第12讲 复数的运算（知识清单+5题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（苏教版必修第二册）数学高一重难点讲义与测试

本高中数学讲义聚焦复数的运算核心知识点，系统梳理复数的四则运算、共轭复数、乘方等内容，涵盖运算法则、性质及运算律，为后续题型应用与问题解决搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料以“举三反三”题型设计为特色，通过例题与变式结合引导学生理解运算逻辑，培养数学思维中的推理能力，强化训练覆盖多种题型助力学生用数学语言精准表达运算过程，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升运算与问题解决能力。

第12讲 复数的运算 知识清单 知识点01：复数的四则运算 知识点02：共轭复数 知识点03：复数的乘方 题型讲解 （举三反三） 题型1：复数的加减法运算 题型2：复数的乘法运算 题型3：复数的除法运算 题型4：共轭复数 题型5：复数范围内方程的根 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01、复数的四则运算 1. 复数的四则运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 加法 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 减法 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 乘法 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i 除法 ==+i(c+di≠0) 2. 复数加法与乘法的运算律 (1)复数加法运算律：对任何z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (2)复数乘法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 知识点02、共轭复数 1. 共轭复数的定义：我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数. 复数z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数记作，即=a-bi. 2. 共轭复数的性质：若记z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数为，则=a-bi. 对于z与有如下性质： (1)z·=a2+b2. (2)若z=，则z为实数. (3)共轭复数的和为实数，即z+=2a. (4) =± . (5) = . 知识点03、复数的乘方 1. 复数范围内正整数指数幂的运算性质 对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1z2)n= . 2. in(n∈N*)的周期性 一般地，如果n∈N*，那么我们有i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i. 特别地，对于4个连续的正整数a，b，c，d，有ia+ib+ic+id=0. 复数的四则运算方法与技巧 1. 复数的四则运算类似于实数的四则运算，有括号的先算括号里面的，无括号的先算乘除，后算加减. 复数代数运算中的常用结论： (1)(1±i)2=±2i， =i， =-i； (2) =1； (3)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R). 2. 解决复数的乘、除运算问题的思路 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成-1，并将实部、虚部分别合并. 多项式中的一些重要公式仍适用于复数， 如(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi，(a+bi)3=a3+3a2bi+3ab2i2+b3i3=a3-3ab2+(3a2b-b3)i (a，b∈R). (2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母变为实数，再计算. 复数集中的方程问题 一元二次方程的系数为实数时，可以利用根的判别式来判断方程的根的情况，而对于复系数的一元二次方程，则需要注意它的系数是实数还是虚数，不能单纯考虑根的判别式. 但根与系数的关系对复系数方程仍然适用. 1. 方程x2=-a(a>0，a∈R)在复数范围内的解集为{-i， i}. 2. 方程ax2+bx+c=0(a>0，且a，b，c∈R)在复数范围内根的情况： Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，x1=，x2=； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，x1=x2=-； 当Δ<0时，方程有两个互为共轭的虚数根，x1=，x2= 题型1：复数的加减法运算 【例1-1】（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】______．（其中i是虚数单位） 【例1-3】化简下列复数 (1) (2) 【变式1-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是______． 【变式1-3】）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2：复数的乘法运算 【例2-1】（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一·江苏·假期作业）已知为虚数单位，则__________． 【例2-3】（2024高一下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) 【变式2-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知复数与都是纯虚数，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-2】（24-25高一·江苏·假期作业）若复数是纯虚数，则______ 【变式2-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3：复数的除法运算 【例3-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（   ） A． B． C． D． 【例3-2】已知复数z满足，其中为虚数单位，则______. 【例3-3】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，，其中． (1)若，且为纯虚数，求复数； (2)若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围． 【变式3-1】（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则的虚部为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【变式3-2】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知复数若，则_____ 【变式3-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）（1）计算：； （2）设复数，若对应的点位于复平面的第四象限，求的取值范围． 题型4：共轭复数 【例4-1】（24-25高一下·江苏苏州·期末）设i为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知复数，若，则_____． 【例4-3】（24-25高一下·江苏常州·期中）（1）已知，若为纯虚数，求的值； （2）已知复数满足，求． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏·月考）若复数满足，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏常州·期中）已知复数满足，则_____． 【变式4-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值． 题型5：复数范围内方程的根 【例5-1】已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例5-2】（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知一元二次方程的两个虚根分别为，且满足，则实数p的值为______. 【例5-3】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数． (1)求和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求的值． 【变式5-1】已知关于的方程有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位，则_______． 【变式5-3】（24-25高一下·江苏无锡·月考）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）若复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一下·江苏南京·专题练习）若（i为虚数单位），则复数z的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 5．已知是关于复数z的方程（m，）的一根，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若，则（   ） A． B． C． D．8 7．（24-25高一·江苏·假期作业）已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，是复数，是的共轭复数，下列说法正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则或 C．若是纯虚数，则 D．若，则 10．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，且，则 11．已知为复数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则为纯虚数 C．若，则为实数 D． 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏盐城·期中）若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数________. 13．（24-25高一下·江苏南通·月考）若复数z满足，其中是虚数单位，则的虚部为__________． 14．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知，则＝______. 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏·期中）已知复数，，其中为非零实数. (1)若是实数，求的值； (2)若，复数为纯虚数，求实数的值. 16．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知实系数二次函数满足是方程的一个根， (1)求实数的的值； (2)计算，结果写成代数形式. 17．（24-25高一下·江苏·期中）已知复数z满足和均为实数，其中i为虚数单位． (1)求复数z； (2)若z是方程的一个根，求实数m的值． 18．（24-25高一下·江苏·月考）已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是实数，求. 19．已知为虚数，若，且. (1)求的实部的取值范围； (2)设，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 复数的运算 知识清单 知识点01：复数的四则运算 知识点02：共轭复数 知识点03：复数的乘方 题型讲解 （举三反三） 题型1：复数的加减法运算 题型2：复数的乘法运算 题型3：复数的除法运算 题型4：共轭复数 题型5：复数范围内方程的根 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01、复数的四则运算 1. 复数的四则运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 加法 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 减法 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 乘法 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i 除法 ==+i(c+di≠0) 2. 复数加法与乘法的运算律 (1)复数加法运算律：对任何z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (2)复数乘法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 知识点02、共轭复数 1. 共轭复数的定义：我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数. 复数z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数记作，即=a-bi. 2. 共轭复数的性质：若记z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数为，则=a-bi. 对于z与有如下性质： (1)z·=a2+b2. (2)若z=，则z为实数. (3)共轭复数的和为实数，即z+=2a. (4) =± . (5) = . 知识点03、复数的乘方 1. 复数范围内正整数指数幂的运算性质 对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1z2)n= . 2. in(n∈N*)的周期性 一般地，如果n∈N*，那么我们有i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i. 特别地，对于4个连续的正整数a，b，c，d，有ia+ib+ic+id=0. 复数的四则运算方法与技巧 1. 复数的四则运算类似于实数的四则运算，有括号的先算括号里面的，无括号的先算乘除，后算加减. 复数代数运算中的常用结论： (1)(1±i)2=±2i， =i， =-i； (2) =1； (3)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R). 2. 解决复数的乘、除运算问题的思路 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成-1，并将实部、虚部分别合并. 多项式中的一些重要公式仍适用于复数， 如(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi，(a+bi)3=a3+3a2bi+3ab2i2+b3i3=a3-3ab2+(3a2b-b3)i (a，b∈R). (2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母变为实数，再计算. 复数集中的方程问题 一元二次方程的系数为实数时，可以利用根的判别式来判断方程的根的情况，而对于复系数的一元二次方程，则需要注意它的系数是实数还是虚数，不能单纯考虑根的判别式. 但根与系数的关系对复系数方程仍然适用. 1. 方程x2=-a(a>0，a∈R)在复数范围内的解集为{-i， i}. 2. 方程ax2+bx+c=0(a>0，且a，b，c∈R)在复数范围内根的情况： Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，x1=，x2=； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，x1=x2=-； 当Δ<0时，方程有两个互为共轭的虚数根，x1=，x2= 题型1：复数的加减法运算 【例1-1】（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由题意可得为纯虚数，则，解得. 故选：C. 【例1-2】______．（其中i是虚数单位） 【答案】 【分析】根据复数的减法运算，实部与实部相减，虚部与虚部相减. 【详解】 故答案为： 【例1-3】化简下列复数 (1) (2) 【答案】(1) (2). 【分析】利用复数的加减运算法则求解. 【详解】（1）， ， . （2）， ， . 【变式1-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 【变式1-2】在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是______． 【答案】 【分析】由向量的线性运算和复数的减法运算可求得答案. 【详解】解：由题意可知，，则对应的复数是. 故答案为：. 【变式1-3】）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据复数加减运算即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型2：复数的乘法运算 【例2-1】（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的乘法法则即可. 【详解】由题意得，. 故选：B 【例2-2】（24-25高一·江苏·假期作业）已知为虚数单位，则__________． 【答案】． 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【例2-3】（2024高一下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用复数的四则运算即可得解. 【详解】（1）. （2）. （3）. 【变式2-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知复数与都是纯虚数，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】设，根据复数的运算与复数的概念可得出关于实数的等式或不等式，解出的值，即可得解. 【详解】根据题意，设， 则为纯虚数， 所以，解得，故. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一·江苏·假期作业）若复数是纯虚数，则______ 【答案】 【分析】根据纯虚数的定义求解． 【详解】复数是纯虚数， 则． 故答案为：． 【变式2-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据复数的乘法运算法则逐个计算即可得出（1）~（4）的结果. 【详解】（1）； （2） （3） （4） 题型3：复数的除法运算 【例3-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用复数除法化简即可. 【详解】. 故选：A 【例3-2】已知复数z满足，其中为虚数单位，则______. 【答案】 【分析】利用复数的除法运算计算即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 【例3-3】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，，其中． (1)若，且为纯虚数，求复数； (2)若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义来确定复数； （2）先设出的表达式，再根据为实数得出相关等式，最后结合的取值范围求出实部的取值范围． 【详解】（1）已知，则． 根据复数乘法法则展开可得： ， 因为为纯虚数，根据纯虚数的定义，可得． 解得．所以． （2）设（，且）． 则． 可得：． 所以． 因为为实数，所以虚部为，即． 因为，可得，即． 此时． 又因为，即，可得． 【变式3-1】（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则的虚部为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】A 【分析】利用复数的除法法则化简即可. 【详解】由题意得，，故的虚部为. 故选：A 【变式3-2】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知复数若，则_____ 【答案】 【分析】根据复数的乘方运算可得，再由除法运算计算可得结果. 【详解】易知， 所以由可得. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）（1）计算：； （2）设复数，若对应的点位于复平面的第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则计算可得； （2）根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）复数在复平面内对应的点为， 依题意可得，解得，即的取值范围为. 题型4：共轭复数 【例4-1】（24-25高一下·江苏苏州·期末）设i为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的运算结合共轭复数的概念可得. 【详解】由题意可得，所以. 故选：B. 【例4-2】（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知复数，若，则_____． 【答案】 【分析】根据复数的乘方运算可得，再由除法运算计算可得结果. 【详解】易知， 所以由可得， 所以. 故答案为：. 【例4-3】（24-25高一下·江苏常州·期中）（1）已知，若为纯虚数，求的值； （2）已知复数满足，求． 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）利用复数运算法则、复数的定义求解； （2）利用复数运算法则求解． 【详解】（1）， ∵，为纯虚数， ∴，解得，∴的值为． （2）设，，则， ∵复数z满足，∴， ∴，解得，∴． 【点睛】本题考查复数的定义、复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏·月考）若复数满足，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法求出，再求共轭复数即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：C． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏常州·期中）已知复数满足，则_____． 【答案】 【分析】设，则，根据求得，根据复数模的计算公式求解即可． 【详解】设，则， 所以，所以， 所以， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可得解； （2）根据共轭复数的概念及复数的乘法运算化简求解即可. 【详解】（1）为纯虚数，则， 解得， 所以的值为0； （2）由可得， 所以， 解得. 题型5：复数范围内方程的根 【例5-1】已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据虚根成对原理可得也是方程的根，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于复数的方程的一根， 所以也是关于复数的方程的一根， 所以， 所以. 故选：C 【例5-2】（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知一元二次方程的两个虚根分别为，且满足，则实数p的值为______. 【答案】2或 【分析】可设，利用根与系数的关系可解得：，.即可求出p. 【详解】因为一元二次方程的两个虚根为共轭虚根， 所以可设（其中）. 所以由根与系数的关系可得. 而，解得：，. 所以当时，；当时，. 故实数p的值为2或. 故答案为：2或. 【例5-3】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数． (1)求和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求的值． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）利用复数的除法运算求出复数，再求其共轭复数和模长即可； （2）根据实系数方程的根的定义代入方程，利用复数相等得出的方程组，求解即可. 【详解】（1）因复数， 则，. （2）因为是关于的方程的一个根， 所以，整理得：， 即， 故有，解得：，． 【变式5-1】已知关于的方程有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出方程的两个虚数根，然后由复平面上对应两虚根之间的距离为列方程求解即可. 【详解】由题意得，得， 方程的虚数根为 ， 因为在复平面上对应两虚根之间的距离为， 所以，得， 故选：B 【变式5-2】（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位，则_______． 【答案】1 【分析】确定方程的另外一根，根据韦达定理即可求得答案. 【详解】由题意知是关于的方程的一个根， 则是该方程的另一个根，则， 即，则， 故答案为：1 【变式5-3】（24-25高一下·江苏无锡·月考）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由复数的类型可得的实部为0，虚部不为0，以此求解即可； （2）利用实系数二次方程根与系数的关系及模长条件，求出，再代入所求式子化简即可. 【详解】（1）由题意得， 若复数为纯虚数，则有，且，解得. （2）方程的判别式， 故有两共轭复数根，设，则另一个根为， 因为对应的点在第一象限，所以， 由韦达定理得，解得，且， 所以有，解得， 所以， 则. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）若复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得，故复数的虚部为. 故选：A. 2．设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果. 【详解】由可得， 所以. 故选：B 3．（2026高一下·江苏南京·专题练习）若（i为虚数单位），则复数z的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为． 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的乘法、除法运算化简，即可判断. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为. 故选：D 5．已知是关于复数z的方程（m，）的一根，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再利用韦达定理结合复数的加法运算和乘法运算计算即可. 【详解】因为是关于复数z的方程的一根， 所以也是关于复数z的方程的一根， 则，， 所以， 所以. 故选：C. 6．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】根据共轭复数的定义，复数的四则运算进行计算. 【详解】由，则， 则. 故选：B. 7．（24-25高一·江苏·假期作业）已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，由题意得，则，分别计算其立方值，代入后即可求解． 【详解】设，则， 根据，得， 根据，得， 由，解得，故， ， 由于 ， 同理得 ， 因此得． 故选：D 8．（24-25高一下·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，再根据复数的除法和乘法运算计算得，进而得到答案. 【详解】因为，所以， 所以复数的虚部是1， 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，是复数，是的共轭复数，下列说法正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则或 C．若是纯虚数，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据复数知识和性质进行判断即可. 【详解】对于选项A： 假如，，此时，但，所以A错误； 对于选项B： 设， 所以. 所以， 若，即，方程组显然成立； 若，即，方程组显然成立； 若，将代入第二个式子中得. 由得，则，此时； 综上，所以B正确； 对于选项C： 假设是纯虚数，此时，C正确； 对于选项D： 设，所以，D正确. 故选：BCD. 10．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，且，则 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例即可；对于B：利用复数的平方等于复数模的平方，即可求得结果； 对于C、D设出复数，，利用复数的运算即可求得结果. 【详解】对于A：若，但是，故A错误； 对于B：因为，所以，故，故选项B正确； 对于C：设，因为，得到， 故或，若，则，解得：，故， 同理若，得，故C正确； 对于D：设则，由， 所以，故，故D正确； 故选:BCD 11．已知为复数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则为纯虚数 C．若，则为实数 D． 【答案】ACD 【分析】利用复数的四则运算判断ACD，举反例判断B即可. 【详解】设，，则， 对于A，， ， 所以成立，故A正确， 对于B，当时，有成立， 但此时为实数，故B错误， 对于C，因为， 所以， 设，当时，才有成立， 解得，所以，且，故为实数，故C正确， 对于D，因为，， 所以，而， 所以成立，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏盐城·期中）若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数________. 【答案】/ 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其共轭复数. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 13．（24-25高一下·江苏南通·月考）若复数z满足，其中是虚数单位，则的虚部为__________． 【答案】 【分析】利用复数的四则运算求出，再求其虚部即可. 【详解】由可得. 故z的虚部为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知，则＝______. 【答案】/ 【分析】由复数的乘除法运算化简，即可求出，即可得出答案. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏·期中）已知复数，，其中为非零实数. (1)若是实数，求的值； (2)若，复数为纯虚数，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，求得，结合是实数，得到，即可求解； （2）根据题意，得到，结合复数为纯虚数，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由复数，可得， 因为是实数，可得，即， ∵为非零实数.所以. （2）解：由，可得，所以， 则， 因为复数为纯虚数，可得， 解得或. 16．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知实系数二次函数满足是方程的一个根， (1)求实数的的值； (2)计算，结果写成代数形式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，列出方程组，即可求解； （2）由（1）知：函数，结合复数的运算法则，即可求得的代数式. 【详解】（1）因为是方程的一个根， 所以，即， 可得，解得. （2）由（1）知：函数， 可得. 17．（24-25高一下·江苏·期中）已知复数z满足和均为实数，其中i为虚数单位． (1)求复数z； (2)若z是方程的一个根，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，（），得，，根据其为实数，列方程求出，进而得到复数； （2）将z的值，代入方程中，化简得到实数m的值. 【详解】（1）设，（），则， 因为和均为实数，所以，， 则，所以复数． （2）因为z是方程的一个根，则有 整理得：，所以，则 18．（24-25高一下·江苏·月考）已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是实数，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简，进而可得，根据纯虚数的概念列出方程求解． （2）由（1）可得，根据实数的概念列出方程求解，再由复数的模的计算公式求解即可． 【详解】（1）， ， 所以， 因为是纯虚数，所以，解得. （2）由（1）知，， 因为为实数，所以，解得， 所以 所以． 19．已知为虚数，若，且. (1)求的实部的取值范围； (2)设，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设复数，根据复数的四则运算化简可得，进而可得的取值范围； （2）根据复数的四则运算，结合基本不等式可得最小值. 【详解】（1）设， 则， 又，则， 所以， 所以，即， 解得； （2）， 由（1）得， 所以， 所以， 又， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 即的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $