精品解析：2026届辽宁省两市高三下学期第一次模拟考试数学试卷

2026年普通高中高三年级第一次模拟考试 数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，再结合的面积为可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 则， 在中， ，则，即， 又 ，则， 又，则， 所以，当且仅当时等号成立， 则的最小值为6. 2. 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图象后可得、、的关系，再求出的范围后可用表示出，即可得的取值范围. 【详解】作出图象如下： 由，且，则， 即有，，且，则， 故， 则. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 3. 双曲线可由以坐标原点为中心的曲线绕其中心旋转一定角度得到．现将曲线绕原点旋转一定角度可得到双曲线 ，其左右焦点分别为和，点P为曲线C上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是曲线E的一条渐近线 B. 双曲线C的离心率为2 C. 若与双曲线C有四个交点，则 D. 以为直径的圆与圆相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据性质得到曲线的渐近线；B选项，求出曲线如何旋转得到双曲线，从而得到双曲线方程，求出离心率；C选项，举出反例；D选项，根据圆与圆的位置关系和直线与圆的位置关系得到D正确. 【详解】A选项，中，当趋向于或 时，曲线趋向于， 当从左边趋向于0时，趋向于，从右边趋向于0时，趋向于 ， 由双刀函数性质可知曲线的渐近线分别为和，A正确； B选项，两条渐近线夹角为，结合图象可知曲线的对称轴为 和（如图）， 故将绕原点逆时针旋转得到 ， 故 的两渐近线方程分别为， 联立与得， 当时，，当时，， 故曲线的两个顶点为，， 故， 易得 中， 由渐近线方程为得，故， ， 故离心率为 ，B正确； C选项，由B可知，双曲线方程为， 当时，联立与得， 解得， 当时， ，交点坐标为，当时，， 交点坐标为，共3个交点，不合要求，C错误； D选项，，设，故， 以为直径的圆方程为， 即， 与圆联立可得，此为两圆的交点弦方程或公切线方程， 圆的圆心到直线的距离 ， 以为直径的圆与圆相切，D正确 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 4. 一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为，将几何体放入半径为的半球内，使得最下层正方体底面中心在半球球心处，则该塔形几何体中正方体的个数最多为________． 【答案】 【解析】 【分析】从下到上设第个正方体的棱长记为，设第个正方体上底面的中心记为，分析可知数列是首项为，公比为的等比数列，可得出数列的通项公式，设第个正方体上底面的一个顶点为，求出、，根据题意得出，根据二次函数的单调性以及数列的单调性可得出的可能取值，即可得解. 【详解】从下到上设第个正方体的棱长记为，设第个正方体上底面的中心记为， 设球心为，则为第一个正方体下表面的中心， 设半径为的半球内能放进该塔形几何体中正方体的个数为， 由题意可知 ，，所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列，所以， ， ， 根据题意可知，即， 令，上述不等式可化为， 化简可得， 构造函数， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 故二次函数在上单调递减， 当时，，且， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 故当时，，则， 故满足不等式的正整数的取值构成的集合为. 因此该塔形几何体中正方体的个数最多为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 5. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若 ，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足 ，， ． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）是，理由如下： 因为 ，所以 ， 所以 ，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①； ②. 【解析】 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①根据题意可得 ， ， 因为数列为等差数列，故数列的公差为 , 所以等差数列的首项为 ，故 ， 所以 ， 当时， ， ，， ， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当 且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得 ， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 6. 已知函数． （1）当 时，求在点处的切线方程； （2）当时，证明：对任意，都有； （3）证明：，. 【答案】（1） （2）对任意的，当时， ， 故只需证 对任意的恒成立，整理得 ， 构造函数 ，其中， 则 ， 所以函数在 上为减函数，故当时， ，即 ， 故对任意的， ， 故当时，对任意，都有 . （3）由（2）知，当时， ，即， 令 ，则， 因为 ，所以， 构造函数 ，其中，则， 当 时， ，即函数 在 上单调递减， 当 时， ，即函数 在 上单调递增， 所以 ，即 ，当且仅当时，等号成立， 令 ，得，即， 整理得 ， 则 ， 即 ， 所以 ， ， ， ， 累加得 ， 故 ，. 【解析】 【分析】（1）当 时，求出 、 的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当对任意的，当时，要证 ，只需证明 ，变形为 ，构造函数 ，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立； （3）由（2）得出，令 ，可得出，证明出 ，令 ，可得出 ，结合不等式的性质得出 ，再利用累加法可证得结论成立. 【小问1详解】 当 时， ， 则 所以 ， ， 故当 时， 在点处的切线方程为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高中高三年级第一次模拟考试 数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 2. 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 3. 双曲线可由以坐标原点为中心的曲线绕其中心旋转一定角度得到．现将曲线绕原点旋转一定角度可得到双曲线 ，其左右焦点分别为和，点P为曲线C上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是曲线E的一条渐近线 B. 双曲线C的离心率为2 C. 若与双曲线C有四个交点，则 D. 以为直径的圆与圆相切 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 4. 一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为 ，将几何体放入半径为的半球内，使得最下层正方体底面中心在半球球心处，则该塔形几何体中正方体的个数最多为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 5. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若 ，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足 ，， ． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 6. 已知函数． （1）当 时，求在点处的切线方程； （2）当时，证明：对任意，都有； （3）证明：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $