考点05 用一元一次不等式解决问题（8大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点05 用一元一次不等式解决问题 考点一：由实际问题抽象出一元一次不等式 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案， 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵， 3.列一元一次不等式解决实际问题首先弄清题中数量关系，用字母表示未知数，再根据题中的不等关系列出不等式. .考点二：一元一次不等式的应用 列一元一次不等式解决实际问题与列方程解决实际问题类似，所不同的是一个是列方程，另一个是列不等式列不等式解决实际问题的一般步骤如下： （1）审：认真审题，分清己知量、未知量及它们的关系，找出题目中的不等关系； （2）设：设出适当的未知数； （3）列：根据题目中的不等关系列出不等式：无去 （4）解：解出所列不等式的解集； （5）答：检验求得的解或解集是否符合实际意义，并写出答案. 考点三：由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系，往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方，所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目. .考点四：一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解。 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答. 题型一：行程问题 （1）理清类型：分清相遇问题（路程和=总路程）或追及问题（路程差=初始距离）； （2）设速列式：常设速度未知数，根据时间、路程的两个等量关系列一元一次不等式（组）求解； （3）画线段图：画出运动过程示意图，标注已知路程、时间，直观呈现等量关系； （4）统一单位：速度、时间、路程单位务必统一（如km与h，m与min)，避免计算错误． （1）只看符号不看数字，一错全错； （2）系数、字母都要完全相同，才能算“相同项”． 【典例精讲】（2025春•龙马潭区校级期末）小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A．210x+90（12﹣x）≥1.7 B．210x+90（12﹣x）≤1.7 C．210x+90（12﹣x）≥1700 D．210x+90（12﹣x）≤1700 【分析】根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可． 【解答】解：根据题意列不等式为：210x+90（12﹣x）≥1700， 故选：C． 【变式训练1】（2025春•和县期末）小明同学早上8：20前要到达班级，出家门时是8：00．已知他家离学校距离为1500m，他跑步的速度为120m/min，走路的速度为60m/min，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为xmin，根据题意可列不等式正确的为（　　） A．120x+60（20﹣x）＜1500 B．120（x﹣20）+60x＞1500 C． D． 【分析】设小明同学跑步时间为xmin，则剩余的路程为（1500﹣120x）m，则走路的时间为（min），到校时间应小于20分钟列出不等式即可． 【解答】解：由题意得，x20． 故选：C． 【变式训练2】（2025•绿园区校级三模）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400m以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是0.8cm/s，人跑步的速度是5m/s，问：导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？ 【分析】设导火线的长度为xm，根据题意列出不等式，进而得出答案． 【解答】解：设导火线的长度为xm， ， 解得：x＞64， 答：导火线必须超过64m，才能保证操作人员的安全． 【变式训练3】（2024•成武县校级开学）一列火车有31节车厢（含车头），车头长度为15米，每节车厢长28米，每两节车厢间距为1.5米，这列火车每小时可行驶90千米，一辆汽车的最快速度比火车快，如果这辆汽车行驶到火车尾部想快速超过这列火车，最少需要多长时间？ 【分析】先表示出火车的长度以及汽车的速度，再利用追及问题列不等式解答即可． 【解答】解：火车长度为15+（28+1.5）×30＝900（米）＝0.9（千米）， 汽车速度为90×（1）＝126（千米/时）， 设最少需要t小时， ∴（126﹣90）t≥0.9， ∴t≥0.025， 故最少需要0.025小时． 【典例精讲】（2025秋•上城区校级期中）学校购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【解答】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•龙岗区校级期末）为推进“美育浸润行动”，学校决定采购两类美育教室设备套装（A类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；B类含画架画板、颜料画笔、美术教具等），据了解购买1套A类设备、3套B类设备共需55万元；购买4套A类设备、2套B类设备共需120万元． （1）求A、B两种类型的设备每套的价格分别为多少万元； （2）若学校计划恰好用200万元购进以上两种类型的设备（两种类型的设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 【分析】（1）依据题干给出的两种采购组合的总价，通过列二元一次方程组求解A、B两类设备的单价； （2）根据总采购费用列二元一次方程，结合两种设备均需购买的条件，求解方程的正整数解得到所有购买方案． 【解答】解：（1）据了解购买1套A类设备、3套B类设备共需55万元；购买4套A类设备、2套B类设备共需120万元． 设A类设备每套x万元，B类设备每套y万元， ， 解得． 答：A类设备每套25万元，B类设备每套10万元； （2）设购买A类设备a套，B类设备b套，其中a、b均为正整数， 根据题意得25a+10b＝200， 变形得， ∵a、b均为正整数， ∴40﹣5a是正偶数，且40﹣5a＞0， ∴a必须是正偶数，且a＜8， 当a＝2时，， 当a＝4时，， 当a＝6时，， 答：方案1：购买A类2套，B类15套； 方案2：购买A类4套，B类10套； 方案3：购买A类6套，B类5套． 【变式训练2】（2025秋•金华期末）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． （1）沙包和篮球的单价各是多少元？ （2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 【分析】（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个，根据采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元， 根据题意列二元一次方程组得： ， 解得， 答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元． （2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个， 根据题意列一元一次不等式组得： 解得：52≤m≤54， ∴一共有三种方案，分别是： 方案一：购买沙包52个，购买篮球38个； 方案二：购买沙包53个，购买篮球37个； 方案三：购买沙包54个，购买篮球36个． 【变式训练3】（2025秋•鄞州区期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．若购买A型充电桩10个，B型充电桩5个，共需付款9万元． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ （2）该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过13万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，共有几种购买方案？ 【分析】（1）根据题意列出方程组并求解即可； （2）根据题意列出不等式并求解即可． 【解答】解：（1）设A型充电桩单价为x万元，B型充电桩单价为y万元， 由题意列二元一次方程组得， ， 解得， 即A型充电桩单价为0.5万元，B型充电桩单价为0.8万元， 答：A型充电桩单价为0.5万元，B型充电桩单价为0.8万元； （2）设A型充电桩购入a个， 则根据题意列一元一次不等式得，， 解得10≤a≤12， 又∵a为整数， ∴a＝10或11或12． 答：共有3种购买方案． 题型三：工程问题 （1）设效列式：设工作效率为未知数，根据“工作量=工作效率X工作时间”及合作、先后完成方式列不等式（组）。 （2）总量归一：常将工作总量设为1，分别用未知数表示各自效率，根据工作过程建立两个不等关系。 （1）把效率和时间搞反，把“单独做”和“合作”效率算错； （2）合作效率算错，合作时直接把时间相加，不是效率相加； （3）方程列反/列错，漏写某一段工作，把“先做、再合作”的时间乘错效率； （4）求出效率后，忘记求时间． 【典例精讲】（2025•韶关模拟）一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．以后6天内平均每天至少要挖土多少m3？ 【分析】设以后6内，平均每天要挖掘xm3土方，根据题意可知原定在10天，已经干了两天，还要求提前2天，即为要6天至少挖掘（600﹣120）m3的土方，根据题意可得不等式，解不等式即可． 【解答】解：设平均每天挖土xm3， 由题意得：（10﹣2﹣2）x≥600﹣120， 解得：x≥80． 答：平均每天至少挖土80m3． 【变式训练1】（2025春•黔西南州期末）在贵州某县乡村振兴项目中，为发展旅游业，需对一条苗族风情古寨旁的河道进行生态整治．现有一段长480米的河道整治任务由甲、乙两支施工队接力完成．甲工程队每天整治12米，乙工程队每天整治30米，共用时25天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ （1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得； ②小华同学：设整治任务完成后，m表示　 　 ，n表示　　 ； 则可列方程组为． 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． （2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． （3）为了合理控制项目成本，工程指挥部在确保施工质量的前提下，希望优化预算基于上述施工方案，甲工程队每天的施工费用为500元，工程指挥部要求总施工费用不超过22000元，那么乙工程队每天的施工费用最多是多少元？ 【分析】（1）①小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成480米的整治河道任务且共同时25天，即可得出关于x，y的二元一次方程组； ②小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． （3）设乙工程队每天的施工费用为a元，可得15×500+10a≤22000，再解不等式即可求解． 【解答】解：（1）①设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米， ； ②m表示甲工程队工作的天数；n表示乙工程队工作的天数． 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； （2）选择①．①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米， 则， 解得， 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道300米， 选择②， 设甲工程队工作的天数是m天，乙工程队工作的天数是n天．则： ， 解得， 甲整治的河道长度：15×12＝180（米）；乙整治的河道长度：10×30＝300（米）． 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道300米． （3）设乙工程队每天的施工费用为a元． 则15×500+10a≤22000， ∴a≤1450， 答：乙工程队每天的施工费用最多是1450元． 【变式训练2】（2025春•都昌县期中）为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同） （1）求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设； （2）该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？ 【分析】（1）用两工程队合作工作总量减去A工程队工作总量，再除以B工程队人数即可解答； （2）设A工程队派出x人，则B工程队派出（20﹣x）人，根据“每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人”列出不等式组，即可解答． 【解答】解：（1）根据题意可得： （700﹣5×80）÷6＝50（米）， 答：B工程队每人每天能完成50米绿化带的建设． （2）设A工程队派出x人，则B工程队派出（20﹣x）人， ， 解得：17≤x≤19， ∵x为整数， ∴x＝17，18，19， ∴该公司有3种方案： 方案1：A工程队17人，B工程队3人； 方案2：A工程队18人，B工程队2人； 方案3：A工程队19人，B工程队1人． 题型四：积分问题 （1）设未知数。 （2）找两个关键关系 总场次关系：胜场+平场+负场=总比赛场数 总积分关系：胜场积分+平场积分+负场积分=总积分。 （3）转化为不等式。 （4）求整数解：场次必须是非负整数，据此确定取值范围。 （1）场次不能为负数、不能是小数，必须取整数； （2）未区分“已赛场次”与“总场次”，把已赛、未赛、总场次混用，直接导致方程/不等式列错； （3）积分规则理解错误． 【典例精讲】（2025秋•瑞安市期中）浙BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，如表是10月11日，温州队所在的A组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 （1）求温州队的积分． （2）温州队所在的A组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得A组第一至少还要胜几场？ 【分析】（1）设胜1场积x分，负1场积y分，则温州队的积分为7x分，根据表中信息列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题； （2）设温州队要获得A组第一要胜a场，则负（20﹣a）场，根据积分达到37分，会获得小组冠军，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题． 【解答】解：（1）设胜1场积x分，负1场积y分，则温州队的积分为7x分， 根据题意可得：， 解方程组得：， ∴7x＝14， 答：温州队的积分为14分； （2）由题意可知，温州队一共要进行2×（11﹣1）＝20场比赛， 设温州队要获得A组第一要胜a场，则负（20﹣a）场， 根据题意可得：2a+（20﹣a）×1≥37， 解得：a≥17， ∴a的最小值为17， 此时，a﹣7＝10， 答：温州队要获得小组第一至少还要胜10场． 【变式训练1】（2025春•洛江区期末）某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分达到或超过15分才能获得决赛资格．一支球队现已比赛了5场，得8分． （1）前5场比赛中，这支球队共胜了多少场？ （2）这支球队打满10场比赛，最高能得多少分？ （3）如果这支球队要获得参加决赛资格，那么在初赛阶段至少还要胜多少场？ 【分析】（1）设前5场比赛中，这支球队共胜了x场，则负了（5﹣x）场，利用得分＝2×胜场数+1×负场数，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用最高得分＝8+2×剩余场数，即可求出结论； （3）设在初赛阶段还要胜y场，利用得分＝2×胜场数+1×负场数，结合积分达到或超过15分才能获得决赛资格，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设前5场比赛中，这支球队共胜了x场，则负了（5﹣x）场， 根据题意得：2x+（5﹣x）＝8， 解得：x＝3． 答：前5场比赛中，这支球队共胜了3场； （2）根据题意得：8+2×（10﹣5）＝18（分）． 答：这支球队打满10场比赛，最高能得18分； （3）设在初赛阶段还要胜y场， 根据题意得：2（y+3）+[10﹣（y+3）]≥15， 解得：y≥2， ∴y的最小值为2． 答：在初赛阶段至少还要胜2场． 【变式训练2】（2025春•德化县期末）项目式学习 体育比赛计分 素材一 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，比如计分规则、比赛场次、最佳策略等．不同的比赛项目有着不同的计分规则，只有了解这些规则，才能让我们更佳清楚地看懂比赛．你是否思考过这些问题：篮球循环赛中，你们年段球队如何获得最终胜利？ 素材二 五一节期间，某校举办“瓷韵杯”七年级学生篮球赛，戴云队、九仙队、石牛队三支篮球队举行单循环赛，赛前约定的比赛排名规则： 1．获胜场数多的球队排名靠前； 2．如果两队获胜场数相同时，依下列顺序排列名次： ①净胜分大的球队排名靠前； ②净胜分相同时，两队比赛获胜者排名靠前． 素材三 三支球队的比赛成绩如表： 戴云队 九仙队 石牛队 净胜分 戴云队 53：47 45：55 ﹣4 九仙队 47：53 58：n 石牛队 55：45 n：58 注：①戴云队与九仙队的比赛得分是53：47，则九仙队与戴云队的比赛得分是47：53． ②净胜分＝本队两场比赛的总得分﹣对方比赛的总得分，如戴云队的净胜分＝（53+45）﹣（47+55）＝﹣4． 问题解决 任务一 分别计算九仙队和石牛队的净胜分（用含n的代数式表示）； 任务二 当n＝56时，通过计算说明九仙队获得第几名？ 任务三 根据排名规则和比赛成绩分析哪支球队能得第一名．（n≠58） 【分析】任务一：依据题意得，九仙队的净胜分是（47+58）﹣（53+n）＝52﹣n；石牛队的净胜分是（55+n）﹣（45+58）＝n﹣48，进而计算可以得解； 任务二：依据题意，当n＝56时，三支篮球队均1胜1负，故需比较三支篮球队的净胜分，又戴云队、九仙队、石牛队三队的净胜球分别为﹣4，﹣4，8，故石牛队得第一名，又戴云队、九仙队的净胜分相同，戴云队：九仙队＝53：47，进而可以判断得解； 任务三：依据题意，分0≤n≤50、n＞50且n≠58分别进行分析计算即可判断得解． 【解答】任务一：（1）由题意得，九仙队的净胜分是（47+58）﹣（53+n）＝52﹣n； 石牛队的净胜分是（55+n）﹣（45+58）＝n﹣48． 答：九仙队的净胜分是52﹣n，石牛队的净胜分是n﹣48． 任务二：由题意，当n＝56时，三支篮球队均1胜1负， ∴需比较三支篮球队的净胜分． ∵戴云队、九仙队、石牛队三队的净胜球分别为﹣4，﹣4，8， ∴石牛队得第一名． ∵戴云队、九仙队的净胜分相同，戴云队：九仙队＝53：47 ∴戴云队为第二名． ∴九仙队为第三名． 任务三：①当n＞58时，石牛队两场都胜，石牛队得第一名． ②当n＜58时，每队各胜1场， 若戴云队得第一名，则需 此时，这个不等式组无解， ∴戴云队不可能得第一名； 若九仙队得第一名， ∴ ∴n≤50， 又∵n≥0， ∴0≤n≤50； 若石牛队得第一名， ∴ ∴n＞50． 综上所述：当n＞50且n≠58时，石牛队得第一名；当0≤n≤50时，九仙队得第一名． 题型五：销售、利润问题 （1）设价列式：设进价、售价或数量为未知数，根据销售额、利润、利润率等公式建立不等式（组）。 （2）双量关系：常见两个等量关系，如“总进价=进价×数量”与“总利润=（售价-进价）×数量”组合。 （3）理清公式：熟记利润=售价-进价、利润率=利润/进价×100%等基本关系。 （4）单位统一：涉及折扣时，先将折扣价表示为原价的十分之几（如六折=0.6倍）。 （1）核心公式记混，错把利润当成售价、标价当成售价 利润 = 售价 - 进价 售价 = 标价 × 折扣 总利润 = 单件利润 × 数量； （2）折扣理解错； （3）单位不统一； （4）两种商品混算； （5）求总利润漏乘数量． 【典例精讲】（2025春•莒县期末）某研学基地在超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；从第三次购买开始享老顾客价，保温杯、台灯均以相同折扣的价格购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示： 购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 5 4 800 第二次购买 3 7 940 第三次购买 9 8 912 （1）求保温杯、台灯的标价； （2）某日，甲、乙两校师生到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？ 【分析】（1）设保温杯的标价是x元，台灯的标价是y元，根据前两次购买毛笔、台灯的数量及总费用，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设从第三次购买开始按标价打m折购买，根据第三次购买毛笔、台灯的数量及总费用，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出打折后毛笔和台灯的售价，设甲班获得a个保温杯，则甲班获得（15﹣a）个台灯，乙班获得（20﹣a）个保温杯，（a﹣5）个台灯，根据“甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元”，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出结论了． 【解答】解：（1）设保温杯的标价是x元，台灯的标价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：保温杯的标价是80元，台灯的标价是100元； （2）设从第三次购买开始按标价打m折购买， 根据题意得：809+1008＝912， 解得：m＝6， ∴808048（元）， 10010060（元）． 设甲班获得a个保温杯，则甲班获得（15﹣a）个台灯，乙班获得（20﹣a）个保温杯，15﹣（20﹣a）＝（a﹣5）个台灯， 根据题意得：， 解得：a， 又∵a为正整数， ∴a的值为8， ∴15﹣a＝15﹣8＝7（个），20﹣a＝20﹣8＝12（个），a﹣5＝8﹣5＝3（个）． 答：甲班获得8个保温杯，7个台灯，乙班获得12个保温杯，3个台灯． 【变式训练1】（2026•呼兰区开学）随着2025年12月17日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品3件，共需130元；若购进甲种纪念品4件、乙种纪念品5件，共需230元； （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元？ （2）如果该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为x、y元，列二元一次方程组计算即可； （2）设购进乙种纪念品m件，列一元一次不等式计算即可． 【解答】解：（1）设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为x、y元， 由题意可得：， 解得：， 答：甲、乙两种纪念品每件的进价分别为20元和30元； （2）设购进乙种纪念品m件， 由题意列一元一次不等式可得：30m+20（100﹣m）≤2700， 整理得，10m≤700， 解得m≤70， 答：最多购进乙种纪念品70件． 【变式训练2】（2025秋•吴兴区期末）某品牌羽毛球拍售价120元/副，羽毛球售价5元/只．王教练计划购买一批羽毛球拍和羽毛球，实体店和网店有不同的促销活动，具体信息如下： 店铺 球拍优惠信息 赠品 配送方式 实体店 球拍打9折 每购买一副球拍赠送一只羽毛球 免费送货上门 网店 若购买球拍不超过10副，不打折； 若购买球拍超过10副，则超过部分打8折． 每购买一副球拍赠送两只羽毛球 包邮送货上门 （1）若王教练想要购买20副球拍和40只羽毛球，请你帮王教练分别计算实体店、网店两家店铺优惠后的实际付款金额，判断在哪家店购买更优惠； （2）若王教练计划购买n副球拍和2n只羽毛球，请用含n的代数式分别表示在实体店、网店购买时，优惠后的实际付款金额； （3）若王教练有5000元预算，希望尽可能多地购买羽毛球拍，请问最多可购买多少副球拍？购买球拍后剩余的钱还可以购买多少只羽毛球？ 【分析】（1）根据实体店以及网店的购买原则列式计算即可； （2）根据实体店以及网店的购买原则列式即可； （3）设最多购买x副球拍，根据5000元钱购买的球拍数量大于10副，则网店购买比较合适，利用网店的购买原则列出不等式即可求出购买球拍的数量，再算出剩余的钱即可求出最后结果． 【解答】解：（1）若在实体店购买则需付款：20×120×0.9+（40﹣20）×5＝2260（元）， 若在网店购买则需付款：10×120+（20﹣10）×120×0.8+（40﹣20×2）×5＝2160（元）， ∵2260＞2160， 答：实体店实际付款金额为2260元，网店实际付款金额为2160元，在网店购买更优惠； （2）在实体店购买则需付款：0.9×120×n+（2n﹣n）×5＝113n元， 在网店购买则需付款： 当n≤10时，需付款120×n＝120n元； 当n＞10时，需付款120×10+（n﹣10）×120×0.8＝（96n+240）元， 以为购买n副球拍赠送2n只羽毛球，则无需计算羽毛球费用， ∴实体店：113n元；网店：当n≤10时，120n元；当n＞10时，（96n+240）元 （3）设最多购买x副球拍， ∵5000元钱购买的球拍数量大于10副，则网店购买比较合适， ∴10×120+（x﹣10）×120×0.8≤5000， 解得：， 取整数x＝49， ∴球拍的费用为10×120+（49﹣10）×120×0.8＝4944元， 剩余金额为5000﹣4944＝56（元）， ∵56÷5＝11⋯1， ∴最多可购买49副球拍，剩余钱还可以购买11只羽毛球． 题型六：分配问题 （1）设元列表：设分配对象数量为未知数，根据“总量相等”或“倍数关系”建立方程组。 （2）两种分配：常见“若…则…；若…则…”两种分配方案，每种方案对应一个不等关系。 （3）抓不变量：分配过程中物品总数、总人数等往往不变，是列方程的关键。 （4）统一对象：明确以“人”或“物”为设元对象，避免设元混乱导致方程错误。 （1）定不变量：先明确问题中什么是“总量”（总人数、总物品数），并围绕它建立关系。 （2）示意图：对于住宿、分组问题，简单画图（方框代表房间，点代表人）有助于理清“空房”、“不足”的含义。 （3）辨等与不等：清晰判断题目描述的是确定等量关系，还是存在多种可能的不等关系。后者通常需列不等式。 （4）解必检验：将解代入原题情景，验证是否符合所有描述，尤其要满足“正整数”要求。 【典例精讲】（2025春•阳新县期末）用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有x辆货车，3位同学分别列出了关于x的不等式组，则正确的是（　　） ①0＜8x﹣（4x+20）＜8；②8（x﹣1）＜4x+20＜8x；③0＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据题意可以列出相应的不等式组，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由题意可得， 0＜8x﹣（4x+20）＜8或8（x﹣1）＜4x+20＜8x或0＜（4x+20）﹣8（x﹣1）＜8， 故正确的是①②③， 故选：D． 【变式训练1】（2025春•百色期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为x人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【解答】解：根据题意可列不等式组为：， 故选：B． 【变式训练2】（2025•港南区一模）在芦山地震抢险时，某镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不足90人．设预定每组分配的人数是x，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 【分析】设预定每组分配的人数是x，根据若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不足90人，分别列出不等式即可． 【解答】解：设预定每组分配的人数是x，根据题意得： ， 故选：C． 题型七：分段计费问题 （1）先判断：有没有“超过标准” 题目一般会给两种情况： 用量少：没超标，只按一种价格算 用量多：超标了，分两段算。 （2）设未知数，标准内每单位费用：x，超过部分每单位费用：y。 （3）列两个不等式。 （4）解不等式组。 （1）分不清哪段用哪个价，没超：全程一个价，超了：前一段标准价 + 后一段高价； （2）超出量算错； （3）方程列反，不是“总费用×分段”，而是分段相加 = 总费用． 【典例精讲】（2025春•西岗区期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过6km2元/人次；超过6km到12km（含）3元/人次；超过12km到18km（含）4元/人次；超过18km到26km（含）5元/人次；超过26km到34km（含）6元/人次；超过34km到44km（含）7元/人次；超过44km到54km（含）8元/人次；超过54km部分，票价每增加1元可再乘坐15km． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为xkm，用不等式表示x的范围为 　 ． 【分析】根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了10元（即按里程计算超过9元且不超过10元），可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：69＜x≤84． 故答案为：69＜x≤84． 【变式训练1】（2025秋•天台县期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二：▲ 2.5 ▲ 阶段二：▲ 1 ▲ 本期实付金额（大写） ▲ （注：居民生活用水水费＝自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． （1）设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； （2）该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； （3）若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【分析】（1）设该居民7月份的用水量为xm3，则该居民6月份的用水量为（42﹣x）m3，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2）求出当7月份用水量是28m3时的水费即可； （3）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该居民7月份的用水量为xm3，则该居民6月份的用水量为（42﹣x）m3， 根据题意得：， 解得：21＜x≤28． 答：x的取值范围为21＜x≤28； （2）根据题意得：2×17+2.5×（28﹣17）+1×28 ＝2×17+2.5×11+1×28 ＝34+27.5+28 ＝89.5（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）当21＜x＜25时，[2×17+2.5（x﹣17）+x]﹣[2×17+2.5（42﹣x﹣17）+（42﹣x）]＝130≠41，不符合题意，舍去； 当25≤x≤28时，[2×17+2.5（x﹣17）+x]﹣[2（42﹣x）+（42﹣x）]＝41， 解得：x＝27． 答：该居民7月份的用水量为27m3． 【变式训练2】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 （1）某户5月份交水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？ （2）要使月所缴水费控制在20元至30元之间，则该户的月用水量应该控制在什么范围内？ 【分析】（1）易得用水量超过了12吨，那么等量关系为：12吨的水费+超过12吨的水费＝45，把相关数值代入计算即可； （2）若水费为20元，则用水吨数为10吨，易得所用水的吨数在12吨﹣18吨之间，进而让12吨的水费+超过12吨的水费≤30可得能用水吨数的最大值． 【解答】（1）设该用户5月份的用水量为x吨，根据题意得： 12×2+6×2.5+3（x﹣18）＝45， 解得x＝20， 答：该用户5月份的用水量为20吨． （2）设该用户月用水量为x吨， 若x＞18时，12×2+2.5×6＝39＞30（元），所以只能x＜18． 若x＜12，则由2x＝20，得x＝10； 若12＜x＜18，则由24+2.5（x﹣12）＜30，得x＜14.4， 所以10＜x＜14.4， 答：该户的月用水量应该控制在10吨到14.4吨之间． 题型八：利润最值问题 （1）设未知数； （2）列表达式； （3）列不等式； （4）解不等式组； （5）求最值． （1）单件利润算错； （2）解不等式时变号、移项出错，导致区间判断错误； （3）题目问件数、钱数时，x 通常取整数，要就近验证． 【典例精讲】（2025春•信州区期末）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，4个A种头盔和3个B种头盔共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元． （2）该商店计划用不超过1000元的资金购进A，B两种头盔共20个，且B种头盔数量不超过A种头盔数量的2倍．若销售一个A种头盔的利润是35元，销售一个B种头盔的利润是15元，假如这些头盔能全部售出，请你帮商店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，4个A种头盔和3个B种头盔共需390元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买m个A种头盔，则购买（20﹣m）个B种头盔，根据用不超过1000元的资金购进A，B两种头盔，且B种头盔数量不超过A种头盔数量的2倍，结合（1）的结论，列出一元一次不等式组，求出m的取值范围，得出可进货方案，再计算出各方案的利润，进行比较即可． 【解答】解：（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元； （2）设购买m个A种头盔，则购买（20﹣m）个B种头盔， 题意得：， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m＝7或m＝8， ∴该商店共有2种进货方案， 方案1：购买7个A种头盔、13个B种头盔，可获得的总利润为35×7+15×13＝440（元）， 方案2：购买8个A种头盔、12个B种头盔，可获得的总利润为35×8+15×12＝460（元）， ∵440＜460， ∴最大利润是460元． 答：商店利润最大的进货方案为购买8个A种头盔、12个B种头盔，最大利润是460元． （2025秋•西安校级期末）某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动”，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．每套简约版的成本比每套创意版的成本低8元，7套简约版的成本与5套创意版的成本共148元． （1）求出每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价； （2）现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为15元和25元．若两种钥匙扣一共售出120套，简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元？ 【分析】（1）设每套简约版手工钥匙扣的成本价为x元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设售出m套简约版手工钥匙扣，总利润为w元，则售出（120﹣m）套创意版手工钥匙扣，根据题意得出w＝﹣2m+960，再结合一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设每套简约版手工钥匙扣的成本价为x元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为y元， 由题意列二元一次方程组可得：， 解得， 即每套简约版手工钥匙扣的成本价为9元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为17元， 答：每套简约版手工钥匙扣的成本价为9元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为17元； （2）设售出m套简约版手工钥匙扣，总利润为w元，则售出（120﹣m）套创意版手工钥匙扣， 由题意列一次函数可得：w＝（15﹣9）m+（25﹣17）（120﹣m）， 即w＝﹣2m+960， ∵﹣2＜0， ∴w随着m的增大而减小， ∵简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套， ∴20≤m≤60， ∴当m＝20时，w取得最大值，最大值为﹣2×20+960＝960﹣40＝920（元）， 答：总利润最高是920元． 【变式训练2】（2025秋•雁塔区校级期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求该超市有哪几种购买方案？超市获得的最大利润为多少元？ 【分析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据投入资金不少于1160元又不多于1168元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案可获得的总利润，比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：． 答：m的值为10，n的值为14； （2）根据题意得：， 解得：58≤x≤60， 又∵x为正整数， ∴x可以为58，59，60， ∴该超市有3种购买方案， 方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜，全部销售完获得的总利润为（16﹣10）×58+（18﹣14）×42＝516（元）； 方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜，全部销售完获得的总利润为（16﹣10）×59+（18﹣14）×41＝518（元）； 方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜，全部销售完获得的总利润为（16﹣10）×60+（18﹣14）×40＝520（元）， ∵516＜518＜520， ∴超市获得的最大利润为520元． 答：该超市有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜，超市获得的最大利润为520元． 1．（2025秋•南湖区校级期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的PH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次PH检测值为7.5，第二次PH检测值在7.0至7.6之间（包含7.0和7.6），若该游泳池检测合格，则第三次PH检测值x的范围是（　　） A．7.2≤x≤7.8 B．7.0≤x≤8.2 C．7.1≤x≤8.3 D．7.3≤x≤8.4 【分析】设定变量，设第三次PH检测值为x，第二次检测值为y（已知7.0≤y≤7.6），根据题意建立平均值不等式，三次平均值必需满足，将不等式进一步整理为14.1﹣y≤x≤15.9﹣y，结合y的取值范围7.0≤y≤7.6分别代入y的最小值和最大值，求出x的下限和上限． 【解答】解：设第三次PH检测值为x，三次检测的平均值为 （其中7.0≤y≤7.6）， 由题意得不等式：， 对不等式组进行变形：21.6≤7.5+y+x≤23.4， 进一步整理得：14.1﹣y≤x≤15.9﹣y， 当y取最小值7.0时，14.1﹣7.0≤x≤15.9﹣7.0，即7.1＜x＜8.9， 当y取最大值7.6时，14.1﹣7.6≤x≤15.9﹣7.6，即6.5≤x≤8.3， 因为该游泳池检测合格， 所以，x的范围是7.1≤x≤8.3． 故选：C． 2．（2025春•信阳期中）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（　　） A．21人 B．22人 C．23人 D．24人 【分析】根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，可以列出相应的不等式组，再求解，注意x为整数． 【解答】解：设每组预定的学生数为x人，由题意得， ， 解得， ∵x是正整数， ∴x＝22， 故选：B． 3．（2025•灵武市二模）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量m的取值范围是（　　） A．m＜2 B． C．m＜2或 D． 【分析】依据图中关系式：1个小立方体的质量＜2，2个小立方体的质量＞3，据此解答即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：m＜2． 故选：D． 4．（2025春•万山区期中）某中学计划采购A，B两种型号的黑板共60块，经洽谈，一块A型黑板需要100元，一块B型黑板需要80元．根据实际需求，B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，且学校此次划拨采购黑板的总费用为5240元．学校应该采购A，B两种型号黑板各多少块？设采购A型黑板x块，则根据题意可以列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍”、“学校此次划拨采购黑板的总费用为5240元”列方程组即可． 【解答】解：∵采购A型黑板x块，计划采购A，B两种型号的黑板共60块， ∴采购B型黑板（60﹣x）块， ∵B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍， ∴60﹣x≤2x； ∵学校此次划拨采购黑板的总费用为5240元， ∴100x+80（60﹣x）≤5240； 即． 故选：D． 5．（2025春•诸城市期末）某影院的8号厅正在放映电影，甲，乙两名工作人员对于厅内观影的人数说法如下，甲：“观影人数不超过25人．”乙：“观影人数不足30人．”已知甲的说法错误，乙的说法正确，则8号厅的观影人数可能为（　　） A．25 B．29 C．30 D．31 【分析】设8号厅的观影人数为x，根据“甲的说法错误，乙的说法正确”，可列出关于x的一元一次不等式组，再对照四个选项中的数值，即可得出结论． 【解答】解：设8号厅的观影人数为x， 根据题意得：， ∴x的值可能为29． 故选：B． 6．（2025春•长安区期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 已知一颗玻璃球的体积与a（ml）的水的体积相等，根据以上过程，可知a的取值范围是（　　） A．20＜a＜30 B．30＜a＜40 C．40＜a＜50 D．50＜a＜60 【分析】由将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满可得4a+300＜500，根据再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出得（4+1）a+300＞500，解不等式可得a的范围． 【解答】解：∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴4a+300＜500， 解得a＜50， ∵再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴（4+1）a+300＞500， 解得a＞40； ∴40＜a＜50； 故选：C． 7．（2025秋•工业园区期末）甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．两队一共比赛了7场，甲队保持不败，得分超过15分，则甲队胜了（　　） A．5场 B．至多5场 C．至少5场 D．至少6场 【分析】设甲队胜了x场，则平了（7﹣x）场，利用得分＝3×胜场数+1×平场数，结合甲队得分超过15分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解答】解：设甲队胜了x场，则平了（7﹣x）场， 根据题意得：3x+（7﹣x）＞15， 解得：x＞4， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为5， ∴甲队胜了至少5场． 故选：C． 8．（2025秋•余姚市期末）一次垃圾分类知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分．小明有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小明至多答错了（　　） A．4道题 B．3道题 C．2道题 D．1道题 【分析】设小明答错x道题，则答对（20﹣1﹣x）道题，利用小明的竞赛成绩＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，结合小明的竞赛成绩超过80分，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【解答】解：设小明答错x道题，则答对（20﹣1﹣x）道题， 根据题意得：5（20﹣1﹣x）﹣2x＞80， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为2， ∴小明至多答错了2道题． 故选：C． 9．（2026•南京一模）如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为720m．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为 　120　 m． 【分析】设小明到A站之间的距离为xm，小明的速度为vm/s，则公交车到A站之间的距离为（720﹣x）m，公交车的速度为5vm/s，利用时间＝路程÷速度，结合小明不会错过这辆公交车，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：设小明到A站之间的距离为xm，小明的速度为vm/s，则公交车到A站之间的距离为（720﹣x）m，公交车的速度为5vm/s， 根据题意得：， 即5x≤720﹣x， 解得：x≤120， ∴小明到A站之间的距离最大为120m． 故答案为：120． 10．（2025•淄博）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格x（元）所在的范围是　50＜x＜60　 ． 【分析】根据题意，列出不等式组，解答即可得到结果． 【解答】解：∵小胡说：“你们三个都猜错了”， ∴， ∴50＜x＜60． 故答案为：50＜x＜60． 11．（2025春•桂东县校级月考）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求住宿生有多少人，安排住宿的房间　6　 间． 【分析】设安排住宿的房间有x间，则住宿生有（4x+20）人，根据“若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可得出结论． 【解答】解：设安排住宿的房间有x间，则住宿生有（4x+20）人， 依题意得：， 解得：5＜x＜7， 又∵x为整数， ∴x＝6， 即住宿生有44人，安排住宿的房间有6间， 故答案为：6． 12．（2025春•琅琊区校级月考）按如图所示的程序进行运算： （1）若输入x的值为4，则停止后输出的结果是　24　 ； （2）若运算进行两次才停止，则x的取值范围是　x≤7　 ． 【分析】（1）代入x＝4，可求出第一次运算结果为9，由9＜18，可得出需进行第二次运算；代入x＝9，可求出第二次运算结果，由24＞18，可得出停止后输出的结果是24； （2）根据运算进行两次才停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）第一次运算：4×3﹣3＝9， ∵9＜18， ∴需进行第二次运算； 第二次运算：9×3﹣3＝24， ∵24＞18， ∴停止后输出的结果是24． 故答案为：24； （2）根据题意得：， 解得：x≤7， ∴x的取值范围是x≤7． 故答案为：x≤7． 13．（2025春•香坊区期末）某中学组织若干名学生组成冰雪节志愿者小组，负责冰雕展区物资管理．若小组中每人分配4件工具，则剩余10件；若前面每人分配6件工具，则最后一人分到了工具但不足4件．这批工具共有　38　 件． 【分析】设该小组共有x名学生，则这批工具共有（4x+10）件，根据“若前面每人分配6件工具，则最后一人分到了工具但不足4件”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，可确定x的值，再将其代入（4x+10）中，即可求出结论． 【解答】解：设该小组共有x名学生，则这批工具共有（4x+10）件， 根据题意得：， 解得：6＜x＜8， 又∵x为正整数， ∴x＝7， ∴4x+10＝4×7+10＝38（件）， ∴这批工具共有38件． 故答案为：38． 14．（2025春•下陆区期末）把一批书分给小朋友，每人4本，则余9本；每人6本，则最后一个小朋友分到了书，但不足3本，这批书有　37　 本． 【分析】设共有x个小朋友，则这批书共有（4x+9）本，根据“每人6本，则最后一个小朋友分到了书，但不足3本”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出结论． 【解答】解：设共有x个小朋友，则这批书共有（4x+9）本， 依题意，得：， 解得：6＜x． 又∵x为正整数， ∴x＝7， ∴4x+9＝37． 故答案为：37． 15．（2025春•黄陂区月考）已知关于安排学生住宿，若每间住4人，则还有12人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为 　7或8　 ． 【分析】设宿舍的房间数量为x，则住宿的学生人数为（4x+12），根据“若每间住6人，则还有一间不空也不满”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，取其中的整数值，即可得出结论． 【解答】解：设宿舍的房间数量为x，则住宿的学生人数为（4x+12）， 根据题意得：， 解得：6＜x＜9， 又∵x为正整数， ∴x可以为7或8． 故答案为：7或8． 16．（2025秋•上城区期末）某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多　33　 件． 【分析】设生产x件B产品，则生产（50﹣x）件A产品，根据生产50件产品所用原料不超过2000千克，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【解答】解：设生产x件B产品，则生产（50﹣x）件A产品， 根据题意得：20（50﹣x）+50x≤2000， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为33， 即50件产品中B产品至多33件． 故答案为：33． 17．（2025秋•仙居县期末）用100元购买一副羽毛球拍和若干个羽毛球，已知羽毛球拍每副75元，羽毛球每个4元，则最多可购买羽毛球的数量为　6　 ． 【分析】依据题意，由总金额100元，羽毛球拍每副75元，剩余可买羽毛球的钱：100﹣75＝25（元），则设可购买x个羽毛球，故4x≤25，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵总金额100元，羽毛球拍每副75元，剩余可买羽毛球的钱：100﹣75＝25（元）， 设可购买x个羽毛球， ∴4x≤25． ∴x≤6.25． ∵羽毛球数量为正整数， ∴x取最大整数6． 故答案为：6． 18．（2025春•海陵区校级月考）为保证学生有充足睡眠时间，某校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为1600m，他跑步的速度为120m/min，走路的速度为70m/min，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到？ 【分析】设小明同学跑步xmin，则走路 min，根据小明在路上所花时间不超过20min，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：设小明同学跑步xmin，则走路 min， 根据题意得：x20， 解得：x≥4， ∴x的最小值为4． 答：小明同学至少跑步4min才能保证不迟到． 19．（2020•宜昌）红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平均速度，用时2小时到达．由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，这样需要用t小时到达．求t的取值范围． 【分析】根据路程＝速度×时间结合原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围． 【解答】解：依题意，得：， 解得：2.5≤t≤3． 答：t的取值范围为2.5≤t≤3． 20．（2025秋•南山区校级期末）学校准备在教室靠走廊一侧做一排开放式储物柜（没有门和背板），柜中每个格子内部空间满足：长度35cm，高度25cm，深度40cm． 某工厂现有一些厚度为2cm的板材，其类型、规格和价格如表． 板材类型 规格：长×宽（cm） 价格（元/块） 竖板 81×40 60 隔板 35×40 15 A型顶板 39×40 30 B型顶板 150×40 85 C型顶板 261×40 130 （1）林老师从该厂购买了1块A型顶板，2块竖板，3块隔板，用这6块板材组装了一个三层一列的储物柜（如图），请计算该储物柜的高度； （2）学校采购该厂现有的板材，不切割直接进行组装，再将其并排放在一起供师生使用．为不影响视野，储物柜高度不超过1米；为确保结构稳定，每个储物柜的顶板、竖板和隔板之间无缝隙不错位，其两侧有竖板且每列底部都有隔板． ①用一块B型顶板以及若干块竖版和隔板可以组装出一个三层几列的储物柜？购买能组装出这个储物柜所需的全部板材要多少费用？ ②已知七年1班有51名学生，每名学生都要有独立格子可用，请你设计一个最优的购买方案，并求该方案所需费用． 【分析】（1）根据竖板的高加上顶板的厚度即可； （2）①根据B型顶板的长度确定竖板和隔板的个数即可得出答案； ②先分别求出1个A，B，C型顶板组成的储物柜所需费用，再分别求出五个方案的费用，比较得出答案． 【解答】解：（1）储物柜的高度为81+2＝83（cm）； （2）①由4×35+5×2＝150（cm），可知需要竖版5块，即可组一个三层四列的储物柜； 每一列需要3块隔板，共需要3×4＝12（块）隔板， 则此储物柜需要12块隔板，1块B型顶板，5块竖板， 即85+5×60+12×15＝565（元）， 所以购买能组装出这个储物柜所需的全部板材要565元； ②1块A顶板需要30+60×2+15×3＝195（元）； 1块B型顶板需要565（元）； 1个C型顶板需要21块隔板，1块C型顶板，8块竖板，即130+8×60+21×15＝925（元）， 方案一：全部用A型顶板，195×17＝3315（元），共需要3315元； 方案二：4个B型顶板，1个A型顶板，565×4+195＝2455（元），共需要2455元； 方案三：3个C型顶板，925×3＝2775（元）； 方案四：由21×2+12＞51，则2个C型顶板，1个B型顶板，925×2+565＝2415（元）； 方案五：由21×2+3×3＝51，则2个C型顶板，3个A型顶板，925×2+195×3＝2435（元）； 因为2415元费用最低， 所以购买2个C型顶板，1个B型顶板，8×2+5＝21个竖板，3×7×2+3×4＝54个隔板，该方案所需费用为2415元． 21．（2025秋•洛阳期末）某班计划订购一些乒乓球和乒乓球拍，经调查发现：同一款式的乒乓球和乒乓球拍在甲、乙两家商店标价均相同．其中乒乓球拍每副标价60元，乒乓球每盒标价10元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：买一副球拍赠一盒乒乓球． 乙商店：乒乓球和乒乓球拍都按标价的9折出售． 该班计划订购乒乓球拍5副，乒乓球若干盒（多于5盒），单独在甲商店或者乙商店购买． （1）若订购乒乓球的数量是15盒，如果在乙商店订购，购买乒乓球和乒乓球拍的总费用是　405　 元； （2）当购买乒乓球多少盒时，在甲、乙两家商店购买乒乓球和乒乓球拍的总费用相同？ （3）根据乒乓球的购买盒数，设计一种省钱的订购方案． 【分析】（1）根据乙商店“全部9折”的优惠，先计算原价总和，再乘以0.9即可求出总费用； （2）设购买乒乓球的盒数为x（x＞5），分别列出甲、乙两家商店的总费用表达式，令两者相等列一元一次方程求解； （3）通过比较两家商店的费用大小，分三种情况讨论，得出不同购买数量下的省钱方案． 【解答】解：（1）先计算原价总额：5×60+15×10＝300+150＝450（元）， ∴450×0.9＝405（元），即总费用为405元， 故答案为：405； （2）设购买乒乓球x盒（x＞5）， 根据题意，在甲商店购买的总费用为：5×60+10（x﹣5）＝300+10x﹣50＝250+10x； ∴在乙商店购买的总费用为：（5×60+10x）×0.9＝（300+10x）×0.9＝270+9x； 两家总费用相同，则根据题意列一元一次方程得，250+10x＝270+9x， 解得x＝20； 答：当购买乒乓球20盒时，在甲、乙两家商店购买的总费用相同． （3）①当甲商店费用小于乙商店费用时，即根据题意列一元一次不等式得，250+10x＜270+9x， 解得x＜20， 又∵x＞5， ∴当5＜x＜20时，在甲商店购买省钱； ②当甲商店费用等于乙商店费用时，即得一元一次方程，250+10x＝270+9x， 解得x＝20， ∴当x＝20时，两家商店费用相同； ③当甲商店费用大于乙商店费用时，即得一元一次不等式，250+10x＞270+9x， 解得x＞20， ∴当x＞20时，在乙商店购买省钱； 综上所述，当购买乒乓球盒数多于5盒且少于20盒时，选择甲商店省钱；当购买20盒乒乓球时，选择甲、乙商店均可；当购买乒乓球盒数多于20盒时，选择乙商店省钱． 22．（2025秋•息县期末）为响应“绿色校园”号召，七年级（5）班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆原价18元，多肉每盆10元．花店提供两种采购方案： 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． 问题： （1）若购买绿萝35盆、多肉15盆，两种方案的费用分别是多少？ （2）设购买绿萝x盆（x为整数，且10≤x≤50），用含x的整式分别表示两种方案的总费用； （3）求当购买绿萝多少盆时，两种方案费用相同？并直接写出当购买绿萝的数量超过这个数时，哪种方案更省钱？ 【分析】（1）根据两种采购方案的方式解答即可； （2）根据两种采购方案的方式解答即可； （3）根据两种方案费用相同，列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）方案一：费用为35×18+15×10×0.8＝750（元）， 方案二：费用为35×（18﹣3）+15×10＝525+150＝675（元）； （2）方案一：费用为18x+（50﹣x）×10×0.8＝10x+400， 方案二：费用为（18﹣3）x+10（50﹣x）＝500+5x； （3）根据题意列一元一次方程得：10x+400＝500+5x， 整理得，5x＝100， 解得x＝20． 当x＞20时，10x+400﹣（500+5x）＝5x﹣100＞0， 所以当购买绿萝20盆时，两种方案费用相同．当购买绿萝的数量超过20盆时，方案二更省钱． 23．（2025秋•明水县期末）双蓉服装店老板到厂家购A、B两种型号的服装，若购A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元． （1）求A、B两种型号的服装每件分别为多少元？ （2）若销售一件A型服装可获利18元，销售一件B型服装可获利30元，根据市场需要，服装店老板决定：购进A型服装的数量要比购进B型服装的数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？ 【分析】（1）根据题意可知，本题中的相等关系是“A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元和A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元”，列方程组求解即可； （2）利用两个不等关系列不等式组，结合实际意义求解． 【解答】解：（1）设A种型号服装每件为x元，B种型号服装每件y元， 依题意得， 解得， 答：A，B两种型号服装每件分别为90元，100元； （2）设购进B型服装的数量为m件，则购进A型服装数量为（2m+4）件， 依题意得， 解得9.5≤m≤12， ∵m为正整数∴m＝10，11，12． ∴有三种方案；方案（一）购进A型服装24件，B型服装10件． 方案（二）购进A型服装26件，B型服装11件． 方案（三）购进A型服装28件，B型服装12件， 24．（2026春•南宁校级月考）为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦•时的部分，电费价格0.6元/千瓦•时；超过120千瓦•时，但不超过300千瓦•时的部分，电费价格0.8元/千瓦•时；超过300千瓦•时的部分，电费价格1元/千瓦•时． （1）若小明家10月份用电350千瓦•时，求小明家10月份应缴纳的电费． （2）11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦•时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）先求出用电300千瓦•时的平均电费，结合小明家的平均电费确定用电范围，设小明家11月份的用电量为x千瓦•时，根据题意列出方程，求出x的值即可解答． 【解答】解：（1）120×0.6+（300﹣120）×0.8+（350﹣300）×1＝72+144+50＝266（元）， 答：小明家10月份应缴纳的电费为266元； （2）当用电300千瓦•时，应缴纳电费为120×0.6+（300﹣120）×0.8＝72+144＝216（元）， 此时平均电费为216÷300＝0.72（元）， ∵小明家当月平均电费为0.68元/千瓦•时，且0.6＜0.68＜0.72， ∴小明家11月份用电范围属于超过120千瓦•时但不超过300千瓦•时的阶梯； 设小明家11月份的用电量为x千瓦•时， 根据题意列一元一次方程得，120×0.6+（x﹣120）×0.8＝0.68x， 整理得，1.48x＝296， 解得x＝200， 答：小明家11月份的用电量为200千瓦•时． 25．（2025秋•南昌县月考）某书店为促销经典名著，按购买数量分三部分制定阶梯售价，如下表： 购买数量 单价 不超过200本的部分 12元/本 超过200本但不超过500本的部分 9元/本 超过500本的部分 6元/本 （1）若购买350本这种经典名著，需花费　3750　 元；若购买650本这种经典名著，需花费　6000　 元； （2）某学校为丰富图书馆藏书，花了2517元从该书店购买这种经典名著，则该校购买了多少本经典名著？ （3）该校教务处先为初一学生购买一批经典名著作为课外读物，后来又为初二学生追加购买了一批，两次共购买了900本，其中第一次购买的数量超过450本，且小于700本，两次共花费9150元，求第一次购买的数量． 【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合阶梯售价表，即可求出结论； （2）设该校购买了x本经典名著，根据学校购买这种经典名著共花了2517元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设第一次购买了y本经典名著，则第二次购买了（900﹣y）本经典名著，分450＜y≤500及500＜y＜700两种情况考虑，根据两次共花费9150元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵12×200+9×（350﹣200） ＝12×200+9×150 ＝2400+1350 ＝3750（元）， ∴购买350本这种经典名著，需花费3750元； ∵12×200+9×（500﹣200）+6×（650﹣500） ＝12×200+9×300+6×150 ＝2400+2700+900 ＝6000（元）， ∴购买650本这种经典名著，需花费6000元． 故答案为：3750，6000； （2）设该校购买了x本经典名著， ∵12×200＝2400（元），12×200+9×（500﹣200）＝5100（元），2400＜2517＜5100， ∴200＜x＜500． 根据题意得：12×200+9（x﹣200）＝2517， 解得：x＝213． 答：该校购买了213本经典名著； （3）设第一次购买了y本经典名著，则第二次购买了（900﹣y）本经典名著， 当450＜y≤500时，12×200+9（y﹣200）+12×200+9（900﹣y﹣200）＝9300≠9150，不符合题意，舍去； 当500＜y＜700时，12×200+9×（500﹣200）+6（y﹣500）+12×200+9（900﹣y﹣200）＝9150， 解得：y＝550． 答：第一次购买的数量为550本． 26．（2024春•南昌月考）已知x＞0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝6…… （1）填空：[]＝　1　 ，[8.05]＝　9　 ；若[x]＝5，则x的取值范围是 　4＜x≤5　 ； （2）某市的出租车收费标准如下：3km以内（包括3km）收费5元；超过3km的，每超过1km，加收1.2元（不足1km按1km计算）．用x表示所行的路程（单位：km），y表示行x（km）应付的乘车费（单位：元），则乘车费可按如下的公式计算： 当0＜x≤3时，y＝5； 当x＞3是，y＝5+1.2（[x]﹣3）． 某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客所乘路程的取值范围． 【分析】（1）大于的最小整数是1； （2）大于或等于x的最小整数是5，则x在4与5之间，包含5． 【解答】解：（1）[]＝1，[8.05]＝9； 若[x]＝5，则x的取值范围是4＜x≤5． 故答案为：1，9，4＜x≤5； （2）18.2＞5， 则乘客乘车路程超过3km， 根据题意得：5+1.2（[x]﹣3）＝18.2， ∴[x]﹣3＝11， 解得：[x]＝14， ∴13＜x≤14， 乘客所乘路程的取值范围13km＜x≤14km． 27．（2025秋•鄞州区期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．若购买A型充电桩10个，B型充电桩5个，共需付款9万元． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ （2）该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过13万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，共有几种购买方案？ 【分析】（1）根据题意列出方程组并求解即可； （2）根据题意列出不等式并求解即可． 【解答】解：（1）设A型充电桩单价为x万元，B型充电桩单价为y万元， 由题意列二元一次方程组得， ， 解得， 即A型充电桩单价为0.5万元，B型充电桩单价为0.8万元， 答：A型充电桩单价为0.5万元，B型充电桩单价为0.8万元； （2）设A型充电桩购入a个， 则根据题意列一元一次不等式得，， 解得10≤a≤12， 又∵a为整数， ∴a＝10或11或12． 答：共有3种购买方案． 28．（2025秋•福绵区 期末）据相关报道，2026广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建A，B两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品． （1）若搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭建费用1600元．求A类展位和B两类展位的搭建费用单价各是多少？ （2）组委会计划搭建A，B两类展位共80个，其中A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个A类展位？ 【分析】（1）设A类展位的搭建费用单价是x元，B类展位的搭建费用单价是y元，根据“搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭建费用1600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设组委会要搭建m个A类展位，则搭建（80﹣m）个B类展位，根据“A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍，且总搭建预算资金不超过30000元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设A类展位的搭建费用单价是x元，B类展位的搭建费用单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A类展位的搭建费用单价是300元，B类展位的搭建费用单价是400元； （2）设组委会要搭建m个A类展位，则搭建（80﹣m）个B类展位， 根据题意得：， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为54． 答：组委会至少要搭建54个A类展位． 29．（2025秋•荆门期末）【问题情境】 某餐厅打算在A平台和B平台根据点餐金额采用不同的优惠方案 在A平台实施方案如下表 在B平台实施方案如下表 A平台一次性点餐金额 优惠措施 B平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过60元 无优惠 不超过60元的部分 无优惠 超过60元，但不超过160元 减10元 超过60元，但不超过160元的部分 打8折 超过160元 减30元 超过160元的部分 打6折 【问题解决】 任务1：若小华点餐金额为80元，请你帮他选择在哪个平台点餐更优惠？并说明理由； 任务2：若小华点了超过60元，但不超过160元的午餐，发现在两个平台上优惠后的价格相同，那么小华点的午餐没优惠时价格是多少？ 任务3：若小华在B平台先后点餐两次，两次点餐金额共320元，先后实际付款金额共266元，其中第一次点餐金额比第二次点餐金额低，求小华点的餐没优惠时价格分别是多少元？ 【分析】问题1：根据两个平台的实施方案分别计算出点餐金额，即可得到答案； 问题2：设小华点的午餐没优惠时价格是x元，根据“两个平台上优惠后的价格相同”列方程求解即可； 问题3：设小华在B平台点的餐没优惠时价格是a元，根据题意分两种情况讨论：①当第一次点的餐不超过60元，第二次点的餐超过160元时；②当第一次点的餐超过60元，但不超过160元，第二次点的餐超过160元时，分别列方程求解即可． 【解答】解：任务1：选择在A平台点餐更优惠，理由如下： 选择A平台，点餐金额为80﹣10＝70（元）， 选择B平台，点餐金额为60+（80﹣60）×0.8＝60+16＝76（元）， ∴选择在A平台点餐更优惠； 任务2：设小华点的午餐没优惠时价格是x元， 由题意列一元一次方程得：x﹣10＝60+（x﹣60）×0.8， 整理得，0.2x＝22， 解得x＝110， 答：小华点的午餐没优惠时价格是110元； 任务3：设小华在B平台第一次点的餐没优惠时价格是a元，则第二次点的餐没优惠时价格是（320﹣a）元， ∵第一次点餐金额比第二次点餐金额低， ∴分两种情况讨论： ①当第一次点的餐不超过60元，第二次点的餐超过160元时， a+[60+（160﹣60）×0.8+（320﹣a﹣160）×0.6]＝266， 整理得，0.4a＝300， 解得a＝75（不符合题意，舍去）； ②当第一次点的餐超过60元，但不超过160元，第二次点的餐超过160元时， 根据题意列一元一次方程得，60+（a﹣60）×0.8+[60+（160﹣60）×0.8+（320﹣a﹣160）×0.6]＝266， 解得a＝90， 则320﹣90＝230（元）， 答：小华点的餐没优惠时价格分别是90元和230元． 31．（2025秋•东方期末）海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆A型冷链车、4辆B型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆A型冷链车、3辆B型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约19～21万元，每辆B型冷链车进价约11～13万元． （1）求A、B两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； （2）该企业计划再次采购A、B两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中A型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案． 【分析】（1）设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元，根据两次采购的车辆数和花费列出二元一次方程组，即可解答； （2）设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车（10﹣a）辆，根据采购总费用不超过180万元，其中A型冷链车至少采购3辆，列出不等式组，结合a为整数，即可解答． 【解答】解：（1）设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元， 依题意列二元一次方程组得，， 解得， ∵19＜20＜21，11＜12＜13， ∴采购经理的估计正确， 答：A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确． （2）设采购A型冷链车a辆， 根据题意列一元一次不等式组得，， 解得3≤a≤7.5， ∵a为整数， ∴a＝3，4，5，6，7， 答：该企业有5种可行的采购方案． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点05 用一元一次不等式解决问题 考点一：由实际问题抽象出一元一次不等式 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案， 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵， 3.列一元一次不等式解决实际问题首先弄清题中数量关系，用字母表示未知数，再根据题中的不等关系列出不等式. .考点二：一元一次不等式的应用 列一元一次不等式解决实际问题与列方程解决实际问题类似，所不同的是一个是列方程，另一个是列不等式列不等式解决实际问题的一般步骤如下： （1）审：认真审题，分清己知量、未知量及它们的关系，找出题目中的不等关系； （2）设：设出适当的未知数； （3）列：根据题目中的不等关系列出不等式：无去 （4）解：解出所列不等式的解集； （5）答：检验求得的解或解集是否符合实际意义，并写出答案. 考点三：由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系，往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方，所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目. .考点四：一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解。 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答. 题型一：行程问题 （1）理清类型：分清相遇问题（路程和=总路程）或追及问题（路程差=初始距离）； （2）设速列式：常设速度未知数，根据时间、路程的两个等量关系列一元一次不等式（组）求解； （3）画线段图：画出运动过程示意图，标注已知路程、时间，直观呈现等量关系； （4）统一单位：速度、时间、路程单位务必统一（如km与h，m与min)，避免计算错误． （1）只看符号不看数字，一错全错； （2）系数、字母都要完全相同，才能算“相同项”． 【典例精讲】（2025春•龙马潭区校级期末）小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A．210x+90（12﹣x）≥1.7 B．210x+90（12﹣x）≤1.7 C．210x+90（12﹣x）≥1700 D．210x+90（12﹣x）≤1700 【变式训练1】（2025春•和县期末）小明同学早上8：20前要到达班级，出家门时是8：00．已知他家离学校距离为1500m，他跑步的速度为120m/min，走路的速度为60m/min，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为xmin，根据题意可列不等式正确的为（　　） A．120x+60（20﹣x）＜1500 B．120（x﹣20）+60x＞1500 C． D． 【变式训练2】（2025•绿园区校级三模）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400m以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是0.8cm/s，人跑步的速度是5m/s，问：导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？ 【变式训练3】（2024•成武县校级开学）一列火车有31节车厢（含车头），车头长度为15米，每节车厢长28米，每两节车厢间距为1.5米，这列火车每小时可行驶90千米，一辆汽车的最快速度比火车快，如果这辆汽车行驶到火车尾部想快速超过这列火车，最少需要多长时间？ 题型二：方案问题 （1）审题设元，找出关键量，设为未知数； （2）找不等关系，抓住关键词：不超过、至少、至多、不少于、不大于、小于、剩余、不够、恰好、最多等； （3）列不等式（组），根据不等关系列出式子； （4）解不等式（组）； （5）确定整数解，实际问题中：人数、件数、车辆数、房间数必须是正整数； （6）根据整数解写方案，每个整数解对应一种方案，逐一列出； （7）最优方案选择． （1）总量关系搞反； （2）求方案时漏解/多解，只取一个值，没把所有符合条件的整数都列出来； （3）最后没比较最优方案，题目问“最省钱/最合理”，只列方案不比较； （4）计算每种方案的总费用时，代入错误，或者加减乘除算错. 【典例精讲】（2025秋•上城区校级期中）学校购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式训练1】（2025秋•龙岗区校级期末）为推进“美育浸润行动”，学校决定采购两类美育教室设备套装（A类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；B类含画架画板、颜料画笔、美术教具等），据了解购买1套A类设备、3套B类设备共需55万元；购买4套A类设备、2套B类设备共需120万元． （1）求A、B两种类型的设备每套的价格分别为多少万元； （2）若学校计划恰好用200万元购进以上两种类型的设备（两种类型的设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 【变式训练2】（2025秋•金华期末）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． （1）沙包和篮球的单价各是多少元？ （2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 【变式训练3】（2025秋•鄞州区期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．若购买A型充电桩10个，B型充电桩5个，共需付款9万元． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ （2）该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过13万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，共有几种购买方案？ 题型三：工程问题 （1）设效列式：设工作效率为未知数，根据“工作量=工作效率X工作时间”及合作、先后完成方式列不等式（组）。 （2）总量归一：常将工作总量设为1，分别用未知数表示各自效率，根据工作过程建立两个不等关系。 （1）把效率和时间搞反，把“单独做”和“合作”效率算错； （2）合作效率算错，合作时直接把时间相加，不是效率相加； （3）方程列反/列错，漏写某一段工作，把“先做、再合作”的时间乘错效率； （4）求出效率后，忘记求时间． 【典例精讲】（2025•韶关模拟）一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．以后6天内平均每天至少要挖土多少m3？ 【变式训练1】（2025春•黔西南州期末）在贵州某县乡村振兴项目中，为发展旅游业，需对一条苗族风情古寨旁的河道进行生态整治．现有一段长480米的河道整治任务由甲、乙两支施工队接力完成．甲工程队每天整治12米，乙工程队每天整治30米，共用时25天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ （1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得； ②小华同学：设整治任务完成后，m表示　 　 ，n表示　　 ； 则可列方程组为． 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． （2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． （3）为了合理控制项目成本，工程指挥部在确保施工质量的前提下，希望优化预算基于上述施工方案，甲工程队每天的施工费用为500元，工程指挥部要求总施工费用不超过22000元，那么乙工程队每天的施工费用最多是多少元？ 【变式训练2】（2025春•都昌县期中）为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同） （1）求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设； （2）该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？ 题型四：积分问题 （1）设未知数。 （2）找两个关键关系 总场次关系：胜场+平场+负场=总比赛场数 总积分关系：胜场积分+平场积分+负场积分=总积分。 （3）转化为不等式。 （4）求整数解：场次必须是非负整数，据此确定取值范围。 （1）场次不能为负数、不能是小数，必须取整数； （2）未区分“已赛场次”与“总场次”，把已赛、未赛、总场次混用，直接导致方程/不等式列错； （3）积分规则理解错误． 【典例精讲】（2025秋•瑞安市期中）浙BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，如表是10月11日，温州队所在的A组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 （1）求温州队的积分． （2）温州队所在的A组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得A组第一至少还要胜几场？ 【变式训练1】（2025春•洛江区期末）某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分达到或超过15分才能获得决赛资格．一支球队现已比赛了5场，得8分． （1）前5场比赛中，这支球队共胜了多少场？ （2）这支球队打满10场比赛，最高能得多少分？ （3）如果这支球队要获得参加决赛资格，那么在初赛阶段至少还要胜多少场？ 【变式训练2】（2025春•德化县期末）项目式学习 体育比赛计分 素材一 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，比如计分规则、比赛场次、最佳策略等．不同的比赛项目有着不同的计分规则，只有了解这些规则，才能让我们更佳清楚地看懂比赛．你是否思考过这些问题：篮球循环赛中，你们年段球队如何获得最终胜利？ 素材二 五一节期间，某校举办“瓷韵杯”七年级学生篮球赛，戴云队、九仙队、石牛队三支篮球队举行单循环赛，赛前约定的比赛排名规则： 1．获胜场数多的球队排名靠前； 2．如果两队获胜场数相同时，依下列顺序排列名次： ①净胜分大的球队排名靠前； ②净胜分相同时，两队比赛获胜者排名靠前． 素材三 三支球队的比赛成绩如表： 戴云队 九仙队 石牛队 净胜分 戴云队 53：47 45：55 ﹣4 九仙队 47：53 58：n 石牛队 55：45 n：58 注：①戴云队与九仙队的比赛得分是53：47，则九仙队与戴云队的比赛得分是47：53． ②净胜分＝本队两场比赛的总得分﹣对方比赛的总得分，如戴云队的净胜分＝（53+45）﹣（47+55）＝﹣4． 问题解决 任务一 分别计算九仙队和石牛队的净胜分（用含n的代数式表示）； 任务二 当n＝56时，通过计算说明九仙队获得第几名？ 任务三 根据排名规则和比赛成绩分析哪支球队能得第一名．（n≠58） 题型五：销售、利润问题 （1）设价列式：设进价、售价或数量为未知数，根据销售额、利润、利润率等公式建立不等式（组）。 （2）双量关系：常见两个等量关系，如“总进价=进价×数量”与“总利润=（售价-进价）×数量”组合。 （3）理清公式：熟记利润=售价-进价、利润率=利润/进价×100%等基本关系。 （4）单位统一：涉及折扣时，先将折扣价表示为原价的十分之几（如六折=0.6倍）。 （1）核心公式记混，错把利润当成售价、标价当成售价 利润 = 售价 - 进价 售价 = 标价 × 折扣 总利润 = 单件利润 × 数量； （2）折扣理解错； （3）单位不统一； （4）两种商品混算； （5）求总利润漏乘数量． 【典例精讲】（2025春•莒县期末）某研学基地在超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；从第三次购买开始享老顾客价，保温杯、台灯均以相同折扣的价格购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示： 购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 5 4 800 第二次购买 3 7 940 第三次购买 9 8 912 （1）求保温杯、台灯的标价； （2）某日，甲、乙两校师生到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？ 【变式训练1】（2026•呼兰区开学）随着2025年12月17日第二十七届冰雪大世界的开园，哈市中央大街某商店购进了甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品3件，共需130元；若购进甲种纪念品4件、乙种纪念品5件，共需230元； （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价各是每多少元？ （2）如果该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【变式训练2】（2025秋•吴兴区期末）某品牌羽毛球拍售价120元/副，羽毛球售价5元/只．王教练计划购买一批羽毛球拍和羽毛球，实体店和网店有不同的促销活动，具体信息如下： 店铺 球拍优惠信息 赠品 配送方式 实体店 球拍打9折 每购买一副球拍赠送一只羽毛球 免费送货上门 网店 若购买球拍不超过10副，不打折； 若购买球拍超过10副，则超过部分打8折． 每购买一副球拍赠送两只羽毛球 包邮送货上门 （1）若王教练想要购买20副球拍和40只羽毛球，请你帮王教练分别计算实体店、网店两家店铺优惠后的实际付款金额，判断在哪家店购买更优惠； （2）若王教练计划购买n副球拍和2n只羽毛球，请用含n的代数式分别表示在实体店、网店购买时，优惠后的实际付款金额； （3）若王教练有5000元预算，希望尽可能多地购买羽毛球拍，请问最多可购买多少副球拍？购买球拍后剩余的钱还可以购买多少只羽毛球？ 题型六：分配问题 （1）设元列表：设分配对象数量为未知数，根据“总量相等”或“倍数关系”建立方程组。 （2）两种分配：常见“若…则…；若…则…”两种分配方案，每种方案对应一个不等关系。 （3）抓不变量：分配过程中物品总数、总人数等往往不变，是列方程的关键。 （4）统一对象：明确以“人”或“物”为设元对象，避免设元混乱导致方程错误。 （1）定不变量：先明确问题中什么是“总量”（总人数、总物品数），并围绕它建立关系。 （2）示意图：对于住宿、分组问题，简单画图（方框代表房间，点代表人）有助于理清“空房”、“不足”的含义。 （3）辨等与不等：清晰判断题目描述的是确定等量关系，还是存在多种可能的不等关系。后者通常需列不等式。 （4）解必检验：将解代入原题情景，验证是否符合所有描述，尤其要满足“正整数”要求。 【典例精讲】（2025春•阳新县期末）用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有x辆货车，3位同学分别列出了关于x的不等式组，则正确的是（　　） ①0＜8x﹣（4x+20）＜8；②8（x﹣1）＜4x+20＜8x；③0＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式训练1】（2025春•百色期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为x人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025•港南区一模）在芦山地震抢险时，某镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不足90人．设预定每组分配的人数是x，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 题型七：分段计费问题 （1）先判断：有没有“超过标准” 题目一般会给两种情况： 用量少：没超标，只按一种价格算 用量多：超标了，分两段算。 （2）设未知数，标准内每单位费用：x，超过部分每单位费用：y。 （3）列两个不等式。 （4）解不等式组。 （1）分不清哪段用哪个价，没超：全程一个价，超了：前一段标准价 + 后一段高价； （2）超出量算错； （3）方程列反，不是“总费用×分段”，而是分段相加 = 总费用． 【典例精讲】（2025春•西岗区期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过6km2元/人次；超过6km到12km（含）3元/人次；超过12km到18km（含）4元/人次；超过18km到26km（含）5元/人次；超过26km到34km（含）6元/人次；超过34km到44km（含）7元/人次；超过44km到54km（含）8元/人次；超过54km部分，票价每增加1元可再乘坐15km． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为xkm，用不等式表示x的范围为 　 ． 【变式训练1】（2025秋•天台县期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二：▲ 2.5 ▲ 阶段二：▲ 1 ▲ 本期实付金额（大写） ▲ （注：居民生活用水水费＝自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． （1）设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； （2）该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； （3）若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【变式训练2】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 （1）某户5月份交水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？ （2）要使月所缴水费控制在20元至30元之间，则该户的月用水量应该控制在什么范围内？ 题型八：利润最值问题 （1）设未知数； （2）列表达式； （3）列不等式； （4）解不等式组； （5）求最值． （1）单件利润算错； （2）解不等式时变号、移项出错，导致区间判断错误； （3）题目问件数、钱数时，x 通常取整数，要就近验证． 【典例精讲】（2025春•信州区期末）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，4个A种头盔和3个B种头盔共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元． （2）该商店计划用不超过1000元的资金购进A，B两种头盔共20个，且B种头盔数量不超过A种头盔数量的2倍．若销售一个A种头盔的利润是35元，销售一个B种头盔的利润是15元，假如这些头盔能全部售出，请你帮商店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【变式训练1】（2025秋•西安校级期末）某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动”，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．每套简约版的成本比每套创意版的成本低8元，7套简约版的成本与5套创意版的成本共148元． （1）求出每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价； （2）现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为15元和25元．若两种钥匙扣一共售出120套，简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元？ 【变式训练2】（2025秋•雁塔区校级期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求该超市有哪几种购买方案？超市获得的最大利润为多少元？ 1．（2025秋•南湖区校级期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的PH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次PH检测值为7.5，第二次PH检测值在7.0至7.6之间（包含7.0和7.6），若该游泳池检测合格，则第三次PH检测值x的范围是（　　） A．7.2≤x≤7.8 B．7.0≤x≤8.2 C．7.1≤x≤8.3 D．7.3≤x≤8.4 故选：C． 2．（2025春•信阳期中）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（　　） A．21人 B．22人 C．23人 D．24人 3．（2025•灵武市二模）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量m的取值范围是（　　） A．m＜2 B． C．m＜2或 D． 4．（2025春•万山区期中）某中学计划采购A，B两种型号的黑板共60块，经洽谈，一块A型黑板需要100元，一块B型黑板需要80元．根据实际需求，B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，且学校此次划拨采购黑板的总费用为5240元．学校应该采购A，B两种型号黑板各多少块？设采购A型黑板x块，则根据题意可以列不等式组为（　　） A． B． C． D． 5．（2025春•诸城市期末）某影院的8号厅正在放映电影，甲，乙两名工作人员对于厅内观影的人数说法如下，甲：“观影人数不超过25人．”乙：“观影人数不足30人．”已知甲的说法错误，乙的说法正确，则8号厅的观影人数可能为（　　） A．25 B．29 C．30 D．31 6．（2025春•长安区期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 已知一颗玻璃球的体积与a（ml）的水的体积相等，根据以上过程，可知a的取值范围是（　　） A．20＜a＜30 B．30＜a＜40 C．40＜a＜50 D．50＜a＜60 7．（2025秋•工业园区期末）甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．两队一共比赛了7场，甲队保持不败，得分超过15分，则甲队胜了（　　） A．5场 B．至多5场 C．至少5场 D．至少6场 8．（2025秋•余姚市期末）一次垃圾分类知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分．小明有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小明至多答错了（　　） A．4道题 B．3道题 C．2道题 D．1道题 9．（2026•南京一模）如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为720m．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为 　　 m． 10．（2025•淄博）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格x（元）所在的范围是　 　 ． 11．（2025春•桂东县校级月考）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求住宿生有多少人，安排住宿的房间　　 间． 12．（2025春•琅琊区校级月考）按如图所示的程序进行运算： （1）若输入x的值为4，则停止后输出的结果是　 　 ； （2）若运算进行两次才停止，则x的取值范围是　 　 ． 13．（2025春•香坊区期末）某中学组织若干名学生组成冰雪节志愿者小组，负责冰雕展区物资管理．若小组中每人分配4件工具，则剩余10件；若前面每人分配6件工具，则最后一人分到了工具但不足4件．这批工具共有　 　 件． 14．（2025春•下陆区期末）把一批书分给小朋友，每人4本，则余9本；每人6本，则最后一个小朋友分到了书，但不足3本，这批书有　 　 本． 15．（2025春•黄陂区月考）已知关于安排学生住宿，若每间住4人，则还有12人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为 　 　． 16．（2025秋•上城区期末）某工厂现有原料2000千克，用于生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需该原料20千克，生产一件B产品需该原料50千克，则50件产品中B产品至多　 　件． 17．（2025秋•仙居县期末）用100元购买一副羽毛球拍和若干个羽毛球，已知羽毛球拍每副75元，羽毛球每个4元，则最多可购买羽毛球的数量为　 　 ． 18．（2025春•海陵区校级月考）为保证学生有充足睡眠时间，某校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为1600m，他跑步的速度为120m/min，走路的速度为70m/min，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到？ 19．（2020•宜昌）红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平均速度，用时2小时到达．由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，这样需要用t小时到达．求t的取值范围． 20．（2025秋•南山区校级期末）学校准备在教室靠走廊一侧做一排开放式储物柜（没有门和背板），柜中每个格子内部空间满足：长度35cm，高度25cm，深度40cm． 某工厂现有一些厚度为2cm的板材，其类型、规格和价格如表． 板材类型 规格：长×宽（cm） 价格（元/块） 竖板 81×40 60 隔板 35×40 15 A型顶板 39×40 30 B型顶板 150×40 85 C型顶板 261×40 130 （1）林老师从该厂购买了1块A型顶板，2块竖板，3块隔板，用这6块板材组装了一个三层一列的储物柜（如图），请计算该储物柜的高度； （2）学校采购该厂现有的板材，不切割直接进行组装，再将其并排放在一起供师生使用．为不影响视野，储物柜高度不超过1米；为确保结构稳定，每个储物柜的顶板、竖板和隔板之间无缝隙不错位，其两侧有竖板且每列底部都有隔板． ①用一块B型顶板以及若干块竖版和隔板可以组装出一个三层几列的储物柜？购买能组装出这个储物柜所需的全部板材要多少费用？ ②已知七年1班有51名学生，每名学生都要有独立格子可用，请你设计一个最优的购买方案，并求该方案所需费用． 21．（2025秋•洛阳期末）某班计划订购一些乒乓球和乒乓球拍，经调查发现：同一款式的乒乓球和乒乓球拍在甲、乙两家商店标价均相同．其中乒乓球拍每副标价60元，乒乓球每盒标价10元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：买一副球拍赠一盒乒乓球． 乙商店：乒乓球和乒乓球拍都按标价的9折出售． 该班计划订购乒乓球拍5副，乒乓球若干盒（多于5盒），单独在甲商店或者乙商店购买． （1）若订购乒乓球的数量是15盒，如果在乙商店订购，购买乒乓球和乒乓球拍的总费用是　405　 元； （2）当购买乒乓球多少盒时，在甲、乙两家商店购买乒乓球和乒乓球拍的总费用相同？ （3）根据乒乓球的购买盒数，设计一种省钱的订购方案． 22．（2025秋•息县期末）为响应“绿色校园”号召，七年级（5）班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆原价18元，多肉每盆10元．花店提供两种采购方案： 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． 问题： （1）若购买绿萝35盆、多肉15盆，两种方案的费用分别是多少？ （2）设购买绿萝x盆（x为整数，且10≤x≤50），用含x的整式分别表示两种方案的总费用； （3）求当购买绿萝多少盆时，两种方案费用相同？并直接写出当购买绿萝的数量超过这个数时，哪种方案更省钱？ 23．（2025秋•明水县期末）双蓉服装店老板到厂家购A、B两种型号的服装，若购A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元． （1）求A、B两种型号的服装每件分别为多少元？ （2）若销售一件A型服装可获利18元，销售一件B型服装可获利30元，根据市场需要，服装店老板决定：购进A型服装的数量要比购进B型服装的数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？ 24．（2026春•南宁校级月考）为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦•时的部分，电费价格0.6元/千瓦•时；超过120千瓦•时，但不超过300千瓦•时的部分，电费价格0.8元/千瓦•时；超过300千瓦•时的部分，电费价格1元/千瓦•时． （1）若小明家10月份用电350千瓦•时，求小明家10月份应缴纳的电费． （2）11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦•时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 25．（2025秋•南昌县月考）某书店为促销经典名著，按购买数量分三部分制定阶梯售价，如下表： 购买数量 单价 不超过200本的部分 12元/本 超过200本但不超过500本的部分 9元/本 超过500本的部分 6元/本 （1）若购买350本这种经典名著，需花费　3750　 元；若购买650本这种经典名著，需花费　6000　 元； （2）某学校为丰富图书馆藏书，花了2517元从该书店购买这种经典名著，则该校购买了多少本经典名著？ （3）该校教务处先为初一学生购买一批经典名著作为课外读物，后来又为初二学生追加购买了一批，两次共购买了900本，其中第一次购买的数量超过450本，且小于700本，两次共花费9150元，求第一次购买的数量． 26．（2024春•南昌月考）已知x＞0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝6…… （1）填空：[]＝　1　 ，[8.05]＝　9　 ；若[x]＝5，则x的取值范围是 　4＜x≤5　 ； （2）某市的出租车收费标准如下：3km以内（包括3km）收费5元；超过3km的，每超过1km，加收1.2元（不足1km按1km计算）．用x表示所行的路程（单位：km），y表示行x（km）应付的乘车费（单位：元），则乘车费可按如下的公式计算： 当0＜x≤3时，y＝5； 当x＞3是，y＝5+1.2（[x]﹣3）． 某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客所乘路程的取值范围． 27．（2025秋•鄞州区期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．若购买A型充电桩10个，B型充电桩5个，共需付款9万元． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ （2）该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过13万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，共有几种购买方案？ 28．（2025秋•福绵区 期末）据相关报道，2026广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建A，B两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品． （1）若搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭建费用1600元．求A类展位和B两类展位的搭建费用单价各是多少？ （2）组委会计划搭建A，B两类展位共80个，其中A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个A类展位？ 29．（2025秋•荆门期末）【问题情境】 某餐厅打算在A平台和B平台根据点餐金额采用不同的优惠方案 在A平台实施方案如下表 在B平台实施方案如下表 A平台一次性点餐金额 优惠措施 B平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过60元 无优惠 不超过60元的部分 无优惠 超过60元，但不超过160元 减10元 超过60元，但不超过160元的部分 打8折 超过160元 减30元 超过160元的部分 打6折 【问题解决】 任务1：若小华点餐金额为80元，请你帮他选择在哪个平台点餐更优惠？并说明理由； 任务2：若小华点了超过60元，但不超过160元的午餐，发现在两个平台上优惠后的价格相同，那么小华点的午餐没优惠时价格是多少？ 任务3：若小华在B平台先后点餐两次，两次点餐金额共320元，先后实际付款金额共266元，其中第一次点餐金额比第二次点餐金额低，求小华点的餐没优惠时价格分别是多少元？ 31．（2025秋•东方期末）海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆A型冷链车、4辆B型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆A型冷链车、3辆B型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约19～21万元，每辆B型冷链车进价约11～13万元． （1）求A、B两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； （2）该企业计划再次采购A、B两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中A型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $