ ∴ ，猜想得证 （4）解：有类似规律，；理由如下， ， 由， 故． 4．（24-25八年级上·福建泉州·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为______； (2)利用上面的规律计算：； (3)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】(1)6 (2)32 (3)四 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）根据展开式，令，时，代入展开式即可得到所求代数式的值； （3）将变形为，展开后前21项和是7的倍数，所以除以7的余数为6，即可求解． （1）解：根据表中数据得， 故答案为：． （2）解： ∴当，时，， ． （3）解：∵ （、、、、是一列常数）， ∴，刚好是的整数倍， ∴除以结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.9 乘法公式考点与题型专题训练（6大考点14类题型） 目录 基础篇（夯实概念与基础计算） 1 【考点一】平方差公式 1 题型 1：直接套用公式计算 2 题型 2：几何图形应用 2 【考点二】完全平方公式 3 题型 3：直接展开计算 4 题型 4：简便运算 4 题型 5：几何图形应用 4 【考点三】整式乘法混合运算 5 题型 6：整式乘法混合运算 5 题型 7：整式乘法混合运算化简求值 6 培优篇（综合运算与应用） 6 【考点四】完全平方公式的逆用与变形 6 题型 8：完全平方公式的基本变形应用 7 题型 9：通过配方求代数式的值 7 题型 10：复杂代数式变形 8 【考点五】求完全平方式中的字母系数 10 题型 11：利用完全平方公式的结构特征，确定系数 10 【考点六】乘法公式的综合拓展 10 题型 12：多次使用平方差公式 10 题型 13：平方差与完全平方的混合 11 题型 14：规律探究 12 基础篇（夯实概念与基础计算） 【考点一】平方差公式 考法：核心公式：，可以是单项式，也可以是多项式。 题型 1：直接套用公式计算 1．（25-26八年级上·天津·月考）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． （3） ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26七年级下·全国·课前预习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 2：几何图形应用 1．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·期中）根据图1到图2的变化过程，可以得到一个整式乘法的恒等式，这个恒等式是 ． 3．（25-26七年级下·广东佛山·月考）（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 4．（24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 【考点二】完全平方公式 考法：核心公式：，可以是单项式，也可以是多项式。 题型 3：直接展开计算 1．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则 ． 3．（25-26八年级上·山东济宁·周测）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 题型 4：简便运算 1．（25-26八年级上·河北保定·期末）用简便方法计算时，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东济宁·开学考试）计算： ． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）运用完全平方公式进行简便计算： (1)； (2)． 4．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）简便运算： (1) (2) 题型 5：几何图形应用 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，将一个正方形分成面积为、、、四部分，则原正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川资阳·期中）长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为 ． 3．（25-26八年级上·河南周口·期末）某学校为了提高学生的实践能力和综合运用知识的能力，计划在其实验基地建立如图所示的种植园．图中阴影部分设计为种植园，该长方形场地的长为，宽为，中间是边长为的正方形空地． (1)用含，的代数式表示该种植园（阴影部分）的面积并化简； (2)学校组织学生种植作物，若，，每平方米的种植成本是40元，则完成种植共需多少元？ 4．（23-24八年级上·吉林·期末）如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 【考点三】整式乘法混合运算 考法：综合运用单项式乘、多项式乘、平方差、完全平方等法则进行化简。 题型 6：整式乘法混合运算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中） ． 3．（25-26八年级上·新疆和田·期末）计算： (1) (2) 4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）化简： (1)； (2) 题型 7：整式乘法混合运算化简求值 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中，． 3．（25-26八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（25-26八年级上·山西吕梁·月考）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值： ，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务一： ①第一步运算中用到的乘法公式为________（用含字母，的式子表示） ②以上步骤第________步出现了错误，错误的具体原因是________________________________ 任务二：请写出正确的解答过程． 任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出一条建议． 培优篇（综合运算与应用） 【考点四】完全平方公式的逆用与变形 考法：；；. 题型 8：完全平方公式的基本变形应用 1．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A．89 B．74 C．64 D．49 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知 则 的值是 ． 3．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 4．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知，．求： (1)； (2)． 题型 9：通过配方求代数式的值 1．（21-22七年级下·重庆大渡口·期末）阅读材料：我们把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写，即．例如：，，是的三种不同形式的配方．则下列说法正确的个数是（    ） ①和都是不同形式的配方 ②是完全平方式，则k的值为3 ③有最小值，最小值为2 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24七年级下·湖南永州·月考）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵， 当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1； ∴的最小值是1． 根据上述方法，解答问题： 知识运用：若，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ． 3．（23-24八年级上·北京东城·期中）阅读材料： 我们已经学习过完全平方公式．对于多项式，虽然不能写成某个代数式的平方形式，但是可以写成，即一个含x的代数式的平方与另一个数的和的形式．更一般的，对于二次项系数不为1的二次三项式，它总是可以化为的形式，我们把这种代数式的恒等变形叫做配方．例如：，这就是一个配方的过程．根据以上内容回答下列问题： (1)将代数式配方； (2)已知，那么的值为 ． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）根据完全平方公式，把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做“配方法”．例如把配方如下：．请完成下列问题： (1)填空：配方多项式的结果为 ； (2)当等于多少时，代数式的值最小？ (3)用一根长为米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少？ 题型 10：复杂代数式变形 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）若，，则的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 由条件 可得，再代入 求得，然后代入所求表达式计算即可． 解：由，得， 即， 所以， 代入，得， 所以， 故， 则，，， 所以，，， 因此原式． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河南周口·月考）若的积中不含x和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 4．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）我们知道完全平方公式有：，．在解题过程中，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，例如：如果，，那么的值为． 我们进一步探讨公式的运用：若满足，求的值． 解：设，， 则， ． 原式． 用上述方法解答下列问题： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值． 【考点五】求完全平方式中的字母系数 考法：根据完全平方公式的结构特征，确定待定系数。 题型 11：利用完全平方公式的结构特征，确定系数 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列，的值能使多项式是完全平方式的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是 ． 3．（25-26八年级上·江西宜春·月考）已知代数式． (1)化简代数式． (2)若（a为常数）是完全平方式，求的值． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 【考点六】乘法公式的综合拓展 核心考法：在复杂问题中灵活选择和组合公式。 题型 12：多次使用平方差公式 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算：． 3．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）计算： 4．（22-23七年级下·江西赣州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知将乘开的结果不含和项．求m、n的值； （3）小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算： 请按照小明的方法，计算． 题型 13：平方差与完全平方的混合 1．（2025九年级·浙江杭州·专题练习）化简求值：，其中，． 2．（24-25九年级上·重庆·月考）计算 (1) (2) (3) (4)为正整数） 3．（25-26八年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 4．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘、除的运算与我们学过的整式加、减、乘、除的运算类似，例如计算：．根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算；； (3)将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． (4)已知，求复数． 题型 14：规律探究 1．（23-24八年级上·福建莆田·期末）观察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川内江·月考）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律． 1        1   1       1   2   1 1   3   3   1 …… …… 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的序号是 ． 3．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）（1）探究规律： ； _______， ．．． （2）猜想规律：_______（表示十位上数字是，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）． （3）请证明上述猜想． （4）知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，也有类似的规律，请直接写出该规律． 4．（24-25八年级上·福建泉州·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为______； (2)利用上面的规律计算：； (3)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $