7.2.1复数的加减运算及其几何意义 同步练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.1复数的加减运算及其几何意义 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1．复数的加、减法运算法则 设， 则____________， _____________． 【答案】 2.复数加法的运算律 （1）交换律：____________． （2）结合律：___________． 复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数对应的向量分别为，以为邻边作平行四边形，则与对应的向量是_________，与对应的向量是_____________． 【答案】 3．一些常用的结论 在复平面内，、对应的点分别为A、B，对应的点为C，O为坐标原点，则 （1）四边形为___________形. （2）若，则四边形为___________形. （3）若，则四边形为___________形. （4）若且，则四边形为___________形. 【答案】 平行四边 矩 菱 正方 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若复数，，，则的（   ） A．实部为 B．虚部为 C．实部为6 D．虚部为 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数加减法的代数运算 【分析】先计算两个复数的和，再根据结果确定它的实部和虚部. 【详解】因为，所以的实部为，虚部为. 故选： 2．已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数加减法的代数运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面对应的点为，位于第四象限． 故选：D. 3．若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B 4．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 5．复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【详解】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 6．，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】设，化简得到，解得答案. 【详解】设，则，故， 故，故. 故选：. 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 7．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】由复数的加法、减法运算结合模长公式即可求解. 【详解】 ， 故选：D 8．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【解析】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出． 【详解】∵ ， ∴ 对应的复数为：， ∴点对应的复数为． 故选D． 【点睛】本题考查了复数的几何意义、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 二、多选题 9．已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则下列结论错误的是（    ） A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 【答案】ACD 【知识点】复数的分类及辨析、根据复数的坐标写出对应的复数、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的几何意义确定复数，再根据复数运算与复数的基本概念逐项判断即可. 【详解】∵复数在复平面上对应的点的坐标为， ∴复数， ∵是纯虚数，故A项不正确，B项正确； ∵不是实数，也不是纯虚数，故C，D项都不正确. 故选：ACD. 10．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（    ） A．的虚部为 B．为纯虚数 C． D．以为三边长的三角形为钝角三角形 【答案】BCD 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数的分类及辨析、复数加减法的代数运算 【分析】计算，结合复数的概念，即可判断A、B；由已知得出，求解数量积即可判断C；由已知求出的长，根据三边之间的关系，即可判断D. 【详解】对于A项，因为，所以的虚部为，所以A错误； 对于B项，因为，所以为纯虚数，所以B正确； 对于C项，因为，， 所以，所以，所以C正确； 对于D项，由已知可得，，， 且，所以，，所以D正确. 故选：BCD. 11．（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】ACD 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用、复数的坐标表示 【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可. 【详解】 A √ B × 由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上 C √ 如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即， D √ 故选：ACD. 三、填空题 12．已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为_____. 【答案】3 【知识点】求复数的实部与虚部、复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的加法运算和复数的定义求解. 【详解】因为复数，， 所以复数， 所以复数的实部为3， 故答案为：3 13．已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 【答案】2 【知识点】根据复数的加减运算结果求参数、已知复数的类型求参数 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可． 【详解】由复数，， 可得为纯虚数， 则，解得． 故答案为：2． 14．设复数满足，且，则______. 【答案】 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】设，根据题意列方程组即可计算. 【详解】设，所以，由， 所以， 因为， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】（1）（2）根据复数的加减运算求解. 【详解】（1）由题意可得：原式． （2）由题意可得：. 16．已知复数，，其中．若，求的值． 【答案】 【知识点】根据复数的加减运算结果求参数、复数的相等、复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的加法运算求得，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】，，其中． 若，则， ， 则，解得． 17．复平面内有，，，四点，点为原点，点对应的复数是，向量对应的复数是，向量对应的复数是，求点对应的复数． 【答案】 【知识点】复数的坐标表示、复数加减法的代数运算、向量加法的运算律、向量减法的运算律 【分析】先根据已知分别写出及,再计算即可求出对应的复数 【详解】∵对应的复数是，对应的复数是， ， ∴对应的复数为， 又， ∴对应的复数为， ∴点对应的复数为． 18．在复平面内，设及分别与复数及复数对应，计算，并在复平面内作出对应的向量． 【答案】答案见解析 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的向量表示 【分析】先利用复数加法运算法则得到，并利用复数的几何意义得到对应的向量. 【详解】． 在复平面内作出对应的向量，如图所示． 19．已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【知识点】共轭复数的概念及计算、根据复数的加减运算结果求参数、复数的向量表示 【分析】（1）求出，再利用其对应的点所在象限得不等式组，故可求参数的范围； （2）利用夹角公式可求夹角. 【详解】（1）由题意， ， 第一象限需满足：，解得 . （2）当 时，点 ， ， 设的夹角为，则， 且. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.1复数的加减运算及其几何意义 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1．复数的加、减法运算法则 设， 则____________， _____________． 2.复数加法的运算律 （1）交换律：____________． （2）结合律：___________． 复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数对应的向量分别为，以为邻边作平行四边形，则与对应的向量是_________，与对应的向量是_____________． 3．一些常用的结论 在复平面内，、对应的点分别为A、B，对应的点为C，O为坐标原点，则 （1）四边形为___________形. （2）若，则四边形为___________形. （3）若，则四边形为___________形. （4）若且，则四边形为___________形. 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若复数，，，则的（   ） A．实部为 B．虚部为 C．实部为6 D．虚部为 2．已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 4．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 6．，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（   ） A． B． C． D． 8．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则下列结论错误的是（    ） A．是实数 B．是纯虚数 C．是实数 D．是纯虚数 10．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（    ） A．的虚部为 B．为纯虚数 C． D．以为三边长的三角形为钝角三角形 11．（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 三、填空题 12．已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为_____. 13．已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为_____． 14．设复数满足，且，则______. 四、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．已知复数，，其中．若，求的值． 17．复平面内有，，，四点，点为原点，点对应的复数是，向量对应的复数是，向量对应的复数是，求点对应的复数． 18．在复平面内，设及分别与复数及复数对应，计算，并在复平面内作出对应的向量． 19．已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $