专项提升训练10：长方体和正方体解决问题（知识点梳理+题型分类训练共41题）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

专项提升训练10：长方体和正方体解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、棱长与框架问题 1.长方体框架：焊接一个长方体框架，需要角铁的总长度等于长方体( )条长、( )条宽、( )条高的总和。 2.正方体框架：制作一个正方体灯笼或框架，铁丝总长除以( )，即可得到正方体的棱长。 二、表面积的实际应用 3.无盖物体：制作无盖的鱼缸、礼品袋或灯笼，计算表面积时要减去一个( )的面积（即只算5个面）。 4.四周/侧面问题：给房间刷墙或贴壁纸，通常只计算( )个侧面的面积（不包括底面和顶面）。 5.特殊形状： 组合图形：如正方体上叠长方体，表面积 = 大正方体表面积 + 小长方体( )个侧面面积。 挖洞问题：正方体挖去一个小长方体，表面积 = 原正方体表面积 - 2个底面 + 4个( )面。 三、立体图形的切拼（最优化问题） 6.拼合最省料：将多个长方体包装在一起，要使表面积最小，应将两个物体中( )的面重合拼在一起。 7.切割变化：把一个长方体木块截去一部分变成正方体，表面积减少的部分是截去部分的( )个侧面面积。 四、体积与容积 8.排水法：求不规则物体（如土豆、金鱼）的体积，等于水面上升部分水的( )，公式为：底面积 × ( )。 9.等积变形：物体熔化重塑（如蜡烛），形状变但( )不变。水从一个容器倒入另一个容器，水的体积也( )。 10.装箱问题：计算大箱子里能装多少个小盒子，需要用大长方体的长、宽、高分别除以小长方体的( )、( )、( )，再将结果相乘（不能直接用体积相除）。 参考答案 1.4；4；4 2.12 3.底面 4.4 5.4；侧 6.面积最大 7.4 8.体积；上升高度 9.体积；不变 10.长；宽；高 题型分类训练 【题型1】长方体表面积的应用 1．仓库里有一些角铁，长度和根数如下表。王叔叔从中选出一些，正好可以直接焊接成一个长方体框架。如果王叔叔想利用这个长方体框架贴上玻璃做一个无盖的鱼缸，至少需要多少玻璃？ 角铁的长度 根数 9分米 3 6分米 8 4分米 5 【答案】132平方分米 【分析】根据长方体的特征，长、宽、高分别有4条，所以要想做成一个长方体框架，要选择4根4分米角铁、8根6分米角铁。要使无盖的鱼缸的表面积最少，则底面的面积尽可能大，所以长、宽分别是6分米，高是4分米；根据无盖的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，代入数据解答。 【详解】选6分米的角铁8根，4分米的角铁4根。 长方体框架长：6分米，宽：6分米，高：4分米 6×4×4＋6×6 ＝96＋36 ＝132（平方分米） 答：至少需要132平方分米玻璃。 2．如图是一辆货车的长方体油箱展开图，加工这样一个油箱，用1.8平方米铁皮够吗？（接头处忽略不计） 【答案】够 【分析】由图可知，长方体的长是10分米，宽是4分米，高是3分米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出长方体油箱的表面积就是需要铁皮的面积，最后和1.8平方米比较大小，即可求得。 【详解】（10×4＋10×3＋4×3）×2 ＝（40＋30＋12）×2 ＝82×2 ＝164（平方分米） 164平方分米＝1.64平方米 因为1.8平方米＞1.64平方米，所以1.8平方米铁皮够。 答：用1.8平方米铁皮够。 3．学校要为新修建的长方体游泳池贴瓷砖。游泳池内部长25米，宽10米，深2米。现在需要在池底和四面池壁贴满瓷砖。已知池底每平方米需要35块瓷砖，池壁每平方米需要40块瓷砖（因池壁施工损耗较大）。请问： （1）贴瓷砖的总面积是多少平方米？                     （2）至少需要准备多少块瓷砖？ 【答案】（1）390平方米 （2）14350块 【分析】（1）求贴瓷砖的面积，就是求长方体游泳池5个面的面积和，也就是长方体游泳池的表面积；根据长方形表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）根据题意可知，池底每平方米需要35块瓷砖，用游泳池的长×宽，求出游泳池的底面积，再用游泳池的底面积×每平方米需要瓷砖的数量，求出游泳池底面积需要瓷砖的数量；用游泳池池壁的面积×每平方米需要瓷砖的数量，求出池壁需要瓷砖的数量，再把它们相加，即可解答。 【详解】（1）25×10＋（25×2＋10×2）×2 ＝25×10＋（50＋20）×2 ＝25×10＋70×2 ＝250＋140 ＝390（平方米） 答：贴瓷砖的总面积是390平方米。 （25×10）×35＋（25×2＋10×2）×2×40 ＝250×35＋（50＋20）×2×40 ＝250×35＋70×2×40 ＝8750＋140×40 ＝8750＋5600 ＝14350（块） 答：至少需要准备14350块瓷砖。 4．茶厂要设计一种敞口的长方体礼品袋，每袋装2盒下面这样的茶叶（按如图所示的方式竖放，礼品袋高度与茶叶盒高度齐平）。做一个礼品袋至少需要多少平方厘米硬纸？（不考虑空隙和重叠部分） 【答案】 656平方厘米 【分析】两盒茶叶竖放，要使包装袋面积最小，那么就要让茶叶盒子最大的面重合，即2个茶叶盒14×8的面重合，那么包装袋的长是6×2＝12厘米，宽为8厘米，高是14厘米，此时表面积最小。敞口礼品袋缺少顶面，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”即可求出做一个敞口长方体礼品袋至少需要硬纸的面积。据此解答。 【详解】6×2＝12（厘米） 12×8＋12×14×2＋8×14×2 ＝96＋168×2＋112×2 ＝96＋336＋224 ＝432＋224 ＝656（平方厘米） 答：做一个礼品袋至少需要656平方厘米硬纸。 5．二十四，扫房子。爸爸准备将长4.5米，宽3米，高2.8米的房间四周贴上崭新的壁纸，爸爸至少需要买多少平方米的壁纸？ 【答案】42平方米 【分析】先明确所求为房间四周的壁纸面积，也就是长方体的侧面积，不需要计算顶面和底面，接着确定侧面由两组相对的长方形组成，分别是长×高的两个面与宽×高的两个面，先算出一组长乘高、宽乘高的面积并求和，再乘2，最终得到四周墙面的总面积，就是需要购买的壁纸面积。 【详解】4.5×2.8＝12.6（平方米） 3×2.8＝8.4（平方米） 12.6＋8.4＝21（平方米） 21×2＝42（平方米） 答：爸爸至少需要买42平方米的壁纸。 6．小泉用尼龙编织条（如图所示）在三个方向上对一个包装盒进行加固。所用尼龙编织条分别为9分米，11分米，15分米。若每个尼龙加固时接头重叠都是10厘米，那么这个包装盒的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 【答案】38平方分米；12立方分米 【分析】10厘米＝分米，尼龙编织条的长度减接头重叠的长度，可得相应表面的周长；周长除以2可得相应表面“相邻”两边的长度和，累加再除以2可得长、宽、高的长度和；进而用长、宽、高的长度和减两边之和，得到相应的长、宽、高；最后再根据长、宽、高的值算出表面积及体积。 【详解】10厘米＝1分米， 包装盒前、后表面周长：9－1＝8（分米）， 包装盒左、右表面周长：11－1＝10（分米）， 包装盒上、下表面周长：15－1＝14（分米）， 包装盒长与高的长度和：8÷2＝4（分米）， 包装盒宽与高的长度和：10÷2＝5（分米）， 包装盒长与宽的长度和：14÷2＝7（分米）， 长、宽、高的长度和：（4＋5＋7）÷2＝8（分米） 包装盒的长：8－5＝3（分米）， 包装盒的宽：8－4＝4（分米）， 包装盒的高：8－7＝1（分米）， 包装盒的表面积：（3×4＋3×1＋4×1）×2 ＝（12＋3＋4）×2 ＝38（平方分米）， 包装盒的体积：3×4×1＝12（立方分米）。 答：这个包装盒的表面积是38 平方分米，体积是12立方分米。 【点睛】本题考查了长方体特征的认识与应用问题，解答时一定要清楚：9分米的尼龙编织条对应的为包装盒前、后表面的周长加接头重叠长度，11分米的尼龙编织条对应的为包装盒左、右表面的周长加接头重叠长度，15分米的尼龙编织条对应的为包装盒上、下表面的周长加接头重叠长度；长方形表面的周长÷2＝相邻两条边的长度和。 【题型2】正方体表面积的应用 7．如图所示，一个正方体的礼盒，包装盒上的彩带总长是209厘米，其中打结处的蝴蝶结用了17厘米。做这个正方体礼盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 【答案】3456平方厘米 【分析】用彩带的长度减去打结处用的长度，求出剩下彩带的长度，也就是8条棱的长度，再除以8，求出每条棱多少厘米，再根据正方体表面积公式＝棱长×棱长×6，代入数值即可解答。 【详解】（209－17）÷8 ＝192÷8 ＝24（厘米） 24×24×6 ＝576×6 ＝3456（平方厘米） 答：至少需要3456平方厘米的硬纸板。 8．如图是一个棱长为10分米的大正方体和一个棱长为8分米的小正方体叠在一起形成的立体图形，求这个立体图形的表面积。 【答案】856平方分米 【分析】由图可知，可以将小正方体的上面借给大正方体用，这样大正方体的六个面就全了，而小正方体只剩下四个侧面，所以要求这个组合图形的表面积，就是要求大正方体的表面积加小正方体的四个侧面积，据此可解答。 【详解】大正方体表面积：10×10×6＝100×6＝600（平方分米） 小正方体四个侧面积：8×8×4＝64×4＝256（平方分米） 立体图形的表面：600＋256＝856（平方分米） 答：这个立体图形的表面积是856平方分米。 【点睛】解答本题关键利用正方体表面积公式：正方体表面积＝6×棱长×棱长。 9．徐老师用玻璃做了一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少用玻璃多少平方分米？ 【答案】80平方分米 【分析】求这个鱼缸至少需要玻璃的面积，就是求这个正方体金鱼缸5个面的面积和，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×5，代入数据，即可解答。 【详解】4×4×5 ＝16×5 ＝80（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃80平方分米。 10．工人叔叔要制作一个正方体形状的灯笼框架需要84分米长的铁丝。 （1）这个灯笼的棱长是多少分米？ （2）要给这个灯笼表面贴上灯笼纸（上、下面除外），至少需要多少平方分米的灯笼纸？ 【答案】 （1）7分米 （2）196平方分米 【分析】（1）正方体有12条长度相等的棱，制作灯笼架的84分米铁丝长度就是正方体的棱长总和，根据 “正方体棱长＝棱长总和÷12”，用84除以12可算出棱长。 （2）上、下面除外，需要贴灯笼纸的是正方体4个侧面，先由（1）得出的棱长，根据 “正方形面积＝棱长×棱长” 算出一个侧面的面积，再乘4，就能得到4个侧面的总面积，即所需灯笼纸面积。 【详解】（1）84÷12＝7（分米） 答：这个灯笼的棱长是7分米。 （2）7×7×4 ＝49×4 ＝196（平方分米） 答：至少需要196平方分米的灯笼纸。 11．淘气准备做一个棱长8分米的正方体灯笼。 （1）用铁丝做框架，至少需要多少分米的铁丝？ （2）把彩纸贴在除了底面之外的其他面上，他需要准备多少平方分米的彩纸？（接口部分不计） 【答案】（1）96分米 （2）320平方分米 【分析】（1）求铁丝的长度相当于求正方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，列式解答即可； （2）求彩纸的面积相当于求正方体5个面的面积和，彩纸面积＝棱长×棱长×5。 【详解】（1）8×12＝96（分米） 答：至少需要96分米的铁丝。 （2）8×8×5＝320（平方分米） 答：他需要准备320平方分米的彩纸。 12．正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？ 【答案】20平方分米 【分析】用24分米长的铁丝做着一个最大的正方体框架，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，即这个正方体框架的棱长是24÷12＝2分米。用卡纸将5个面包起来，因为正方体每个面的面积都相同，正方体一个面的面积为：棱长×棱长，即2×2＝4平方分米，那么5个面的面积为4×5＝20平方分米，所以需要20平方分米的卡纸。 【详解】24÷12＝2（分米） 2×2×5＝20（平方分米） 答：做这个正方体灯笼（无底）至少需要20平方分米的卡纸。 【题型3】立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 13．将2盒相同的巧克力（长3分米，宽2分米、高1分米）用包装纸包装在一起。怎样包装才能使包装纸用的最少？（不计损耗和接缝） 【答案】将3×2的两个面叠在一起用的包装纸最少 【分析】要求包装纸最少用纸面积，只要找出长方体中最大的面，把两个盒面积最大的面叠在一起即可，因为3×2的面最大，所以把3×2的两个面叠在一起即可；此时的长方体的长为3分米，宽为2分米，高为1×2＝2分米，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】1×2＝2（分米） （3×2＋3×2＋2×2）×2 ＝（6＋6＋4）×2 ＝16×2 ＝32（平方分米） 答：将3×2的两个面叠在一起用的包装纸最少，需要用32平方分米的包装纸。 14．（1）一个礼盒长10分米，宽7分米，高2分米。它的体积有多大？ （2）小方要包装两个礼盒，如图，有以下三种包装方法，请问哪一种方法最节约包装纸？至少要用多少包装纸？（接口处不计） 【答案】（1）140立方分米 （2）第一种；276平方分米 【分析】（1）根据长方体体积＝长×宽×高，求出它的体积； （2）第一种：拼起来的大长方体，长和宽等于原来礼盒的长和宽，高＝原来的高×2；第二种：拼起来的大长方体，长＝原来的长×2，宽和高等于原来礼盒的宽和高；第三种：拼起来的大长方体，长和高等于原来礼盒的长和高，宽＝原来的宽×2。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别计算出三种包装方法的表面积，比较即可。 【详解】（1）10×7×2＝140（立方分米）                 答：它的体积是140立方分米。 （2）第一种：2×2＝4（分米） （10×7＋10×4＋7×4）×2 ＝（70＋40＋28）×2 ＝138×2 ＝276（平方分米）                 第二种：10×2＝20（分米） （20×7＋20×2＋7×2）×2 ＝（140＋40＋14）×2 ＝194×2 ＝388（平方分米） 第三种：7×2＝14（分米） （10×14＋10×2＋14×2）×2 ＝（140＋20＋28）×2 ＝188×2 ＝376（平方分米） 276＜376＜388 答：第一种方法最节约包装纸，至少要用276平方分米包装纸。 15．为了美化校园环境，学校购进一批长方体形状的景观木料。其中一根木料长1.8米，横截面是一个正方形。在施工过程中，工人师傅根据设计需求，沿横截面把这根木料切短了30厘米，切割完成后发现木料的表面积比原来减少了360平方厘米。这根木料原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】 1620立方厘米 【分析】先统一单位，1.8米＝180厘米；沿横截面把木料切短30厘米后，表面积减少的部分是4个相同的长方形的面积之和；已知表面积减少了360平方厘米，则减少的是4个长30厘米、宽为正方形边长的长方形面积，那么一个这样的长方形面积是360÷4＝90平方厘米；根据“长方形面积＝长×宽”得“长方形的宽＝面积÷长”，计算出长方形的宽，也就是横截面正方形的边长；根据“正方形面积＝边长×边长”计算出横截面面积；最后根据“长方体的体积＝横截面面积×长”计算出该木料原来的体积。 【详解】1.8米＝180厘米 360÷4÷30 ＝90÷30 ＝3（厘米） 3×3×180 ＝9×180 ＝1620（立方厘米） 答：这根木料原来的体积是1620立方厘米。 16．在西安举办的“丝路文化交流博览会”上，某商家准备将4盒精美的兵马俑纪念礼盒打包成套装，作为特色礼品进行展销。每盒礼盒尺寸为长20厘米、宽15厘米、厚5厘米。若用包装纸将4盒礼盒包装成一个整体（接头处忽略不计），最少需要多少平方厘米的包装纸？ 【答案】2000平方厘米 【分析】要想使用的包装纸最少，那么就需要把最大的面拼在一起，这样拼成后的大长方体表面积就最小。长×宽的面的面积：20×15＝300（平方厘米），长×高的面的面积：20×5＝100（平方厘米），宽×高的面的面积：15×5＝75（平方厘米），因为75＜100＜300，所以长×宽的面面积最大，将长×宽的面拼在一起。此时拼成后的大长方体的长为20厘米，宽为15厘米，高为（5×4）厘米。然后根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2进行计算，即可求出最少需要多少平方厘米的包装纸。 【详解】5×4＝20（厘米） （20×15＋20×20＋15×20）×2 ＝（300＋400＋300）×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 答：最少需要2000平方厘米的包装纸。 17．乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 【答案】 图见详解；7200平方厘米 【分析】将该长方体中最大的面重合叠放最节省包装纸，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。 【详解】（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米） 所以将的面重叠包装最节省包装纸，如下图： （厘米） （平方厘米） 答：将的面重叠包装最节省包装纸，最少需要7200平方厘米的包装纸。 18．张华要给希望小学的孩子们寄去4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，请你设计出最省纸的包装方法，并计算出需要牛皮纸的面积。（接头处忽略不计） 【答案】先把2本字典最大的面拼在一起，再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起；1440平方厘米 【分析】 要求最省纸，则应把字典最大面拼在一起。先把2本字典的最大面拼在一起，则长是15厘米，宽是10厘米，高是6×2＝12厘米的长方体；这时，再增加同样的两本字典拼成长方体，要让长15厘米，高是12厘米的面拼在一起，变成一个长是15厘米，宽是10×2＝20厘米，高是12厘米的大长方体，如图：；再根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】先把2本字典最大的面拼；再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起。 如图： 拼后的长方体的长是15厘米，宽是10×2＝20（厘米），高是6×2＝12（厘米）。 （15×20＋15×12＋20×12）×2 ＝（300＋180＋240）×2 ＝（480＋240）×2 ＝720×2 ＝1440（平方厘米） 答：需要牛皮纸的面积是1440平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是先把2本字典拼成一个长方体，再把拼后的两个长方体的最大面拼在一起，进而利用长方体表面积公式进行解答。 19．江苏省城市足球联赛简称“苏超”，火爆全网，每一位市民都为自己所在的城市加油助威。多多是一位小足球迷，为了庆祝淮安队获胜，做了一个“足球少年”雕塑。现在要给雕塑配一个正方体底座，于是他把一个长方体木块沿着高截去3分米后，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少了72平方分米。原来长方体木块的体积是多少立方分米？ 【答案】324立方分米 【分析】减少的表面积就是截取的小长方体4个侧面的面积，剩下的部分是一个正方体，得出原来长方体木块的长和宽相等，也就是截取的小长方体的4个侧面的面积相等，这样可以先求出一个侧面的面积，再除以截取的长度，得到原来长方体木块的长，也就是宽，长方体的长加上截取的长度即为长方体木块的高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高求出体积。 【详解】72÷4÷3 ＝18÷3 ＝6（分米） 6×6×（6＋3） ＝36×9 ＝324（立方分米） 答：原来长方体木块的体积是324立方分米。 【点睛】理解减少的表面积就是截取的小长方体4个侧面的面积是解答这道题的关键，从而也能知道原来长方体的长和宽相等。 【题型4】立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 20．如下图所示，某工厂制造一种不锈钢零配件，它的体积是多少立方厘米？ （单位：厘米） 【答案】300立方厘米 【分析】把这个零件可以看成两个长方体，一个长方体是长11厘米，宽4厘米，高厘米，另一个长方体，长厘米，宽4厘米，高5厘米，再根据长方体体积＝长×宽×高，求出两个长方体体积，相加求出零件的体积即可。 【详解】 （立方厘米） 答：它的体积是300立方厘米。 21．食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 【答案】5盒 【分析】按图中月饼盒的摆放，先用计算装入正方体中，第一层能放多少盒，用45除以30；再看能放多少层，用45除以长方体的高，再用长、宽、高所放的盒数相乘，得到正放有几盒。因为正方体纸盒还有空余，刚好是15厘米，月饼盒的高也是15厘米，而空余处的另外两条边是45厘米，足够存月饼盒的另外两条边。以月饼盒“15cm，30cm”的侧面为底，还分别可放2个1盒，所以用正放的盒数加上侧放的盒数，即可得解。 【详解】45÷30＝1（盒）……15（cm） 45÷15＝3（盒）           （盒） （盒） 答：最多能装5盒。 22．把一根圆木锯成一根方木，如下图所示。 （1）方木的体积是多少？ （2）这根方木最多能锯成多少个棱长为2分米的小正方体？ 【答案】（1）160立方分米 （2）20个 【分析】（1）根据长方体体积＝底面积×高＝横截面×长，求出方木侧面积，再乘方木的长即可，注意统一单位。 （2）方木的侧面是边长2分米的正方形，沿着方木的长每2分米即可锯下1个棱长2分米的小正方体，因此直径用方木的长÷小正方体棱长即可。 【详解】（1）4米＝40分米 2×2×40＝160（立方分米） 答：方木的体积是160立方分米。 （2）40÷2＝20（个） 答：这根方木最多能锯成20个棱长为2分米的小正方体。 23．把一个长是40厘米、宽是30厘米、高是20厘米的木块分割成长是4厘米、宽是3厘米、高是2厘米的小长方体。最多能分割成多少块？ 【答案】1000块 【分析】求长方体木块最多能分割成多少块小长方体，就是求大长方体的长、宽、高里面分别有几个小长方体的长、宽、高，用除法计算；再把长、宽、高最多分割的块数相乘，即是小长方体的块数。 【详解】40÷4＝10（个） 30÷3＝10（个） 20÷2＝10（个） 10×10×10＝1000（块） 答：最多能分割成1000块。 24．下面长方体截去一个最大的正方体后，剩下的体积是多少？ 【答案】93立方厘米 【分析】由题意可知，截去最大的正方体，这个正方体的棱长是长方体的最短边，即3厘米，根据和，用长方体的体积减正方体的体积即可得解。 【详解】 （立方厘米） 答：剩下的体积是93立方厘米。 【题型5】组合体的表面积（长方体、正方体） 25．有一个棱长是3分米的正方体零件，从它一个面的正中间向对面挖去一个底面是边长1分米的正方形的小长方体（如图），求加工后这个零件的表面积。 【答案】64平方分米 【分析】这个零件的表面积＝完整的正方体表面积－2个边长1分米的正方形面积＋中间长方体前后左右4个面的面积和，正方体表面积＝棱长×棱长×6，中间长方形前后左右4个面是完全一样的长方形，据此列式解答。 【详解】3×3×6－1×1×2＋1×3×4 ＝54－2＋12 ＝64（平方分米） 答：这个零件的表面积是64平方分米。 26．运动会领奖台是由底面长和宽分别相同的三个长方体拼接而成的（如图单位：厘米），拼接后除了底面不涂漆外，其余面都涂油漆，需要涂油漆的面积是多少平方厘米？ 【答案】50000平方厘米 【分析】观察图形，可以把这个立体图形分割，上面可以分割成三个长方形，而且这三个长方形面积相等；长都是（300÷3＝100）厘米，宽都是50厘米；计算出面积再乘3；就是上面的面积；左右两边通过图形平移，面积也相等，长是50厘米，宽是（30＋40）厘米；计算出面积再乘2；就是左右两面的面积；前面和后面的面积相等；把前面分割成三个长方形，长都是（300÷3＝100）厘米，宽分别是30厘米，（30＋40）厘米，40厘米，计算出它们的面积，再乘2，就是前后面的面积，最后把得到的数相加，就是这个领奖台需要涂漆的面积。 【详解】上面的面积： 100×50×3 ＝5000×3 ＝15000（平方厘米） 左右面的面积： 50×（30＋40）×2 ＝50×70×2 ＝3500×2 ＝7000（平方厘米） 前后面的面积： [100×30＋100×（30＋40）＋100×40]×2 ＝[3000＋100×70＋4000]×2 ＝[3000＋7000＋4000]×2 ＝[10000＋4000]×2 ＝14000×2 ＝28000（平方厘米） 15000＋7000＋28000 ＝22000＋28000 ＝50000（平方厘米） 答：需要涂漆的面积是50000平方厘米。 27．某超市的仓库里有6个棱长为20cm的正方形纸箱，如下图。 （1）一共有（    ）个面露在外面。 （2）李阿姨想给露在外面的面贴上防潮膜，她至少要买多少平方厘米的防潮膜？ （3）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？ 【答案】（1）11     （2）20×20×11＝4400（cm2） （3）改变摆法，露在外面的面积可能不变，也可能会发生变化，因为露在外面的面数不确定。 【分析】（1）分别从正面，上面，右面数露在外面的面数，再分别相加； （2）先求出每个小正方形面的面积，据此再乘11就是露在外面的总面积； （3）改变摆法，露在外面的面积可能不变，也可能会发生变化，因为露在外面的面数不确定。 【详解】（1）正面3个正方形，右面4个正方形，上面4个正方形 （个） （2）（平方厘米） 答：露在外面的面积是4400平方厘米。 （3）改变摆法，露在外面的面积可能不变，也可能会发生变化，因为露在外面的面数不确定. 28．下图是一个由实心正方体和长方体组合而成的塑料部件。下面正方体的棱长是20cm，上面是长方体的前、后、左、右四个面的面积总和为80cm2。这个塑料部件的表面积是多少平方厘米？    【答案】2480平方厘米 【分析】根据题意，通过平移补齐，这个塑料部件的表面积＝正方体的表面积＋长方体的侧面积（前、后、左、右四个面的面积），正方体的表面积＝6a2，据此解答。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） 答：这个塑料部件的表面积是平方厘米。 【点睛】此题考查了长方体与正方体的面积计算，关键熟记计算公式。 29．一个棱长为2分米的正方体木块，沿水平方向将它锯成4片，每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，每条再竖直锯成6块，共得到大大小小的72个长方体木块。这些长方体木块的表面积之和是多少平方分米？ 【答案】104平方分米 【分析】沿水平方向将它锯成4片，则表面积之和比正方体的表面积增加（4－1）×2＝6个正方形面积；每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，则表面积之和又增加（3－1）×2＝4个正方形面积；每条再竖直锯成6块，则表面积之和又增加（6－1）×2＝10个正方形面积。据此先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6求出原来正方体的表面积，再加上增加的（6＋4＋10）个正方形的面积即是这些长方体木块的表面积之和。 【详解】2×2×6＝24（平方分米） （4－1）×2＋（3－1）×2＋（6－1）×2 ＝6＋4＋10 ＝20（个） 2×2×20＋24 ＝80＋24 ＝104（平方分米） 答：这些长方体木块的表面积之和是104平方分米。 【点睛】本题主要考查正方体和长方体表面积的应用。理解每次切分图形时表面积比原来增加了几个正方形面是解题的关键。 【题型6】体积的等积变形（长方体、正方体） 30．如图，一个密封的长方体容器，长20厘米，宽10厘米，高40厘米，里面水深36厘米。 (1)水与容器接触的面积是多少平方厘米？ (2)如果以这个容器的前面为底放在桌上（厚度忽略不计），这时水深多少厘米？ 【答案】(1)2360平方厘米 (2)9厘米 【分析】（1）求水与容器接触的面积，就是求长是20厘米，宽是10厘米，高是36厘米的长方体5个面的面积和；根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，先求出水的体积；由于水的体积不变，以这个容器的前面为底放在桌上，变成一个新的长方体，已知长是40厘米，宽是20厘米，求高，用水的体积÷长方体的长是40厘米，宽是20厘米的底面面积，即可解答。 【详解】（1）20×10＋（20×36＋10×36）×2 ＝20×10＋（720＋360）×2 ＝20×10＋1080×2 ＝200＋2160 ＝2360（平方厘米） 答：水与容器接触的面积是2360平方厘米。 （2）20×10×36÷（20×40） ＝20×10×36÷800 ＝200×36÷800 ＝7200÷800 ＝9（厘米） 答：这时水深9厘米。 31．学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。 (1)原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ (2)这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】(1)96平方厘米 (2)12.8厘米 【分析】解答这道题需明确：正方体表面积＝棱长×棱长×6；正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体体积＝长×宽×高，则长方体的高＝体积÷长÷宽。 （1）题目中已知正方体的棱长为4厘米，根据正方体表面积公式计算即可。 （2）将正方体蜡块熔化后制作成一个长方体蜡块，体积不变。题目中已知长方体的长为2.5厘米，宽为2厘米，先根据正方体体积公式求出蜡块体积，再根据利用体积求长方体高的公式求出长方体的高。 【详解】（1） （平方厘米） 答：原先这块正方体蜡块的表面积是96平方厘米。 （2） （立方厘米） （厘米） 答：这支蜡烛的高是12.8厘米。 32．一个无盖长方体玻璃容器的长、宽、高分别为12厘米、8厘米、20厘米，容器中盛了一些水，已知水面高度为10厘米。 (1)容器中有水多少毫升？（玻璃厚度不计） (2)这时水与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米？ (3)若将一根长方体方钢竖直插入容器底部，使方钢底面与容器底面接触。已知方钢高30厘米，底面是边长为4厘米的正方形。方钢插入后水面会上涨，则上涨后水面高度是多少厘米？ 【答案】(1)960毫升 (2)496平方厘米 (3)12厘米 【分析】（1）把容器中的水看作一个长方体，长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是10厘米，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出容器中水的体积，最后根据“1立方厘米＝1毫升”把体积单位转化为容积单位； （2）求水与玻璃接触部分的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为水与玻璃容器的上底面没有接触，所以只需计算长方体下底面和四个侧面的面积； （3）由题意可知，插入方钢后水的体积不变，水的底面积＝容器的底面积－方钢的底面积，上涨后水面的高度＝水的体积÷水的底面积，据此解答。 【详解】（1）12×8×10 ＝96×10 ＝960（立方厘米） 960立方厘米＝960毫升 答：容器中有水960毫升。 （2）（12×10＋8×10）×2＋12×8 ＝（120＋80）×2＋12×8 ＝200×2＋12×8 ＝400＋96 ＝496（平方厘米） 答：这时水与玻璃接触部分的面积是496平方厘米。 （3）960÷（12×8－4×4） ＝960÷（96－16） ＝960÷80 ＝12（厘米） 答：上涨后水面高度是12厘米。 33．下面是一个密封的长方体容器，长20厘米，宽10厘米，高40厘米，里面水深30厘米，如果以这个容器的前面为底放在桌上，此时水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】1700平方厘米 【分析】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，结合容器初始放置时长20厘米、宽10厘米、水深30厘米的条件算出固定的水的体积，再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，求出容器以前面（长20厘米、高40厘米）为底时的底面积，接着利用体积公式变形：高＝体积÷底面积，算出新的水深7.5厘米，再将此时水的形状视作长20厘米、宽40厘米、高7.5厘米的长方体，根据长方体表面积公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，算出该长方体的完整表面积，减去顶部与水面接触的长方形面积（20×40），即可得到水与容器接触的总面积。 【详解】新的水深：（20×10×30）÷（20×40） ＝（200×30）÷（20×40） ＝6000÷800 ＝7.5（厘米） 接触面积：（20×40＋20×7.5＋40×7.5）×2－20×40 ＝（800＋150＋300）×2－800 ＝（950＋300）×2－800 ＝1250×2－800 ＝2500－800 ＝1700（平方厘米） 答：此时水与容器接触的面积是1700平方厘米。 【点睛】本题的关键在于抓住水的体积不变，先求出容器以前面为底时的水深，再通过长方体表面积公式（减顶面）计算水与容器的接触面积。 34．有甲、乙两个长方体水箱，甲水箱中装有3200立方厘米的水，水面高16厘米；乙水箱是一个空水箱，底面积是300平方厘米。现将甲水箱中的水倒一部分给乙水箱，使两水箱水面的高度相等。这时水面高( )厘米。 【答案】6.4 【分析】水的体积不变，高度相等，可以设想把两个容器的底面连起来，根据体积底面积高，求水面高，列式为3200÷。 【详解】3200÷［（3200÷16）＋300］ ＝3200÷［200＋300］ ＝3200÷500 ＝6.4（厘米） 这时水面高6.4厘米。 【点睛】本题运用了转化思想，将两个独立的水箱转化为“底面积相加的组合容器”，利用“体积不变”的隐含条件，反向套用长方体体积公式求出高。 【题型7】不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 35．在课堂上老师教大家怎样测量一条金鱼的体积，这条金鱼原来在一个长6dm、宽4dm、高5dm的长方体鱼缸中，测得水深18cm，老师把鱼捞出后，水面下降了2cm。你能根据这些信息求出这条金鱼的体积吗？（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】 4.8立方分米 【分析】根据题意，把鱼捞出，水面下降了2厘米，水面下降部分的体积等于这条鱼的体积；水面下降部分是一个长为6分米、宽为4分米、高为2厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出这条鱼的体积。注意单位的换算：1分米＝10厘米。 【详解】厘米分米 体积： （立方分米） 答：这条金鱼的体积为4.8立方分米。 36．如图，在长方体水槽（长为10厘米、宽为8厘米，初始水位高度8厘米和上升后高度9.5厘米）内放一个长为5厘米，宽为4厘米的长方体铁块，这个铁块的高是多少？ 【答案】6厘米 【分析】首先观察题目中的图形和条件：长方体水槽的长为10厘米、宽为8厘米，放入铁块后水面从8厘米上升到9.5厘米；铁块是长5厘米、宽4厘米的长方体。 思考过程：要计算铁块的高，需先确定铁块的体积——根据“排水法”，铁块的体积等于水面上升部分的水的体积（因为水槽是封闭的长方体容器，水面上升的空间体积就是铁块占据的体积）。 接下来，先计算水面上升的高度，再用“水槽底面积×水面上升高度”算出上升水的体积（即铁块体积），最后利用“长方体体积＝长×宽×高”的公式，变形得到“高＝体积÷（长×宽）”，代入铁块的长和宽即可求出高。 【详解】水面上升的高度：9.5－8＝1.5（厘米） 水槽的底面积：10×8＝80（平方厘米） 上升水的体积：80×1.5＝120（立方厘米） 铁块的底面积：5×4＝20（平方厘米） 铁块的高：120÷20＝6（厘米） 答：这个铁块的高是6厘米。 37．一个长方体玻璃缸长8分米、宽5分米、高4分米，水深2.8分米。如果投入一块铁块（完全没入水中），水面刚好升至玻璃缸口，那么这块铁块的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计。） 【答案】48立方分米 【分析】根据题意，这块铁块的体积是水深从2.8分米到4分米的这部分水的体积，根据长方体的体积＝底面积×高计算。 【详解】8×5×（4－2.8） ＝8×5×1.2 ＝40×1.2 ＝48（立方分米） 答：这块铁块的体积是48立方分米。 38．如图①为一个长方体玻璃缸，从里面量，长30厘米，宽15厘米，高20厘米，里面装有一些水。如图②，现将一端抬高后，AB长4厘米，CD长3厘米。 （1）玻璃缸中水的体积是多少升？ （2）如果将这端继续抬高，水到达玻璃缸口并且正好与缸口重合，请你画出此时从前面看，水在玻璃缸中的形状，用阴影表示。 【答案】（1）4.275升 （2） 【分析】（1）根据图2，将玻璃缸的一端抬高，有一部分的水倾斜了，倾斜部分的体积就是将原本玻璃缸的高度减去AB再减去没有倾斜部分的水的高度为CD的体积除以2，即水的体积＝高度为CD水的体积＋（水缸的高度－AB－CD）水的体积÷2；注意最后根据1升＝1立方分米＝1000立方厘米＝1000毫升换算单位即可。 （2）在水倾斜的过程中，水的体积不变，当水到达玻璃缸口并且正好与缸口重合，水的体积＝玻璃缸的高×玻璃缸的宽×长÷2，得出水的长度＝水的体积×2÷20÷15，则长度为28.5厘米，则小于原本长方体玻璃缸的长，画出示意图即可。 【详解】（1）20－4－3＝13（厘米） 30×15×13÷2＋30×15×3 ＝5850÷2＋1350 ＝2925＋1350 ＝4275（立方厘米） 4275立方厘米＝4275毫升＝4.275升 答：玻璃缸中水的体积是4.275升。 （2）4275×2÷20÷15 ＝8550÷20÷15 ＝28.5（厘米） 39．以下是科学课上同学们测量一个土豆的体积时被打乱的实验步骤： ①列式计算出土豆的体积；②找一个无盖的长方体透明塑料桶，量得底面长8厘米，宽6厘米，高30厘米；③将土豆浸没在水里，量出水面高度22厘米；④倒入适量的水，量出水面高度15厘米。 （1）我觉得正确的实验顺序是（    ）。（填序号） （2）这个土豆的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）②④③① （2）336立方厘米 【分析】（1）计算不规则物体的体积，首先在容器内放入一定量的水，然后把不规则物体放进去，完全浸没，看水面上升的高度，最后即可求出不规则物体的体积； （2）不规则物体的体积就是水面上升部分水的体积，所以土豆的体积＝长方体的长×宽×水面上升的高度，其中水面上升的高度就是土豆浸没水中前后的高度差，据此列式解答。 【详解】（1）由分析排序如下：②找一个无盖的长方体透明塑料桶，量得底面长8厘米，宽6厘米，高30厘米；④倒入适量的水，量出水面高度15厘米；③将土豆浸没在水里，量出水面高度22厘米；①列式计算出土豆的体积。也就是②④③①。 （2）8×6×（22－15） ＝8×6×7 ＝48×7 ＝336（立方厘米） 答：这个土豆的体积是336立方厘米。 40．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米。 (1)在鱼缸里注入40升的水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） (2)再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.3分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【答案】(1)2分米 (2)6立方分米 【分析】（1）首先统一单位：40升＝40立方分米。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，变形得：高＝体积÷（长×宽），代入数据计算即可。 （2）鹅卵石的体积等于水面上升的那部分水的体积，代入体积公式计算即可，高就是水面上升的高度。 【详解】（1）40升＝40立方分米 40÷（5×4） ＝40÷20 ＝2（分米） 答：在鱼缸里注入40升的水，水深2分米。 （2）5×4×0.3 ＝20×0.3 ＝6（立方分米） 答：鹅卵石的体积一共是6立方分米。 41．如图，一个棱长20厘米的正方体玻璃容器，里面已经盛了一些水。如果将一个土豆完全浸没在水中，那么水面就会上升2厘米，求这个土豆的体积。 【答案】800立方厘米 【分析】土豆完全浸没在水中，水面上升部分的体积等于土豆的体积。已知正方体玻璃容器的棱长是20厘米，土豆完全浸没在水中，水面就会上升2厘米，用“正方体容器的棱长×棱长×水面上升的高度”即可求出土豆的体积。据此解答。 【详解】20×20×2 ＝400×2 ＝800（立方厘米） 答：这个土豆的体积是800立方厘米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练10：长方体和正方体解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、棱长与框架问题 1.长方体框架：焊接一个长方体框架，需要角铁的总长度等于长方体( )条长、( )条宽、( )条高的总和。 2.正方体框架：制作一个正方体灯笼或框架，铁丝总长除以( )，即可得到正方体的棱长。 二、表面积的实际应用 3.无盖物体：制作无盖的鱼缸、礼品袋或灯笼，计算表面积时要减去一个( )的面积（即只算5个面）。 4.四周/侧面问题：给房间刷墙或贴壁纸，通常只计算( )个侧面的面积（不包括底面和顶面）。 5.特殊形状： 组合图形：如正方体上叠长方体，表面积 = 大正方体表面积 + 小长方体( )个侧面面积。 挖洞问题：正方体挖去一个小长方体，表面积 = 原正方体表面积 - 2个底面 + 4个( )面。 三、立体图形的切拼（最优化问题） 6.拼合最省料：将多个长方体包装在一起，要使表面积最小，应将两个物体中( )的面重合拼在一起。 7.切割变化：把一个长方体木块截去一部分变成正方体，表面积减少的部分是截去部分的( )个侧面面积。 四、体积与容积 8.排水法：求不规则物体（如土豆、金鱼）的体积，等于水面上升部分水的( )，公式为：底面积 × ( )。 9.等积变形：物体熔化重塑（如蜡烛），形状变但( )不变。水从一个容器倒入另一个容器，水的体积也( )。 10.装箱问题：计算大箱子里能装多少个小盒子，需要用大长方体的长、宽、高分别除以小长方体的( )、( )、( )，再将结果相乘（不能直接用体积相除）。 题型分类训练 【题型1】长方体表面积的应用 1．仓库里有一些角铁，长度和根数如下表。王叔叔从中选出一些，正好可以直接焊接成一个长方体框架。如果王叔叔想利用这个长方体框架贴上玻璃做一个无盖的鱼缸，至少需要多少玻璃？ 角铁的长度 根数 9分米 3 6分米 8 4分米 5 2．如图是一辆货车的长方体油箱展开图，加工这样一个油箱，用1.8平方米铁皮够吗？（接头处忽略不计） 3．学校要为新修建的长方体游泳池贴瓷砖。游泳池内部长25米，宽10米，深2米。现在需要在池底和四面池壁贴满瓷砖。已知池底每平方米需要35块瓷砖，池壁每平方米需要40块瓷砖（因池壁施工损耗较大）。请问： （1）贴瓷砖的总面积是多少平方米？                     （2）至少需要准备多少块瓷砖？ 4．茶厂要设计一种敞口的长方体礼品袋，每袋装2盒下面这样的茶叶（按如图所示的方式竖放，礼品袋高度与茶叶盒高度齐平）。做一个礼品袋至少需要多少平方厘米硬纸？（不考虑空隙和重叠部分） 5．二十四，扫房子。爸爸准备将长4.5米，宽3米，高2.8米的房间四周贴上崭新的壁纸，爸爸至少需要买多少平方米的壁纸？ 6．小泉用尼龙编织条（如图所示）在三个方向上对一个包装盒进行加固。所用尼龙编织条分别为9分米，11分米，15分米。若每个尼龙加固时接头重叠都是10厘米，那么这个包装盒的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 【题型2】正方体表面积的应用 7．如图所示，一个正方体的礼盒，包装盒上的彩带总长是209厘米，其中打结处的蝴蝶结用了17厘米。做这个正方体礼盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 8．如图是一个棱长为10分米的大正方体和一个棱长为8分米的小正方体叠在一起形成的立体图形，求这个立体图形的表面积。 9．徐老师用玻璃做了一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少用玻璃多少平方分米？ 10．工人叔叔要制作一个正方体形状的灯笼框架需要84分米长的铁丝。 （1）这个灯笼的棱长是多少分米？ （2）要给这个灯笼表面贴上灯笼纸（上、下面除外），至少需要多少平方分米的灯笼纸？ 11．淘气准备做一个棱长8分米的正方体灯笼。 （1）用铁丝做框架，至少需要多少分米的铁丝？ （2）把彩纸贴在除了底面之外的其他面上，他需要准备多少平方分米的彩纸？（接口部分不计） 12．正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？ 【题型3】立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 13．将2盒相同的巧克力（长3分米，宽2分米、高1分米）用包装纸包装在一起。怎样包装才能使包装纸用的最少？（不计损耗和接缝） 14．（1）一个礼盒长10分米，宽7分米，高2分米。它的体积有多大？ （2）小方要包装两个礼盒，如图，有以下三种包装方法，请问哪一种方法最节约包装纸？至少要用多少包装纸？（接口处不计） 15．为了美化校园环境，学校购进一批长方体形状的景观木料。其中一根木料长1.8米，横截面是一个正方形。在施工过程中，工人师傅根据设计需求，沿横截面把这根木料切短了30厘米，切割完成后发现木料的表面积比原来减少了360平方厘米。这根木料原来的体积是多少立方厘米？ 16．在西安举办的“丝路文化交流博览会”上，某商家准备将4盒精美的兵马俑纪念礼盒打包成套装，作为特色礼品进行展销。每盒礼盒尺寸为长20厘米、宽15厘米、厚5厘米。若用包装纸将4盒礼盒包装成一个整体（接头处忽略不计），最少需要多少平方厘米的包装纸？ 17．乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 18．张华要给希望小学的孩子们寄去4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，请你设计出最省纸的包装方法，并计算出需要牛皮纸的面积。（接头处忽略不计） 19．江苏省城市足球联赛简称“苏超”，火爆全网，每一位市民都为自己所在的城市加油助威。多多是一位小足球迷，为了庆祝淮安队获胜，做了一个“足球少年”雕塑。现在要给雕塑配一个正方体底座，于是他把一个长方体木块沿着高截去3分米后，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少了72平方分米。原来长方体木块的体积是多少立方分米？ 【题型4】立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 20．如下图所示，某工厂制造一种不锈钢零配件，它的体积是多少立方厘米？ （单位：厘米） 21．食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 22．把一根圆木锯成一根方木，如下图所示。 （1）方木的体积是多少？ （2）这根方木最多能锯成多少个棱长为2分米的小正方体？ 23．把一个长是40厘米、宽是30厘米、高是20厘米的木块分割成长是4厘米、宽是3厘米、高是2厘米的小长方体。最多能分割成多少块？ 24．下面长方体截去一个最大的正方体后，剩下的体积是多少？ 【题型5】组合体的表面积（长方体、正方体） 25．有一个棱长是3分米的正方体零件，从它一个面的正中间向对面挖去一个底面是边长1分米的正方形的小长方体（如图），求加工后这个零件的表面积。 26．运动会领奖台是由底面长和宽分别相同的三个长方体拼接而成的（如图单位：厘米），拼接后除了底面不涂漆外，其余面都涂油漆，需要涂油漆的面积是多少平方厘米？ 27．某超市的仓库里有6个棱长为20cm的正方形纸箱，如下图。 （1）一共有（    ）个面露在外面。 （2）李阿姨想给露在外面的面贴上防潮膜，她至少要买多少平方厘米的防潮膜？ （3）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？ 28．下图是一个由实心正方体和长方体组合而成的塑料部件。下面正方体的棱长是20cm，上面是长方体的前、后、左、右四个面的面积总和为80cm2。这个塑料部件的表面积是多少平方厘米？    29．一个棱长为2分米的正方体木块，沿水平方向将它锯成4片，每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，每条再竖直锯成6块，共得到大大小小的72个长方体木块。这些长方体木块的表面积之和是多少平方分米？ 【题型6】体积的等积变形（长方体、正方体） 30．如图，一个密封的长方体容器，长20厘米，宽10厘米，高40厘米，里面水深36厘米。 (1)水与容器接触的面积是多少平方厘米？ (2)如果以这个容器的前面为底放在桌上（厚度忽略不计），这时水深多少厘米？ 31．学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。 (1)原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ (2)这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 32．一个无盖长方体玻璃容器的长、宽、高分别为12厘米、8厘米、20厘米，容器中盛了一些水，已知水面高度为10厘米。 (1)容器中有水多少毫升？（玻璃厚度不计） (2)这时水与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米？ (3)若将一根长方体方钢竖直插入容器底部，使方钢底面与容器底面接触。已知方钢高30厘米，底面是边长为4厘米的正方形。方钢插入后水面会上涨，则上涨后水面高度是多少厘米？ 33．下面是一个密封的长方体容器，长20厘米，宽10厘米，高40厘米，里面水深30厘米，如果以这个容器的前面为底放在桌上，此时水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 34．有甲、乙两个长方体水箱，甲水箱中装有3200立方厘米的水，水面高16厘米；乙水箱是一个空水箱，底面积是300平方厘米。现将甲水箱中的水倒一部分给乙水箱，使两水箱水面的高度相等。这时水面高( )厘米。 【题型7】不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 35．在课堂上老师教大家怎样测量一条金鱼的体积，这条金鱼原来在一个长6dm、宽4dm、高5dm的长方体鱼缸中，测得水深18cm，老师把鱼捞出后，水面下降了2cm。你能根据这些信息求出这条金鱼的体积吗？（鱼缸厚度忽略不计） 36．如图，在长方体水槽（长为10厘米、宽为8厘米，初始水位高度8厘米和上升后高度9.5厘米）内放一个长为5厘米，宽为4厘米的长方体铁块，这个铁块的高是多少？ 37．一个长方体玻璃缸长8分米、宽5分米、高4分米，水深2.8分米。如果投入一块铁块（完全没入水中），水面刚好升至玻璃缸口，那么这块铁块的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计。） 38．如图①为一个长方体玻璃缸，从里面量，长30厘米，宽15厘米，高20厘米，里面装有一些水。如图②，现将一端抬高后，AB长4厘米，CD长3厘米。 （1）玻璃缸中水的体积是多少升？ （2）如果将这端继续抬高，水到达玻璃缸口并且正好与缸口重合，请你画出此时从前面看，水在玻璃缸中的形状，用阴影表示。 39．以下是科学课上同学们测量一个土豆的体积时被打乱的实验步骤： ①列式计算出土豆的体积；②找一个无盖的长方体透明塑料桶，量得底面长8厘米，宽6厘米，高30厘米；③将土豆浸没在水里，量出水面高度22厘米；④倒入适量的水，量出水面高度15厘米。 （1）我觉得正确的实验顺序是（    ）。（填序号） （2）这个土豆的体积是多少立方厘米？ 40．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米。 (1)在鱼缸里注入40升的水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） (2)再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.3分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 41．如图，一个棱长20厘米的正方体玻璃容器，里面已经盛了一些水。如果将一个土豆完全浸没在水中，那么水面就会上升2厘米，求这个土豆的体积。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $