专题07 倍长中线模型（几何模型讲义）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题07 倍长中线模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型—倍长中线模型，进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 8 ‌ 倍长中线模型（又称中线加倍法）是几何解题方法长期演化的结果，欧几里得《几何原本》提出 SAS（边角边） 全等判定、中点、对顶角相等等公理。 利用中心对称（点对称）转化图形——这是倍长中线的几何本质，《几何原本》未直接写“倍长中线”，但提供了全部逻辑基础。 该模型常用于初中几何题中，把原三角形的边、角转移到新三角形，方便用三边关系、平行、全等解题。 1、（2025•南山区校级三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，BE＝3，DE⊥DF，，则EF＝　 　 ． 【分析】延长FD至G，使GD＝FD，连接BG、EG，证△BDG≌△CDF（SAS），得BG＝CF，∠DBG＝∠C，再由线段垂直平分线的性质得EF＝EG，然后证∠EBG＝90°，即可解决问题． 【解答】解：如图，延长FD至G，使GD＝FD，连接BG、EG， ∵D为BC中点， ∴BD＝CD， 在△BDG和△CDF中， ， ∴△BDG≌△CDF（SAS）， ∴BG＝CF，∠DBG＝∠C， ∵DE⊥DF，GD＝FD， ∴EF＝EG， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠C＝90°， ∴∠ABC+∠DBG＝90°， 即∠EBG＝90°， ∴EG4， ∴EF＝EG＝4， 故答案为：4． 2、（2025•二道区校级模拟）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得，DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图②，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE，交边AC于点F，连接EF． （1）求证：BE+CF＞EF． （2）若∠A＝90°，则线段BE、CF、EF之间的等量关系为 　 　 ． （3）【应用拓展】如图③，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，点E和点F分别在边AB、BC上，点M为线段EF的中点．若AE＝2，CF＝5，则DM的长为 　 　 ． 【分析】（1）延长ED到点G，使得ED＝DG，连接GF、GC，根据SAS证得△DBE≌△DCG，可得结论； （2）延长ED到点G，使得ED＝DG，连接GF、GC，由（1）得△DBE≌△DCG，EF＝FG，则BE＝CG，∠B＝∠BCG，即∠GCA＝90°，利用勾股定理解题即可； （3）如图，延长ED到点G，使得ED＝DG，连接GF、GC，由（1）得△DAE≌△DCG，则AE＝CG＝2，∠A＝∠ACG，即∠GCB＝90°，可求出，利用中位线解得． 【解答】（1）证明：如图，延长ED到点G，使得ED＝DG，连接GF、GC， ∵DF⊥DE， ∴EF＝FG， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD 又∵∠BDE＝∠GDC， ∴△DBE≌△DCG（SAS）， ∴BE＝CG， 在△CFG中 ∵CG+CF＞GF， ∴BE+CF＞EF； （2）解：如图，延长ED到点G，使得ED＝DG，连接GF、GC， ∵∠A＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， 由（1）可知△DBE≌△DCG，EF＝FG， ∴BE＝CG，∠B＝∠BCG， ∴∠GCA＝∠BCG+∠ACB＝90° 在Rt△CFG中， ∵GC2+CF2＝GF2， ∴BE2+CF2＝EF2， 故答案为：BE2+CF2＝EF2； （3）如图，如图，延长ED到点G，使得ED＝DG，连接GF、GC， ∵∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， 由（1）可知△DAE≌△DCG， ∴AE＝CG＝2，∠A＝∠ACG， ∴∠GCB＝∠BCA+∠ACG＝90°， 在Rt△CFG中， ∵， ∵M，D是EF、EG的中点， ∴DM是△EFG的中位线， ∴DMFG， 故答案为：． 3、（2025秋•昌黎县期中）阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线． 求证：AB+AC＞2AD． 证明方法如下： 证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA， ∴BE＝CA， 在△ABE中，AB+BE＞AE， ∴AB+AC＞2AD． 归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： （1）如图3，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是 　 　 ； （2）如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，证明△ABD≌△ECD（SAS），得出AB＝EC＝4，由三角形三边关系可得出答案； （2）延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，证明△ABD≌△MCD（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝MC，∠ABD＝∠DCM，证明△EAF≌△MCA（SAS），由全等三角形的性质得出AM＝EF，则可得出答案． 【解答】解：（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，如图所示： ∴AE＝2AD， ∵AD是中线， ∴CD＝BD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝EC＝3， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE， ∴AC﹣AB＜AE＜AC+AB， ∵AB＝3，AC＝4， 即4﹣3＜2AD＜4+3， ∴1＜2AD＜7， ∴， 故答案为：； （2）EF＝2AD． 理由如下： 延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，如图所示： ∵AD是中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△MCD中， ， ∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴∠ABD＝∠MCD，AB＝MC， ∴AE＝CM，AB∥CM， ∴∠ACM+∠BAC＝180°， ∵∠CAF＝∠BAE＝90°， ∴∠EAF+∠BAC＝180°， ∴∠EAF＝∠ACM， 又∵AF＝AC， ∴△EAF≌△MCA（SAS）， ∴EF＝MA， ∵AM＝2AD， ∴EF＝2AD． 1）倍长中线法：中线指的是三角形的顶点到对边中点所连线段，倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。 在△ABC中，AD是中线，添加辅助线的方法：延长AD到点E，使得AD=DE，连接DE 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD 在△ADC和△EDB中 ∴△ADC≌△EDB（SAS） 2）类倍长中线法 类中线，即与中点有关的线段，三角形一边任一点与另一边中点所连线段，添加辅助线的方法与倍长中线法一样，将类中线延长一倍，构造全等三角形。 在△ABC中，AD是中线，点M是线段AB上任意一点，添加辅助线的方法：延长MD到点N，使得DN=MD，连接CN 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD 在△BDM和△CDN中 ∴△BDM≌△CDN（SAS） 3）间接倍长中线法 除了上述两种方法外，还有一种间接倍长中线法。在△ABC中，AD是中线，添加辅助线的方法：延长AD，过点B作BE⊥AD交AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD于点F 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD ∵BE⊥AD，CF⊥AD ∴∠E=∠CFD=90° 在△BED和△CFD中 ∴△BED≌△CFD（AAS） 例1（2025秋•都安县期中）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠FAE＝∠FEA，BE＝5，AF＝1.8，则CF的长为 　　 ． 【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA（SAS），则BG＝AC，∠CAD＝∠G，根据AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可证出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE＝5，然后利用线段的和差即可解决问题． 【解答】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG， ∵AD为BC边的中线， ∴BD＝CD， 在△BDG和△CDA中， ， ∴△BDG≌△CDA（SAS）， ∴∠CAD＝∠G，BG＝AC， ∵∠AEF＝∠FAE， ∴∠CAD＝∠AEF， ∵∠BEG＝∠AEF， ∴∠CAD＝∠BEG， ∴∠G＝∠BEG， ∴BG＝BE＝5， ∴AC＝BE＝5， ∵AF＝1.8， ∴CF＝AC﹣AF＝5﹣1.8＝3.2， 故答案为：3.2． 例2（2025秋•慈溪市校级期中）如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为 　　 ． 【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可． 【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H， 在Rt△AHB中， ∵∠ABC＝60°，AB＝4， ∴BH＝2，AH＝2， 在Rt△AHC中，∠ACB＝45°， ∴AH＝CH＝2， ∴AC， ∵点D为BC中点， ∴BD＝CD， 在△BFD与△CKD中， ， ∴△BFD≌△CKD（AAS）， ∴BF＝CK， 延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，得矩形ENCK， ∴CK＝EN， ∴AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN， 在Rt△ACN中，AN＜AC， 当直线l⊥AC时，最大值为2， 综上所述，AE+BF的最大值为2． 故答案为：2． 例3（2025秋•阳春市期末）如图，已知△ABC． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，当点D为BC中点时，求证：△ABC是等腰三角形． 【分析】（1）根据角平分线的作法，即可得出答案； （2）延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，判断出△BDE≌△CDA（SAS），得出BE＝AC，∠E＝∠CAD，进而得出AB＝AC，即可得出结论． 【解答】（1）解：如图所示，AD就是∠BAC的角平分线； （2）证明：如图， 延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵∠BDE＝∠CDA， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC，∠E＝∠CAD， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠E＝∠BAD， ∴AB＝BE， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 例4（2025秋•北京校级期中）已知△ABC 是等边三角形，点D在△ABC 内部，且∠BDC＝120°． （1）如图1，设∠ABD＝α，求∠ACD的度数（用含α的式子表示）； （2）如图2，点E是BC的中点，连接AD，DE，用等式表示线段AD与DE之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和三角形内角和定理即可解答． （2）延长CD至F使DF＝CD，即可证明三角形DBF为等边三角形，再证明三角形BDC全等于三角形AFD，然后延长DE至G使DE＝GE，连接BG，再证明三角形ADF全等于三角形DBG即可． 【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， 即∠ABD+∠DBC＝60°，∠ACD+∠BCD＝60°， ∵∠BDC＝120°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣120°＝60°， ∴∠ABD+∠ACD＝60°， ∴∠ACD＝60°﹣∠ABD＝60°﹣α；证明： （2）延长CD至F使DF＝BD，连接BF、AF， ∵∠BDC＝120°， ∴∠BDF＝180﹣∠BDC＝120°＝60°， ∴△BDF是等边三角形， ∴BF＝DF＝DB，∠FBD＝∠BFD＝60°， ∴∠ABF+∠ABD＝60°， 又∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABF， ∵AB＝BC， ∴△ABF≌△CBD（SAS）， ∴CD＝AF，∠BDC＝∠AFB＝120°， ∴∠AFD＝∠AFB﹣∠BFD＝60°， 延长DE至G，使DE＝GE，连接BG， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， 又∵∠BEG＝∠CED， ∴△BEG≌△CED（SAS）， ∴CD＝BG，∠BCD＝∠GBE， ∴BG＝AF， ∵∠BDC＝120°， ∴∠BCD+∠DBC＝60°， ∴∠GBE+∠DBC＝60°，即∠GBD＝60°， ∴∠GBD＝∠AFD＝60°， 在△DBG与△DFA中， ， ∴△DBG≌△DFA（SAS）， ∴AD＝DG＝DE+GE＝2DE． 例5（2025秋•岳阳县期末）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：． 分析：如图2，要证明BD等于AC的一半，可以用“中线倍长法”延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE，可证△ADE≌△CDB，再证明△ABE≌△BAC，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC到E，使得，D是AB边的中点，连接ED，求证：∠B＝2∠E； 【模型构造】如图4，在△ABC中，∠B＝30°，延长BC到D，使得CD＝BC，连接AD，求∠D的度数． 【分析】（1）利用倍长中线BD，证明三角形ADE≌三角形BDC，得AE＝BC，J进而证明三角形ABE≌三角形ABC得AC＝BE即可得证； （2）连接CD，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到CD＝BD＝AD，再证明三角形CDE与三角形BDC是等腰三角形可得∠CDE＝∠E，利用三角形外角的性质可得结论； （3）作DH⊥AB，利用含30°角的直角三角形的性质可得CB＝CD＝DH，证明三角形DCH是等边三角形，求出∠ACH＝15°，进而可得AH＝DH，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【解答】解：（1）如图所示： 延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE． 在△ADE和△CDB中， ， ∴△ADE≌△CDB（SAS）， ∴AE＝BC，∠AED＝∠CBD， ∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∠ABC+∠BAE＝180° （两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAE＝90°， 在△ABE和△BAC中， ， ∴△ABE≌△CBA（SAS）， ∴AC＝EB． ， （2）证明：连接CD． ∵∠ACB＝90°，且D为AB的中点， ， ∠B＝∠DCB， ， ∴CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∴∠DCB＝2∠E， ∴∠B＝2∠E； （3）解：如图所示，过D作DH⊥AB于H，连接CH． ∵∠DHB＝90°，且CD＝BC， HC＝BC＝CD． ∴∠CHB＝∠B． ∠B＝30°． ∠CHB＝30°， ∠CHD＝60°， ∴△HCD为等边三角形． ∴CH＝DH，∠HCD＝60°， ∠ACD＝∠B+∠BAC＝45°． ∴∠ACH＝∠HCD﹣∠ACD＝15°， ∴∠ACH＝∠CAH． ∴AH＝CH＝DH． ∴△AHD为等腰直角三角形． ∠HDA＝45°， ∠ADB＝∠ADH+∠BDH＝105°． 1．（2025秋•梓潼县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜18 B．3＜AD＜6 C．4＜AD＜12 D．1＜AD＜9 【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解． 【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE． ∵BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE＝AB． 在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC， 即2＜2AD＜18， ∴1＜AD＜9． 故选：D． 2．（2025秋•沙坪坝区期末）如图，BD是△ABC的中线，E为边AB上一点，连接CE交BD于点F．若∠EBF＝∠EFB，AE＝6，，则CE的长度为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】延长BD到点H，使得DH＝DB，连接CH，证明△ABD≌△CHD（SAS）得到∠ABD＝∠CHD，CH＝AB，再证明EB＝EF，∠CFH＝∠CHF，得到CF＝CH，求出BE的长，进而求出AB的长即可得到答案． 【解答】解：如图，BD是△ABC的中线，延长BD到点H，使得DH＝DB，连接CH， ∴AD＝CD， 在△ABD和△CHD中， ， ∴△ABD≌△CHD（SAS）， ∴∠ABD＝∠CHD，CH＝AB， ∵∠EBF＝∠EFB，∠CFH＝∠EFB， ∴EB＝EF，∠CFH＝∠CHF， ∴CF＝CH， ∵， ∴， ∴AB＝AE+BE＝8， ∴CE＝CF+EF＝AB+BE＝10， 故选：A． 3．（2025秋•海珠区校级期中）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，BE交AC于点F，若EF＝AF，BE＝7，CF＝5，则EF的长度为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【分析】延长AD，使DG＝AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC≌△GDB，可得AC＝DG＝CF+AF＝5+AF，∠DAC＝∠G，由等腰三角形的性质可得BE＝BG＝7，即可求EF的长． 【解答】解：如图，延长AD，使DG＝AD，连接BG， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 又∵DG＝AD，∠ADC＝∠BDG， 在△ADC和△GDB中， ， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG＝CF+AF＝5+AF，∠DAC＝∠G， ∵EF＝AF， ∴∠DAC＝∠AEF， ∴∠G＝∠AEF＝∠BEG， ∴BE＝BG＝7， ∴5+AF＝BG＝7， ∴AF＝2＝EF， 故选：A． 4．（2025秋•高青县期中）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AD＝2，BC＝6，记AB＝x，AC＝y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 【分析】延长AD到E，使ED＝AD＝2，连接CD，过点C作CF⊥DE于点F，证明△CDE和△BDA全等得CE＝AB＝x，设CF＝a，DF＝b，则EF＝2﹣b，AF＝2+b，在Rt△CDF，Rt△CEF和Rt△ACF中，由勾股定理得a2+b2＝9，x2＝a2+b2﹣4b+4，y2＝a2+b2+4b+4，进而得x2+y2＝2（a2+b2）+8＝26，据此即可得出答案． 【解答】解：延长AD到E，使ED＝AD＝2，连接CD，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示： ∵AD为BC边上的中线，BC＝6， ∴CD＝BDBC＝3， 在△CDE和△BDA中， ED＝AD，∠CDE＝∠BDA，CD＝BD， ∴△CDE≌△BDA（SAS）， ∴CE＝AB＝x， 设CF＝a，DF＝b， ∴EF＝DE﹣DF＝2﹣b，AF＝AD+DF＝2+b， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF2+DF2＝CD2， ∴a2+b2＝32＝9， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝CF2+EF2， ∴x2＝a2+（2﹣b）2＝a2+b2﹣4b+4， 在Rt△ACF中，由勾股定理得：AC2＝AF2+CF2， ∴y2＝（2+b）2+a2＝a2+b2+4b+4， ∴x2+y2＝2（a2+b2）+8， ∵a2+b2＝9， ∴x2+y2＝2×9+8＝26， ∴代数式x2+y2的值不变，始终等于26． 故选：D． 5．（2025秋•沂水县月考）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上（E，F不与端点重合），且DE⊥DF，则（　　） A．BE+CF＞EF B．BE+CF＝EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF与EF的长短关系不确定 【分析】延长ED至点G，使DG＝ED，连接CG，FG，证明△EBD≌△GCD，可得GC＝BE，进而根据三角形三边关系即可得． 【解答】如图，延长ED至点G，使DG＝ED，连接CG，FG， ∵AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上， ∴BD＝CD， 又∵DE⊥DF，DG＝ED， ∴FD是EG的垂直平分线， ∴FG＝EF， 又∵∠EDB＝∠GDC ∴△EBD≌△GCD（SAS）， ∴GC＝BE， ∵GC+CF＞FG， ∴BE+CF＞EF． 故选：A． 6．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，BE＝8，CF＝5，则EF的长度为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】延长AD，使DG＝AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC≌△GDB，可得AC＝DG＝CF+AF＝6+AF，∠DAC＝∠G，由等腰三角形的性质可得BE＝BG＝8，即可求EF的长． 【解答】解：如图，延长AD，使DG＝AD，连接BG， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 又∵DG＝AD，∠ADC＝∠BDG， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG＝CF+AF＝6+AF，∠DAC＝∠G， ∵EF＝AF， ∴∠DAC＝∠AEF， ∴∠G＝∠AEF＝∠BEG， ∴BE＝BG＝8， ∴5+AF＝BG＝8， ∴AF＝3＝EF 故选：D． 7．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，有下面四个结论：①△ABD与△ACD的面积相等；②AD（AB+AC）；③若点P是线段AD上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接PB，PC，则△ABP的面积比△ACP的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若DP＝DQ，连接PB，QC，则PB∥QC．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长AD至E，使AD＝DE，易证得△ACD≌△EBD，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由DP＝DQ，BD＝CD，∠CDQ＝∠BDP，易证得△CDQ≌△BDP，可得∠CQD＝∠BPD，即可对④进行判断． 【解答】解：∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD与△ACD的面积相等，故①正确， 延长AD至E，使，如图： ∵∠ADC＝∠EDB，BD＝CD， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴AC＝BE， 则在△ABE中，AE＜AB+BE＝AB+AC， ∴，故②正确， 点P是线段AD上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接PB，PC，如图， ∵BD＝CD， ∴S△PBD＝S△PCD， 又∵△ABD与△ACD的面积相等， ∴△ABP的面积和△ACP的面积相等，故③不正确， 点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若DP＝DQ，连接PB，QC，如图， 由DP＝DQ，BD＝CD，∠CDQ＝∠BDP， ∴△CDQ≌△BDP， ∴∠CQD＝∠BPD ∴PB∥QC 故④正确， 故选：B． 8．如图所示，AD为△ABC中线，D为BC中点，AE＝AB，AF＝AC，连接EF，EF＝2AD．若△AEF的面积为3，则△ADC的面积为 　1.5　 ． 【分析】延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG，利用线段中点的定义可得△ADC的面积＝△ADB的面积，BD＝DC，再利用倍长中线模型证明△ADC≌△GDB，从而可得△ADC的面积＝△BDG的面积，BG＝AC，再结合已知易得BG＝AF，EF＝AG，然后利用SSS证明△AEF≌△BGA，从而可得△AEF的面积＝△ABG的面积＝3，最后进行计算即可解答． 【解答】解：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG， ∵D为BC中点， ∴△ADC的面积＝△ADB的面积，BD＝DC， ∵∠ADC＝∠GDB， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴△ADC的面积＝△BDG的面积，BG＝AC， ∵AC＝AF， ∴BG＝AF， ∵EF＝2AD，AG＝2AD， ∴EF＝AG， ∵AE＝AB， ∴△AEF≌△BGA（SSS）， ∴△AEF的面积＝△ABG的面积＝3， ∴△ADC的面积＝△BDG的面积＝△ABD的面积△ABG的面积＝1.5， 故答案为：1.5． 9．（2025秋•长治期末）如图，已知△ABC中，AD为BC边上的中线，AD＝4，AE平分∠CAD交BC于点E，∠BAD+∠CAE＝90°，则AC＝　8　 ． 【分析】延长AD到点F，使FD＝AD＝4，连接FC，由AE平分∠CAD，得∠CAD＝2∠ACE，由∠BAD+∠CAE＝90°，得∠CAE＝90°﹣∠BAD，则∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝∠BAC﹣180°+2∠BAD，所以∠BAD＝180°﹣∠BAC＝∠B+∠ACB，由AD为△ABC的BC边上的中线，得CD＝BD，可证明△FDC≌△ADB，得∠FCD＝∠B，∠F＝∠BAD，则∠ACF＝∠F＝∠B+∠ACB，所以AC＝AF＝2AD＝8，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长AD到点F，使FD＝AD＝4，连接FC， ∵AE平分∠CAD交BC于点E， ∴∠CAD＝2∠ACE， ∵∠BAD+∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠BAD， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝∠BAC﹣2（90°﹣∠BAD）＝∠BAC﹣180°+2∠BAD， ∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝∠B+∠ACB， ∵AD为△ABC的BC边上的中线， ∴CD＝BD， 在△FDC和△ADB中， ， ∴△FDC≌△ADB（SAS）， ∴∠FCD＝∠B，∠F＝∠BAD， ∴∠ACF＝∠FCD+∠ACB＝∠B+∠ACB，∠F＝∠B+∠ACB， ∴∠ACF＝∠F， ∴AC＝AF＝2AD＝8， 故答案为：8． 10．（2025秋•海淀区校级期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝10，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 B ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是 C ． A.8＜AD＜10 B.8≤AD≤10 C.1＜AD＜9 D.1≤AD≤9 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD． 【分析】（1）由△ADC≌△EDB的条件可解答； （2）在△ABE中，由三边的关系求出AE的取值范围即可解答； （3）倍长AD，连接CF，证明△ACF≌△ACE即可解答． 【解答】（1）解：∵△ADC≌△EDB的理由是AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠EDB，符合SAS判定， 故答案为：B； （2）解：由（1）知△ADC≌△EDB， ∴AC＝BE＝8， ∴10﹣8＜AE＜10+8， 即2＜2AD＜18， ∴1＜AD＜9， 故答案为：C； （3）证明：倍长AD，连接CF，如图， ∵AD＝DF，∠ADB＝∠FDC，BD＝CD， ∴△ACF≌△ACE（SAS）， ∴AB＝CF，∠B＝∠FCD， ∵∠BAC＝∠BCA， ∴∠BAC+∠B＝∠BCA+∠FCD，即∠ACF＝∠ACE， ∵CE＝AB， ∴CF＝CE， ∴△ACF≌△ACE（SAS）， ∴AE＝AF， ∵AF＝2AD， ∴AE＝2AD． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， （1）若∠B＝∠C，求证：AB＝DC； （2）若E是CD的中点，AB⊥AE，且AB＝4，AE＝5，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）延长BA，CD相交于点G，由∠B＝∠DCB，得GB＝GC，由AD∥BC，得∠GAD＝∠B，∠GDA＝∠DCB，所以∠GAD＝∠GDA，证出GA＝GD，进一步得到结论． （2）延长AE交BC的延长线于F，证明△ADE≌△FCE（AAS），得到S四边形ABCD＝S△ABFAB•AF，即可求出结果． 【解答】（1）证明：如图，延长BA，CD相交于点G， ∵∠B＝∠DCB， ∴GB＝GC， ∵AD∥BC， ∴∠GAD＝∠B，∠GDA＝∠DCB， ∴∠GAD＝∠GDA， ∴GA＝GD， ∴GB﹣GA＝GC﹣GD， 即AB＝DC． （2）解：延长AE交BC的延长线于F， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴EF＝AE＝5， ∴AF＝2×5＝10， ∴S四边形ABCD＝S△ABFAB•AF4×10＝20． 12．（2025春•济南期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB 证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD 在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（ 　对顶角相等　 ）　　　　 CD＝BD（中点定义） ∴△ADC≌△EDB（ SAS ） （2）探究得出AD的取值范围是 　1＜AD＜7　 ； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长． 【分析】（1）延长AD到点E，使DE＝AD，根据SAS定理证明△ADC≌△EDB； （2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算； （3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答． 【解答】解：（1）证明：延长AD到点E，使DE＝AD， 在△ADC和△EDB中， AD＝ED（已作）， ∠ADC＝∠EDB（对顶角相等）， CD＝BD（中点定义）， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：对顶角相等，SAS； （2）∵△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6， 8﹣6＜AE＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故答案为：1＜AD＜7； （3）延长AD交EC的延长线于F， ∵AB⊥BC，EF⊥BC， ∴∠ABD＝∠FCD， 在△ABD和△FCD中， ， ∴△ABD≌△FCD（ASA）， ∴CF＝AB＝2，AD＝DF， ∵∠ADE＝90°， ∴AE＝EF， ∵EF＝CE+CF＝CE+AB＝4+2＝6， ∴AE＝6． 13．（2025秋•锡林郭勒盟期中）【初步探索】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，探究AB+AC与2AD的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，先证明△ADC≌△EDB，可得出结论，他的结论应是AB+AC＞2AD 【灵活运用】 （2）如图2，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF． 【拓展延伸】 （3）如图3，AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于点A．点E为MN上一点（与点A不重合），△ABC周长记为a，△EBC周长记为b，比较a与b的数量关系并证明． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （2）延长FD至G，使得GD＝DF，连接BG，EG，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （3）分两种情况进行解答即可． 【解答】解：（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC， ∵AB+BE＞AD+DE， ∴AB+AC＞2AD． 故答案为：AB+AC＞2AD； （2）延长FD至G，使得GD＝DF，连接BG，EG 在△DFC和△DGB中， ， ∴△DFC≌△DGB（SAS）， ∴BG＝CF， ∵在△EDF和△EDG中 ∴△EDF≌△EDG（SAS）， ∴EF＝EG， 在△BEG中，两边之和大于第三边， ∴BG+BE＞EG 又∵EF＝EG，BG＝CF， ∴BE+CF＞EF （3） ①点E在点A右侧时 延长BA到F，使AF＝AC，连接EF， ∠FAE＝∠MAB＝90°﹣∠BAD＝90°﹣∠CAD＝∠CAE， 在△ACE和△AFE中， ， ∴△ACE≌△AFE（SAS）， ∴CE＝EF ∵BE，EF，BF为△BEF三边， ∴BE+EF＞BF， ∴BE+CE＞AB+AF， ∴BE+CE＞AB+AC， ∴BC+BE+CE＞BC+AB+AC 即b＞a ②点E在点A左侧时，同理b＞a． 综上，b＞a 14．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 　2＜AD＜8　 ； （2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF； （3）问题拓展：如图③，△ABC和△ADE中，AD＝DE，AB＝BC，∠EDA＝∠ABC＝90°，点M为EC的中点，点E在线段CA的延长线上．请判断线段DM与线段BM的关系，说明理由． 【分析】（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围； （2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论； （3）延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，BN，根据AD＝DE，AB＝BC，∠EDA＝∠ABC＝90°，可证∠E＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，由（1）可证△DEM≌△NCM（SAS），则DE＝NC，∠MCN＝∠E＝45°，可证AD＝CN，∠BCN＝90°，可证△BCN≌△BAD（SAS），则BN＝BD，可得∠DBN＝90°，根据DM＝NM，可得BM⊥DM，DM＝BM． 【解答】（1）解：如图①，延长AD到点E使DE＝AD，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 又∵∠BDE＝∠CDA， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC＝6， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴10﹣6＜AE＜10+6， 即4＜AE＜16， ∴2＜AD＜8； 故答案为2＜AD＜8； （2）证明：如图②，延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM， 由（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM＝CF， ∵DE⊥DF，DM＝DF， ∴EM＝EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM， ∴BE+FC＞EF； （3）解：DM＝BM，DM⊥BM， 理由：如图，延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，BN， ∵AD＝DE，AB＝BC，∠EDA＝∠ABC＝90°， ∴∠E＝∠BCM＝∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAB＝180°﹣∠DAE﹣∠BAC＝90°， 由（1）可证△DEM≌△NCM（SAS）， ∴DE＝NC，∠MCN＝∠E＝45°， ∴AD＝CN，∠BCN＝∠BCM+∠MCN＝90°， 在△BCN和△BAD中， ， ∴△BCN≌△BAD（SAS）， ∴BN＝BD，∠DAB＝∠NBC， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DBN＝90°， ∵DM＝NM， ∴BM⊥DM，DM＝BM． 15．（2025春•锦江区校级期中）已知△ABC为等边三角形，点D为AC边上一动点，以CD为边在△ABC外作等腰△CDE，且∠DEC＝120°． （1）如图1，当D与A重合时，若AB＝6，求BE的长； （2）如图2，将△CDE绕C顺时针旋转α°，连接AD，取AD的中点F，连接BF，EF，BE． ①当0°＜α＜90°时，试探究BF与EF的数量关系与位置关系，并说明理由； ②当0°＜α≤360°时，若AB＝6，当△ABF为直角三角形时，请直接写出此时BE的长． 【分析】（1）根据题意先得出BE是AC的垂直平分线，然后由轴对称的性质得出△ABE是锐角为30°的直角三角形，进而求出BE的长度． （2）①通过倍长中线构造△AFG≌△DFE，然后结合倒角求出∠BAG＝∠BCF，从而证明△ABG≌△CBE，得出△GBE是等边三角形，即可证明BF EF，BF⊥EF． ②根据中位线定理可知点F在以线段AC中点M为圆心，FM为半径的圆上，然后分∠BAF＝90°或∠AFB＝90°两种情况，通过构造30°锐角的直角三角形，结合勾股定理求出BF的长度，再结合①中的结论得出BFBE，最终求出BE的长度． 【解答】解：（1）根据题意，AB＝BC，AE＝CE． ∴BE是线段AC的垂直平分线． ∴△ABE和△CBE关于直线BE对称． ∴∠ABE30°，∠AEB60°． ∴∠BAE＝90°． 在Rt△BAE中，BE＝AB． ∴BE＝4． （2）①结论：BF EF，BF⊥EF． 理由：延长EF至点G，使FG＝EF，连接AG，BG． ∵AF＝DF，∠AFG＝∠DFE，GF＝EF， ∴△AFG≌△DFE（SAS）． ∴AG＝DE，∠GAF＝∠EDF． ∴∠GAF+∠CAD＝∠EDF+∠CAD＝360°﹣（∠ACE+∠CED）＝240°﹣∠ACE， ∴∠BAG＝360°﹣（∠GAF+∠CAD+∠BAC）＝60°+∠ACE＝∠BCE， 又∵GA＝DE＝CE，AB＝BC， ∴△ABG≌△CBE（SAS）． ∴BG＝BE，∠ABG＝∠CBE， ∴∠GBE＝∠ABG+∠ABE＝∠CBE+∠ABE＝60°， ∴△GBE是等边三角形， ∵F是GE的中点， ∴BF EF，BF⊥EF． ②取线段AC中点M．根据中位线定理可得，FM.故点F在以点M位圆心，FM位半径的圆上． 根据等边三角形的性质，∠ABM＝30°． 当∠BAF＝90°时，∠FAM＝90°﹣∠BAM＝30°，此时△F1MF2为等边三角形．如图，符合要求的点F为F1和F2． ∵点M位AC中点，BM⊥AC． 根据锐角为30°角的直角三角形的性质易得：AF2＝AB2，AM3， F2M＝F1F2＝F1M＝AM，AF1＝AF2﹣F1F2， ∴BF1，BF2＝2AF2＝4， 当∠AFB＝90°时，点F为以AB为直径的⊙N和⊙M的交点F3和F4．过点M分别向BF3和BF4作垂线，垂足分别为P，Q． 根据等边三角形的性质，BM＝AB•3． ∵∠BF3M＝∠BAC＝60°， ∴PMF3M，F3PF3M， ∴BF3＝BP+F3PF3P． ∵∠BF4M＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴∠MF4Q＝60°， 同理可得：BF4＝BQ﹣F4QF4Q． 从图中可知∠ABF＜90°，不存在∠ABF＝90°的情况． 由①中结论易得，在Rt△BFE中，BFBE． ∴BE的值为：2或8或1或1． 16．课本再现： （1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质． 如图（1），在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．则DE与BC的关系是 DE，DE∥BC ． 定理证明 （2）请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程． 定理应用 （3）如图（2），在四边形ABCD中，点M，N，P分别为AD，BC，BD的中点，BA，CD的延长线交于点E．若∠E＝45°，则∠MPN的度数是 　135°　 ． （4）如图（3），在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在边AB上，且AE＝3BE．将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AF，点M是线段CF的中点，求旋转过程中线段BM长的最大值和最小值． 【分析】（1）根据题意直接判断关系； （2）作辅助线延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，然后证明△AED≌△CEF，得出AD＝CF，再证明四边形DBCF为平行四边形，即可得出DF∥BC，根据DF＝2DE，BC＝DF，得出； （3）根据平行线的性质和几个角之间的关系即可求出； （4）根据勾股定理先求出AE的长度，再画隐形圆作辅助线，分别求出最大值和最小值． 【解答】解：（1）如图，延长DE至点F，使EF＝DE， 连接CF， ， ∵∠AED＝∠CEF，AE＝CE， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∵AD＝CF，∠A＝∠ECF， ∴AB∥CF， ∵AD＝BD，AD＝CF， ∴BD＝CF， ∴四边形DBCF为平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC， DE∥BC，． 故答案为：DE∥BC且； （2）证明：如图，延长DE至点F，使EF＝DE， 连接CF， ， ∵∠AED＝∠CEF，AE＝CE， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∵AD＝CF，∠A＝∠ECF， ∴AB∥CF， ∵AD＝BD，AD＝CF， ∴BD＝CF， ∴四边形DBCF为平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴DE∥BC，． （3）∵点M，P分别为AD，BD的中点， ∴MP∥AB， ∴∠MPD＝∠ABD， ∵点N，P分别为BC、BD的中点， ∴PN∥CD， ∴∠BNP＝∠C， ∴∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ABD+∠DBC+∠PNB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠EBC+∠C＝180°﹣∠E＝135°． 故答案为：135°． （4）如图，延长CB至点H，使BH＝CB，连接FH， 连接AH， ， ∵CM＝ME，CB＝BH， ∴， 由勾股定理得，， ∵AE＝3BE，AB＝4， ∴AE＝3， ∴点F在以点A为圆心，3为半径的圆上（不与点E重合）， ∴当点F在线段AH上时，FH最小，最小值为5﹣3＝2； 当点F在线段HA的延长线上时，FH最大，最大值为5+3＝8． 故：BM长的最大值为4，最小值为1． 17．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CED，得出BF＝CD，∠F＝∠CDE，再判断出AB＝BF，即可得出结论； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CEG，得出BF＝CG，再判断出△BAF≌△CDG，即可得出结论； （2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，先判断出BE＝CE，进而判断出△BAE≌△CME（AAS），得出CM＝AB，∠BAE＝∠M，即可得出结论． 【解答】证明：（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ， ∴△BEF≌△CED（SAS）， ∴BF＝CD，∠F＝∠CDE， ∵∠BAE＝∠CDE， ∴∠BAE＝∠F， ∴AB＝BF， ∴AB＝CD； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G， ∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△BEF和△CEG中， ， ∴△BEF≌△CEG（AAS）， ∴BF＝CG， 在△BAF和△CDG中， ， ∴△BAF≌△CDG（AAS）， ∴AB＝CD； （2）如图3， 过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M， 则∠BAE＝∠EMC， ∵E是BC中点， ∴BE＝CE， 在△BAE和△CME中， ， ∴△BAE≌△CME（AAS）， ∴CM＝AB，∠BAE＝∠M， ∵∠BAE＝∠EDC， ∴∠M＝∠EDC， ∴CM＝CD， ∴AB＝CD． 18．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接EC． ①根据所作辅助线可以证得△ADB≌△EDC，其中判定全等的依据为：SAS ； ②若AB＝4，AC＝3，则AD的取值范围是 　　 ； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB＝BC，求证：AC平分∠DAE； 【问题拓展】 （3）如图3，BD是四边形ABCD的对角线，∠CDB＝120°，点E是BC边的中点，点F在BD上，CD＝FD，AF＝AB＝BF，若ED＝5，求AD的长． 【分析】（1）①由中线性质可得BD＝CD，证明△ADB≌△EDC即可得知依据； ②由△ADB≌△EDC可得AB＝EC＝4，又AC＝3，在△AEC中，由三边关系可得答案； （2）延长AD至F，使AD＝FD，证明△ABD≌△FCD（SAS），则∠B＝∠DCF，AB＝CF，又CE＝AB＝BC，从而CF＝CE．由等腰三角形性质和外角定理可得∠ACF＝∠ACE，再证明△ACF≌△ACE（SAS），即可得到∠2＝∠3，从而得证结论； （3）倍长DE，使延长DE至点G，使得DE＝GE，证明△DCE≌△GBE（SAS）．DC＝BG，∠C＝∠GBE，BG∥DC．得∠DBG＝60°，再根据△ABF为等边三角形，可得∠AFD＝∠ABG，证明△ABG≌△AFD（SAS）， AG＝AD，∠BAG＝∠FAD，再证明∠GAD＝60°，可得△AGD为等边三角形，从而AD＝DG＝2DE＝10，即可求解． 【解答】（1）①解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADB和△EDC中， ∵， ∴△ADB≌△EDC（SAS）， 故答案为：SAS； ②由△ADB≌△EDC可得AB＝EC＝4， 又AC＝3， ∴在△AEC中，由三边关系可得： 4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7， 又AD， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长AD至F，使AD＝FD，连接CF． 在△ABD和△FCD中， ∵， ∴△ABD≌△FCD（SAS）． ∴∠B＝∠DCF，AB＝CF， 又∵CE＝AB＝BC， ∴CF＝CE，∠1+∠2＝∠ACB， ∵∠ACF＝∠ACB+∠DCF＝∠1+∠2+∠B， 由外角定理有∠ACE＝∠1+∠2+∠B， ∴∠ACF＝∠ACE． 在△ACF和△ACE中， ∵， ∴△ACF≌△ACE（SAS）． ∴∠2＝∠3． 故AC平分∠DAE． （3）解：如图3所示， 延长DE至点G，使得DE＝GE，连接BG、AG， 在△DCE和△GBE中， ∵， ∴△DCE≌△GBE（SAS）． ∴DC＝BG，∠C＝∠GBE， ∴BG∥DC． ∵∠CDB＝120°， ∴∠DBG＝60°． 又CD＝FD， ∴DF＝BG， 又∵AF＝AB＝BF， ∴△ABF为等边三角形，∠AFB＝∠ABF＝60°， 从而∠AFD＝120°，∠ABG＝∠ABF+∠DBG＝60°+60°＝120°， ∴∠AFD＝∠ABG 在△ABG和△AFD中， ∵， ∴△ABG≌△AFD（SAS）． ∴AG＝AD，∠BAG＝∠FAD， 又∵∠BAG+∠GAF＝60°， ∴∠FAD+∠GAF＝60°＝∠GAD， 故△AGD为等边三角形， ∴AD＝DG＝2DE＝10． 即AD＝10． 19．如图，△ABC为等边三角形，D为AB延长线上一点，连接CD，过点A作AE∥CD交CB的延长线于点E，在AC左侧作∠CAF＝∠D，AF交BC于点G． （1）如图1，若∠E＝30°，GF＝2，求DF的长； （2）如图2，若F为CD中点，求证：BE＝BD+AC； （3）如图3，在（2）问的条件下，连接BF，DE，请直接写出的值． 【分析】（1）通过平行线的性质结合等边三角形的性质推出△CFG和△ACF为锐角等于30°的直角三角形，以及△FAD为等腰三角形，从而根据30°角的性质求出CF及AF，即可求得DF的长． （2）由倍长中线模型构造平行四边形ACPD，结合等边三角形的性质推出△ABE≌△PDA，进而得出BE＝AD，再由AD＝BD+AC得到结论． （3）先由（2）推出S△ABE＝S△ADC，进而推出S△AEF＝S△ADC+S△DEB，然后根据三角形“等底等高”模型推出S四边形BFDE＝S四边形BFCA，再由S△ADC+S△DEB＝S四边形BFDE+S四边形BFCA即可出S△AEF＝2S四边形BFDE． 【解答】（1）解：∵AE∥CD， ∴∠FCG＝∠E＝30°． ∴∠D＝∠ABC﹣∠FCG＝30°． ∴∠CAF＝∠D＝30°． ∴∠CGF＝∠CAF+∠ACB＝90°，∠ACD＝∠FCG+∠ACB＝90°， ∴FC＝2GF＝4，AF＝2FC＝8． ∵∠FAD＝60°﹣∠CAF＝30°＝∠D， ∴DF＝AF＝8． （2）证明：延长AF，使FP＝AF，连接DP，CP． ∵FP＝AF，DF＝CF， ∴四边形ACPD是平行四边形． ∴DP＝AC＝AB，∠CAF＝∠APD，∠ADP＝180°﹣∠CAB＝120°． ∵∠EAB＝∠ADC＝∠CAF， ∴∠EAB＝∠APD， ∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠ABE＝∠PDA． 在△ABE和△PDA中， ， ∴△ABE≌△PDA（ASA）， ∴BE＝AD＝BD+AB＝BD+AC． （3）解：由（2）可知△ABE≌△PDA，则S△ABE＝S△PDA． ∵AD∥CP， ∴S△ADC＝S△PDA． ∴S△ABE＝S△ADC． ∵AE∥CD， ∴S△AEF＝S△AED，S△CDE＝S△CDA． ∵DF＝CF， ∴S△DFB＝S△CFB． ∵S△CDE＝S△CFB+S四边形BFDE，S△CDA＝S△DFB+S四边形BFCA． ∴S四边形BFDE＝S四边形BFCA． ∵S△AEF＝S△AEB+S△DEB． ∴S△AEF＝S△ADC+S△DEB＝S四边形BFDE+S四边形BFCA＝2S四边形BFDE． ∴． 20．（2025春•金牛区校级期中）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD．将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB．点O为线段AB的中点，连接DO，EO． （1）如图1，当点B旋转到CD边上时，线段DO与EO的数量和位置关系是 OD＝OE，OD⊥OE ； （2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由； （3）若BC＝2，，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，求线段OD的长． 【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出OE＝OAAB，进而得出∠BOE＝2∠BAE，同理得出OD＝OAAB，∠DOB＝2∠BAD，即可得出结论； （2）先判断出△AOM≌△BOE（SAS），得出∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，再判断出∠MAD＝∠DCE，进而判断出△MAD≌△ECD，即可得出结论； （3）分点B在AC左侧和右侧两种情况，类似（2）的方法判断出OD＝OE，即可得出结论． 【解答】解：（1）DO⊥EO，DO＝EO； 理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上， ∴∠AEB＝∠CEB＝90°， 在Rt△ABE中，点O是AB的中点， ∴OE＝OAAB， ∴∠BOE＝2∠BAE， 在Rt△ABD中，点O是AB的中点， ∴OD＝OAAB， ∴∠DOE＝2∠BAD， ∴OD＝OE， ∵等腰△ADC，且∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝45°， ∴∠DOE＝∠BOE+∠DOE＝2∠BAE+2∠BAD＝2（∠BAE+∠DAE）＝2∠DAC＝90°， ∴OD⊥OE； 故答案为：OD＝OE，OD⊥OE； （2）成立，理由如下： 如图2，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE， ∵O是AB的中点， ∴OA＝OB， ∵∠AOM＝∠BOE， ∴△AOM≌△BOE（SAS）， ∴∠MAO＝∠EBO，MA＝EB， ∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠CAD＝∠ACD＝∠EBC＝∠BCE＝45°， ∵∠OBE＝180°﹣∠EBC＝135°， ∴∠MAO＝135°， ∴∠MAD＝∠MAO﹣∠DAC＝90°， ∵∠DCE＝∠DCA+∠BCE＝90°， ∴∠MAD＝∠DCE， ∵MA＝EB，EB＝EC， ∴MA＝EC， ∵AD＝DC， ∴△MAD≌△ECD（SAS）， ∴MD＝ED，∠ADM＝∠CDE， ∵∠CDE+∠ADE＝90°， ∴∠ADM+∠ADE＝90°， ∴∠MDE＝90°， ∵MO＝EO，MD＝DE， ∴，OD⊥ME， ∵， ∴OD＝OE，OD⊥OE； （3）①当点B在AC左侧时，如图3，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE， 同（2）的方法得，△OBE≌△OAM（SAS）， ∴∠OBE＝∠OAM，OM＝OE，BE＝AM， ∵BE＝CE， ∴AM＝CE， 在五边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+∠OBE+∠BAD＝540°， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠DCE＝540°﹣90°﹣90°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD， ∵∠DAM+∠OAM+∠BAD＝360°， ∴∠DAM＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD， ∴∠DAM＝∠DCE， ∵AD＝CD， ∴△DAM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠ADM＝∠CDE， ∴∠EDM＝∠ADM+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°， ∵OM＝OE， ∴OD＝OEME，∠DOE＝90°， 在Rt△BCE中，CEBC， 过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H， 在Rt△CHE中，∠ECH＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°﹣45°＝30°， ∴EHCE， 根据勾股定理得，CHEH， ∴DH＝CD+CH， 在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE， ∴ODDE； ②当点B在AC右侧时，如图4， 同①的方法得，OD＝OE，∠DOE＝90°， 连接DE，过点E作EH⊥CD于H， 在Rt△EHC中，∠ECH＝30°， ∴EHCE， 根据勾股定理得，CH， ∴DH＝CD﹣CH， 在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE， ∴ODDE＝1， 综上所述，线段OD的长为1或． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 倍长中线模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型—倍长中线模型，进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 8 ‌ 倍长中线模型（又称中线加倍法）是几何解题方法长期演化的结果，欧几里得《几何原本》提出 SAS（边角边） 全等判定、中点、对顶角相等等公理。 利用中心对称（点对称）转化图形——这是倍长中线的几何本质，《几何原本》未直接写“倍长中线”，但提供了全部逻辑基础。 该模型常用于初中几何题中，把原三角形的边、角转移到新三角形，方便用三边关系、平行、全等解题。 1、（2025•南山区校级三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，BE＝3，DE⊥DF，，则EF＝　 　 ． 2、（2025•二道区校级模拟）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得，DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图②，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE，交边AC于点F，连接EF． （1）求证：BE+CF＞EF． （2）若∠A＝90°，则线段BE、CF、EF之间的等量关系为 　 　 ． （3）【应用拓展】如图③，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，点E和点F分别在边AB、BC上，点M为线段EF的中点．若AE＝2，CF＝5，则DM的长为 　 　 ． 3、（2025秋•昌黎县期中）阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线． 求证：AB+AC＞2AD． 证明方法如下： 证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA， ∴BE＝CA， 在△ABE中，AB+BE＞AE， ∴AB+AC＞2AD． 归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： （1）如图3，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是 　 　 ； （2）如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由． 1）倍长中线法：中线指的是三角形的顶点到对边中点所连线段，倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。 在△ABC中，AD是中线，添加辅助线的方法：延长AD到点E，使得AD=DE，连接DE 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD 在△ADC和△EDB中 ∴△ADC≌△EDB（SAS） 2）类倍长中线法 类中线，即与中点有关的线段，三角形一边任一点与另一边中点所连线段，添加辅助线的方法与倍长中线法一样，将类中线延长一倍，构造全等三角形。 在△ABC中，AD是中线，点M是线段AB上任意一点，添加辅助线的方法：延长MD到点N，使得DN=MD，连接CN 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD 在△BDM和△CDN中 ∴△BDM≌△CDN（SAS） 3）间接倍长中线法 除了上述两种方法外，还有一种间接倍长中线法。在△ABC中，AD是中线，添加辅助线的方法：延长AD，过点B作BE⊥AD交AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD于点F 证明：∵AD是中线 ∴BD=CD ∵BE⊥AD，CF⊥AD ∴∠E=∠CFD=90° 在△BED和△CFD中 ∴△BED≌△CFD（AAS） 例1（2025秋•都安县期中）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠FAE＝∠FEA，BE＝5，AF＝1.8，则CF的长为 　　 ． 例2（2025秋•慈溪市校级期中）如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为 　　 ． 例3（2025秋•阳春市期末）如图，已知△ABC． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，当点D为BC中点时，求证：△ABC是等腰三角形． 例4（2025秋•北京校级期中）已知△ABC 是等边三角形，点D在△ABC 内部，且∠BDC＝120°． （1）如图1，设∠ABD＝α，求∠ACD的度数（用含α的式子表示）； （2）如图2，点E是BC的中点，连接AD，DE，用等式表示线段AD与DE之间的数量关系，并证明． 例5（2025秋•岳阳县期末）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：． 分析：如图2，要证明BD等于AC的一半，可以用“中线倍长法”延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE，可证△ADE≌△CDB，再证明△ABE≌△BAC，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC到E，使得，D是AB边的中点，连接ED，求证：∠B＝2∠E； 【模型构造】如图4，在△ABC中，∠B＝30°，延长BC到D，使得CD＝BC，连接AD，求∠D的度数． 1．（2025秋•梓潼县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜18 B．3＜AD＜6 C．4＜AD＜12 D．1＜AD＜9 2．（2025秋•沙坪坝区期末）如图，BD是△ABC的中线，E为边AB上一点，连接CE交BD于点F．若∠EBF＝∠EFB，AE＝6，，则CE的长度为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（2025秋•海珠区校级期中）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，BE交AC于点F，若EF＝AF，BE＝7，CF＝5，则EF的长度为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 4．（2025秋•高青县期中）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AD＝2，BC＝6，记AB＝x，AC＝y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 5．（2025秋•沂水县月考）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上（E，F不与端点重合），且DE⊥DF，则（　　） A．BE+CF＞EF B．BE+CF＝EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF与EF的长短关系不确定 6．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，BE＝8，CF＝5，则EF的长度为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 7．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，有下面四个结论：①△ABD与△ACD的面积相等；②AD（AB+AC）；③若点P是线段AD上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接PB，PC，则△ABP的面积比△ACP的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若DP＝DQ，连接PB，QC，则PB∥QC．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 8．如图所示，AD为△ABC中线，D为BC中点，AE＝AB，AF＝AC，连接EF，EF＝2AD．若△AEF的面积为3，则△ADC的面积为 　 　 ． 9．（2025秋•长治期末）如图，已知△ABC中，AD为BC边上的中线，AD＝4，AE平分∠CAD交BC于点E，∠BAD+∠CAE＝90°，则AC＝　 　 ． 10．（2025秋•海淀区校级期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝10，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 　 　． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是 　 　． A.8＜AD＜10 B.8≤AD≤10 C.1＜AD＜9 D.1≤AD≤9 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， （1）若∠B＝∠C，求证：AB＝DC； （2）若E是CD的中点，AB⊥AE，且AB＝4，AE＝5，求四边形ABCD的面积． 12．（2025春•济南期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB 证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD 在△ADC和△EDB中 AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（ 　 　 ） CD＝BD（中点定义） ∴△ADC≌△EDB（ SAS ） （2）探究得出AD的取值范围是 　 　 ； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长． 13．（2025秋•锡林郭勒盟期中）【初步探索】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，探究AB+AC与2AD的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，先证明△ADC≌△EDB，可得出结论，他的结论应是　 　 【灵活运用】 （2）如图2，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF． 【拓展延伸】 （3）如图3，AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于点A．点E为MN上一点（与点A不重合），△ABC周长记为a，△EBC周长记为b，比较a与b的数量关系并证明． 14．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 　 　 ； （2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF； （3）问题拓展：如图③，△ABC和△ADE中，AD＝DE，AB＝BC，∠EDA＝∠ABC＝90°，点M为EC的中点，点E在线段CA的延长线上．请判断线段DM与线段BM的关系，说明理由． 15．（2025春•锦江区校级期中）已知△ABC为等边三角形，点D为AC边上一动点，以CD为边在△ABC外作等腰△CDE，且∠DEC＝120°． （1）如图1，当D与A重合时，若AB＝6，求BE的长； （2）如图2，将△CDE绕C顺时针旋转α°，连接AD，取AD的中点F，连接BF，EF，BE． ①当0°＜α＜90°时，试探究BF与EF的数量关系与位置关系，并说明理由； ②当0°＜α≤360°时，若AB＝6，当△ABF为直角三角形时，请直接写出此时BE的长． 16．课本再现： （1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质． 如图（1），在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．则DE与BC的关系是 　 　． 定理证明 （2）请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程． 定理应用 （3）如图（2），在四边形ABCD中，点M，N，P分别为AD，BC，BD的中点，BA，CD的延长线交于点E．若∠E＝45°，则∠MPN的度数是　 　 ． （4）如图（3），在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在边AB上，且AE＝3BE．将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AF，点M是线段CF的中点，求旋转过程中线段BM长的最大值和最小值． 17．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 18．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接EC． ①根据所作辅助线可以证得△ADB≌△EDC，其中判定全等的依据为：　 　 ； ②若AB＝4，AC＝3，则AD的取值范围是　 　； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB＝BC，求证：AC平分∠DAE； 【问题拓展】 （3）如图3，BD是四边形ABCD的对角线，∠CDB＝120°，点E是BC边的中点，点F在BD上，CD＝FD，AF＝AB＝BF，若ED＝5，求AD的长． 19．如图，△ABC为等边三角形，D为AB延长线上一点，连接CD，过点A作AE∥CD交CB的延长线于点E，在AC左侧作∠CAF＝∠D，AF交BC于点G． （1）如图1，若∠E＝30°，GF＝2，求DF的长； （2）如图2，若F为CD中点，求证：BE＝BD+AC； （3）如图3，在（2）问的条件下，连接BF，DE，请直接写出的值． 20．（2025春•金牛区校级期中）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD．将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB．点O为线段AB的中点，连接DO，EO． （1）如图1，当点B旋转到CD边上时，线段DO与EO的数量和位置关系是　 　 ； （2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由； （3）若BC＝2，，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，求线段OD的长． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $