专题02 方程（组）与不等式（组）综合（题型专练）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02方程（组）与不等式（组）综合 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 等式与不等式性质 题型02 二元一次方程组的解法 题型03 分式方程的解法 题型04 一元二次方程的解法 题型05 不等式（组）的解法 题型06 不等式（组）中含参数问题 题型07 一元二次方程中含参数问题 题型08 分式方程中含参问题 题型09 一次方程（组）的应用 题型10 一元二次方程的应用 题型11 分式方程的应用 题型12 不等式（组）的应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01等式与不等式性质 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 【典例02】（2025·山东枣庄·一模）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 根据等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 如果，那么或，故该选项错误，不合题意； B． 如果，那么，故该选项正确，符合题意； C． 如果，那么当时，，，故选项错误，不合题意； D． 如果，那么时，，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 方法透视 考向解读 等式基本性质、不等式基本性质的考查，通常以选择题、填空题形式出现，一般都为基础题， 难度不大，为必会必对题，准确掌握等式的基本性质和不等式性质是解题的关键． 方法技能 1. 等式基本性质，要特别注意两边都除以不为零的数或式的要求，正确理解 ①如果，那么②如果，那么的区别。 不2.不等式的基本性质，要特别注意不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变． 变式演练 【变式01】（2025·山东东营·二模）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 【变式02】（2025·山东淄博·二模）已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的c的值是 ． 【答案】（答案不唯一，负数即可） 【知识点】不等式的性质、举例说明假（真）命题 【分析】当，要使符号变号，则只需不等式两边同时乘同一个负数即可． 【详解】当，要使成立，即不等式两边同时乘一个符号会变号，则使是负数即可，则可使． 【点睛】本题考查了真命题和不等式的性质知识点，不等式符号要变号，就使不等式两边同时乘或除同一个负数即可，这一性质是解题的关键． 【变式03】（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】不等式的性质、等式的性质1 【分析】本题考查等式的性质，不等式的性质，根据等式的变形代入计算，然后逐项判断解题即可． 【详解】解：A.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意； B.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意； C.由，，则可得到，结论正确，不符合题意； D.由可得，则，当时，，即，原结论错误，符合题意； 故选：D． 题型02 二元一次方程组的解法 典例引领 【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）解方程组：． 【详解】解：解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 【典例02】（2025·山东·一模）已知方程组，则的值为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查解二元一次方程组．根据题意，即可得到，即可得到的值． 【详解】解： ， 得到：， ∴， 故答案为． 方法透视 考向解读 对二元一次方程组及其解法的考查主要体现在以下两个方面： (1)“消元”思想：二元一次方程组一元一次方程（代入法和加减法） (2)“整体”思想：对两个方程的采取某种变形后求含未知数的某些代数式的值 总体上难度不大，属于基础题范围，一般出现在解答题第一题位置。 方法技能 1. 灵活选择消元法：根据方程组特征选择方法。若同一未知数系数互为相反数或相等，优先用加减消元法；否则可用代入消元法，将其中一个方程变形代入另一方程求解。 2. 规范求解步骤：按“消元—解一元一次方程—回代求另一未知数”的流程操作，确保每一步计算准确。 变式演练 【变式01】（2025·山东临沂·一模）解方程组， 【答案】（） 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组 ，根据加减消元法即可求解； 【详解】解： 得，解得， 将代入得，解得， ∴原方程组的解为； 【变式02】（2025·山东潍坊·二模）方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 根据方程组中的系数的特点，可求出的值，再把代入①即可求解． 【详解】解：， 得，， ， ， 把代入①得，， ， ∴原方程组的解为， 故答案为： ． 【变式03】（2025·山东烟台·一模）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 分别将两个二元一次方程标记为和，可得，解得，再将代入，得到，解得，于是得解． 【详解】解：， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， 原方程组的解为． 题型03 分式方程的解法 典例引领 【典例01】（2025·山东威海·中考真题）解分式方程． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 【典例02】（2025·山东枣庄·二模）分式方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程．方程两边乘以将分式方程化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 方法透视 考向解读 分式方程的解法考查方向有两个： (1)基本思想：把分式方程转化为整式方程 (2)解法：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程,再求根验根 方法技能 1. 去分母转化为整式方程：先确定最简公分母，若分母是多项式则需因式分解；方程两边同时乘最简公分母，注意不要漏乘常数项或整式部分。 2. 规范求解与符号处理：去括号时若括号前是负号，括号内每一项均要变号；按解整式方程的步骤求解后，需将解代入最简公分母检验。 3. 务必检验根的情况：代入最简公分母检验，若其值不为0则是原方程的解；若为0则是增根需舍去，确保答案正确。 变式演练 【变式01】（2025·山东聊城·二模）方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是， 故答案为：． 【变式02】（2025·山东济宁·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握相关求解方法是解题关键，需注意分式方程要验根． （1）通过变形得，确定最简公分母为，去分母，转化为整式方程，解方程即可； （2）逐一求得不等式的解集，再确定不等式组的公共解集即可． 【详解】（1）解：， ， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． （2）解：， 由①得：， 由②得：， 原不等式组的解集为：． 【变式03】（2025·山东济南·一模）代数式和代数式的值相等，则 ． 【答案】1 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键．通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可． 【详解】解：由题可得：， 去分母得，， 解得，， 检验：当时，， ∴是所列方程的根， 故答案为：1． 题型04一元二次方程解法 典例引领 【典例01】（2025·山东滨州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【答案】（1），；（2） 【知识点】公式法解一元二次方程、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，即不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的基本方法． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， 移项得：， ， ， ∴，； （2）， 解不等式①得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为：． 【典例02】（2025·山东济宁·一模）把方程化成的形式，则的值是 ． 【答案】5 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 方法透视 考向解读 一元二次方程的解法主要体现在以下两个方面： 1.基本思想：降次 2.基本方法：(1)开平方法 (2)配方法 (3)公式法 (4)因式分解法 方法技能 合理选择适当的方法并正确使用方法求解。 (1)开平方法：它适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程． (2)配方法：化二次项系数为1→把常数项移到方程的另一边→在方程两边同时加上一次项系数一半的平方→把方程整理成(x＋a)2＝b的形式→运用开平方法解方程． (3)公式法：把方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若b2－4ac≥0，则x＝. (4)因式分解法：将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次． 变式演练 【变式01】（2025·山东滨州·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题的关键； （1）根据去分母，取括号移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解． （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 去分母：方程两边同乘4，得 去括号得： 移项： 化系数为1， （2）解： ∴ 或 解得：， 【变式02】（2025·山东泰安·二模）若一元二次方程式的两根为、，且，则之值为何？（ ） A．22 B．28 C．34 D．40 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】配方得出（2x+3）2=1156，推出2x+3=34，2x+3=﹣34，求出x的值，求出a、b的值，代入3a+b求出即可． 【详解】解：4x2+12x﹣1147=0， 移项得：4x2+12x=1147， 4x2+12x+9=1147+9， 即（2x+3）2=1156， 2x+3=34，2x+3=﹣34， 解得：x=，x=， ∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b， ∴a=，b=， ∴3a+b=3×+（）=28， 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中． 【变式03】（2025·山东济南·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方和括号内，再把除法化为乘法，然后运算乘法，最后运算加法，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）原方程可变形为， ， ， 或， ． 题型05 不等式（组）的解法 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 【典例02】（2025·山东威海·中考真题）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示为： 方法透视 考向解读 主要考查方向： 1.解一元一次不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1） 2.解不等式组时确定公共部分 3在数轴上表示不等式（组）的解集 注意：解不等式（组）要注意系数化为“1”时，若系数为负数，不等号方向要改变。解得后， 务必在数轴上表示解集（实心点表示“≥”或“≤”，空心圈表示“＞”或“＜”），这些都是考查重点。 方法技能 .1. 规范求解步骤：解一元一次不等式时，按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，特别注意系数化为负数时不等号方向要改变。 2. 借助数轴定解集：解不等式组时，先分别求出每个不等式的解集，再在数轴上表示，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”的口诀确定公共部分。 3. 结合图像解综合题：对于与函数结合的不等式问题，运用“要解不等关系先解相等关系”的思路，通过函数图像交点确定取值范围。 变式演练 【变式01】（2025·山东青岛·中考真题）计算：； （2）解不等式组：并写出它的整数解． 【详解】（1）解： ； （2）解：不等式组为， 则有，解得， 则有，解得， ∴不等式组的解集为， 则整数解为． 【变式02】（2025·山东日照·二模）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及将解集表示在数轴上，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，再将不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解，得， 解，得， 该不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 故选：D． 【变式03】（2025·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，不等式组的正整数解为1，2，3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大小，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定出不等式组的解集，再在解集范围内确定出所有正整数解． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的正整数解为：1，2，3． 题型06不等式（组）中含参数问题 典例引领 【典例01】（2025·山东青岛·二模）若不等式组无解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组无解即可得出a的取值范围． 【详解】解：解一元一次不等式组， 得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式的解法，会根据不等式组无解求解参数a的取值范围是解答的关键． 【典例02】（2025·山东临沂·一模）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 方法透视 考向解读 不等式（组）中含参数问题的考查主要有以下几个方面： .①.含参不等式（组）的解集有解 ②含参不等式（组）的解集无解 ③含参不等式（组）的解集有有限个整数解 ④含参不等式（组）的解集为具体解集等情况。 方法技能 .①.借助数轴定范围：将含参不等式（组）的解集在数轴上直观表示，根据“覆盖区间”确定参数的位置，利用数形结合列出关于参数的不等式。 ②抓住临界点讨论：重点关注不等式取等号的临界值，验证该点是否满足题意。当参数取值变化导致不等号方向改变时，需分类讨论。 ③转化为方程求解：根据已知解集或整数解的个数，将参数问题转化为方程问题，建立关于参数的等式或不等式组，再求解。 变式演练 【变式01】（2025·山东德州·一模）若不等式组有解，则m的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解可得的取值范围，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 这个不等式组有解， ， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 【变式02】（2025·山东东营·一模）若关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】﹣3≤a＜﹣2 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集和已知得出a的范围即可． 【详解】解：， ∵解不等式①得：x＞a， 解不等式②得：x＜2， 又∵关于x的一元一次不等式组有2个负整数解， ∴﹣3≤a＜﹣2， 故答案为﹣3≤a＜﹣2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集和已知得出关于a的不等式是解此题的关键． 【变式03】（2025·山东威海·一模）已知实数满足以下条件： ①关于的分式方程的解为非负数； ②关于的不等式组的整数解仅有3个． 则满足以上所有条件的整数是 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了分式方程的解及根据一元一次不等式组解集求参数．不等式组整理后，由有且仅有3个整数解确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，再找出符合条件的整数求和即可得答案． 【详解】解：, 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∵是整数， ∴的值可为：、， ， 去分母得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴， ∴， 综上，的值为， 故答案为：． 题型07一元二次方程中含参数问题 典例引领 【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：，故选：． 【典例02】（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 方法透视 考向解读 1.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (1)根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式． (2).一元二次方程根的情况与判别式的关系： .①b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根； .②b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根； ③b2－4ac＜0⇔方程没有实数根． (3)根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ ，x1·x2＝． 根的情况：牢记使用韦达定理的前提是△≥0。对于求对称式（如x²+x²）的值，通常转化为 （x₁+x₂）² - 2x₁x₂求解。遇到两根异号或整数根问题，需结合判别式的取值范围进行整体分析 。 方法技能 1.紧扣判别式定范围：根据方程根的情况（两个不等实根、相等实根、无实根），利用判别式 Δ=b²-4ac建立不等式或等式，求出参数的取值范围。 2. 结合根与系数关系：运用韦达定理（x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a）表示含参数的对称式，再代入条件求解。 3. 注意分类讨论思想：当二次项系数含参数时，需先讨论系数是否为0（分一元一次方程和一元二次方程两种情况），再运用判别式求解。 变式演练 【变式01】（2025·山东淄博·二模）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：； ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴且， 故选：C 【变式02】（2025·山东临沂·二模）已知m，n是关于x的方程的两个根，则 ． 【答案】19 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系可得出，，然后将变形成，然后代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个根， ， ∴， ∴ 故答案为：19． 【变式03】（2025·山东泰安·二模）若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 【答案】8 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型08分式方程中含参问题 典例引领 【典例01】（2025·山东济宁·二模）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求m的取值范围，根据方程的解列出关于m的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视． 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围，再根据分母不等于0，即可解答． 【详解】解：由得 ， ∴ ∵x的方程的解是正数， ∴且， ∴且， 解得且． 故选D． 【典例02】（2025·山东枣庄·二模）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】根据分式方程的增根的定义解决此题． 【详解】解：， 去分母，得m+4=3x+2(x-3)， 去括号，得m+4=3x+2x-6， 移项、合并得5x=10+m， 系数化为1，得， ∵分式方程有增根， ∴， 解得m=5， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键． 方法透视 考向解读 分式方程中含参问题的考查主要体现在三个方面： 1.分式方程无解的一般情况： ①未知数的值使分母为0； ②出现0·x＝非零数． 2.分式方程有增根的一般情况： ①未知数的值使分母为0； 3分式方程的解为正/负数。 方法技能 1.遇到“无解”从两个方面入手①未知数的值使分母为0； ②出现0·x＝非零数． 2.遇到“增根”，先化为整式方程，再将使分母为零的根代入求参； 3.遇到“解为正/负数”，先解方程（用参数表示解），再根据解的范围列不等式（注意分式方程要剔除增根）；同解方程组问题，可将不含参的方程联立求解，再代入含参方程。 变式演练 【变式01】（2025·山东济南·二模）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 【变式02】（2025·山东东营·一模）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是 ． 【答案】3 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到，求出的值，再代入到整式方程中，求出m 的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3 【变式03】（2025·山东菏泽·一模）（1）计算：． （2）已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【知识点】实数的混合运算、分式方程无解问题、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、解分式方程． （1）根据任何不为的数的次幂都为可得：，根据特殊角的三角函数值可得：，根据二次根式的性质化简二次根式可得：，所以可得：原式，然后再根据实数的加减运算法则进行计算可得结果； （2）首先解分式方程，化为整式方程得：，当时，整式方程无解，当时，是方程的增根，代入整式方程即可求出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，即，此时分式方程无解， 当时，是方程的增根，即，解得：， 综上所述，当的值为或时，原分式方程无解． 题型09一次方程（组）的应用 典例引领 【典例01】（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 【典例02】（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 (2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 方法透视 考向解读 1一元一次方程应用：.基础必考题，侧重和、差、倍、分、行程（匀速）、工程（单工效）、计费、配套等基础实际问题，考查数量关系梳理能力，多为选择、填空、简单解答题。 2.二元一次方程组应用：核心基础题，针对含两个未知量的实际问题，如购物（单价+数量）、工程（两人/两队工效）、行程（两个对象）、调配问题，考查多量关系拆解，以解答题为主。 方法技能 1. 识别两个独立等量关系：仔细阅读题目，抓住关键语句，找出表示等量关系的词语（如“共”、“比……多/少”、“是……的几倍”等），设出未知数。 2. 设两个未知量，列二元一次方程组：根据找到的等量关系列出方程组，选择代入消元法或加减消元法准确求解，注意单位统一。 3. 检验解是否符合实际场景：将解代入原方程检验，并结合实际情境判断是否符合题意（如数量应为正整数、价格应为正数等）。 变式演练 【变式01】（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 【变式02】（2025·山东青岛·二模）如图是一张长为，宽为的长方形硬纸板，在四个直角处分别剪去边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等的底面是正方形的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的边长为，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 由图形可得，， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 【变式03】（2025·山东威海·二模）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解、三元一次方程组的应用 【分析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中且均为整数，根据题意得， ， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； ②当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 题型10一元二次方程的应用 典例引领 【典例01】（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【典例02】（2025·山东青岛·二模）重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造． (1)求甲队单独完成整项工程需要多少天？ (2)改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【知识点】分式方程的工程问题、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程：（1）工程问题，设甲队单独完成整项工程需要天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，利用工作量之和等于总工程量列方程；（2）利润问题，设该纪念品的售价为元，根据题意，利用总利润公式列方程． 【详解】（1）解：设甲队单独完成整项工程需要天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是 由题意得：． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队单独完成整项工程需要天． （2）解：设该纪念品的售价为元，由题意得： 整理得： 解得：， ∵ ∴ 答：该纪念品的售价为元． 方法透视 考向解读 高频重难点，侧重增长率/下降率、面积/体积计算、销售利润（单价+销量联动）、数字问题，考查建模能力，多为中档解答题，需注意解的取舍。①牢记模型（增长率：、面积：割补法找边长关系、利润：总利润=单利润×销量）；②列一元二次方程，用公式法/因式分解法求解； ③舍去负根、不合实际的根。 方法技能 1. 审题建模找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键词（如“增长”、“下降”、“面积”、“利润”等），设出未知数，根据问题情境建立一元二次方程模型。 2. 正确列方程并求解：增长率问题通常可列形如a(1x)2 = b的方程；面积问题常结合几何图形公式列方程；选择合适方法（因式分解法、公式法等）准确求解。 3. 检验解的合理性：求出方程的解后，务必代入原题检验，舍去不符合实际意义的解（如增长率不能为负、边长不能为负等）。 变式演练 【变式01】（2025·山东滨州·二模）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 【变式02】（2025·山东威海·一模）“五一”期间，威海某景点迎来了大量游客．景区管理部门发现，景区单日门票收入与游客人数相关．若门票价格每降低元，日均游客人数可增加人；反之，每提高元，日均游客人数减少人，若当前门票价格为元/人，日均游客量为人，票价定为多少元（以元为调整单位），能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元？ 【答案】元或元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际经济问题中的应用，涉及到根据价格和销量的变化关系建立数学模型．解题的关键在于正确设出变量，准确表示出变化后的门票价格和游客人数，从而建立起正确的方程，再通过求解方程并结合实际意义得到门票价格．本题可通过设门票价格的变化量，根据门票价格变化与游客人数变化的关系，建立门票总收入的方程，进而求解出使门票总收入为万元的门票价格． 【详解】解：设门票价格提高了个元．原来门票价格为元，当为正数时表示价格提高，为负数时表示价格降低，那么现在的门票价格为元．由题意可得， ． ． 所以或， 解得，． 当时，门票价格为（元）； 当时，门票价格为（元）； 答：票价定为元或元（以元为调整单位）时，能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元 【变式03】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 题型11分式方程的应用 典例引领 【典例01】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 【典例02】（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得，解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 方法透视 考向解读 易错必考题，针对含平均/速率/工效（含分式） 的问题，如行程（变速/相遇追及）、工程（合作+单独）、浓度、分配问题，核心考查验根，解答题为主。同时注重下面三方面考查： ①找等量关系，设未知量后用分式表示相关量； ②列分式方程，两边同乘最简公分母化为整式方程求解； ③双重检验（检验整式方程的解是否使公分母为0、是否符合实际）。 方法技能 1.审题建模找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键词（如“同时到达”、“提前”、“比……多用”等），找出隐含的相等关系，设出未知数列出方程。 2. 正确列方程并求解：根据行程问题、工程问题或销售问题中的基本数量关系（如时间=路程÷速度）列出分式方程，注意单位统一。 3. “双检验”确保合理性：既要检验解是否为原分式方程的解，又要检验解是否符合实际意义（如速度、时间不能为负）。 变式演练 【变式01】（2025·山东青岛·二模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设绫布有x尺， 则根据题意可列方程为：， 故选：B． 【变式02】（2025·山东德州·二模）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（   ） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】C 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的运用，理解数量关系，掌握分式方程的运用是关键． 设改造后每天生产的产品件数为件，则改造前每个生产的件数为件，由此列式求解即可． 【详解】解：某工厂将生产线改造后比改造前每天多生产100件， ∴设改造后每天生产的产品件数为件，则改造前每个生产的件数为件， ∵改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴是原分式方程的解， ∴改造后每天生产的产品件数为件， 故选：C ． 【变式03】（2025·山东菏泽·二模）丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】(1)天 (2)元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用， （1）设这项工程的规定时间是天，根据甲、乙队先合做天，余下的工程由甲队单独需要天完成，可得出方程，解出即可； （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可； 正确理解题意并建立方程是解题的关键．解答工程类问题，经常设工作量为“单位1”． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符合题意， 答：这项工程的规定时间是天； （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：（天）， 则该工程施工费用是：（元）， 答：该工程的费用为元． 题型12 不等式（组）的应用 典例引领 【典例01】（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论：①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【知识点】分式方程和差倍分问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为人，乙车载客量为人，列出方程得出甲车载客量为 45人，乙车载客量为 30 人，即可判断①，设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意列出不等式组，得出，进而判断②③④，即可求解． 【详解】解：设甲车载客量为人，乙车载客量为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴甲车载客量为45人，乙车载客量为 30 人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量人；故①正确； 设租甲车辆，则租乙车辆， 根据题意得，， 解得：， 或5， ∴方案一：租甲车 4 辆，则租乙车 2 辆， 方案二：租甲车 5 辆，则租乙车 1 辆， ∴共有两种租车方案，故②正确； 依题意，甲车的费用为400元/辆，乙车的费用为元/辆， 方案一费用：元， 方案二费用：元， 租车最低费用是 2160 元，故③正确；④不正确； 故选：B． 【典例02】（2025·山东德州·二模）某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． (1)问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【答案】(1)购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 (2)该校此次最多可购买20个B品牌篮球 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用： （1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解； （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个， 依题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 方法透视 考向解读 不等式（组）应用的考查类型主要有： ①易错难点题，针对分式量+范围限制的问题，如行程（速率+时间/路程限制）、工程（工效+工期/工作量限制）、浓度（配比+溶质/溶液限制），核心考查“分式方程求量+不等式定范围+双重验根”，解答题中难度较高。 ②综合基础题，针对“求具体值+范围限制”的问题，如计费方案（临界值计算+方案选择）、配套（刚好配套+材料限制）、分配（刚好分完+数量约束），考查方程与不等式的结合应用。 ③高频综合题，针对含两个未知量+范围限制的优化问题，如购物方案（单价数量+总费用限制）、工程安排（两队工效+工期/费用限制）、运输调配（车辆数+运量限制），考查多量建模与方案筛选，解答题为主 ④难点综合题，侧重利润最值、面积限制、增长率范围问题，如销售（利润达标+销量/单价限制）、几何（面积满足要求+边长取值范围）、增长问题（增长率区间+总量限制），考查二次建模与范围分析，多为压轴小问。 方法技能 1. 审题建模抓关键词：仔细阅读题目，抓住“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等关键词，找出隐含的不等关系，设出未知数列出不等式（组）。 2. 结合实际列式求解：根据利润、行程、方案选择等实际问题中的数量关系列出不等式，准确求解并注意不等号方向的正确处理。 3. 检验作答保合理：求出解集后，结合实际问题背景检验解的合理性（如人数应为整数、价格应为正数等），最后写出符合题意的答案。 变式演练 【变式01】（2025·山东临沂·二模）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为226元时，立减20元．甲在该商场单笔购买3件A商品，立减了30元；乙在该商场单笔购买3件A商品与1件B商品，立减了40元．若B商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．199元 B．101元 C．99元 D．1元 【答案】D 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了不等式的性质．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值． 【详解】解：∵单笔消费金额每满100元立减10元， ∴3件商品的原价满足：， ∵乙在该商场单笔购买3件商品与1件商品，立减了40元，说明消费金额满了4个100元， ∴， ∴时，B有最小值为1； 故选：D． 【变式02】（2025·山东青岛·一模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)无人机的速度至少提高到70千米/时 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的行程问题 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多6分钟，列分式方程即可求解； （2）根据前10分钟无人机的行程+提速后8分钟的行程大于等于16千米列不等式即可解答. 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式应用，解题关键是理解题意，根据数量关系列方程或不等式. 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）设无人机的速度提高到千米/时，则 答：无人机的速度至少提高到70千米/时， 【变式03】（2025·山东济南·二模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元，则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， (台)． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 题●型●训●练 1．（2025·山东滨州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：. 【答案】（1）；（2） 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程和解一元一次不等式组的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次不等式组的步骤求解即可． 【详解】解：（1）去分母，得 ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为：. 2．（2025·山东淄博·二模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组整理得到，进而求出的值，即可解题． 【详解】解：， 由得：③， 由得：， 故选：C． 3．（2025·山东枣庄·二模）定义新运算：，例如：．则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、新定义下的实数运算 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况是解题的关键，根据题中新定义的运算方法，得到关于x的一元二次方程，再利用判断根的情况，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4．（2025·山东淄博·一模）分式方程的解是（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故选：B． 5．（2025·山东淄博·二模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组整理得到，进而求出的值，即可解题． 【详解】解：， 由得：③， 由得：， 故选：C． 6．（2025·山东泰安·一模）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 7．（2025·山东枣庄·二模）定义新运算：，例如：．则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、新定义下的实数运算 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况是解题的关键，根据题中新定义的运算方法，得到关于x的一元二次方程，再利用判断根的情况，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 8（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 9.（2025·山东滨州·二模）已知，则 . 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据得继而得到，根据，变形计算即可. 本题考查了已知式子的值求代数式的值，熟练变形是解题的关键. 【详解】解：，得，， 故， 故， 故答案为：. 10.（2025·山东济宁·二模）关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一元二次方程的定义得到，根据一元二次方程有实数根得到，即可求出m的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根， ， 解得：且． 故选：A． 11．（2025·山东青岛·一模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设绫布有x尺， 则根据题意可列方程为：， 故选：B． 12．（2025·山东青岛·一模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)无人机的速度至少提高到70千米/时 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的行程问题 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多6分钟，列分式方程即可求解； （2）根据前10分钟无人机的行程+提速后8分钟的行程大于等于16千米列不等式即可解答. 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式应用，解题关键是理解题意，根据数量关系列方程或不等式. 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）设无人机的速度提高到千米/时，则 答：无人机的速度至少提高到70千米/时， 13．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【答案】(1) (2)A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元 (3)该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）根据第一周和第二周的销售额建立方程组求解即可； （2）设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元，根据用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等建立方程求解即可； （3）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，分别求出售出A型车和B型车的销售额，二者求和可得w关于x的函数关系式，再列不等式求出m的取值范围，进而根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元， 根据题意得， 解得： 经检验是原分式方程的解． （元） 答：A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元． （3）解：设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元， 由题意得：， 由，解得， 取整数，，10，11，12， ∵随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时（元）． 答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元． 14（2025·山东济南·二模）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍． (1)求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元，那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元 (2)购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个，根据题意得，解得，再设总获利为元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元； （2）解：设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个， 根据题意得：， 解得， 设总获利为元， 则， ∵， 随的增大而减小， 当时，最大为元， 此时， 答：购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元． 15（2025·山东青岛·二模）年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点，某公司计划购买、两种机器人进行销售．已知购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过万元再购进第二批、两种机器人共个，且种机器人数量不超过种机器人数量的倍．据市场销售分析，当种机器人提价，种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】(1)种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元； (2)安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． 设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，根据购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元，可列二元一次方程组，解方程组可得两种机器人的单价； 的售价为：万元，的售价为：万元，设购买的数量为个，则的数量为个，根据总费用不超过万元，共购买个机器人，可列不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 根据题意可得：， 解得：， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元； （2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， 由题意可得：， 解得： ， 利润， 利润随着m的增大而减小， 把代入可得， 最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02方程（组）与不等式（组）综合 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 等式与不等式性质 题型02 二元一次方程组的解法 题型03 分式方程的解法 题型04 一元二次方程的解法 题型05 不等式（组）的解法 题型06 不等式（组）中含参数问题 题型07 一元二次方程中含参数问题 题型08 分式方程中含参问题 题型09 一次方程（组）的应用 题型10 一元二次方程的应用 题型11 分式方程的应用 题型12 不等式（组）的应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01等式与不等式性质 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【典例02】（2025·山东枣庄·一模）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 方法透视 考向解读 等式基本性质、不等式基本性质的考查，通常以选择题、填空题形式出现，一般都为基础题， 难度不大，为必会必对题，准确掌握等式的基本性质和不等式性质是解题的关键． 方法技能 1. 等式基本性质，要特别注意两边都除以不为零的数或式的要求，正确理解 ①如果，那么②如果，那么的区别。 不2.不等式的基本性质，要特别注意不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变． 变式演练 【变式01】（2025·山东东营·二模）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·山东淄博·二模）已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的c的值是 ． 【变式03】（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 题型02 二元一次方程组的解法 典例引领 【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）解方程组：． 【典例02】（2025·山东·一模）已知方程组，则的值为 ． 方法透视 考向解读 对二元一次方程组及其解法的考查主要体现在以下两个方面： (1)“消元”思想：二元一次方程组一元一次方程（代入法和加减法） (2)“整体”思想：对两个方程的采取某种变形后求含未知数的某些代数式的值 总体上难度不大，属于基础题范围，一般出现在解答题第一题位置。 方法技能 1. 灵活选择消元法：根据方程组特征选择方法。若同一未知数系数互为相反数或相等，优先用加减消元法；否则可用代入消元法，将其中一个方程变形代入另一方程求解。 2. 规范求解步骤：按“消元—解一元一次方程—回代求另一未知数”的流程操作，确保每一步计算准确。 变式演练 【变式01】（2025·山东临沂·一模）解方程组， 【变式02】（2025·山东潍坊·二模）方程组的解为 ． 【变式03】（2025·山东烟台·一模）解方程组： 题型03 分式方程的解法 典例引领 【典例01】（2025·山东威海·中考真题）解分式方程． 【典例02】（2025·山东枣庄·二模）分式方程的解为 ． 方法透视 考向解读 分式方程的解法考查方向有两个： (1)基本思想：把分式方程转化为整式方程 (2)解法：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程,再求根验根 方法技能 1. 去分母转化为整式方程：先确定最简公分母，若分母是多项式则需因式分解；方程两边同时乘最简公分母，注意不要漏乘常数项或整式部分。 2. 规范求解与符号处理：去括号时若括号前是负号，括号内每一项均要变号；按解整式方程的步骤求解后，需将解代入最简公分母检验。 3. 务必检验根的情况：代入最简公分母检验，若其值不为0则是原方程的解；若为0则是增根需舍去，确保答案正确。 变式演练 【变式01】（2025·山东聊城·二模）方程的解为 ． 【变式02】（2025·山东济宁·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组： 【变式03】（2025·山东济南·一模）代数式和代数式的值相等，则 ． 题型04一元二次方程解法 典例引领 【典例01】（2025·山东滨州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【典例02】（2025·山东济宁·一模）把方程化成的形式，则的值是 ． 方法透视 考向解读 一元二次方程的解法主要体现在以下两个方面： 1.基本思想：降次 2.基本方法：(1)开平方法 (2)配方法 (3)公式法 (4)因式分解法 方法技能 合理选择适当的方法并正确使用方法求解。 (1)开平方法：它适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程． (2)配方法：化二次项系数为1→把常数项移到方程的另一边→在方程两边同时加上一次项系数一半的平方→把方程整理成(x＋a)2＝b的形式→运用开平方法解方程． (3)公式法：把方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若b2－4ac≥0，则x＝. (4)因式分解法：将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次． 变式演练 【变式01】（2025·山东滨州·一模）解方程： (1)； (2)． 【变式02】（2025·山东泰安·二模）若一元二次方程式的两根为、，且，则之值为何？（ ） A．22 B．28 C．34 D．40 【变式03】（2025·山东济南·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 题型05 不等式（组）的解法 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【典例02】（2025·山东威海·中考真题）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； 方法透视 考向解读 主要考查方向： 1.解一元一次不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1） 2.解不等式组时确定公共部分 3在数轴上表示不等式（组）的解集 注意：解不等式（组）要注意系数化为“1”时，若系数为负数，不等号方向要改变。解得后， 务必在数轴上表示解集（实心点表示“≥”或“≤”，空心圈表示“＞”或“＜”），这些都是考查重点。 方法技能 .1. 规范求解步骤：解一元一次不等式时，按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，特别注意系数化为负数时不等号方向要改变。 2. 借助数轴定解集：解不等式组时，先分别求出每个不等式的解集，再在数轴上表示，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”的口诀确定公共部分。 3. 结合图像解综合题：对于与函数结合的不等式问题，运用“要解不等关系先解相等关系”的思路，通过函数图像交点确定取值范围。 变式演练 【变式01】（2025·山东青岛·中考真题）计算：； （2）解不等式组：并写出它的整数解． 【变式02】（2025·山东日照·二模）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 题型06不等式（组）中含参数问题 典例引领 【典例01】（2025·山东青岛·二模）若不等式组无解，则的取值范围是 . 【典例02】（2025·山东临沂·一模）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 不等式（组）中含参数问题的考查主要有以下几个方面： .①.含参不等式（组）的解集有解 ②含参不等式（组）的解集无解 ③含参不等式（组）的解集有有限个整数解 ④含参不等式（组）的解集为具体解集等情况。 方法技能 .①.借助数轴定范围：将含参不等式（组）的解集在数轴上直观表示，根据“覆盖区间”确定参数的位置，利用数形结合列出关于参数的不等式。 ②抓住临界点讨论：重点关注不等式取等号的临界值，验证该点是否满足题意。当参数取值变化导致不等号方向改变时，需分类讨论。 ③转化为方程求解：根据已知解集或整数解的个数，将参数问题转化为方程问题，建立关于参数的等式或不等式组，再求解。 变式演练 【变式01】（2025·山东德州·一模）若不等式组有解，则m的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式02】（2025·山东东营·一模）若关于x的一元一次不等式组有2个负整数解，则a的取值范围是 ． 【变式03】（2025·山东威海·一模）已知实数满足以下条件： ①关于的分式方程的解为非负数； ②关于的不等式组的整数解仅有3个． 则满足以上所有条件的整数是 ． 题型07一元二次方程中含参数问题 典例引领 【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 方法透视 考向解读 1.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (1)根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式． (2).一元二次方程根的情况与判别式的关系： .①b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根； .②b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根； ③b2－4ac＜0⇔方程没有实数根． (3)根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ ，x1·x2＝． 根的情况：牢记使用韦达定理的前提是△≥0。对于求对称式（如x²+x²）的值，通常转化为 （x₁+x₂）² - 2x₁x₂求解。遇到两根异号或整数根问题，需结合判别式的取值范围进行整体分析 。 方法技能 1.紧扣判别式定范围：根据方程根的情况（两个不等实根、相等实根、无实根），利用判别式 Δ=b²-4ac建立不等式或等式，求出参数的取值范围。 2. 结合根与系数关系：运用韦达定理（x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a）表示含参数的对称式，再代入条件求解。 3. 注意分类讨论思想：当二次项系数含参数时，需先讨论系数是否为0（分一元一次方程和一元二次方程两种情况），再运用判别式求解。 变式演练 【变式01】（2025·山东淄博·二模）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式02】（2025·山东临沂·二模）已知m，n是关于x的方程的两个根，则 ． 【变式03】（2025·山东泰安·二模）若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 题型08分式方程中含参问题 典例引领 【典例01】（2025·山东济宁·二模）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【典例02】（2025·山东枣庄·二模）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 方法透视 考向解读 分式方程中含参问题的考查主要体现在三个方面： 1.分式方程无解的一般情况： ①未知数的值使分母为0； ②出现0·x＝非零数． 2.分式方程有增根的一般情况： ①未知数的值使分母为0； 3分式方程的解为正/负数。 方法技能 1.遇到“无解”从两个方面入手①未知数的值使分母为0； ②出现0·x＝非零数． 2.遇到“增根”，先化为整式方程，再将使分母为零的根代入求参； 3.遇到“解为正/负数”，先解方程（用参数表示解），再根据解的范围列不等式（注意分式方程要剔除增根）；同解方程组问题，可将不含参的方程联立求解，再代入含参方程。 变式演练 【变式01】（2025·山东济南·二模）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【变式02】（2025·山东东营·一模）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是 ． 【变式03】（2025·山东菏泽·一模）（1）计算：． （2）已知关于的分式方程无解，求的值． 题型09一次方程（组）的应用 典例引领 【典例01】（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 方法透视 考向解读 1一元一次方程应用：.基础必考题，侧重和、差、倍、分、行程（匀速）、工程（单工效）、计费、配套等基础实际问题，考查数量关系梳理能力，多为选择、填空、简单解答题。 2.二元一次方程组应用：核心基础题，针对含两个未知量的实际问题，如购物（单价+数量）、工程（两人/两队工效）、行程（两个对象）、调配问题，考查多量关系拆解，以解答题为主。 方法技能 1. 识别两个独立等量关系：仔细阅读题目，抓住关键语句，找出表示等量关系的词语（如“共”、“比……多/少”、“是……的几倍”等），设出未知数。 2. 设两个未知量，列二元一次方程组：根据找到的等量关系列出方程组，选择代入消元法或加减消元法准确求解，注意单位统一。 3. 检验解是否符合实际场景：将解代入原方程检验，并结合实际情境判断是否符合题意（如数量应为正整数、价格应为正数等）。 变式演练 【变式01】（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【变式02】（2025·山东青岛·二模）如图是一张长为，宽为的长方形硬纸板，在四个直角处分别剪去边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等的底面是正方形的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ． 【变式03】（2025·山东威海·二模）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 题型10一元二次方程的应用 典例引领 【典例01】（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【典例02】（2025·山东青岛·二模）重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造． (1)求甲队单独完成整项工程需要多少天？ (2)改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 方法透视 考向解读 高频重难点，侧重增长率/下降率、面积/体积计算、销售利润（单价+销量联动）、数字问题，考查建模能力，多为中档解答题，需注意解的取舍。①牢记模型（增长率：、面积：割补法找边长关系、利润：总利润=单利润×销量）；②列一元二次方程，用公式法/因式分解法求解； ③舍去负根、不合实际的根。 方法技能 1. 审题建模找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键词（如“增长”、“下降”、“面积”、“利润”等），设出未知数，根据问题情境建立一元二次方程模型。 2. 正确列方程并求解：增长率问题通常可列形如a(1x)2 = b的方程；面积问题常结合几何图形公式列方程；选择合适方法（因式分解法、公式法等）准确求解。 3. 检验解的合理性：求出方程的解后，务必代入原题检验，舍去不符合实际意义的解（如增长率不能为负、边长不能为负等）。 变式演练 【变式01】（2025·山东滨州·二模）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·山东威海·一模）“五一”期间，威海某景点迎来了大量游客．景区管理部门发现，景区单日门票收入与游客人数相关．若门票价格每降低元，日均游客人数可增加人；反之，每提高元，日均游客人数减少人，若当前门票价格为元/人，日均游客量为人，票价定为多少元（以元为调整单位），能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元？ 【变式03】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 题型11分式方程的应用 典例引领 【典例01】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【典例02】（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 方法透视 考向解读 易错必考题，针对含平均/速率/工效（含分式） 的问题，如行程（变速/相遇追及）、工程（合作+单独）、浓度、分配问题，核心考查验根，解答题为主。同时注重下面三方面考查： ①找等量关系，设未知量后用分式表示相关量； ②列分式方程，两边同乘最简公分母化为整式方程求解； ③双重检验（检验整式方程的解是否使公分母为0、是否符合实际）。 方法技能 1.审题建模找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键词（如“同时到达”、“提前”、“比……多用”等），找出隐含的相等关系，设出未知数列出方程。 2. 正确列方程并求解：根据行程问题、工程问题或销售问题中的基本数量关系（如时间=路程÷速度）列出分式方程，注意单位统一。 3. “双检验”确保合理性：既要检验解是否为原分式方程的解，又要检验解是否符合实际意义（如速度、时间不能为负）。 变式演练 【变式01】（2025·山东青岛·二模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·山东德州·二模）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（   ） A．200 B．300 C．400 D．500 【变式03】（2025·山东菏泽·二模）丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 题型12 不等式（组）的应用 典例引领 【典例01】（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论：①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【典例02】（2025·山东德州·二模）某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． (1)问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 方法透视 考向解读 不等式（组）应用的考查类型主要有： ①易错难点题，针对分式量+范围限制的问题，如行程（速率+时间/路程限制）、工程（工效+工期/工作量限制）、浓度（配比+溶质/溶液限制），核心考查“分式方程求量+不等式定范围+双重验根”，解答题中难度较高。 ②综合基础题，针对“求具体值+范围限制”的问题，如计费方案（临界值计算+方案选择）、配套（刚好配套+材料限制）、分配（刚好分完+数量约束），考查方程与不等式的结合应用。 ③高频综合题，针对含两个未知量+范围限制的优化问题，如购物方案（单价数量+总费用限制）、工程安排（两队工效+工期/费用限制）、运输调配（车辆数+运量限制），考查多量建模与方案筛选，解答题为主 ④难点综合题，侧重利润最值、面积限制、增长率范围问题，如销售（利润达标+销量/单价限制）、几何（面积满足要求+边长取值范围）、增长问题（增长率区间+总量限制），考查二次建模与范围分析，多为压轴小问。 方法技能 1. 审题建模抓关键词：仔细阅读题目，抓住“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等关键词，找出隐含的不等关系，设出未知数列出不等式（组）。 2. 结合实际列式求解：根据利润、行程、方案选择等实际问题中的数量关系列出不等式，准确求解并注意不等号方向的正确处理。 3. 检验作答保合理：求出解集后，结合实际问题背景检验解的合理性（如人数应为整数、价格应为正数等），最后写出符合题意的答案。 变式演练 【变式01】（2025·山东临沂·二模）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为226元时，立减20元．甲在该商场单笔购买3件A商品，立减了30元；乙在该商场单笔购买3件A商品与1件B商品，立减了40元．若B商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．199元 B．101元 C．99元 D．1元 【变式02】（2025·山东青岛·一模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【变式03】（2025·山东济南·二模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 题●型●训●练 1．（2025·山东滨州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：. 2．（2025·山东淄博·二模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 3．（2025·山东枣庄·二模）定义新运算：，例如：．则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 4．（2025·山东淄博·一模）分式方程的解是（　　） A． B． C．2 D．3 5．（2025·山东淄博·二模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 6．（2025·山东泰安·一模）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 7．（2025·山东枣庄·二模）定义新运算：，例如：．则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 8（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 9.（2025·山东滨州·二模）已知，则 . 10.（2025·山东济宁·二模）关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 11．（2025·山东青岛·一模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·山东青岛·一模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 13．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 14（2025·山东济南·二模）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍． (1)求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元，那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 15（2025·山东青岛·二模）年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点，某公司计划购买、两种机器人进行销售．已知购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过万元再购进第二批、两种机器人共个，且种机器人数量不超过种机器人数量的倍．据市场销售分析，当种机器人提价，种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $