导数专题——数学运算素养水平测试-2026届高三数学二轮复习

高三数学二轮复习导数专题——数学抽象素养水平测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】利用导数的极限表达式计算. 【详解】若，则． 2．设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导后代入即可求得的值. 【详解】由题意得， 令，得，解得. 故选：A. 3．在曲线的图像上取点及邻近的一点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 当时，． 4．在曲线上的点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 所以过点的切线方程为：，即. 5．已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（   ） A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【详解】由，则，即， 则曲线在点处的切线方程为，即， 联立，得， 则，解得. 6．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先求出导函数，再根据极值点导函数为0求参数，最后代入检验即可. 【详解】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 故选：B. 7．函数在区间上的极值点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，求得，令，求得或，结合正弦函数的性质，以及函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个. 故选：A. 8．已知正数a，b满足 则 ab=（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【分析】通过对已知条件变形，构造单调函数，利用函数唯一性得到与的对数关系，进而代换消元求出. 【详解】由得，即， 令，则定义域，且， 当时，，在单调递增， 由可得，且， 所以，即，所以，得. 【点睛】利用指数与对数的同构构造单调函数，通过函数单调性建立变量关系，实现消元求值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列导数计算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据求导公式逐项求导即可求解. 【详解】对于A选项，由，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项错误； 对于C选项，，故C选项正确； 对于D选项，由，故D选项正确. 故选：ACD. 10．设函数，则下列说法中正确的有（   ） A．函数是奇函数 B．在区间上单调递增 C．直线，与曲线的公共点个数不相等 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 【答案】ACD 【分析】A选项运用奇函数的定义进行运算判断即可；B选项根据函数的导函数的正负性进行判断即可；C选项根据函数的单调性，结合B的结论进行判断即可；D选项根据函数的导函数解析式，结合配方法进行判断即可. 【详解】对于A，， 令，函数定义域为R， 因为， 所以函数是奇函数，所以A选项正确； 对于B，， 当时，单调递减，所以B选项不正确； 对于C，因为， 所以当时，单调递减， 当，或时，单调递增， 因为，当时，， 当时，， 所以直线，与曲线的公共点个数分别为和， 所以C选项正确； 对于D，设斜率为-12的直线方程为， 联立，消去得， 即， 令，， 当且仅当时取等号，所以在R上单调递增， 当时，；当时，， 根据单调函数的性质，与轴有且仅有一个交点， 所以斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点，所以D选项正确. 11．已知椭圆曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线与轴的交点的横坐标之和等于0 B．曲线关于直线对称 C．若直线与曲线恰有3个交点，则 D．直线与曲线的交点的横坐标之和等于0 【答案】ACD 【分析】对于A，令,则，解方程即可判断；对于B，设点在曲线上若曲线关于直线对称，则对称点应满足：，化简即可求解；对于C，直线与曲线交点个数等价于方程的解的个数，等价于与的交点个数，结合导数研究的单调性和极值即可求解；对于D, 直线代入方程整理得,结合三次方程的韦达定理即可求解. 【详解】对于A，令,则，解得：或,或，则曲线与轴的交点的横坐标之和等于，故A正确； 对于B，设点在曲线上，则， 若曲线关于直线对称，则对称点应满足： 展开左边：与原方程不相等，故B 错误； 对于C，令，求导得 令,解得：或，令,解得：， 所以的单调增区间为，单调减区间为 当时，；当时，， 所以的极大值为2，极小值为， 直线与曲线交点个数等价于方程的解的个数，等价于与的交点个数， 要使直线与曲线恰有个交点，需在内，即： 解不等式：，恒成立； ， 所以直线与曲线恰有3个交点，则，故C正确； 对于D，直线代入方程： ，整理得 设方程的三个根为，根据三次方程韦达定理：， 所以直线与曲线的交点的横坐标之和等于0，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则________ 【答案】 【分析】对函数进行求导后代入计算即可. 【详解】，把代入， ． 故答案为： 13．已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为______. 【答案】 【分析】问题等价于在有解，再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. 14．已知则的单调递增区间为__________. 【答案】 【分析】先化简真数并确定定义域，再求导分析导数符号，即可得到单调递增区间. 【详解】， 设， 设，令， 则，， 所以，判别式， 所以恒成立，所以的分子恒负， 因为，所以，解得，即的定义域为， ，因为，所以与同号， ， 令，则， 令，则，即， 在内，，故， 设，令，即， 则有，即，解得或， 因为是开口向下的二次函数，则有 当时，，， ，则， 当时，，， ，则， 当时，，， ，则， 当时，， 当时，， 所以当时，，，则， 所以当时，，，则， 因为与同号，所以在上，，单调递增. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，在处的切线与垂直， (1)求实数a的值； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值； （2）利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域. 【详解】（1）由求导得， 则在处的切线的斜率为，因切线与垂直， 故，解得. （2）由（1）可得 ， 因，则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 因,即, 故在区间上的值域为. 16．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】(1)利用导数的几何意义求解； (2)利用导函数研究函数的单调性. 【详解】（1）当时，， ，则， 又，∴曲线在点处的切线方程为． （2），， ，，由，得，由，得． 的单调递增区间为，单调递减区间为． 17．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）对函数求导并令导数为，找到临界点，通过分析导数在不同区间的符号确定函数单调性，进而求出极小值与极大值； （2）构造函数并求导，将问题转化为分析导函数的最小值，结合已知的范围判断恒正，从而推出单调性，最终证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为， ,令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值. （2）令，则 ， 由（1）可知，即的最小值为， 已知，代入得： ， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， 当时，，即： 得证. 【点睛】本题的核心是通过导数分析函数单调性，以极值为桥梁，将不等式证明转化为函数最小值的符号判断. 18．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出的导数，再按分类讨论求出的单调区间. （2）把代入求出，再对所证不等式作等价变形，按分段并构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，， 不等式， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此； 当时，，函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此， 所以. 19．已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)极大值，极小值 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）先对函数求导得到，通过导数的正负判断单调性，进而确定极值点并计算极值； （2）（i）通过构造辅助函数并分析导数符号证明不等式； （ii）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性求最值，从而确定参数范围. 【详解】（1）时，，， 令，得，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值. （2）时，. （i）要证，，即证， 令，则， 令，则，即化为， 因为，所以，所以，即，在单调递增， 又，所以，即. （ii）由得， 当时，显然成立； 当时，不等式可化为，令，则 则， 令， 当时，，由得，又， 所以，所以，在单调递增，所以对，； 下面证明当时，，即，也即证： 令，则， 因为，所以，所以，所以， 所以在单调递增，所以，即， 所以. 综上，时，，所以，即实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学二轮复习导数专题——数学运算素养水平测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A． B．6 C．3 D． 2．设函数，则（    ） A． B． C． D． 3．在曲线的图像上取点及邻近的一点，则为（    ） A． B． C． D． 4．在曲线上的点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（   ） A．18 B．16 C．12 D．8 6．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 7．函数在区间上的极值点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知正数a，b满足 则 ab=（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列导数计算正确的有（    ） A． B． C． D． 10．设函数，则下列说法中正确的有（   ） A．函数是奇函数 B．在区间上单调递增 C．直线，与曲线的公共点个数不相等 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 11．已知椭圆曲线，下列结论正确的是（    ） A．曲线与轴的交点的横坐标之和等于0 B．曲线关于直线对称 C．若直线与曲线恰有3个交点，则 D．直线与曲线的交点的横坐标之和等于0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则________ 13．已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为______. 14．已知则的单调递增区间为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，在处的切线与垂直， (1)求实数a的值； (2)求在区间上的值域． 16．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 17．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 18．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 19．已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $