专项提升训练04：因数与倍数解决问题（知识点梳理+题型分类训练共37题）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

专项提升训练04：因数与倍数解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、根据因数与倍数的特征解决问题 1.因数特征：将总数排成队列（长方形），行数×列数=总数。求有多少种排法，就是找总数的( )的对数。 2.倍数特征：如果总数能被每份数整除而没有剩余，说明总数是每份数的( )。 3.质数与合数：质数只有( )和它本身两个因数；合数除了1和它本身，还有其他因数。1既不是质数也不是合数。 二、最大公因数的应用（“分组”、“截断”问题） 4.应用场景：把两组数量不同的物品（或两根不同长度的绳子）平均分成若干份，要求每份的数量( )且没有剩余，求每份最多是多少？或者求最多可以分成多少组？ 5.解题关键：题目中出现“最多”、“最长”、“最大”等词，且要求平均分配无剩余，通常用( )公因数解决问题。 6.方法：求出各数量的( )公因数，该数即为每组的数量（或组数）。 三、最小公倍数的应用（“排队”、“周期”问题） 7.应用场景：几个人数不同的队伍，要求重新调整成每行人数相同的队列（或者周期性事件再次重合）。 8.解题关键：题目中出现“至少”、“最少”、“再次相遇”、“正好排完”等词，且涉及多个数的共同倍数，通常用( )公倍数解决问题。 9.特殊情况： 多出/剩余：总数比公倍数多一部分，公式：总数 = 最小公倍数 + ( )。 不足/缺少：总数比公倍数少一部分，公式：总数 = 最小公倍数 - ( )。 题型分类训练 【题型1】根据因数的特征解决问题 1．2025年5月1日，深圳科学技术馆新馆正式开馆。开馆表演中，16台机器人编队通过变换不同的长方形队列形式呈现图案，长方形队列可以是几行几列？（写出所有可能） 2．正值金秋时节，兴平的特产辣椒喜获丰收。农户老李精心挑选了一筐红彤彤的兴平辣椒，准备分享给邻里。现在要把这筐辣椒全部取出来，至少分成2堆，且每堆中辣椒的个数相同（至少2个），已知这筐辣椒有60个，那么一共有几种分法？ 3．周末超市开展“酸奶促销”活动，张阿姨要包装24盒酸奶，有多种包装规格，要求每箱装的盒数相同且不能单独一盒装一箱或所有的装一箱。请问：张阿姨有多少种不同的包装选择？每种包装每箱装几盒？ 4．实验小学五年级72名学生要去社区参与绿植养护活动，需分成人数相等的小组，每组负责一片绿化带的杂草清除、浇水和修剪。为保证能快速完成一片区域的养护，每组不少于5人；又因社区绿化带面积有限，每组不多于15人。请问有几种不同的分组方式？每组最少几人，可以分几组？每组最多几人，可以分几组？ 5．缫丝工需要操作缫丝机，将熟茧制成生丝。张师傅将48位缫丝工分成人数相等的小组（每组人数大于1，不止1组），可以分几组？列表写出所有方案。 6．为庆祝妇女节，五（1）班准备表演一个献给妈妈的舞蹈节目，共选出参演学生36名。现在要给舞蹈排队列（每行最少不低于2人，最多不超过15人），你认为有多少种排队方法？ 【题型2】根据倍数的特征解决问题 7．榆林市建立了许多长城保护工作站，数量在60～70之间，若把这些长城保护工作站平均分布在13个辖区，还余下3个长城保护工作站，榆林市的长城保护工作站有多少个？ 8．冰糖葫芦又叫糖葫芦，是中国传统小吃，起源于南宋。刘爷爷准备了90颗山楂制作糖葫芦，如果每8颗穿成一串，能正好穿完吗？如果每6颗穿成一串，能正好穿完吗？为什么？ 9．淘气家一共有5口人，妈妈买了一些水果，淘气把其中的苹果平均分给每个人刚好分完没有剩余。爷爷和奶奶更爱吃梨，于是把苹果还给了淘气，淘气把全部的苹果又重新分配了一下，还是刚好分完没有剩余。妈妈买的苹果至少有多少个？ 10．远古时代，人们为了记下猎物的多少用结绳计数。一位猎人的打猎数在30~40，每根绳上打7个结，最后还剩1只猎物未打结。这位猎人打了多少只猎物？ 11．有甲、乙、丙三种不同型号的包装盒。现有93个彩蛋，选用哪种包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完？请说明理由。 12．现有10人玩“明7暗7”的游戏，下面是该游戏的规则，如果每人轮到了5次，那么有几人拍了手？ 游戏规则：若干人首尾相接，从1开始报数，如果遇到7的倍数或个位数字是7的数就不报数，改为拍手示意。 【题型3】倍数和因数的综合应用 13．星源小学举行武术操比赛，每一个参赛方队站2~4列，每一列的人数必须都相等。一个方队有多少名同学？下面几个人中只有一个是对的，谁说得对？请写出你的理由。 14．小明家的门锁是个密码锁，已知这个密码锁的密码是一个6位数，第一位上的数是最小的质数；第二位上的数是最小合数的2倍；第三位上的数是3的倍数，且是最大的一位数；第四位上的数既是5的倍数又是5的因数；第五位上的数的所有因数是1，7；第六位上的数是第一位上数的3倍。这个密码锁的密码是多少？请写出你的理由。 15．如图，5个小朋友按媛媛、姗姗、凯凯、兰兰、星星、媛媛……的顺序从1开始依次报数。像这样一直报下去，谁会报到35的因数？这些因数分别由谁报出？ 16．在学校运动会开幕式上，48人组成了一支体操队，表演时需要变换队形。 （1）如果站成长方形队列，根据给出的行数填写下表。 行数 2 3 4 6 每行人数 （2）如果站成正方形队列，至少要去掉多少人？ 或者至少增加多少人？ 【题型4】用最大公因数解决实际问题 17．元宵节是中国传统节日，常青社区在元宵节开展用竹篾扎灯笼活动。要把两根长厘米和厘米的竹篾截成同样长的小段，如果都正好截完且没有剩余，则每段最长是多少厘米？ 18．老师发奖品，买来33本笔记本和52支中性笔奖给“作业之星”，结果笔记本剩下1本，中性笔剩下4支，你知道被评为“作业之星”的同学最多有多少人吗？每人奖励笔记本和中性笔各多少？ 19．端午节是我国古老的传统节日，始于春秋战国时期，至今已有2000多年的历史。端午节习俗很多，主要有吃粽子、赛龙舟等。妈妈包了47个肉粽子和39个蜜枣粽子，把它们平均分给几个亲戚，结果肉粽子剩2个，蜜枣粽子剩3个，妈妈最多分给几个亲戚？ 20．在六一儿童节的欢乐氛围中，红星小学六年级的孩子们即将告别属于他们的童年六一。学校为嘉奖表现优秀的学生，购置了38支刻有校园风景的钢笔和47支写有班级寄语的铅笔作为奖品。分配时发现：钢笔平均分后余2支，铅笔若全部平均分发，需补1支，获奖学生最多有多少人？ 21．端午节的时候，妈妈将64个甜粽子和48个咸粽子搭配成礼盒送给家里的长辈们。如果每个礼盒里面的甜粽子数量相同，每个礼盒里面的咸粽子数量也相同，那么每个礼盒里面最少装多少个粽子？ 22．学校运动会筹备组采购了60瓶矿泉水和48块巧克力，准备分装成若干份“能量包”分给志愿者。每个“能量包”里的矿泉水瓶数和巧克力块数分别相同，并且没有剩余。这些物资最多可以装成多少份“能量包”？每份“能量包”里各有多少瓶矿泉水和多少块巧克力？ 23．老师要将72块巧克力和48块饼干平均分给表现优秀的学生，要求每名学生分到的巧克力和饼干的数量相同，且没有剩余。最多可以分给多少名学生？每名学生分到巧克力和饼干各多少块？ 24．某校同学到湿地公园开展社会实践活动，到达后进行分组。五（1）班48名同学，四（1）班人数比五（1）班多6人。现要求两班每组人数一样多，每组最多可以有多少人？ 25．园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 26．有以下四张数字卡牌，任意抽两张组成一个两位数。是3的倍数的有哪些数？同时是2和3的倍数的有哪些数？同时是3和5的倍数的有哪些数？（写出全部可能） 27．某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 【题型5】用最小公倍数解决实际问题 28．靖边羊肉，乃陕西省榆林市靖边县之瑰宝，其美味与独特之处，早已名扬四海。小明家养了一群羊，小明发现，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完。小明家至少养了多少只羊？ 29．通师一附小学举行广播操比赛，五年级二班设计的队形方案：1名学生在前面领操，其他学生既可以正好排成每行12人，也可以正好排成每行16人。五二班至少有学生多少人？ 30．五（1）班组织一些同学参加“六一”队列操表演，正好可以站成每列6人，或者每列8人。五（1）班至少组织多少名同学参加队列操表演？ 31．五年级要进行课间操表演，前面有2名学生领操，其余学生每12人排成一行或者每18人排成一行都能正好排成整行。已知五年级总人数超过50人但不超过100人，那么五年级共有学生多少人？ 32．快放假了，王奶奶给乐乐寄过来一盒巧克力糖果，乐乐想和同班同学分享这些巧克力，巧克力无论是6个6个地数，还是8个8个地数，最后都多出3个，请你推测一下乐乐的这盒巧克力糖果至少多少颗？ 33．淘气的妈妈做了一些蛋黄酥，个数在20~40个之间，准备在吃年夜饭时让大家品尝。淘气3个3个地数，多1个；5个5个地数，也多一个，淘气的妈妈一共做了多少个蛋黄酥？ 34．汉字书法被誉为“无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐”，小明要誊写一篇毛笔字，这篇毛笔字的字数在50～70之间，无论是一列3个字还是一列5个字，最后都剩下1个字，这篇毛笔字一共有多少个字？ 35．一年一度的秋季运动会要开始啦，五年级同学准备一个入场式表演。为了使队形显得整齐，只能排成方形。编排老师要求，所参加的人数无论排成3行、4行或5行，都还需有一名同学在队伍正前方举牌。请问：至少选多少人参加入场式表演？ 36．五年级参加合唱社团活动的人数在50~60人之间，7人7人地数差1人，8人8人地数也差1人，你知道合唱社团一共有多少人吗？ 37．2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲。当天，阳光小学组织五年级学生在阶梯教室观看，观看“天宫课堂”的学生不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排。至少有多少人在观看“天宫课堂”？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练04：因数与倍数解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、根据因数与倍数的特征解决问题 1.因数特征：将总数排成队列（长方形），行数×列数=总数。求有多少种排法，就是找总数的( )的对数。 2.倍数特征：如果总数能被每份数整除而没有剩余，说明总数是每份数的( )。 3.质数与合数：质数只有( )和它本身两个因数；合数除了1和它本身，还有其他因数。1既不是质数也不是合数。 二、最大公因数的应用（“分组”、“截断”问题） 4.应用场景：把两组数量不同的物品（或两根不同长度的绳子）平均分成若干份，要求每份的数量( )且没有剩余，求每份最多是多少？或者求最多可以分成多少组？ 5.解题关键：题目中出现“最多”、“最长”、“最大”等词，且要求平均分配无剩余，通常用( )公因数解决问题。 6.方法：求出各数量的( )公因数，该数即为每组的数量（或组数）。 三、最小公倍数的应用（“排队”、“周期”问题） 7.应用场景：几个人数不同的队伍，要求重新调整成每行人数相同的队列（或者周期性事件再次重合）。 8.解题关键：题目中出现“至少”、“最少”、“再次相遇”、“正好排完”等词，且涉及多个数的共同倍数，通常用( )公倍数解决问题。 9.特殊情况： 多出/剩余：总数比公倍数多一部分，公式：总数 = 最小公倍数 + ( )。 不足/缺少：总数比公倍数少一部分，公式：总数 = 最小公倍数 - ( )。 参考答案 1.因数 2.倍数 3.1 4.相同 5.最大 6.最大 7.（此题为理解性填空，核心是找共同的倍数） 8.最小 9.余数；缺少数 题型分类训练 【题型1】根据因数的特征解决问题 1．2025年5月1日，深圳科学技术馆新馆正式开馆。开馆表演中，16台机器人编队通过变换不同的长方形队列形式呈现图案，长方形队列可以是几行几列？（写出所有可能） 【答案】1行16列；2行8列；4行4列；8行2列；16行1列 【分析】根据题目要求将16台机器人排成长方形队列，几行几列的形式，即求的是16的所有整数因数对（行数×列数＝机器人总数），且行数列数顺序不同是不同的排列形式。据此解答。 【详解】16＝1×16，表示1行16列； 16＝2×8，表示2行8列； 16＝4×4，表示4行4列； 16＝8×2，表示8行2列； 16＝16×1，表示16行1列。 答：长方形队列可以是1行16列、2行8列、4行4列、8行2列、16行1列。 2．正值金秋时节，兴平的特产辣椒喜获丰收。农户老李精心挑选了一筐红彤彤的兴平辣椒，准备分享给邻里。现在要把这筐辣椒全部取出来，至少分成2堆，且每堆中辣椒的个数相同（至少2个），已知这筐辣椒有60个，那么一共有几种分法？ 【答案】10种 【分析】将60个辣椒平均分成若干堆，每堆个数相同且至少2个，即找出60的因数中满足至少是2堆，且每堆个数至少是2个的因数个数。 【详解】60的因数有：1， 2， 3， 4， 5， 6， 10， 12， 15， 20， 30， 60。 辣椒可以分为2堆，每堆30个；3堆，每堆20个；4堆，每堆15个；5堆，每堆12个；6堆，每堆10个；10堆，每堆6个；12堆，每堆5个；15堆，每堆4个；20堆，每堆3个；30堆，每堆2个，一共有10种。 答：一共有10种分法。 3．周末超市开展“酸奶促销”活动，张阿姨要包装24盒酸奶，有多种包装规格，要求每箱装的盒数相同且不能单独一盒装一箱或所有的装一箱。请问：张阿姨有多少种不同的包装选择？每种包装每箱装几盒？ 【答案】6种；2、3、4、6、8或12盒 【分析】每箱盒数相同，即每箱盒数是24的因数，且不能一盒装一箱、不能24盒装一箱。因数是指能整除24且无余数的整数，按“成对找因数”的方法，找出24的所有因数，再确定符合条件的因数即可。 【详解】1×24＝24 2×12＝24 3×8＝24 4×6＝24 排除“1”和“24”，剩余2、3、4、6、8、12，共6个。 答：张阿姨有6种不同的包装选择；每种包装每箱可以装2、3、4、6、8或12盒。 4．实验小学五年级72名学生要去社区参与绿植养护活动，需分成人数相等的小组，每组负责一片绿化带的杂草清除、浇水和修剪。为保证能快速完成一片区域的养护，每组不少于5人；又因社区绿化带面积有限，每组不多于15人。请问有几种不同的分组方式？每组最少几人，可以分几组？每组最多几人，可以分几组？ 【答案】4种；最少6人，分12组；最多12人，分6组 【分析】要求将72名学生分成人数相等的小组，每组人数在5到15人之间（包括5和15）。分组方式取决于72的因数，因为每组人数相等，且总人数固定。需要找出72的所有因数中，满足不小于5且不大于15的因数，这些因数对应不同的每组人数，进而确定组数。 【详解】72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。 筛选出在5到15之间（包括5和15）的因数：6、8、9、12。 当每组6人时，组数为72÷6＝12（组） 当每组8人时，组数为72÷8＝9（组） 当每组9人时，组数为72÷9＝8（组） 当每组12人时，组数为72÷12＝6（组） 因此，有4种不同的分组方式。 答：有4种不同的分组方式；每组人数最少为6人，可以分12组；每组人数最多为12人，可以分6组。 5．缫丝工需要操作缫丝机，将熟茧制成生丝。张师傅将48位缫丝工分成人数相等的小组（每组人数大于1，不止1组），可以分几组？列表写出所有方案。 【答案】见详解 【分析】先列举48的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。已知每组人数大于1、组数不止1组，排除因数1（每组人数需大于1）和48（若每组48人则只有1组，不符合“不止1组”的要求），剩余有效因数为：2、3、4、6、8、12、16、24。根据“每组人数＝总人数÷分组数”的数量关系，依次选取符合条件的分组数，分别计算对应的每组人数。将计算得出的分组数与每组人数一一对应，最终通过列表形式整理出所有满足题意的分组方案，清晰呈现结果。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 因为每组人数大于1且不止1组，所以分组数不能是1和48。 当分组数为2组时，每组人数为48÷2＝24（人）； 当分组数为3组时，每组人数为48÷3＝16（人）； 当分组数为4组时，每组人数为48÷4＝12（人）； 当分组数为6组时，每组人数为48÷6＝8（人）； 当分组数为8组时，每组人数为48÷8＝6（人）； 当分组数为12组时，每组人数为48÷12＝4（人）； 当分组数为16组时，每组人数为48÷16＝3（人）； 当分组数为24组时，每组人数为48÷24＝2（人）。 列表如下： 组数 每组人数 2 24 3 16 4 12 6 8 8 6 12 4 16 3 24 2 答：可分的组数为：2组、3组、4组、6组、8组、12组、16组、24组。 6．为庆祝妇女节，五（1）班准备表演一个献给妈妈的舞蹈节目，共选出参演学生36名。现在要给舞蹈排队列（每行最少不低于2人，最多不超过15人），你认为有多少种排队方法？ 【答案】6种 【分析】每行的人数是36的因数，且这些因数最小是2，最大不超过15。 【详解】36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。 每行人数 2 3 4 6 9 12 行数 18 12 9 6 4 3 答：有6种排队方法。 【点睛】本题考查了找一个数的因数。 【题型2】根据倍数的特征解决问题 7．榆林市建立了许多长城保护工作站，数量在60～70之间，若把这些长城保护工作站平均分布在13个辖区，还余下3个长城保护工作站，榆林市的长城保护工作站有多少个？ 【答案】68个 【分析】考虑13的倍数：我们知道13的倍数有13、26、39、52、65、78等等。因为工作站数量在60～70之间，且是平均分给13个辖区后还余3个，所以我们要找13在这个范围内的倍数。在13的倍数中，符合60～70之间的是65。计算工作站总数：因为平均分配后还余下3个工作站，所以总数就是这个倍数加上余数。据此解答。 【详解】13的倍数有13，26，39，52，65，78… 60＜65＜70 65＋3＝68（个） 答：榆林市的长城保护工作站有68个。 8．冰糖葫芦又叫糖葫芦，是中国传统小吃，起源于南宋。刘爷爷准备了90颗山楂制作糖葫芦，如果每8颗穿成一串，能正好穿完吗？如果每6颗穿成一串，能正好穿完吗？为什么？ 【答案】每8颗穿成一串：不能正好穿完。 每6颗穿成一串：能正好穿完。 原因见详解 【分析】判断每8颗穿一串或每6颗穿一串是否能正好穿完，即判断90是否能被8整除和是否能被6整除。计算90÷8和90÷6，观察余数是否为0，即可得出结论。如果除法运算的余数为0，则山楂数量能被每串颗数整除，能正好穿完；否则，不能正好穿完。 【详解】90÷8＝11（串）……2（颗） 90÷6＝15（串） 答：如果每8颗穿成一串，不能正好穿完，如果每6颗穿成一串，能正好穿完。 原因：如果除法运算的余数为0，则山楂数量能被每串颗数整除，能正好穿完；否则，不能正好穿完。 9．淘气家一共有5口人，妈妈买了一些水果，淘气把其中的苹果平均分给每个人刚好分完没有剩余。爷爷和奶奶更爱吃梨，于是把苹果还给了淘气，淘气把全部的苹果又重新分配了一下，还是刚好分完没有剩余。妈妈买的苹果至少有多少个？ 【答案】15个 【分析】由题可知，平均分给5个人或平均分给3个人都没有剩余，说明苹果的个数是3和5的倍数，求妈妈买的苹果至少有多少个，就是求3和5共同的倍数，据此解答。 【详解】3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30… 5的倍数：5、10、15、20、25、30… 3和5的倍数：15、30… 所以3和5的共同的倍数是15、30… 答：妈妈买的苹果至少有15个。 10．远古时代，人们为了记下猎物的多少用结绳计数。一位猎人的打猎数在30~40，每根绳上打7个结，最后还剩1只猎物未打结。这位猎人打了多少只猎物？ 【答案】7的倍数有7，14，21，28，35，42，…… 35＋1＝36（只） 【分析】题目中说猎人的猎物数在30∼40之间，每根绳打7个结，最后还剩1只猎物未打结。这意味着猎物的总数减去1之后，是7的倍数。所以我们需要找出30∼40之间，比7的倍数多1的数。 【详解】，，。其中在30∼40之间的7的倍数是35。 因为猎物总数比7的这个倍数多1，所以猎物总数为 答：这位猎人打了36只猎物。 11．有甲、乙、丙三种不同型号的包装盒。现有93个彩蛋，选用哪种包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完？请说明理由。 【答案】选用每盒可以装3个的包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完；理由见详解 【分析】用彩蛋的总数分别除以每种包装盒可以装的个数，找出没有余数的，即为选用的包装盒。 【详解】93÷3＝31（盒） 93÷6＝15（盒）……3（个） 93÷8＝11（盒）……5（个） 答：选用每盒可以装3个的包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完；因为用另外两种包装盒都有剩余的彩蛋。 12．现有10人玩“明7暗7”的游戏，下面是该游戏的规则，如果每人轮到了5次，那么有几人拍了手？ 游戏规则：若干人首尾相接，从1开始报数，如果遇到7的倍数或个位数字是7的数就不报数，改为拍手示意。 【答案】7人 【分析】十个人玩，每人轮到了5次，则一直报数到50，据此解答即可。 【详解】数字1到50中，需要拍手的数是：7，14，17，21，27，28，35，37，42，47，49 则第7，4，1，8，5，2，9个人拍了手，共7人。 答：有7人拍了手。 【点睛】解答本题的关键是掌握求一个数的倍数的方法。 【题型3】倍数和因数的综合应用 13．星源小学举行武术操比赛，每一个参赛方队站2~4列，每一列的人数必须都相等。一个方队有多少名同学？下面几个人中只有一个是对的，谁说得对？请写出你的理由。 【答案】45名同学；小贝说得对；理由见详解 【分析】由题中所说每一个参赛方队站2~4列，总人数＝列数×每列人数，所以总人数一定为合数。由41和43均为质数，45是合数，可知一共多少名同学，谁说的是对的。 【详解】因为每一个参赛方队站2~4列， 所以总人数一定为2或3或4的倍数， 所以总人数一定是合数。 因为41和43都是质数，45是合数，45＝3×15， 所以一个方队有45名同学，小贝说的是正确的。 14．小明家的门锁是个密码锁，已知这个密码锁的密码是一个6位数，第一位上的数是最小的质数；第二位上的数是最小合数的2倍；第三位上的数是3的倍数，且是最大的一位数；第四位上的数既是5的倍数又是5的因数；第五位上的数的所有因数是1，7；第六位上的数是第一位上数的3倍。这个密码锁的密码是多少？请写出你的理由。 【答案】289576；理由见详解 【分析】质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；最小的质数是2； 合数：一个数，除了1和它本数两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4；一个数，最小的倍数和最大的因数是它本身；以及求一个数倍数的方法进行解答。 【详解】第一位：最小的质数是2，是2； 第二位：最小的合数是4；4×2＝8，是8； 第三位：是3的倍数，且是最大的一位数，是9； 第四位：5既是5的倍数，也是5的因数，是5； 第五位：所有因数是1，7，1×7＝7，是7； 第六位：是第一位上数的3倍，2×3＝6，是6。 这个密码锁是289576。 答：这个密码锁是289576。 15．如图，5个小朋友按媛媛、姗姗、凯凯、兰兰、星星、媛媛……的顺序从1开始依次报数。像这样一直报下去，谁会报到35的因数？这些因数分别由谁报出？ 【答案】媛媛、姗姗、星星会报到35的因数。35的因数有1，5，7，35，所以媛媛报1、星星报5和35、姗姗报7。 【分析】根据题意，先用乘法求出35的因数，再据此判断是由哪位小朋友报出即可。 【详解】因为，所以35的因数有：1，5，7，35。 媛媛报1，星星报5，姗姗报7，又因为5个小朋友一个循环，35是5的倍数，所以星星也会报到35。 答：媛媛、姗姗、星星会报到35的因数。35的因数有1，5，7，35，所以媛媛报1、星星报5和35、姗姗报7。 16．在学校运动会开幕式上，48人组成了一支体操队，表演时需要变换队形。 （1）如果站成长方形队列，根据给出的行数填写下表。 行数 2 3 4 6 每行人数 （2）如果站成正方形队列，至少要去掉多少人？ 或者至少增加多少人？ 【答案】 （1）24，16，12，8 （2）至少要去掉12人或者至少增加1人 【分析】（1）据题意得：每行人数×行数＝总人数，已知总人数是48人，行数分别为2、3、4、6，运用除法计算得出答案； （2）站成正方形队列，则需要行数＝每行人数，即总人数＝行数×行数。据此可得到比48小的最大人数，比48大的最小人数。据此可得出答案。 【详解】（1）每行人数计算如下： 行数2时：48 ÷ 2 ＝ 24（人） 行数3时：48 ÷ 3 ＝ 16（人） 行数4时：48 ÷ 4 ＝ 12（人） 行数6时：48 ÷ 6 ＝ 8（人） 填表结果依次为24、16、12、8。 （2）比48小的最大人数是6×6＝36，需去掉48−36＝12人； 比48大的最小人数是7×7＝49，需增加49−48＝1人。 答：至少去掉12人或增加1人。 【题型4】用最大公因数解决实际问题 17．元宵节是中国传统节日，常青社区在元宵节开展用竹篾扎灯笼活动。要把两根长厘米和厘米的竹篾截成同样长的小段，如果都正好截完且没有剩余，则每段最长是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】题中要求截成长度相等而且最长的木条，所以每段木条的长度就是100和120的最大公因数。可用短除法求出100和120的最大公因数。 【详解】 100和120的最大公因数是：（厘米） 答：每段最长是20厘米。 18．老师发奖品，买来33本笔记本和52支中性笔奖给“作业之星”，结果笔记本剩下1本，中性笔剩下4支，你知道被评为“作业之星”的同学最多有多少人吗？每人奖励笔记本和中性笔各多少？ 【答案】16人；2本；3支 【分析】用33－1＝32本，求出笔记本发的本数；用52－4＝48支，求出中性笔发的支数；求被评为“作业之星”的同学最多的人数，就是求32和48的最大公因数；根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此求出“作业之星”的同学的人数，再用发的笔记本的本数÷“作业之星”的同学的人数，求出每人奖励笔记本的本数；用发的中性笔的支数÷“作业之星”的同学的人数，求出每人奖励中性笔的支数，据此解答。 【详解】33－1＝32（本）     52－4＝48（支） 32＝2×2×2×2×2 48＝2×2×2×2×3 32和48的最大公因数是2×2×2×2＝16；被评为“作业之星”的同学最多有16人。 32÷16＝2（本）      48÷16＝3（支） 答：被评为“作业之星”的同学最多有16人。每人奖励笔记本2本，中性笔3支。 19．端午节是我国古老的传统节日，始于春秋战国时期，至今已有2000多年的历史。端午节习俗很多，主要有吃粽子、赛龙舟等。妈妈包了47个肉粽子和39个蜜枣粽子，把它们平均分给几个亲戚，结果肉粽子剩2个，蜜枣粽子剩3个，妈妈最多分给几个亲戚？ 【答案】9个 【分析】读题可知，肉粽子分了（47－2）个，蜜枣粽子分了（39－3）个，求出（47－2）和（39－3）的最大公因数是最多分给的亲戚人数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】（个）    （个） 45＝3×3×5 36＝2×2×3×3 3×3＝9（个） 答：妈妈最多分给9个亲戚。 20．在六一儿童节的欢乐氛围中，红星小学六年级的孩子们即将告别属于他们的童年六一。学校为嘉奖表现优秀的学生，购置了38支刻有校园风景的钢笔和47支写有班级寄语的铅笔作为奖品。分配时发现：钢笔平均分后余2支，铅笔若全部平均分发，需补1支，获奖学生最多有多少人？ 【答案】12人 【分析】根据题意可知，钢笔平均分后余2支，即钢笔需要38－2＝36支；铅笔若全部平均分发，需补1支，即铅笔需要47＋1＝48支；获奖学生最多人数是36和48的最大公因数，两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数，据此解答。 【详解】38－2＝36（支） 47＋1＝48（支） 36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 36和48的最大公因数是2×2×3＝12，获奖学生最多12人。 答：获奖学生最多有12人。 21．端午节的时候，妈妈将64个甜粽子和48个咸粽子搭配成礼盒送给家里的长辈们。如果每个礼盒里面的甜粽子数量相同，每个礼盒里面的咸粽子数量也相同，那么每个礼盒里面最少装多少个粽子？ 【答案】7个 【分析】要使每个礼盒装的粽子最少，那么礼盒数就要最多，也就是求64和48的最大公因数，这个最大公因数就是礼盒的数量，再分别算出每个礼盒中甜粽子和咸粽子的数量，最后相加就是每个礼盒最少装的粽子数。 【详解】64的因数有：1，2，4，8，16，32，64。 48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 （64，48）＝16 64÷16＝4（个） 48÷16＝3（个） 4＋3＝7（个） 答：每个礼盒里面最少装7个粽子。 22．学校运动会筹备组采购了60瓶矿泉水和48块巧克力，准备分装成若干份“能量包”分给志愿者。每个“能量包”里的矿泉水瓶数和巧克力块数分别相同，并且没有剩余。这些物资最多可以装成多少份“能量包”？每份“能量包”里各有多少瓶矿泉水和多少块巧克力？ 【答案】12份；5瓶；4块 【分析】求出矿泉水和巧克力数量的最大公因数（将60和48分解为质因数相乘的形式，取所有公有质因数的乘积，即为最大公因数），就是可以装成的“能量包”数量；分别用矿泉水和巧克力数量除以“能量包”数量就是每份“能量包”相应物品的数量。据此解答。 【详解】60＝2×2×3×5 48＝2×2×2×2×3 公有质因数相乘：2×2×3＝12 所以60和48的最大公因数是12，即最多能装成12份。 矿泉水：60÷12＝5（瓶） 巧克力：48÷12＝4（块） 答：这些物资最多可以装成12份“能量包”。每份“能量包”里有5瓶矿泉水，4块巧克力。 23．老师要将72块巧克力和48块饼干平均分给表现优秀的学生，要求每名学生分到的巧克力和饼干的数量相同，且没有剩余。最多可以分给多少名学生？每名学生分到巧克力和饼干各多少块？ 【答案】24名；巧克力3块；饼干2块 【分析】根据题意，要求每名学生分到的巧克力数量相同，饼干数量相同，且没有剩余。就是需要找到72和48的最大公因数，利用分解质因数法求出最大公因数。最大公因数表示可以分给的最大学生数，使得每个学生分到的巧克力数量相同、饼干数量相同，且没有剩余。再用巧克力的块数和饼干的块数除以可以分给的学生人数，就是每名学生分到巧克力和饼干各多少块。 【详解】72＝2×2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 所以，72和48的最大公因数是2×2×2×3＝24。 72÷24＝3（块） 48÷24＝2（块） 答：最多可以分给24名学生；每名学生分到巧克力3块，饼干2块。 24．某校同学到湿地公园开展社会实践活动，到达后进行分组。五（1）班48名同学，四（1）班人数比五（1）班多6人。现要求两班每组人数一样多，每组最多可以有多少人？ 【答案】6人 【分析】用48名学生加上6即可求出四（1）班人数；因为每组的人数必须相同，所以每组的人数一定是54和48的公因数：所有能同时被两个数所整除的数。每组最多就是54和48的最大公因数。 【详解】48＋6＝54（人） 54和48的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。 答：现要求两班每组人数一样多，每组最多可以有6人。 25．园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 【答案】8棵 【分析】把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行数量相同且无剩余，求每行最多栽的棵数，即求56和72的最大公因数。采用分解质因数法求56和72的最大公因数，先分别把两个数分解成质因数相乘的形式，再找出它们共有的质因数，将共有的质因数相乘就能得到最大公因数，这个数就是每行最多能栽的树的数量。 【详解】56＝2×2×2×7 72＝2×2×2×3×3 共有的质因数：2×2×2 ＝4×2 ＝8 所以56和72的最大公因数是8。 答：每行最多能栽8棵树。 26．有以下四张数字卡牌，任意抽两张组成一个两位数。是3的倍数的有哪些数？同时是2和3的倍数的有哪些数？同时是3和5的倍数的有哪些数？（写出全部可能） 【答案】3的倍数：57，60，75。 同时是2和3的倍数：60。 同时是3和5的倍数：60，75。 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位是0或5。 【详解】首先列出用0、5、6、7任意抽两张组成的所有两位数（0不能在十位）：50、56、57、60、65、67、70、75、76。 （1）3的倍数：计算各个数位上的数字之和，判断是否是3的倍数。 50：5＋0＝5，5不是3的倍数； 56：5＋6＝11，11不是3的倍数； 57：5＋7＝12，12是3的倍数； 60：6＋0＝6，6是3的倍数； 65：6＋5＝11，不是3的倍数； 67：6＋7＝13，不是3的倍数； 70：7＋0＝7，不是3的倍数； 75：7＋5＝12，是3的倍数； 76：7＋6＝13，不是3的倍数。 所以是3的倍数的数有：57、60、75。 （2）同时是2和3的倍数的数：既要满足2的倍数特征（个位是0、2、4、6、8），又要满足3的倍数特征（各个数位上的数字之和是3的倍数）。 从3的倍数中筛选，57：个位是7，不是2的倍数；60：个位是0，是2的倍数；75：个位是5，不是2的倍数。 所以同时是2和3的倍数的数有：60。 （3）同时是3和5的倍数的数 既要满足5的倍数特征（个位是0、5），又要满足3的倍数特征（各个数位上的数字之和是3的倍数）： 从3的倍数中筛选，57：个位是7，不是5的倍数；60：个位是0，是5的倍数；75：个位是5，是5的倍数。 所以同时是3和5的倍数的数有：60、75。 答：是3的倍数的数有57、60、75；同时是2和3的倍数的数有60；同时是3和5的倍数的数有60、75。 27．某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 【答案】12个 【分析】根据题意，将48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组，要求每组的男性、女性青年代表人数一样多，那么分成的组数是48和36的公因数，最多可以分成的组数是48和36的最大公因数。 48和36分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多可以分成12个小组。 答：最多可以分成12个小组。 【题型5】用最小公倍数解决实际问题 28．靖边羊肉，乃陕西省榆林市靖边县之瑰宝，其美味与独特之处，早已名扬四海。小明家养了一群羊，小明发现，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完。小明家至少养了多少只羊？ 【答案】24只 【分析】根据题意，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完，说明这群羊的总只数是6和8的公倍数；求至少养了多少只羊，就是求6和8的最小公倍数。 把6和8分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 即至少养了24只羊。 答：小明家至少养了24只羊。 29．通师一附小学举行广播操比赛，五年级二班设计的队形方案：1名学生在前面领操，其他学生既可以正好排成每行12人，也可以正好排成每行16人。五二班至少有学生多少人？ 【答案】49人 【分析】由题意可知，如果把五二班的总人数去掉1人，那么剩余人数既是12的倍数，也是16的倍数，由此可知，五二班的总人数比12和16的公倍数多1，则最少人数比这两个数的最小公倍数多1，据此解答。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最小公倍数：2×2×3×2×2＝48 48＋1＝49（人） 答：五二班至少有学生49人。 30．五（1）班组织一些同学参加“六一”队列操表演，正好可以站成每列6人，或者每列8人。五（1）班至少组织多少名同学参加队列操表演？ 【答案】24名 【分析】“正好可以站成每列6人，或者每列8人”，说明同学总人数是6和8的公倍数；要求“至少组织多少名同学”，即求6和8的最小公倍数。用“分解质因数法”求最小公倍数，6＝2×3；8＝2×2×2，所以6和8的最小公倍数为2×2×2×3＝24，即五（1）班至少组织24名同学参加队列操表演。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（名） 答：五（1）班至少组织24名同学参加队列操表演。 31．五年级要进行课间操表演，前面有2名学生领操，其余学生每12人排成一行或者每18人排成一行都能正好排成整行。已知五年级总人数超过50人但不超过100人，那么五年级共有学生多少人？ 【答案】74人 【分析】根据题意可知，总人数包括领操的2人，剩余人数需同时是12和18的公倍数。先求出12和18的最小公倍数，再找出这个最小公倍数在50～100之间的倍数，最后加上2，就是五年级学生的总人数。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最小公倍数是：2×2×3×3＝36 36×2＝72 72＋2＝74（人） 50＜74＜100，符合条件。 答：五年级共有学生74人。 32．快放假了，王奶奶给乐乐寄过来一盒巧克力糖果，乐乐想和同班同学分享这些巧克力，巧克力无论是6个6个地数，还是8个8个地数，最后都多出3个，请你推测一下乐乐的这盒巧克力糖果至少多少颗？ 【答案】 27颗 【分析】无论是6个6个地数，还是8个8个地数，最后都多出3个，说明巧克力数减去3的数量是6和8的最小公倍数，即可求解。 【详解】 则6和8的最小公倍数为： 24＋3＝27（颗） 答：乐乐的这盒巧克力糖果至少27颗。 33．淘气的妈妈做了一些蛋黄酥，个数在20~40个之间，准备在吃年夜饭时让大家品尝。淘气3个3个地数，多1个；5个5个地数，也多一个，淘气的妈妈一共做了多少个蛋黄酥？ 【答案】31个 【分析】先找出3和5在20到40之间的公倍数，再根据余数条件确定蛋黄酥的个数。因为3和5互质，所以它们的最小公倍数为3×5＝15。15的倍数有15、30、45…，在20到40之间的是30。由于3个3个地数多1个，5个5个地数也多1个，所以蛋黄酥个数为30＋1＝31（个），且31在20到40之间，符合条件。据此解答。 【详解】3×5＝15 15×2＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 答：淘气的妈妈一共做了31个蛋黄酥。 34．汉字书法被誉为“无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐”，小明要誊写一篇毛笔字，这篇毛笔字的字数在50～70之间，无论是一列3个字还是一列5个字，最后都剩下1个字，这篇毛笔字一共有多少个字？ 【答案】61个 【分析】根据题意，无论是一列3个字还是一列5个字，最后都剩下1个字，说明总字数比3、5的公倍数还多1；先求出3和5的最小公倍数，再求最小公倍数在50～70之间的倍数，最后加上1，就是这篇毛笔字的总字数。 【详解】3和5的最小公倍数是：3×5＝15 15×4＝60 60＋1＝61（个） 50＜61＜70 答：这篇毛笔字一共有61个字。 35．一年一度的秋季运动会要开始啦，五年级同学准备一个入场式表演。为了使队形显得整齐，只能排成方形。编排老师要求，所参加的人数无论排成3行、4行或5行，都还需有一名同学在队伍正前方举牌。请问：至少选多少人参加入场式表演？ 【答案】122人 【分析】由题意可知：要排成方形队形，即人数为完全平方数；总人数减1是3、4、5的公倍数。先求3、4、5的最小公倍数，进而求出它们的公倍数，再结合题意求出符合条件的人数，最后再加1即可求解。 【详解】3×4×5＝60（人） 60×2＋1 ＝120＋1 ＝121（人） 因为，是完全平方数。 121＋1＝122（人） 答：至少选122人参加入场式表演。 36．五年级参加合唱社团活动的人数在50~60人之间，7人7人地数差1人，8人8人地数也差1人，你知道合唱社团一共有多少人吗？ 【答案】55人 【分析】根据题意可知，五年级参加合唱社团活动的人数既比7的倍数少1，也比8的倍数少1，根据求两个数的最小公倍数的方法，求出7和8的倍数少1在50～60之间，即可解答。 【详解】7与8的最小公倍数为7×8＝56； 56－1＝55（人） 答：合唱社团一共有55人。 37．2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲。当天，阳光小学组织五年级学生在阶梯教室观看，观看“天宫课堂”的学生不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排。至少有多少人在观看“天宫课堂”？ 【答案】72人 【分析】根据题意，不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排，说明总人数必须是8和9的公倍数。要求至少有多少人在观看“天宫课堂”，即求8和9的最小公倍数。可以用枚举法求8和9的最小公倍数。 【详解】8的倍数：8、16、24、32、40、48、56、64、72…… 9的倍数：9、18、27、36、45、54、63、72、81…… 8和9的最小公倍数是72。 答：至少有72人在观看“天宫课堂”。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $