专题06 平行线拐点模型之“铅笔”、“猪蹄”、“锯齿”、“骨折”、“鸟嘴”模型（几何模型讲义）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题06 平行线拐点模型之“铅笔”、“猪蹄”、“锯齿”、“骨折”、“鸟嘴”模型 平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这 些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型、铅笔头模型、锯齿模型、骨折模型、鸟嘴模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 9 ‌ 平行线拐点模型并非源自某位数学家的“发明”，而是现代中学数学教学为了帮助学生快速解题，对“平行线性质”这一古老公理进行的图形化归纳与命名。 其数学根基是欧几里得 《几何原本》中的平行公理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）。当两条平行线被一条折线所截，利用“过拐点作平行线”的辅助线，就能将分散的角转化到“三线八角”的基本结构中，从而得出固定的数量关系。 “猪蹄”、“铅笔”、“鹰嘴”等名字，是根据图形形状的象形比喻，方便学生记忆。它是解题技巧（过拐点作平行线）与图形识别（象形命名）结合的产物。 1、（2025•扬州）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【分析】根据物理学原理可知：AB∥PQ∥CD，再根据平行线的性质求出∠BGP和∠PGD，从而求出∠BGD，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【解答】解：由题意可知：AB∥PQ∥CD， ∵AB∥PQ， ∴∠ABE+∠BGP＝180°， ∵∠ABE＝130°， ∴∠BGP＝180°﹣130°＝50°， ∵PQ∥CD， ∴∠PGD+∠CDF＝180°， ∵∠CDF＝150°， ∴∠PGD＝180°﹣150°＝30°， ∴∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝50°+30°＝80°， ∴∠EGF＝∠BGD＝80°， 故选：C． 2、（2025•淄博）已知：如图，AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（　　） A．36° B．34° C．26° D．24° 【分析】由AB∥CD，根据三角形外角的性质和平行线的性质可得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°，即可得∠3＝24°． 【解答】解：由AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°， 得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°， 得∠3＝24°． 故选：D． 3、（2026•渭滨区校级一模）如图，AB∥CD，∠AFE＝140°，∠DCE＝70°，则∠CEF的度数是（　　） A．30° B．40° C．25° D．35° 【分析】根据平行线的性质求出∠1的度数，邻补角求出∠EFB的度数，三角形的外角求出∠CEF的度数即可． 【解答】解：由题意可得： ∴∠1＝∠DCE＝70°， ∵∠AFE＝140°， ∴∠EFB＝180°﹣∠AFE＝40°， ∵∠1＝∠CEF+∠EFB， ∴∠CEF＝30°． 故选：A． 4、（2025•武威校级模拟）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F． （1）如图1，若∠1＝65°，∠2＝75°，求∠F的度数． （2）求证：∠E+2∠F＝360°． （3）如图2，若∠E＝m°，∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，求∠P的度数（用m，n的代数式表示）． 【分析】（1）过点F作直线FG∥AB，根据平行线的性质及平行线公理即可解答； （2）过点E作直线EH∥AB，根据平行线的性质，角平分线的定义及平行线公理即可得证； （3）根据角的等量代换表示出∠E，进而表示出∠ABP+∠CDP，过点P作直线PJ∥AB，根据平行线的性质及平行线公理即可解答． 【解答】（1）解：过点F作直线FG∥AB，如图， ∵FG∥AB， ∴∠BFG＝∠1＝65°， ∵FG∥AB，AB∥CD， ∴FG∥CD， ∴∠DFG＝∠2＝75°， ∴∠F＝∠BFG+∠DFG＝65°+75°＝140°； （2）证明：过点E作直线EH∥AB，如图， ∵EH∥AB， ∴∠ABE+∠BEH＝180°， ∵EH∥AB，AB∥CD， ∴EH∥CD， ∴∠CDE+∠HED＝180°， ∴∠ABE+∠BEH+∠HED+∠CDE＝360°， ∵BF平分∠ABE，FD平分∠CDE， ∴∠ABE＝2∠1，∠CDE＝2∠2， ∴∠E+2∠1+2∠2＝360°， 由（1）得，∠F＝∠1+∠2， ∴∠E+2∠F＝360°． （3）解：∵∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP， ∴∠ABF＝（n+1）∠ABP，∠CDF＝（n+1）∠CDP， 由（1）得∠F＝∠ABF+∠CDF＝（n+1）（∠ABP+∠CDP）， 由（2）得，∠E+2∠F＝360°， ∴∠E＝360°﹣2（n+1）（∠ABP+∠CDP）＝m°， ∴∠ABP+∠CDP， 过点P作直线PJ∥AB，如图， ∵PJ∥AB， ∴∠BPJ＝∠ABP， ∵PJ∥AB，AB∥CD ∴PJ∥CD， ∴∠DPJ＝∠CDP， ∴∠P＝∠ABP+∠CDP． 1）“铅笔”模型 像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。 模型结论：∠B+∠E+∠D=360° 模型证明 如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360° 证明一：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。 又∵∠BED=∠1+∠2， ∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。 证明二：如图，连接BD， ∵ AB//CD ∴ ∠ABD+∠BDC=180° 在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180° ∴∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360° ∴∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360° ∴∠ABE+∠E+∠CDE=360° 2）“骨折”模型 如图，已知AE∥CF，求∠E、∠F、∠P之间的数量关系． 模型证明 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。 证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。 ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠BED=∠FED-∠FEB， ∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。 结论：∠B+∠E=∠D 3）“鸟嘴”模型 如图，若AB//CD，求证：∠1=∠2+∠3 证法1（添角）：过点P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ ∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180° ∴∠1=∠2+∠3. 证法2：延长AB交PD于Q，则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180° ∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3. 4）“猪蹄”模型 猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。 如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系． 思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB， ∴∠B=∠BEF， 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠D=∠DEF， ∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D． ∴∠E=∠B+∠D． 思路2：延长BE交CD于点F ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BFD， ∴∠D+∠BFD=∠BED， ∴∠B+∠D=∠E． 5）“锯齿”模型 如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 证明：如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB. ∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF. ∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E， ∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E. 例1（2024•沙坪坝区校级三模）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．40° B．50° C．130° D．140° 【分析】根据平角的性质和平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：如图， ∵∠1+∠3+90°＝180°，∠1＝40°， ∴∠3＝50°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3， ∴∠2＝50°， 故选：B． 例2如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．125° 【分析】解法一：过点B作DE∥a，则∠DBA＝∠1＝45°，易得DE∥b，进而得到∠2+∠DBC＝180°，求得∠DBC＝55°，于是∠ABC＝∠DBA+∠DBC，代入计算即可求解． 解法二：延长AB交b于点F，由平行线的性质得到∠1＝∠3＝45°，再利用三角形的外角性质可得∠2＝∠3+∠CBF，进而求得∠CBF＝80°，最后根据平角的定义即可求解． 【解答】解：解法一：如图，过点B作DE∥a， ∴∠DBA＝∠1＝45°， ∵a∥b，DE∥a， ∴DE∥b， ∴∠2+∠DBC＝180°， ∴∠DBC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°， ∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝45°+55°＝100°． 解法二：如图，延长AB交b于点F， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝45°， ∵∠2＝125°， ∵∠2＝∠3+∠CBF， ∴∠CBF＝∠2﹣∠3＝125°﹣45°＝80°， ∴∠ABC＝180°﹣∠CBF＝180°﹣80°＝100°． 故选：A． 例3（2025春•东莞市校级月考）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝126°，∠PCD＝134°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC为 　　 度． （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由． （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系． 【分析】（1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出∠APE，∠CPE度数，利用∠APC＝∠APE+∠CPE，进行求解即可； （2）过点P作PE∥AB，易得PE∥CD，得到∠APE＝α，∠CPE＝β，进而得到∠APC＝α+β； （3）分点P在点B外侧，和在点D外侧，两种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）∵PE∥AB，AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE+∠BAP＝180°，∠CPE+∠PCB＝180°， ∵∠PAB＝126°，∠PCD＝134°， ∴∠APE＝54°，∠CPE＝46°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝100°； 故答案为：100； （2）∠APC＝α+β，理由如下： 过点P作PE∥AB，如图2， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE＝α，∠CPE＝β， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β； （3）如图3，当P在点D的外侧时，由（2）可知α＝∠APE，β＝∠CPE， ∴∠CPA＝α﹣β； 如图4，当P在点B外侧时，由（2）可知α＝∠APE，β＝∠CPE， ∴∠CPA＝β﹣α． 例4（2025春•广平县期末）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角） （1）当动点P落在第①部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间满足怎样的数量关系？并加以证明； （2）当动点P落在第②部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间又满足怎样的数量关系？并加以证明； （3）当动点P落在第③部分时且在直线AB右侧时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论． 【分析】（1）利用猪脚模型，即可解答； （2）利用铅笔模型，即可解答； （3）设PB交AC于点E，利用平行线的性质可得∠PBD＝∠PEC，然后利用三角形的外角性质可得∠PAC＝∠PEC﹣∠APB，从而利用等量代换可得∠PAC＝∠PBD﹣∠APB，即可解答． 【解答】解：（1）∠APB＝∠PAC+∠PBD， 理由：过点P作PE∥AC， ∴∠PAC＝∠APE， ∵AC∥BD， ∴PE∥BD， ∴∠PBD＝∠BPE， ∵∠APB＝∠APE+∠BPE， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD； （2）∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°， 理由：过点P作PF∥AC， ∴∠PAC+∠APF＝180°， ∵AC∥BD， ∴PF∥BD， ∴∠BPF+∠PBD＝180°， ∴∠PAC+∠APF+∠BPF+∠PBD＝360°， 即∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°； （3）∠PAC＝∠PBD﹣∠APB， 理由：设PB交AC于点E， ∵AC∥BD， ∴∠PBD＝∠PEC， ∵∠PEC是△APE的一个外角， ∴∠PAC＝∠PEC﹣∠APB， ∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB． 例5（2025春•光山县期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝60°． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　　 °； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数． 【分析】（1）过点C作直线a的平行线CD，根据平行线的性质可得∠1+∠2＝90°，从而可得∠1＝35°； （2）过点B作直线a的平行线BE，根据平行线的性质可得∠2＝180°﹣∠ABE，∠CBE＝∠1，由已知∠ABC＝60°，故∠ABE＝60°﹣∠1，从而有∠2＝180°﹣（60°﹣∠1）＝120°+∠1； （3）根据点A始终在直线BD的上方可知，分两种情况：①边BC在直线BD上方时，∠CBD+∠1+∠ABC＝180°，从而可得∠CBD＝20°，射线BA与直线所夹锐角的度数为80°，②边BC再直线BD的下方，此时∠1+∠ABC﹣∠CBD＝180°，从而可得∠CBD＝30°，射线BA与直线所夹锐角的度数为30°． 【解答】解：（1）如题1，过点C作直线a的平行线CF， ∵a∥b， ∴CF∥a∥b， ∴∠2＝∠ACF，∠1＝∠BCF， ∵∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝35°， 故答案为：35°； （2）∠1与∠2间的数量关系为∠2＝120°+∠1，理由如下： 如图2，过点B作直线a的平行线BE， ∵a∥b， ∴BE∥a∥b， ∴∠2+∠ABE＝180°，∠1＝∠CBE， ∵∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝60°， ∴∠2+60°﹣∠1＝180°， 即∠2＝120°+∠1； （3）由题意可知，分两种情况： ①当边BC在直线BD上方时，如图3， 射线BA与直线所夹锐角为∠2， ∵∠1+∠ABC+∠CBD＝180°， ∠1＝5∠CBD， ∴6∠CBD＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠CBD＝20°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝80°， 即射线BA与直线所夹锐角的度数为80°， ②当边BC再直线BD的下方时，如图4， 射线BA与直线所夹锐角为∠2， ∵∠1+∠ABD＝180°，∠1＝5∠CBD， ∴5∠CBD+∠ABD＝180°， ∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∴∠ABD＝30°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠ABD＝30°， 即射线BA与直线所夹锐角的度数为30°， 综上所述，射线BA与直线所夹锐角的度数为80°或30° 1．如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 【分析】过点E作EG∥AB，根据猪脚模型可得：∠MEN＝∠1+∠CNE，∠F＝∠AMF+∠4，再利用角平分线的定义可得∠AMF＝2∠1，∠CNE＝2∠4，从而可得∠1+2∠4+54°＝2（2∠1+∠4），然后进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EG∥AB， ∴∠1＝∠MEG， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠GEN＝∠CNE， ∵∠MEN＝∠MEG+∠GEN， ∴∠MEN＝∠1+∠CNE， 同理可得：∠F＝∠AMF+∠4， ∵ME平分∠AMF，NF平分∠CNE， ∴∠AMF＝2∠1，∠CNE＝2∠4， ∴∠MEN＝∠1+2∠4，∠F＝2∠1+∠4， ∵∠MEN+54°＝2∠F， ∴∠1+2∠4+54°＝2（2∠1+∠4）， ∴∠1＝18°， ∴∠AMF＝2∠1＝36°， 故选：B． 2．（2025春•皇姑区期末）如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠1＝10°，那么∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】过点A作AB∥b，利用猪脚模型进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点A作AB∥b， ∴∠1＝∠DAB＝10°， ∵∠DAC＝60°， ∴∠CAB＝∠DAC﹣∠DAB＝50°， ∵a∥b， ∴AB∥a， ∴∠2＝∠CAB＝50°， 故选：C． 3．（2025•雁塔区校级四模）将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】过点A作AD∥a，如图，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠1，根据平行线的传递性可得AD∥b，从而得到∠DAC＝∠2．再根据等边△ABC可得到∠BAC＝60°，就可求出∠DAC，从而解决问题． 【解答】解：过点A作AD∥a，如图， 则AD∥b， ∴∠BAD＝∠1＝35°． ∵a∥b， ∴AD∥b， ∵∠DAC＝∠2， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠2＝∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝60°﹣35°＝25°． 故选：B． 4．（2025春•郑州期中）如图，科学实践小组在研究“光的折射”现象时，发现烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．若∠FEC＝125°，∠HFB＝15°，则∠HFG的度数为（　　） A．30° B．40° C．55° D．60° 【分析】依题意，由平角的定义先求得∠FED，进一步结合平行线的性质求解即可． 【解答】解：∵∠FEC＝125°， ∴∠FED＝180°﹣125°＝55°， ∵AB∥CD， ∴∠GFB＝∠FED＝55°， ∵∠HFB＝15°， ∴∠HFG＝55°﹣15°＝40°， 故选：B． 5．如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（　　） A．44° B．34° C．24° D．14° 【分析】根据平行线及∠BEF的度数，可求出∠DKF的度数，再利用外角定理求得∠KHF的度数，即为∠GHC的度数． 【解答】解：因为AB∥CD，且∠BEF＝64°， 所以∠DKF＝∠BEF＝64°． 又三角形EFG为直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°， 所以∠F＝30°． 所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°． 又∠GHC＝∠KHF， 所以∠GHC＝34°． 故选：B． 6．如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝40°，则∠2为（　　） A．60° B．40° C．30° D．20° 【分析】延长FG交CD于点E，利用猪脚模型进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：延长FG交CD于点E， ∵∠FGH是△EGH的一个外角， ∴∠FGH＝∠2+∠3＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠3， ∴∠2+∠1＝60°， ∵∠1＝40°， ∴∠2＝60°﹣40°＝20°， 故选：D． 7．如图是路灯维护工程车工作时的示意图，工作篮底部与支撑平台平行．当∠1＝75°，∠2＝45°时，∠3的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【分析】延长CB与AD交于点E，先利用平行线的性质可得∠2＝∠E＝45°，然后利用三角形的外角性质可得∠BDE＝30°，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图：延长CB与AD交于点E， ∵AE∥CF， ∴∠2＝∠E＝45°， ∵∠1是△BDE的一个外角， ∴∠BDE＝∠1﹣∠E＝75°﹣45°＝30°， ∴∠3＝180°﹣∠BDE＝150°， 故选：D． 8．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝120°，则∠C的度数为（　　） A．120° B．110° C．140° D．90° 【分析】过点C作CF∥AB，由平行线性质可得∠B，∠D，∠BCF，∠DCF的关系，进而求得∠C． 【解答】解：如图所示：过点C作CF∥AB． ∵AB∥DE， ∴DE∥CF； ∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°； ∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝110°． 故选：B． 9．（2025春•虎林市期末）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【分析】过点F作FP∥AB，HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案． 【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC ∴AB∥CD ∴①正确； 过点F作FP∥AB，HQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴FP∥AB∥HQ∥CD， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°， ∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°， ∴∠EHG≠2∠EFM ∴②错误； ∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°， ∴③错误； ∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①④． 故选：D． 10．（2025春•静海区校级期中）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【分析】过点H作HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案． 【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC， ∴AB∥CD， ∴①正确； 过点H作HQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥HQ∥CD， ∴∠EHQ＝∠AEH＝∠NEB，∠GHQ＝∠HGC， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y， ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∴∠FEN+∠FGH＝2（x+y）＝2∠EHG， ∴②正确； ∵∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG， ∴∠EFM＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°， ∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°， ∴③错误； 3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 11．（2025春•通化期末）如图，已知直线AB∥CD，点E在AB和CD之间，连接AE，CE，若∠2＝55°，∠3＝35°，则∠1＝　20　 °． 【分析】过点E作直线MN∥AB，则AB∥MN∥CD，由平行线的性质可得∠1＝∠AEM，∠3＝∠CEM＝35°，易得∠AEM+∠CEM＝∠2，则∠1＝∠AEM＝∠2﹣∠CEM，代入计算即可求解． 【解答】解：如图，过点E作直线MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠1＝∠AEM，∠3＝∠CEM＝35°， ∵∠AEM+∠CEM＝∠2， ∴∠AEM＝∠2﹣∠CEM＝55°﹣35°＝20°， ∴∠1＝∠AEM＝20°． 故答案为：20． 12．（2025春•东阿县期末）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，灯体是CD，其中AB垂直地面于点A，过点C作射线CE与地面平行（即CE∥l），已知两个支撑杆之间的夹角∠ABC＝140°，灯体CD与支撑杆BC之间的夹角∠DCB＝80°，则∠DCE的度数为 　30°　 ． 【分析】过点B作BF∥CE．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出∠CBF，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论． 【解答】解：过点B作BF∥CE． ∵CE∥l， ∴BF∥l． ∴∠ABF＝∠1＝90°． ∵∠ABC＝140°， ∴∠CBF＝140°﹣90°＝50°． ∵BF∥CE， ∴∠ECB＝∠CBF＝50°． ∴∠DCE＝∠DCB﹣∠BCE ＝80°﹣50° ＝30°． 故答案为：30°． 13．（2025•城北区校级模拟）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是 　50°　 ． 【分析】由平角得∠ABP＝30°，∠CDP＝20°，由平行线性质得∠BPN＝∠ABP＝30°，∠NPD＝∠CDP＝20°，故∠EPF＝∠EPN+∠NPF＝50°． 【解答】解：∵∠ABE＝150°， ∴∠ABP＝30°， ∵∠CDF＝160°， ∴∠CDP＝20°， ∵AB∥MN∥CD， ∴∠BPN＝∠ABP＝30°，∠NPD＝∠CDP＝20°， ∴∠EPF＝∠EPN+∠NPF＝50°． 14．平面镜在光学仪器中有广泛的应用．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图②，两平面镜OM，ON的夹角∠MON，若任何射到平面镜ON上的入射光线AB，经过平面镜ON，OM两次反射后，使得AB∥CD，则∠MON＝　90　 °． 【分析】首先根据题意可得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据平角的意义得2∠2+∠ABC＝180°，2∠3+∠DCB＝180°，即1（∠2+∠3）+（∠ABC+∠DCB）＝360°，然后根据AB∥CD得∠ABC+∠DCB＝180°，进而可求出∠2+∠3＝90°，据此可求出∠MON的度数． 【解答】解：依题意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠1+∠2+∠ABC＝180°，∠3+∠4+∠DCB＝180°， ∴2∠2+∠ABC＝180°，2∠3+∠DCB＝180°， ∴2∠2+∠ABC+2∠3+∠DCB＝360°， 即：2（∠2+∠3）+（∠ABC+∠DCB）＝360°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB＝180°， ∴2（∠2+∠3）+180°＝360°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠MON＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°． 故答案为：90°． 15．如图，直线AB∥CD，∠A＝68°，∠C＝40°，则∠E等于 　28°　 ． 【分析】首先根据平行线的性质得∠1＝∠A＝68°，再根据三角形的外角定理及∠C＝40°即可求出∠E的度数． 【解答】∵AB∥CD，∠A＝68°， ∴∠1＝∠A＝68°， ∵∠1＝∠C+∠E， 又∵∠C＝40°， ∴68°＝40°+∠E， ∴∠E＝28°． 答案为：28°． 16．（2025秋•兰州期末）（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？ （2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由． 【分析】（1）作CF∥AB，则CF∥DE，根据两直线平行，同旁内角互补可以分别求出∠BCF和∠DCF的度数，即可求出∠BCD的度数； （2）∠B+∠BCD+∠D＝360°，由两直线平行，同旁内角互补可得：∠B+∠BCF＝180°，∠D+∠DCF＝180°，所以∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°，即∠B+∠BCD+∠D＝360°． 【解答】解：（1）如图，作CF∥AB，则CF∥DE， ∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°， ∵∠B＝135°，∠D＝145°， ∴∠BCF＝45°，∠DCF＝35°， ∴∠BCD＝80°； （2）∠B+∠BCD+∠D＝360°， 如图，∵CF∥AB，则CF∥DE， ∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°， ∴∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°， 即∠B+∠BCD+∠D＝360°． 17．（2025秋•白银期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　∠EAB ，∠C＝　∠DAC ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　180°　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 【分析】（1）过点A作ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答； （2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴180°﹣∠B+∠C＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 18．（2025春•兰州期中）【阅读思考】如图①，已知AB∥ED，探究∠B、∠E、∠BCE之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是∠B+∠E＝∠BCE． 证明过程如下： 如图①，过点C作CF∥AB， ∴∠B＝∠1． ∵AB∥ED，AB∥CF， ∴DE∥CF， ∴∠E＝∠2， ∴∠B+∠E＝∠1+∠2，即∠B+∠E＝∠BCE． （1）【理解应用】如图②，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数； （2）【拓展探索】如图③，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC，若∠ABC＝n°，则∠BED度数为多少？（用含n的代数式表示） 【分析】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的性质即可求解； （2）过点E作EF∥AB，由角平分线的定义求得，∠CDE＝25°，再由平行线的性质求得，∠CDE＝25°，进一步计算即可求解． 【解答】解：（1）如图②，过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥CF∥DE， ∴∠B+∠BCF＝180°，∠FCD+∠D＝180°， ∴∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠BCF+∠FCD+∠D＝360°； （2）如图③，过点E作EF∥AB， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝50°， ∴，， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴，∠CDE＝∠DEF＝25°， ∴． 故答案为：． 19．（2025春•赣州期末）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上． （1）若∠1＝23°，∠2＝34°，则∠3＝　57°　 ； （2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由； （3）应用（2）中的结论解答下列问题； 已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°． ①如图2，求∠AEC的度数； ②如图3，将线段AD沿CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数． 【分析】（1）利用平行线性质和三角形内角和定理求解； （2）利用平行线性质和三角形内角和定理计算推理说明； （3）①利用角平分线性质和平行线的性质求解即可； ②利用角平分线性质和平行线的性质，与①求解过程相似，不同的是用到了同旁内角互补． 【解答】解：（1）∵l1∥l2， ∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°， 在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°， ∴∠3＝∠1+∠2＝23°+34°＝57°； 故答案为：57°； （2）∠1+∠2＝∠3，理由如下： ∵l1∥l2， ∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°， 在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°， ∴∠1+∠2＝∠3； （3）①如图2， ∵l1∥l2， ∴EF∥l2， ∵l1∥l2， ∴∠BCD＝∠α， ∵∠α＝74°， ∴∠BCD＝74°， ∵CE是∠BCD的角平分线， ∴∠ECD∠BCD74°＝37°， ∵EF∥l2， ∴∠FEC＝∠ECD＝37°， 同理可求∠AEF＝16°， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝53°； ②过点E作EF∥l1， ∴∠AEF＝180°﹣∠EAB，∠FEC＝∠ECD， ∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD， ∵l1∥l2，AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°， ∴∠BAD＝180°﹣∠β＝180°﹣32°＝148°，∠BCD＝∠α＝74°， ∴∠EAB∠BAD148°＝74°， ∠ECD∠BCD74°＝37°， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAB+∠ECD＝180°﹣74°+37°＝143°， ∴∠AEC的度数为143°． 20．（2025春•娄底期末）已知直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角板PMN（∠P＝90°，∠PMN＝60°）按如图1所示位置摆放，使N，M分别在AB，CD上，P在AB，CD之间，设∠PMD＝α（0°＜α＜90°）. （1）比较：∠PNB+∠PMD　＝　 ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）如图2，分别画∠BNM，∠PMD的平分线，交于点Q，求∠NQM的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若NE平分∠ANP，交CD于点E，过点N作NF∥MQ，交CD于点F．请在图3中补全图形，并判断∠ENF的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）通过辅助线PQ构造等角得出∠PNB＝∠NPQ和∠PND＝∠MPQ，进而得出结论． （2）由平行线的性质得出∠BNM＝∠NMC，在平角CMD中求出∠NMC+∠PMD，进而求出（∠NMC+∠PMD），再同理（1）可求出∠NQM的大小． （3）根据题意补全图形，先由平行线的性质求出∠ANF＝∠DMQ∠PMD，然后角平分线的性质求出∠ANE（180°﹣∠BNP），最后通过角的和差关系求得∠FNE＝∠ANE﹣∠ANF＝90°（∠BNP+∠PMD），结合（1）即可求出结果． 【解答】解：（1）如图，过点P作PQ平行于AB，则PQ∥AB∥CD． ∴∠PNB＝∠NPQ，∠PND＝∠MPQ， ∵∠NPQ+∠MPQ＝∠MPN＝90°， ∴∠PNB+∠PMD＝∠MPN． 故答案为：＝． （2）∵AB∥CD， ∴∠BNM＝∠NMC， ∵∠BNQ∠BNM，∠DMQ∠PMD， ∴由（1）结论同理可得：∠NQM＝∠BNQ+∠DMQ（∠BNM+∠PMD）（∠NMC+∠PMD）． ∵∠NMC+∠PMD＝180°﹣∠PMN＝120°， ∴∠NQM＝60°． （3）根据题意补全图形如下： ∵AB∥CD， ∴∠ANF＝∠NFD， ∵NF∥MQ， ∴∠NFD＝∠DMQ． ∴∠ANF＝∠DMQ． ∵MQ平分∠PMD， ∴∠ANF＝∠DMQ∠PMD． ∵NE平分∠ANP， ∴∠ANE∠ANP（180°﹣∠BNP）＝90°∠BNP． ∴∠FNE＝∠ANE﹣∠ANF＝90°∠BNP﹣∠DMQ＝90°（∠BNP+∠PMD）． 由（1）知，∠BNP+∠PMD＝90°， ∴∠FNE＝90°﹣45°＝45°． 故∠FNE的大小为定值，度数是45°． 21．（2025春•宜都市期末）已知，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F． （1）如图1，∠1+∠2＝180°，求证：AB∥CD； （2）如图2，在（1）的条件下，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，FP与AB交于点G，点H是MN上一点，且HG⊥FG，求证：PE∥GH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠FPK，问∠HPQ的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 【分析】（1）由∠1+∠2＝180°，∠1+∠BEF＝180°得∠BEF＝∠2即可； （2）由∠BEF+∠EFD＝180°再结合角平分线的定义可求证； （3）利用邻补角定义及三角形的内角和可求解． 【解答】证明：（1）∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝∠2， ∴AB∥CD； 证明：（2）由（1）知，AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P， ∴∠FEP+∠EFP（∠BEF+∠EFD）＝90°， ∴∠EPF＝90°， ∵GH⊥EG， ∴∠EGH＝∠EPF＝90°， ∴EP∥GH； 解：（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下： ∵∠HKP+∠KPH+∠KHP＝180°，∠PHK＝∠HPK， ∴∠HKP+2∠KPH＝180°， ∵∠HKP+∠PKG＝180°， ∴∠PKG＝2∠KPH， 同理：∠FPK＝∠PGK+∠PKG＝90°+2∠KPH， ∵PQ平分∠FPK， ∴∠QPK∠EPK（90°+2∠KPH）＝45°+∠KPH， ∴∠HPQ＝∠KPQ﹣∠KPH＝45°+∠KPH﹣∠KPH＝45°， ∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°． 22．（2025春•嘉定区期中）问题情境 我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF． 问题初探 （1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数． 分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数． 由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　30°　 ，∠EMC的度数为 　60°　 ． 类比再探 （2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由． （3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由． 【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数； （2）过C作CH∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°； （3）过B作BK∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°． 【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°； 故答案为：30°，60°； （2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由： 证明：如图， 过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH， ∵DE∥GF，CH∥GF， ∴CH∥DE， ∴∠EMC＝∠HCM， ∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°； （3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由： 证明：如图， 过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA， ∵BK∥GF，DE∥GF， ∴BK∥DE， ∴∠BMD＝∠KBM， ∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°． 23．已知，MN∥PQ，直线AB交MN于点A，交PQ于点B，点C在线段AB上，过C作射线CE、CF分别交直线MN、PQ于点E、F． （1）如图1，当CE⊥CF时，求∠AEC+∠BFC的度数； （2）如图2，若∠MEC和∠PFT的角平分线交于点G，求∠ECF和∠G的数量关系； （3）如图3，在（2）的基础上，当CE⊥CF，且∠ABP＝60°，∠ACE＝20°时，射线FT绕点F以5°每秒的速度顺时针旋转（旋转角度≤360°），设运动时间为t秒，当射线FG与△AEC的一边互相平行时，请直接写出t的值． 【分析】（1）过点C作CD∥MN，根据已知条件证明∠ECF＝90°，然后根据平行线的性质证明∠AEC＝∠ECD，∠BFC＝∠DCF，通过等量代换即可； （2）过点C作 CD∥MN，过点G作 GH∥PQ，参考（1）思路利用平行线的性质可得∠ECF＝180°﹣2∠G； （3）分三种情况进行解答，①FG'∥AE，②FG'∥CE，③FG'∥AC，求出旋转的角度就能算出答案． 【解答】解：（1）如图，过点C作 CD∥MN， ∴∠AEC＝∠ECD（两直线平行，内错角相等）， ∵MN∥PQ， ∴CD∥PQ（平行于同一直线的两条直线互相平行）， ∴∠BFC＝∠DCF（两直线平行，内错角相等）， ∵CE⊥CF， ∴∠ECF＝90°， ∴∠ECF＝∠ECD+∠DCF＝∠AEC+∠BFC＝90°（等量代换）， ∴∠AEC+∠BFC＝90°； （2）如图，过点C作 CD∥MN，过点G作 GH∥PQ， 设∠MEG＝∠CEG＝α，则∠MEC＝2α， ∵CD∥MN， ∴∠ECD＝180°﹣2α， 设∠PFG＝∠GFT＝β，则∠PFT＝2β， ∵MN∥PQ， ∴CD∥PQ， ∴∠DCF＝∠PFT＝2β， ∴∠ECF＝∠ECD+∠DCF＝180﹣2a+2β， ∵GH∥PQ ∴GH∥MN， ∴∠EGH＝∠MEG＝α，∠FGH＝∠GFT＝β， 则∠EGF＝∠EGH﹣∠FGH＝α﹣β， ∴∠ECF＝180﹣2α+2β＝180°﹣2（α﹣β）＝180°﹣2∠EGF， 即∠ECF＝180°﹣2∠G； （3）10秒、26秒或34秒； 过点F作 FH∥AB， ∵∠ACE＝20°，CE⊥CF， ∴∠BCF＝70°， ∵FH∥AB， ∴∠BCF+∠CFH＝180°， ∴∠CFH＝110°， ∵∠ABP＝60°， ∴∠BFH＝60°， ∴∠CFB＝∠CFH﹣∠BFH＝110°﹣60°＝50°， ∴∠PFT＝50°， 依题意可知需分三种情况： ①FG∥AE时，此时射线FT与直线PQ重合， ∠TFP＝50°＝5t， 解得t＝10； ②FG∥CE时，如图， ∠PFG'＝180°﹣90°﹣50°＝40°， ∴∠PFH'＝40°+40°＝80°， ∴∠TFH'＝80°+50°＝5t， 解得t＝26； ③FG∥AC时，如图， ∠PFG'＝∠ABP＝60°， ∴∠PFH'＝60°+60°＝120°， ∴∠TFH'＝120°+50°＝5t， 解得t＝34； ∴综合以上情况，t为10秒、26秒或34秒时，射线FG与△AEC的一边互相平行． 24．（2025春•市南区校级期中）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：直接写出∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着的数量关系　∠BPD＝∠ABP+∠CDP ． 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为　∠AMP＝∠CNP+∠P ； 如图③，已知，∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝　145°　 ．（不需要写解答过程） 【拓广提升】 利用以上探究得到的结论解决下列问题：已知AB∥CD． 如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数． 如图⑤，∠DNE的角平分线NG的反向延长线和∠AME的角平分线MF交于点F，∠E﹣∠F＝42°，则∠E的度数为　88　 度． 【分析】【提出问题】根据平行线的性质，角的和的定义，等量代换即可得出它们的数量关系． 【分析问题】设AB，PN的交点为Q，利用平行线的性质，三角形外角性质解答即可． 延长EA交BC于点G，利用刚才的结论证明即可． 【解决问题】根据探究一的结论，得∠P＝∠AMF+∠PMF+∠PNF+∠CNF， ∠F＝∠AMF+∠CNF，结合∠P＝2∠F，证明∠AMF＝∠PMF，解答即可． 设CD，MF的交点为H，根据探究二的结论，得∠F＝∠AMF﹣∠DNG，根据探究一的结论，得∠E＝∠BME+∠DNE，即∠E＝180°﹣∠AME+∠DNE，由∠E﹣∠F＝42°，故∠E＝180°﹣2（∠E﹣42°），解答即可． 【解答】解：【提出问题】∠BPD＝∠ABP+∠CDP， 理由：∵AB∥MN， ∴∠ABP＝∠BPN， ∵CD∥MN， ∴∠CDP＝∠DPN， ∵∠BPD＝∠BPN+∠DPN， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP， 故答案为：∠BPD＝∠ABP+∠CDP； 【解决问题】探究二：∠AMP＝∠CNP+∠P， 理由：设AB，PN的交点为Q， ∵AB∥CD， ∴∠CNP＝∠PQM， ∵∠AMP＝∠P+∠PQM， ∴∠AMP＝∠CNP+∠P， 故答案为：∠AMP＝∠CNP+∠P； 延长EA交BC于点G，如图 ∵AE∥CD， ∴∠BCD＝∠AGC， ∵∠AGC＝∠ABC+∠BAG， ∴∠BAG＝∠AGC﹣∠ABC， ∵∠ABC＝25°，∠C＝60°， ∴∠BAG＝∠AGC﹣∠ABC＝35°， ∴∠BAE＝180°﹣∠BAG＝145°， 故答案为：145°； 【拓广提升】∵射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP， ∴，∠CNF＝∠PNF， 根据探究一的结论，得∠P＝∠AMF+∠PMF+∠PNF+∠CNF， ∠F＝∠AMF+∠CNF， ∴∠P＝∠AMF+∠PMF+∠PNF+∠CNF， ∵∠P＝2∠F， ∴2∠F＝∠AMF+∠PMF+∠PNF+∠CNF， ∴2∠AMF+2∠CNF＝∠AMF+∠PMF+2∠CNF， ∴∠AMF＝∠PMF∠AMP， ∵∠AMP+∠PMB＝180°， ∴2∠PMF+2∠PME＝180°， ∴∠PMF+∠PME＝∠FME＝90°； 如图所示， 设CD，MF的交点为H， 根据探究二的结论，得∠AMF＝∠CHF＝∠F+∠HNF＝∠F+∠DNG， 即∠F＝∠AMF﹣∠DNG， 2∠F＝2∠AMF﹣2∠DNG， 根据探究一的结论，得∠E＝∠BME+∠DNE， 故∠E＝180°﹣∠AME+∠DNE， 由∠DNE的角平分线NG的反向延长线和∠AME的角平分线MF交于点F， 故∠E＝180°﹣（2∠AMF﹣2∠DNG）＝180°﹣2∠F， 由∠E﹣∠F＝42°， 故∠E＝180°﹣2（∠E﹣42°）， 解得∠E＝88°， 故答案为：88． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平行线拐点模型之“铅笔”、“猪蹄”、“锯齿”、“骨折”、“鸟嘴”模型 平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这 些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型、铅笔头模型、锯齿模型、骨折模型、鸟嘴模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 9 ‌ 平行线拐点模型并非源自某位数学家的“发明”，而是现代中学数学教学为了帮助学生快速解题，对“平行线性质”这一古老公理进行的图形化归纳与命名。 其数学根基是欧几里得 《几何原本》中的平行公理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）。当两条平行线被一条折线所截，利用“过拐点作平行线”的辅助线，就能将分散的角转化到“三线八角”的基本结构中，从而得出固定的数量关系。 “猪蹄”、“铅笔”、“鹰嘴”等名字，是根据图形形状的象形比喻，方便学生记忆。它是解题技巧（过拐点作平行线）与图形识别（象形命名）结合的产物。 1、（2025•扬州）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 2、（2025•淄博）已知：如图，AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（　　） A．36° B．34° C．26° D．24° 3、（2026•渭滨区校级一模）如图，AB∥CD，∠AFE＝140°，∠DCE＝70°，则∠CEF的度数是（　　） A．30° B．40° C．25° D．35° 4、（2025•武威校级模拟）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F． （1）如图1，若∠1＝65°，∠2＝75°，求∠F的度数． （2）求证：∠E+2∠F＝360°． （3）如图2，若∠E＝m°，∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，求∠P的度数（用m，n的代数式表示）． 1）“铅笔”模型 像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。 模型结论：∠B+∠E+∠D=360° 模型证明 如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360° 证明一：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。 又∵∠BED=∠1+∠2， ∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。 证明二：如图，连接BD， ∵ AB//CD ∴ ∠ABD+∠BDC=180° 在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180° ∴∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360° ∴∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360° ∴∠ABE+∠E+∠CDE=360° 2）“骨折”模型 如图，已知AE∥CF，求∠E、∠F、∠P之间的数量关系． 模型证明 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。 证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。 ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠BED=∠FED-∠FEB， ∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。 结论：∠B+∠E=∠D 3）“鸟嘴”模型 如图，若AB//CD，求证：∠1=∠2+∠3 证法1（添角）：过点P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ ∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180° ∴∠1=∠2+∠3. 证法2：延长AB交PD于Q，则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180° ∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3. 4）“猪蹄”模型 猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。 如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系． 思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB， ∴∠B=∠BEF， 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠D=∠DEF， ∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D． ∴∠E=∠B+∠D． 思路2：延长BE交CD于点F ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BFD， ∴∠D+∠BFD=∠BED， ∴∠B+∠D=∠E． 5）“锯齿”模型 如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 证明：如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB. ∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF. ∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E， ∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E. 例1（2024•沙坪坝区校级三模）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．40° B．50° C．130° D．140° 例2如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．125° 例3（2025春•东莞市校级月考）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝126°，∠PCD＝134°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC为 　　 度． （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由． （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系． 例4（2025春•广平县期末）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角） （1）当动点P落在第①部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间满足怎样的数量关系？并加以证明； （2）当动点P落在第②部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间又满足怎样的数量关系？并加以证明； （3）当动点P落在第③部分时且在直线AB右侧时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论． 例5（2025春•光山县期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝60°． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　　 °； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数． 1．如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 2．（2025春•皇姑区期末）如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠1＝10°，那么∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 3．（2025•雁塔区校级四模）将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 4．（2025春•郑州期中）如图，科学实践小组在研究“光的折射”现象时，发现烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．若∠FEC＝125°，∠HFB＝15°，则∠HFG的度数为（　　） A．30° B．40° C．55° D．60° 5．如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（　　） A．44° B．34° C．24° D．14° 6．如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝40°，则∠2为（　　） A．60° B．40° C．30° D．20° 7．如图是路灯维护工程车工作时的示意图，工作篮底部与支撑平台平行．当∠1＝75°，∠2＝45°时，∠3的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 8．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝120°，则∠C的度数为（　　） A．120° B．110° C．140° D．90° 9．（2025春•虎林市期末）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 10．（2025春•静海区校级期中）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 11．（2025春•通化期末）如图，已知直线AB∥CD，点E在AB和CD之间，连接AE，CE，若∠2＝55°，∠3＝35°，则∠1＝　 　 °． 12．（2025春•东阿县期末）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，灯体是CD，其中AB垂直地面于点A，过点C作射线CE与地面平行（即CE∥l），已知两个支撑杆之间的夹角∠ABC＝140°，灯体CD与支撑杆BC之间的夹角∠DCB＝80°，则∠DCE的度数为 　　 　　 ． 13．（2025•城北区校级模拟）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是 　　 　　 ． 14．平面镜在光学仪器中有广泛的应用．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图②，两平面镜OM，ON的夹角∠MON，若任何射到平面镜ON上的入射光线AB，经过平面镜ON，OM两次反射后，使得AB∥CD，则∠MON＝　　 　　 °． 15．如图，直线AB∥CD，∠A＝68°，∠C＝40°，则∠E等于 　　 　　 ． 16．（2025秋•兰州期末）（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？ （2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由． 17．（2025秋•白银期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　 　，∠C＝　 　， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 18．（2025春•兰州期中）【阅读思考】如图①，已知AB∥ED，探究∠B、∠E、∠BCE之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是∠B+∠E＝∠BCE． 证明过程如下： 如图①，过点C作CF∥AB， ∴∠B＝∠1． ∵AB∥ED，AB∥CF， ∴DE∥CF， ∴∠E＝∠2， ∴∠B+∠E＝∠1+∠2，即∠B+∠E＝∠BCE． （1）【理解应用】如图②，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数； （2）【拓展探索】如图③，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC，若∠ABC＝n°，则∠BED度数为多少？（用含n的代数式表示） 19．（2025春•赣州期末）如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别相交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上． （1）若∠1＝23°，∠2＝34°，则∠3＝　 　 ； （2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由； （3）应用（2）中的结论解答下列问题； 已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠α＝74°，∠β＝32°． ①如图2，求∠AEC的度数； ②如图3，将线段AD沿CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数． 20．（2025春•娄底期末）已知直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角板PMN（∠P＝90°，∠PMN＝60°）按如图1所示位置摆放，使N，M分别在AB，CD上，P在AB，CD之间，设∠PMD＝α（0°＜α＜90°）. （1）比较：∠PNB+∠PMD　 　 ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）如图2，分别画∠BNM，∠PMD的平分线，交于点Q，求∠NQM的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若NE平分∠ANP，交CD于点E，过点N作NF∥MQ，交CD于点F．请在图3中补全图形，并判断∠ENF的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 21．（2025春•宜都市期末）已知，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F． （1）如图1，∠1+∠2＝180°，求证：AB∥CD； （2）如图2，在（1）的条件下，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，FP与AB交于点G，点H是MN上一点，且HG⊥FG，求证：PE∥GH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠FPK，问∠HPQ的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 22．（2025春•嘉定区期中）问题情境 我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF． 问题初探 （1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数． 分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数． 由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　 　 ，∠EMC的度数为 　 　 ． 类比再探 （2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由． （3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由． 23．已知，MN∥PQ，直线AB交MN于点A，交PQ于点B，点C在线段AB上，过C作射线CE、CF分别交直线MN、PQ于点E、F． （1）如图1，当CE⊥CF时，求∠AEC+∠BFC的度数； （2）如图2，若∠MEC和∠PFT的角平分线交于点G，求∠ECF和∠G的数量关系； （3）如图3，在（2）的基础上，当CE⊥CF，且∠ABP＝60°，∠ACE＝20°时，射线FT绕点F以5°每秒的速度顺时针旋转（旋转角度≤360°），设运动时间为t秒，当射线FG与△AEC的一边互相平行时，请直接写出t的值． 24．（2025春•市南区校级期中）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：直接写出∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着的数量关系　 　　 　． 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为　 　　 　 ； 如图③，已知，∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝　 　 ．（不需要写解答过程） 【拓广提升】 利用以上探究得到的结论解决下列问题：已知AB∥CD． 如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数． 如图⑤，∠DNE的角平分线NG的反向延长线和∠AME的角平分线MF交于点F，∠E﹣∠F＝42°，则∠E的度数为　 　 度． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $