4.2平行四边形及其性质 同步训练2025-2026学年浙教版数学八年级下册

4.2 平行四边形及其性质 同步训练 一、单选题 1．如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 3．如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点，在的对角线上，，，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在的边上，．若，，则的度数为（   ） A．75° B．80° C．90° D．105° 6．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 二、填空题 7．如图，在中，，，点在上，点在上，四边形的周长为，且平分的面积，则的长为_______． 8．如图，的周长为60，对角线、交于点O，交于点E，则的周长为______． 9．如图，平行四边形中，点E在边上，若点A关于的对称点落在上，的周长为5，的周长为17，则的长为____． 10．如图，是平行四边形对角线的中点，，，垂足分别为、，如果，那么的度数是______． 三、解答题 11．如图，平行四边形中，的平分线交于的平分线交于点．求证：． 12．如图，在中，E为上一点，F为上一点，且与交于点G，求证：． 13．如图，在中，对角线，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 14．请阅读下列材料： 小海在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形四条边的边长的平方和等于两条对角线长的平方和．小海很感兴趣，并尝试进行了证明． (1)请完成小海的证明过程． (2)如图，在中，，，，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质来建立角度关系进行计算． 利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出等腰三角形，进而求出的长度．根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出，从而得到的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 平分， ． 又 ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质，求出的度数，平行线的性质，得到，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 5．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握平行四边形的边与角的性质是解题的关键． 先由平行四边形性质得，求出，再由与得，推出等腰，求，计算，最后由得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴， 是等腰三角形， ∴ ∵在中， ∴ ∵ ∴ ∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ ， ． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键． 设与相交于点O，过点O作于点，利用等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质推出，再利用勾股定理求出，利用垂线段最短求线段的最小值． 【详解】解：设与相交于点O，过点O作于点，如下图所示： ∵，， ∴， 四边形是平行四边形， 为对角线和的中点， ，， 由，可得， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得， 根据垂线段最短，可得， ， 当时，线段有最小值4． 故选：D． 7． 【分析】连接、，与交于点，通过证明，得出，根据四边形的周长为，得出，即可得答案． 【详解】解：如图，连接、，与交于点， ∵平分的面积， ∴过与的交点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∵，， ∴． 【点睛】由平分的面积得出过与的交点是解本题关键． 8．30 【分析】根据题意可知为的垂直平分线，结合平行四边形的性质求的周长即可． 【详解】解：且在中，， 为的垂直平分线， ， ， 即的周长为30． 9．6 【分析】运用翻折的性质可得，，，结合已知条件的周长为5，的周长为17，求得平行四边形的周长，从而得到，最后结合的周长为17，求得的长． 【详解】解：由折叠可得，，． ∵的周长为5，的周长为17， ∴， ∴，． ∴平行四边形的周长， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴． 10． 【分析】连接，根据平行四边形的性质可知经过点，且，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角可知，，从而可知，在四边形中，根据四边形的内角和定理即可求出． 【详解】解：如下图所示，连接， 四边形是平行四边形，点是的中点， 经过点，且， ，， ， ，， ，， ， 在四边形中，， ． 11．证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边．由平行四边形的性质得到，，再由角平分线的定义和平行线的性质得到，则，同理可得，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴，即． 12．见详解 【分析】过点C作于点N，于点H，连接，根据等积法可得，进而即可得到结论． 【详解】解：过点C作于点N，于点H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴． 13．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理： （1）证明，利用可证明； （2）根据勾股定理求出，可得到，再根据解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ∴， ， ． 14．(1)证明见解析 (2)的周长为 【分析】（1）过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点，设，，，则，再利用勾股定理计算出，即可证明； （2）由四边形是平行四边形，可得，，再由，设，则，再利用（1）的结论即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 设，，，则， ∴， 在中，，即， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴，即平行四边形四条边的边长的平方和等于两条对角线长的平方和． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴设，则， 由（1）可知，， ∴， 解得， ∴，， ∴的周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $