限时预测02（A+B+C三组解答题）（大题专练）（全国二卷通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

限时预测02（A组+B组+C组） （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且角为锐角. (1)求角的大小； (2)若，______，求△ABC的周长. 从①△ABC的面积为，②这两个条件中任选一个，补充在上面作答. 16．（15分）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； (2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17．（15分）如图，正方体的棱长为2． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 18．（17分）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若有3个不同的零点． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差 19．（17分）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最小值； (3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）等比数列中，且2，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和． 16．（15分）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线E的方程； (2)求证：； (3)若，求实数k的值． 19．（17分）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：，. （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC中，角，，的对边分别是，，，已知． （1）求证：，，成等比数列； （2）若，试判断△ABC的形状． 16．（15分）在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求： (1)异面直线与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离； (3)二面角的余弦值． 17．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 18．（17分）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； (1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 19．（17分）已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为． ①求的值； ②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时预测02（A组+B组+C组） （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且角为锐角. (1)求角的大小； (2)若，______，求△ABC的周长. 从①△ABC的面积为，②这两个条件中任选一个，补充在上面作答. 【详解】（1）由已知及正弦定理得， ，，即，...............................................2分 ，， ，故...............................................................................................................4分 （2）若选①：，得，.....................................................6分 又，即，....................................10分 得，故，.............................................................................12分 的周长为............................................................................................................13分 若选②：由，得，.........................................................6分 两边平方得，，........................................................................................10分 又，，，，.......................................................................................12分 的周长为............................................................................................................13分 16．（15分）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； (2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）每周课外阅读时长不低于6小时的学生人数为（人）， 每周课外阅读时长低于6小时的学生人数为（人），所以列联表为： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80 每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120 合计 90 110 200 ..............................2分 所以， 依据小概率值的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关．...................5分 （2）根据分层抽样原理，组抽取人数为（人）， 组人数为（人），............................................................................................................7分 则X的取值可能为，所以，.............12分 则分布列如下所示： X 0 1 2 P 所以．............................................................................................................15分 17．（15分）如图，正方体的棱长为2． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 【详解】（1）由正方体的性质可知，.............................................................................................2分 平面，平面，平面...........................................................................4分 （2）设交于点，连接，由正方形的性质可知，且， 因为正方体的棱长为2，， 且， 为平面与平面所成角的平面角，...............................................................................7分 底面，， ，即平面与平面所成角的正弦值为........................................9分 （3）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，........................................................................................11分 设平面的一个法向量为，则，令可得， 设到平面的距离为，则，即点到平面的距离为，.......13分 又，根据体积公式得.......................................15分 18．（17分）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若有3个不同的零点． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差 【详解】（1）解：当时，， 当时，，所以．又，.............................................................2分 所以曲线在点处的切线方程为，即．..................4分 （2）解：（ⅰ）当时，由得单调递增，且． 当时，， 若，因为，所以，即在上单调递增，且， 从而在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意，......................................................7分 若，令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又当时，当时， 所以要使有3个零点，则，即，解得． 所以实数的取值范围为............................................................................................................9分 （ⅱ）由题可知，，， 所以， 则①，②．...........................................................................................................12分 设公差为，即， 由①可得，，由②可得，， 则，化简得，解得（负值舍去）， 即公差．...............................................................................................................................17分 19．（17分）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最小值； (3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 【详解】（1）不妨设点在第一象限，点在第四象限，离心率①， 在中，当时，，故，即② ，..............................................2分 又因③ ，联立① ②③，解得， 故双曲线的标准方程为..................................................................................................................4分 （2）由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 由，化简得， 设，则，解得，...................................................................7 则， 因，则，故，即. 故的最小值为9...........................................................................................................................10分 （3）如图，设与边切于点， 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得， ，即点与点重合，即与边切于点...........................12分 设与边切于点，则， 在中，. 设点，点，则，解得， 即点在直线上，过点作直线的垂线，交直线于点， 其中，，...........................................15分 设点关于直线的对称点为点，所以. 因为点与点，点与点分别关于直线对称， 所以，且， 所以点均在上，且， 所以..........................................................................................................................17分 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）等比数列中，且2，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和． 【详解】（1）设数列的公比为． 因为成等差数列，所以，即，..................................2分 所以，解得或（舍去）， 所以数列的通项公式． ................................................................................................4分 （2） 因为， 所以，........................................................................................................................................8分 从而，..............................................................................................................10分 所以 ．..................................................................................................................................13分 16．（15分）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【详解】（1）由题意，解得，..........................2分 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分．....................................................5分 （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份， 成绩在的频数为，成绩在的频数为，........................8分 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ，....................13分 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：．........................................................................15分 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为，且四边形为矩形，所以， 又因为，所以，........................................................................................................2分 因为平面，平面，所以平面．....................................................4分 （2）解：因为两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 可得，，，，，，..........................6分 则，，． 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以，..............................................................................10分 设直线与平面所成角为， 可得，..............................................................................14分 所以直线与平面所成角的正弦值为．..........................................................................15分 18．（17分）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线E的方程； (2)求证：； (3)若，求实数k的值． 【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为 ，准线是， 根据抛物线定义：抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 又抛物线上点到准线的距离最小值为顶点到准线距离， 故最小距离即为顶点到焦点的距离，即，..............................................................................2分 由条件得，解得， 因此抛物线E的方程为；...................................................................................................4分 （2） 当时，易知直线与抛物线仅一个交点，不符合题意，舍去；..........................5分 当时，设，， 联立直线与抛物线方程， 将代入， 整理得： ， 由韦达定理得：，，..........................................................................................8分 ， 又，，所以， 因此， 故，得证；..................................................................................................................................10分 （3）的面积， 其中直线过点，故， 因此：， 所以，..................................................................................................................................12分 平方得： ， 又 ，， 得：，解得， 即........................................................................................................................................................17分 19．（17分）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：，. 【详解】（1）当时，， 则，....................................................1分 所以，，.................................................................................................2分 故当时，在点处的切线方程为.....................................................4分 （2）对任意的，当时，， 故只需证对任意的恒成立，整理得， 构造函数，其中，..............................................................................6分 则 ，........................................................................................................7分 所以函数在上为减函数，故当时，，即， 故对任意的，， 故当时，对任意，都有.....................................................9分 （3）由（2）知，当时，，即，..........................10分 令，则， 因为，所以， 构造函数，其中，则，....................................................12分 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 令，得，即，....................................................13分 整理得， 则， 即，........................................................................................................15分 所以，，.......，， 累加得 ， 故，.........................................................................................................17分 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC中，角，，的对边分别是，，，已知． （1）求证：，，成等比数列； （2）若，试判断△ABC的形状． 【详解】（1）由已知应用正弦定理得, 即,..................................................................................................................................3分 由于,则 故,,成等比数列．..................................................................................................................................6分 （2）若,则,..............................................................................8分 由（1）知,则,即,.........................................................................................12分 所以,故△ABC为等边三角形．....................................................................................................13分 16．（15分）在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求： (1)异面直线与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离； (3)二面角的余弦值． 【详解】（1）以为原点，如图建立空间直角坐标系，因为， 则...............................................................................2分 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为................4分 （2）因为，设平面的法向量为. 则，两式相减得. 令，则，所以..............................................................................................6分 因为，所以点到平面的距离为 ..........................................................................10分 （3）因为平面，所以是平面的一个法向量， 由于平面的法向量为.........................................................................................................12分 所以二面角的余弦值为.....................................15分 17．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，，.............1分 所以，..........................................................................................................................2分 所以曲线在处的切线方程为：，即...........................4分 （2）函数的定义域为，. 因为4是的极小值点，所以，即，解得...........................6分 当时，，， 令，则，解得或.................................................................8分 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，， 故此时的极大值小于零.........................................................................................................10分 （3）因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立，................11分 即在上恒成立. 在上恒成立，也即在上恒成立...........................13分 又，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为.....................................................15分 18．（17分）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； (1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【详解】（1）由散点图知，卵数随温度的变化是按指数形式变化， 而非线性变化，因此模型②更合适，........................................................................................................2分 令，则，由所给参考数据得，，........................4分 ，因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为...............................................................................5分 （2）①依题意，，....................................................6分 求导得 ， 令，得，当时，，当时，，..........................8分 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率；...................................................................10分 ②由①知，当时，取最大值，当时，，..........................12分 每年需要人工防治的概率，且服从二项分布，....................................................15分 所以，.....................................................17分 19．（17分）已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为． ①求的值； ②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围． 【详解】（1）的圆心为，半径，因为点在线段的垂直平分线上，所以，由题意，点在线段的延长线或反向延长线上， 所以，..............................................................................2分 所以动点在以、为焦点的双曲线上，设双曲线方程为, 则，，所以， 所以点的轨迹方程，即曲线的方程为；..............................................................................4分 （2）①设，，，则， 所以，即，....................................................6分 即，因为关于直线对称，所以，所以， 即，因为，所以，所以；....................................................8分 ②依题意直线的斜率存在，设其方程为，由， 整理得，由， 所以， 则，，......................................................................11分 所以， 则，因为，所以， 所以，所以， ，..............................................................................13分 在中，， 又均在轴的右侧，所以，..............................................................................15分 解得，所以，所以， 所以，所以， 即的取值范围为．........................................................................................................17分 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 限时预测02（A组+B组+C组) 参考答案 口PART A组 解答题限时练 （建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】(1)由已知及正弦定理得√3 sin Asin C+sin C cosA=V3sinC, :sinC≠0，.V3sinA+cosA=√3，即sinA+ 2分 6 2 0<4<小 ,π2π <A+ 6 63 、A+=,故A= 63 6 4分 （2)若选@：Sc=c5im4=25,得e=8V5, 2 6分 又a2=b2+c2-2bcc0sA,即4=b2+c2-24=(b+c2-163-24,10分 得(b+C2=28+16V3,故b+C=4+25,12分 △ABC的周长为6+2万 … …13分 若选②：由BA+BC=AC,得BA+BC=BC-BA, 6分 两边平方得BABC=0,∠B=T 2 10分 a=2,b=4,=25，…12分 又A=π 。ABC的周长为6+2513分 16.(15分) 【详解】(1)每周课外阅读时长不低于6小时的学生人数为200×0.25+0.15)=80（人）， 每周课外阅读时长低于6小时的学生人数为200-80=120（人)，所以2×2列联表为： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不 50 30 80 1/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 低于6小时 每周课外阅读时长低 40 80 120 于6小时 合计 90 110 200 2分 所以x2 200×(50×80-30×40)2 ≈16.498>10.828， 80×120×90×110 依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关.5分 0.1 (2)根据分层抽样原理，[0,2)组抽取人数为5×。 =2(人)， 0.1+0.15 [8,10]组人数为5×0.15 0.1+0.15 =3(人)，… 7分 期x流到能为a2,所X=0号-0AX==瓷-RX=2引 C-3 C10’12分 则分布列如下所示： X 0 1 2 P 1 3 10 3-5 10 1 3 听以E(X)=0×。+1×5+2x10 =1.2. 15分 17.(15分) 【详解】(1)由正方体的性质可知AC/A,C1,2分 :ACC平面ACD,A,C文平面ACD1,.AC∥平面ACD14分 (2)设AC,BD交于点0，连接D,O,由正方形的性质可知D01AC,且DO=2, 因为正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，D,A=D,C=AC=2V2, D,014c且D,0=5x22=6, 。LD,0D为平面ABCD与平面ACD所成角的平面角，7分 DD⊥底面ABCD,DD⊥DO, n2D0D一胎5，即平面BCD与平有C0所度角的正弦位为 3 9分 2/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C B A D B (3)以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则A2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),B2,2,2, AC=(-2,2,0),AD=（-2,0,2),DB=(2,2,0), 11分 i.AC=-2x+2y=0 设平面ACD的一个法向量为i=(x,y,z),则 ,令x=1可得i=(1,l,1, i.AD=-2x+2z=0 设B到平面ACD,的距离为d,则d= 45,即点B到平面4CD,的距离为45， 3 13分 1 1 SC=,22x6=2W3,很据体积公式得4cD=×2W3×49 x33 15分 Z个 D B A D B 18.(17分) 【详解】(1)解：当a=1时，f(x)= e*+2x,x≤0 e-2x,x>0 当x>0时，f'(x=e-2,所以f'(1=e-2.又f1=e-2,2分 所以曲线y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程为y=(e-2)(x-1+e-2,即y=(e-2)x.4分 (2)解：(i)当x≤0时，由a>0得f(x=ae+2x单调递增，且f(0=a. 当x>0时，f'(x=ae-2, 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若a22,因为e>1,所以f'(x>0,即f(x在(0，+o)上单调递增，且ae°-2×0=a, 从而∫(x在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意，7分 若0<a<2,令f川=0，可得x=n2, 当x∈0，n2时，<0，fx单调递减， a 2 当x血后+时，>0，f)单调递增， 又当x→-o时fx)→-0，当x→+0时f(x→+0， f(0)>0 a>0 所以要使∫(x)有3个零点， 则 引0平{2-2子<0解0号 所以实数a的取值范围为 3 9分 (ii)由题可知f(x)=ae+2x1=0,f(x2)=ae-2x2=0,f（x)=aes-2x3=0, 所以a=-25=25=25 eee 则4=-三0，e9=占②. 12分 设公差为d(d>0),即x2-x=x-x2=d, 由①可得e4=- 3-d’3= +e’由②可得e=当+d d X2 2，e-i 则 +ee2一化简得(e-2e-1=0,解得e-2+1(负值舍去)， d 即公差d=ln√2+1， .17分 19.（17分) 【详解】(1)不妨设点M在第一象限，点N在第四象限，离心率e=S=2①， a 在少2 中，当，生父，&N6,即3®、 2分 a a a a=1 又因c2=a2+b2③，联立①②③，解得 b=5' 故双曲线C的标准方程为x2- =14分 3 (2)由(1)得F(2,0),当直线MN的斜率为0时，直线MN与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不 4/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 符合条件： 当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为x=ty+2, x=y+2 由 ,化简得(312-1)y2+12y+9=0, 3 3t2-1≠0 设MGNy,则△=36+36>0，解得0≤<3 ..7 9 53-<0 则MEH=+F+-=-1+Pm=-90+-3+,12 32-1 1-3r2’ 132≥9 70s2<,则0<1-3≤1，故32212，即3+2 故MFNF的最小值为9. .10分 (3)如图，设OP与边MN切于点E, 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，2|ME=|ME|+|MN|-|NF| =MF+MF2+NF2I-INFI=(2+MF2 D+MF2I-(INFI-INF2 D =2+|MF,+|MF2|-2=2|MF2l,即点E与点E重合，即0P与边MN切于点F12分 设OP与边FM切于点G,则GF=ME|-|MG=MEI-|MF,=2, 在RtAPGF中，IPFP=PGP+|GFP=PF,2+IGEP=PF2P+4. 设点P.点0，，则，+2+=-2++4，解得= 即点P在直线x上，过点Q,)作直线x的垂线，交直线x于点7， 1 其中， 1251_国-2少+-G-2+6-2到-2-2， 15分 1532 1x3一2 设点0关于直线x=2的对称点为点D,所以Q5,上2 OTHOD1 因为点Q与点D,点A与点乃分别关于直线x=对称， 所以DA=QF=QDI,IPA曰PFI且|PQ曰PDI, 所以点A,D,Q均在OP上，且∠APD=∠DPQ=∠QPF2, 所以∠APQ=2∠F2PQ 。。。。。。 。。。。。。 17分 5/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PAR B组 解答题限时练 （建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】(1)设数列{an}的公比为99≠0) 因为2，a2+1a3成等差数列，所以2(a2+1=2+a3,即2(a19+1=2+a192,2分 所以g2-2g=0,解得9=2或g=0(舍去)， 所以数列{an}的通项公式a,=2"(neN）. .4分 1+m (2)因为4a,am0,=22.2…2"=22 =2 所以b,=nn+ 8分 2 1 2 10分 所以3-2}-g》g】 13分 16.(15分) 【详解】(1)由题意10×(0.005+0.010×2+0.020+0.025+a=1,解得a=0.030,2分 成绩在[90,100]的频率为0.1，在80,90)的频率为0.25，在[70,80)的频率为0.3， 因为0.1+0.25=0.35,0.1+0.25+0.3=0.65， 所以选报物理方向的最低分x在[70,80)内，则(80-x×0.03+0.25+0.1=0.6, 6/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得x≈72，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分..5分 (2)由题可知，成绩在区间80,90)的频数为100×0.025×10=25， 成绩在区间[90,100]的频数为100×0.010×10=10， 利用分层抽样，从中抽取7份， 成锁在800的频数为25×2505，成筑在9010则的疑数为10 7 25+10 =2,8分 再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0,1,2， p叫x=0=c:C-10-2,Px=1=CC-20=4 C357 C;357 (X=2=C.C=5-1 C写357’13分 故X的分布列为： 0 1 2 2 4 1 7 -7 7 所以X的数学期望为：E(X)=0x2+1×4+2×- 4 16 7 7 77 15分 17.（15分) 【详解】(1)证明：如图所示，连接BC, 因为CF=FB,且四边形BCC,B,为矩形，所以C,F=BF, 又因为AE=EC,所以EF/1AB,2分 因为ABc平面ABC,EFa平面ABC,所以EFII平面ABC. .4分 (2)解：因为CA,CB,CC两两垂直，以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直线分别为x,y,z轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 可将ca0,41a0,80L01,c10a2,2F5小 6分 测cE-201,cF-0,小，ac-1a2. 1 CE:m=。x+z=0 设平面CEF的一个法向量为m=x,y,z,则 1 CFm-7y+:-0 取x=2,可得y=2,z=-1,所以m=(2,2,-1), 10分 设直线AC,与平面CEF所成角为O, 7/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 可得sin0=cosAC,m= AC·m-445 ACm35-15 14分 所以直线4C与平面CEF所成角的正弦值为45 15 15分 B A x 18.(17分) 【详解】(1)由题意，设抛物线E的方程为y2=-2px(p>0),准线是x= 2 根据抛物线定义：抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 又抛物线上点到准线的距离最小值为顶点到准线距离， 故最小距离即为顶点到焦点的距离，即 2分 2 由条件得上=1， 2=,解得卫=2 1 24 因此抛物线E的方程为y2=-x; …4分 (2) B 当k=0时，易知直线y=0与抛物线y2=-x仅一个交点，不符合题意，舍去；5分 当k≠0时，设A(x,y),B(x2,y2), 联立直线：y=k(x+)与抛物线方程， 将x=名-顺0代入y户， 整理得：y2+y-k=0, 8/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 由韦达定理得：片+乃=为=山， 8分 0A.OB=x x2+y2, 又x=-，x2=-y,所以xx2=(0y2)2=(-1)2=1, 因此0A.0B=1+(-1)=0, 故0A上0B,得证；… 10分 (3)408的面积3m=0CH- 其中直线1过点C(-1,0),故O0=1, 因此：So=2y-y=V0, 所以y-y2=2V10, .12分 平方得：(0y+y2)》2-4yy2=40, 1 又以+y2=- ，yy2=-1, k 得：京+4=40，解得2= 1 36 即k=t 6 17分 19.(17分) 【详解】(1)当a=2时，f(x=8xr+2 rcoSx-3sinx, f)=8+2cosx-2x sin x-3cosx=8-2x sin x-cos, 所以f'(0）=8-1=7,f(0）=0, 2分 故当a=2时，f(x在点(0，f(0)）处的切线方程为y=7x.4分 (2)对任意的x20,当a≥号时，f)=a(4+c0s川-3sinx≥亏44+cos-3sinx, 3 故只需证2x4+c0s-3sinx≥0对任意的x20恒成立，整理得 胸造函数x3sinx3,其中r之0,6分 4+cosx 5 )=3cos x(4cosx)-3sin x(-sinx)33(4cosx+1)3 (4+cosx) 5(4+c0sx)25 9/15 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3coX-cosX-3027分 5(cosx+4)2 所以运数4o上为减蚕数。陵当：20后，s600,即，一号 散对任意的x之0,5x4+c0s)-3sinx之0 故当a≥号时，对任意x之0，都有f(=ax(4+c0sx)-3sinx209分 （8》由2)知当a-g时，3nr号4+ms小，即s≤4t副 10分 1(4+0 1 令r2e,则m力24 sin k+2, k+2 1 因为4+os2<5,所以sn<+ k+2 4+cok+2 1 .1, k+2 5 k+2 构造函数p(=x-1-l血x,其中x>0,则p'(x=1-1=-1 xx 12分 当xe(0,1)时，o'(x<0,即函数px在0,1上单调递减， 当x∈(1，+∞)时，9'(x)>0,即函数px在1，+o）上单调递增， 所以9x)=x-1-lnx≥0(1=0，即x-1≥lnx,当且仅当x=1时，等号成立， 令=<geN,日1>h即 k+2 >h*1 k+2 k十2’13分 装理2-h山+小-h-, sinzI-5-I-<-In(k+I)+ln(k+2). k+2k+2 即sin<-lh(k+l+lnk+2,…l5分 k+2 sin<-In2+h3,sin<-3+4..sin)(n+), 3 4 n+2 累加得2sim,,<-ln2+n3-1n3+n4--lnn+l)+1n(n+2）=ln(n+2列-ln2 k+2 2 故sin1<nn+1,nNo k+2 17分 10/15