精品解析：江苏苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一）数学试卷

2025~2026学年度苏锡常镇高三教学情况调研（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 则. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质化简不等式，即可根据真子集的关系判断. 【详解】由可得 ，解得或， 由于是或的真子集，故“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知复数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由， 则. 4. 的二项展开式的第6项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式展开式求解指定项的系数即可. 【详解】的二项展开式的第6项为， 所以第6项系数是. 5. 若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线 的焦点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆与抛物线的基本概念及性质求解即可. 【详解】椭圆的长轴长是短轴长的倍， 所以，即 ，所以， 抛物线 的焦点为，该焦点为椭圆的右焦点， 所以，所以，即. 故选：A 6. 已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和 轴作垂线，垂足分别为 ，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，利用向量垂直的坐标表示求出点的坐标，即可求出的值． 【详解】设，，由， 即，解得， 所以， 则， 所以． 7. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理得到，设，求出 的范围得到，求出，求出，令 ， 则 ，令 ，则 ，由的范围得的范围，则转化为函数，令，函数转化为， 利用二次函数的图像和性质得到，即的最大值， 从而得到 的最大值. 【详解】因为， 所以， 解得：，即：， 又，则， 则， 设 （边长比值为正），则 ， 将其代入得： ，即， 又， 则，即， 即，即，即 ，故 ， 将 、代入表达式， 得到， ， ， 即， 由正切定义（，，比值符号为正）， 故：， 令 ， 因为 ，， ， 设， 令 ，则 ，由得 ， 则转化为函数， 拆分化简：， 令，由 得， 函数转化为， 该二次函数开口向下，对称轴为，且 ， 在定义域内可取到最大值， 将代入得：， 即的最大值为，又因为三角形内角， ， 故 的最大值为. 故选项B正确. 8. 已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ） A. 2026 B. 1013 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【详解】因为且，所以， 因为，所以关于直线对称， 则原函数关于点对称，所以 所以， 令，则，即， 所以， 所以的周期为， 又，即，所以的周期也为， 由得， 由得，所以， 由得，所以， 又，所以， 所以， 所以， 又 ， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义，举反例可判断A；利用周期公式可判断B；利用复合函数的单调性法则可判断C；利用三角函数对称中心的求法可判断D. 【详解】函数可化为，据此分析各选项： A：取，则：， ， 由于，因此不是偶函数，A选项错误； B：正弦型函数的最小正周期为，B选项正确； C：当时，令，， 由于在上单调递增， 且在上单调递增，故C选项正确； D：令，解得， 当时，，即的一个对称中心为，故D选项正确. 10. 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分别求出从乙袋子中取出2个红球、2个白球和1个红球和1个白球的概率，分析X的可能取值，求出各个概率，可判断A、B的正误，代入期望和方差公式，可判断C、D的正误. 【详解】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则， 从乙袋子中取出2个白球为事件B，则， 从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则， 由题意，X的可能取值为0和1， 则 ，故A错误，B正确； 所以， 则，故C正确，D错误. 11. 已知异面直线，四点 不共面， 是线段的中点，，则（ ） A. 当时， B. 当时，直线所成角为 C. 点 到直线的距离为 D. 三棱锥的体积的最大值为3 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一判定选项即可. 【详解】过B点作，根据题意，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设，易知，， 若，则，由， 此时，所以； 对于A，易知，故A正确； 对于B，， 所以直线所成角为，故B正确； 对于C，易知， 则点 到直线的距离 ，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式以及等比数列性质求解即可. 【详解】等比数列的首项，设公比为， 当 时，，由，解得， 当时，由不成立， 所以 ，， 由， 又， 将代入上式得： 解得：或（舍去）， 所以. 13. 求值：___________． 【答案】 【解析】 【详解】 . 14. 已知圆是上的两个动点，点．若四边形 是矩形，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】由四边形 为矩形，知对角线与互相平分且相等， 设的中点为，则也是的中点，且， 故问题转化为求的取值范围. 设，由 可得， 又由垂径定理得：，即， 即， 整理得，即的轨迹是以为圆心、为半径的圆， ，而的取值范围可由的轨迹求得： ，其中， 所以的范围为： 所以， 故的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列． （1）若是等差数列，求的通项公式； （2）设 ，证明：数列是等比数列. 【答案】（1） （2）因为 ， 所以， 由 及 可知 ，则 ，所以 ， 所以是等比数列. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式求法计算即可； （2）根据递推关系及等比数列的定义证明即可. 【小问1详解】 由题意 . 因为是等差数列，所以公差 . 所以 . 满足 ，符合题设条件， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； （2）若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出 关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 【答案】（1） （2）①；②当时， ； 当时， . 所以该小组所得经验回归方程是理想的. 【解析】 【分析】（1）利用组合数和对立事件概率公式直接求解即可； （2）①利用最小二乘法直接求解即可； ②分别将和代入回归直线方程，由此可得预估值，与检验数据之差的绝对值均不超过2可确定结论. 【小问1详解】 记事件为“选取的2组数据是不相邻的两个月”， 则 【小问2详解】 ①由题意， ， . 1 3 2 4 8 5 则， 即， 所以 关于的经验回归方程为. ②略 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角 为直二面角． （1）证明： 平面； （2）若 在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 二面角 为直二面角，即平面 平面 ， 又因为 平面 ，平面 平面 ， 所以平面． 又因为 平面，所以 ． 由题意 平面， 所以 平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明 平面． （2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解， （3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得 为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点 中点，连接 ， 则 ， 因为平面， 平面，所以 ，所以 ， 在中， 为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得 . 所以该球的半径为. 【小问3详解】 法一：取中点 ，在中，过 作 ，垂足为，连接， 平面 平面 平面， 平面 平面 ，所以 平面 ． 而平面 ，故， 又因为 ， 平面 ，故 平面 ， 而 平面 ，所以 ， 则 为平面与平面 的所成角. 直角三角形 中，， 所以平面与平面 所成角的余弦值为. 法二：平面 的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面 所成角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）当 时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）当时，证明：． 【答案】（1）； （2）当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； （3） ①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即 ， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即 . 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时， ，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数可得； （3）分两种情况讨论：当时，用导数可判断的单调性可得；当时，先证 ，进而再用导数证明，从而可证明不等式. 【小问1详解】 当 时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 解法一：因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当 时，；当 时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. 解法二：因为， 设， 当时， 单调递减； 当时， 单调递增； 当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值， 令，所以 单调递减， 所以，即 ， 有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）． （1）求的离心率； （2）是否存在常数，使得总成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由； （3）若 为定值，直线经过，求的最小值． 【答案】（1） 2 （2） 存在，常数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角，可得其斜率，即可得a，b的关系，求出a与c的关系，代入公式，即可得答案. （2）当时，根据条件，求出，即可得关系；当时，分别求出的表达式，化简整理，分析即可得关系. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据韦达定理，可得表达式，进而可得表达式，利用导数求出的最小值，结合（2）及基本不等式，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，所以， 所以的离心率 . 【小问2详解】 ①当时，，， 此时，有. ②当时，可得的斜率都存在，设， 则， 因为， 即，其中为锐角， 即，， 所以，即. 所以存在常数，使得总成立. 【小问3详解】 由对称性，设直线的方程为，代入， 得，即， 所以， 令，则， 令，则， 所以单调递增，所以的最小值为 ， 所以，当且仅当“ ”时，取等号. 由（2）可知， 所以. 所以 ， 当且仅当“且 ”时，取等号． 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度苏锡常镇高三教学情况调研（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 的二项展开式的第6项系数是（ ） A. B. C. D. 5. 若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线 的焦点，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和 轴作垂线，垂足分别为 ，则（ ） A. B. C. 0 D. 7. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ） A. 2026 B. 1013 C. 1 D. -1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 10. 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知异面直线，四点 不共面， 是线段的中点，，则（ ） A. 当时， B. 当时，直线所成角为 C. 点 到直线的距离为 D. 三棱锥的体积的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列，则___________． 13. 求值：___________． 14. 已知圆是上的两个动点，点．若四边形 是矩形，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列． （1）若是等差数列，求的通项公式； （2）设 ，证明：数列是等比数列. 16. 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日 昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6 感冒人数 23 25 29 26 16 13 9 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率； （2）若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据： ①求出 关于的经验回归方程； ②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由． 附： 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角 为直二面角． （1）证明： 平面； （2）若 在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面 所成角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）当时，证明：． 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）． （1）求的离心率； （2）是否存在常数，使得总成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由； （3）若为定值，直线经过，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $