专题03 函数&一次函数（期末复习讲义+12重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材青岛版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03函数&一次函数（期末复习讲义） 内容导航 明。期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记。必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求函数自变量取值范围 题型02从函数图像获取信息题型03利用一次函数定义求参数 题型04一次函数增减性 题型05 一次函数综合性质题型06一次函数的平移 题型07 一次函数规律性问题 题型08 一次函数与方程（组）题型09一次函数与不等式（组） 题型10一次函数相关实际问题 题型11一次函数相关综合问题题型12一次函数相关最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 函数与变量 概念理解：了解常量与变量的意义， 能准 基础题（求取值范围和点坐标）务必拿满分 确判断函数关系。 实际应用题（如利润最值）注意看清“分段” 条件，先建立方程再讨论。 函数的图像与性 1.图象绘制与识别。2.信息读取能力： 一般以选择填空基础题为主，综合题题中会 质 能从图象中准确读取点的坐标（求值）、 应用相关知识点。 理解交点、拐点的实际意义，并判断函数 的增减性与最值。3.一次函数性质。 一次函数与方程 1.理解对应关系：掌握一次函数与一元 考察选择和填空的基础题。分值3-6分。 不等式 次方程、一元一次不等式、二元一次方程 组之间的内在联系。2.掌握图象解法： 能借助函数图象直观解决方程的解、不等 式的解集及方程组的解等问题。 次函数实际应 1.建立模型，并确定自变量的实际取值范 考察应用题，难度较大，行程问题和方案相 用 围。2.图象信息处理。3.方案决策： 关经济问题是高频考题。 1/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 能运用一次函数的性质（增减性）比较不 同方案，在自变量范围内求出最优解（最 大利润、最低成本等) 。 记·必备知识 图知识点01 变量与函数 1.变量与函数 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的 值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数.如果当x=a时，y=b,那么b叫做 当自变量x的值为a时的函数值. 2.函数的解析式 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的 解析式。 3.自变量取值范围和函数值 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； 函数关系式为分式形式：分母0 函数关系式含算术平方根：被开方数0； (4)函数关系式含0指数：底数0。 昼知识点2函数的图像 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标， 在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它 是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似 的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 昼知识点3一次函数的图像和性质 一.一次函数的图像与性质 6b,0 1、一次函数y=c+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和点k的一条直线： 2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标： 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。 二.一次函数图像上点坐标的特征 2/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与 之结合的几何图形的性质。 ®知识点04一次函数与方程，不等式的关系 1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点： 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向 的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 昼知识点05一次函数的实际应用 行程类： 1、行程问题中，一次函数y=+bk≠0》中k通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 销售类： 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 破·重难题型 它题型一求函数自变量取值范围 答|题|模|板 函数y=√x-5中，自变量x的取值范围是() A.x>5 B.x<5 C.x≥5D.x≠5 解：：二次根式√a有意义的条件是被开方数a≥0， 对于函数y=√x-5, 被开方数满足x-5≥0， 解不等式得x≥5， 3/25 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因此自变量x的取值范围是x≥5 【典例1】.函数y=1+x中自变量x的取值范围是() A.x>-1且x≠0 B.x≥-1 C.x>0 D.x≥-1且x≠0 【变式1】.函数y=】的自变量x的取值范围为() x+1 A.x≠-1 B.x≠0 C.x≠1 D.x≠2 【变式2】·在函数y=√x+1中，自变量x的取值范围是() A.x≤-1 B.x≥-1 C.x<-1 D.x>-1 巴题型二 从函数图像获取信息 答|题|模|板 生态学家们发现，虽然一个种群数量的上限和环境压力水平有关，但种群数量y(个)随单位时间（天 :)的变化情况遵循同样的规律，将y与t之间的函数关系表示在平面直角坐标系中，得到如图所示的“S 形曲线.下列说法正确的是() A种群数量/个 400 300 200 100 0千23456 时间天 A. 种群数量随着时间的推移不断增大 B. 每天增加的种群数量相同 C.种群数量的平均增长速度约在第3天达到最大 D.第5天结束时的种群数量为300个 解：A.根据函数图象可得，当0<1≤5时，种群数量随着时间的推移不断增大，故该选项不正确，不 符合题意； B.函数图象为“S”形曲线，每天增加的种群数量不相同，故该选项不正确，不符合题意； C.根据函数图象可得，种群数量的平均增长速度约在第3天达到最大，故该选项正确，符合题意； :D.第5天结束时的种群数量为400个，故该选项不正确，不符合题意； 4/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例1】，学校开展劳动教育，小明在农场帮忙时观察到：一个匀速工作的水泵向蓄水池内注水，池中水 的深度h(米)与注水时间t(小时)的关系如图所示.当池中水的深度达到警戒水位0.8米时，水泵会自动 报警，并且会改变注水的速度.根据图象，下列说法正确的是() h/米 0.8 0.44 0.2 ⊙ 0.6 22.5t/小时 A.注水前，蓄水池水的初始深度为0.1米 B.水泵报警前的注水速度是每小时0.4米 C.注水时间为1.8小时时水泵报警 D.注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时0.3米 【变式1】.甲、乙两人同时同地出发进行跑步锻炼，他们的路程与时间关系的s-1图象如图所示，则由图 象可知(). s米 甲 4 2 4 67秒 A.甲的速度大于乙的速度 B.前5s内乙的速度始终大于甲的速度 C.第5s时甲、乙的速度相同 D.前5s内甲乙之间的距离先变大后变小 【变式2】·小丽从家里出发去超市购物，购物完后从超市返回家中，小丽离家的距离y(米)和所经过的 时间x(分)之间的关系如图所示，则下列说法正确的是() 个y(米) 1000 600 0 10 303542.5x(分) A.小丽家到超市的距离是600米 B.小丽在超市购物用时30分钟 C.当x=35时，小丽离家的距离是400米 5/25 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.小丽购物完从超市回到家用时12.5分钟 它题型三利用一次函数定义求参数 答|题|模板 ! 若函数y=(k+2)x+k2-4是正比例函数，则k的值是() A.k=2 B.k=±2 C.k=-2 D.k= 解：：函数y=(k+2)x+k2-4是正比例函数， :.常数项k2-4=0,且一次项系数k+2≠0. 由k2-4=0,得k2=4 ! .k=±2， 由k+2≠0，得k≠-2 k=2. 【典例1】.已知y=(m-5)xm-4+4是一次函数，则m的值为() A.1 B.5 C.-5 D.±2 【变式1】·若函数y=(2-m)x-3是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（) A.2 B.-2 c.±5 D.±2 【变式2】.若函数y=(m-1)x-5是一次函数，则m的值为() A.-1 B.1 C.1 D.任意实数 它题型四 一次函数增减性 答引题引模|板 己知点(-3，)，(1，y2),(2,)都在直线y=5x+b上，则%，2，的值的大小关系是() A.y<y2<y3B.八3<y2<y C.y2<<y3 D.y3<y<y2 解：：直线解析式为y=5x+b,一次项系数k=5>0, y随x的增大而增大， 6/25 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：三个点的横坐标满足-3<1<2， 为<y2<y3 【典例1】·己知点Ax,-100)、B(x2,-1、C(x3,10)是一次函数y=-3x+b图象上的三点，则在X1、x2、 x中最大的数是() A.X B.x2 C.x3 D.以上均有可能 【变式1】.已知点A(x,-1),B(x2,-2)都在一次函数y=-2x-1的图象上，则x与x2的大小关系为() A.X<x2 B.x=x2 C.1>X2 D.x1=-X2 【变式2】.点Ax,3),B(x2,5)都在直线y=2x-5上，则x,x的大小关系是() A.X<x2 B.x=x2 C.x>x2 D.无法比较大小 立题型五 一次函数综合性质 ! 答题模|板 关于一次函数y=一)+2的性质，下列说法正确的是（一 A.该函数图象与y轴交于点(2,0) B.该函数图象经过点(-2,3 C.该函数图象经过第一、二、三象限D.随着自变量x的增大，函数值y逐渐增大 解：对选项A,求函数与y轴的交点，令x=0,得y=2,因此函数图象与y轴交于点(0,2)，A 错误； 对选项B,将x=-2代入函数式，得=-2引+2=1+2=3，因此函数图象经过点(-2到，B 正确； 对选项C,k=- <0,b=2>0,:函数图象经过第一、二、四象限，C错误； 2 对选项D,~=<,随着自变量的端大，函数值少逐新被小，D错误 【典例1】.下列关于直线y=-4x+1的说法不正确的是() A.一定经过点(1，-3) B.图象经过第一、二、四象限 C.y随x的增大而减小 D.图象必过原点 7/25 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】.对于一次函数y=-x+2,下列结论错误的是() A.y随x的增大而减小 B.当x>2时，y<0 C.函数的图象与y轴交于点(2,0) D.直线y=-x+2与第二、四象限角平分线所在直线平行 【变式2】·对于一次函数y=-2x+4,下列结论错误的是() A.函数的图象不经过第三象限 B.函数的图象与x轴的交点坐标是(0,4) C.函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象 D.函数值y随自变量x的增大而减小 题型六一次函数的平移 答|题|模|板 :将直线y=2x向左平移1个单位长度后得到的直线解析式为() A.y=2x-1 B.y=2x+1 C.y=2x-2 D.y=2x+2 解：将直线y=2x向左平移1个单位长度后得到的直线解析式为y=2(x+1)=2x+2. --------- 【典例1】，在平面直角坐标系中，将直线y=c沿y轴向下平移3个单位后恰好经过1，-2)，则k的值为 () A.1 B.5 C.-1 D.-5 【变式1】.在平面直角坐标系中，将一次函数y=2x-1的图象向下平移4个单位长度的解析式为() A.y=2x+3B.y=2x-3 C.y=2x+5 D.y=2x-5 【变式2】.在平面直角坐标系中，将直线y=2x+3向右平移m个单位长度后，经过点(2,3)，则m的值为 () A.4 B.3 C.2 D.1 题型七一次函数规律性问题 答|题模|板 8/25 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正方形A,B,C0、A,B,CC,ABCC按如图所示的方式放置.点4、A、4和点G、C2、C分 别在直线y=x+1和x轴上，则点Ao26的坐标是（) y=x+1 A2 B2 0C1 C2 C A.（22023,22024）B.(22025-1,2025）C.（2024,22025） D.（22026-1,22026） 解：当x=0时，y=0+1=1, 当y=0时，x=-1, ∴.0C1=OA=1,△A,OC是等腰直角三角形， 同理可得：△4B4,△A,B24,△A,B,A.都是等腰直角三角形， 于是：A(0,1),A(1,2),A(3,4),A(7,8)…, A2-1,2）, 46(22025-1,2025）. 故选：B. 【典例1】.如图，直线1：y=x-1与x轴交于点A,依次作正方形AB,C0,正方形A,B,C,C,…,正 方形A.B.C.C1,其中点A,A,A,……,A在直线1上，点C,C2,C,……,C在y轴正半轴上， 则点B的坐标为() C B C B2 A C 0八A A.(16,32 B.4,10 c.(8,16) D.(8,15 9/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】.如图，直线y=x+1交x轴、y轴分别于P、A两点，直线y=2x+2交y轴于B点，过B作x 轴的平行线交直线PA于A,过A作y轴的平行线交直线PB于B,过B作x轴的平行线交直线PA于A,… 如此反复，则A的坐标为() A.(63,64 B.（65,64) C.(31,32 D.(127,128 【变式2】.如图所示，已知直线y=-5 x+1与x、y轴交于B、C两点，A(O,O),在ABC内依次作等边 三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA,B,第2个 △B,AB2,第3个△B2A,B,…则第n个等边三角形的边长等于() B i B.B B 2 A.3 B.3 2- C.1 D. √3 2 241 它题型八一次函数与方程（组） 答题|模|板 y=x+b ! 直线y=x+b和y=ax-3交于点P(2,1),则关于x,y的方程组 y=ar-3的解是() x=2 x=1 [x=-2 x=2 A. D. y=1 y=2 y=1 y=-1 :直线y=x+b和y=ax-3交于点P(2,1, 10/25 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=x+b x=2 关于x,y的方程组 y=a-3 的解就是两直线的交点坐标， y=1 【典例1】.如图，直线y=-3x+b与直线y=-2相交于点A(2,),则方程组 y=-3x+b y=-2 的解是() y=3x+b /y=x-2 2 x=2 x=1 x=2 x=0 A. B y=1 y=2 C. D. y=0 y=1 【变式1】.在平面直角坐标系内，一次函数y=kx+b与y=k2x+b,的图象如图所示，则关于x,y的方程 组P-x= y-kzx=b, 的解是() A yEkx+b2 y=kx+b x=2 y=1 c 【变式2】.如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=x+4与直线：y=c+b相交于点A(-1,3),则关 于x的方程x+4=kx+b的解为 11/25 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 它题型九一次函数与不等式（组） 答|题|模|板 如图，直线：y=mx+n(m,n为常数m≠0)经过点P(1,2),则关于x的不等式mx+n≥2的解集为 对于函数y=mx+n,经过点P(1,2),当x=1,y=2, 观察图象可知，当mx+n≥2时，x≤1. 【典例1】.如图，函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2,-5),则根据图象可得不等式 3x+b>ax-3的解集是 /y=3x+b y=ax-3 【变式1】.如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=2x与y2=-x+a交于点P1,2),则不等式 2x>-x+a的解集为 V◆ 4 y2=-x+a y1=2x 3 【变式2】.如图，一次函数y=2x+b的图象经过点A(-2,4),则不等式0≤2x+b≤4的解集是 12/25 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =-2x+b 2/0 题型十一次函数相关实际问题 答题模|板 活动中心想打造属于自己的文化品牌，在每一届夏令营结束后给孩子们送一个纪念品，了解到两家制 作纪念品的公司的优惠方案分别如下： 甲：优惠后采购所需费用？（元)与优惠前所需费用x(元)满足如图所示的函数关系： ! 乙：优惠后采购所需费用，（元）与优惠前所需费用x(元)满足如图所示的函数关系. 根据图象中的信息，回答下列问题： (元) D C 540 B y 400 320 A 400600 x(元) (1)请分别求出y和2与x之间的函数关系式： (2)请根据函数图象描述乙公司的优惠方案； (3)如果你是负责此次纪念品采购的工作人员，请通过计算说明选择哪家公司更省钱？ （1)解：由题图可设片=kx(k≠0)， :y,的函数图象过点(400,320)，代入可得，320=400k1, 解得k=0.8, y=0.8xx≥0)： 当0≤x≤400时，设2=kx(k3≠0)， 的函数图象经过点(400,400)， ：代入可得400=400k2, 13/25 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得k2=1, :当0≤x≤400时，y2=x; 当x>400时，设y2=kx+b(k≠0)，的函数图象经过点(400,400)，(600,540)， 400=400k+b ! 代入得 540=600k+b' k=0.7 解得 1b=120 :当x>400时，y2=0.7x+120, [x(0≤x≤400) y2= 0.7x+120(x>400)1 (2)当x>400时，(540-400÷600-400)=0.7， :乙公司的优惠方案是当购买费用在400元及400元以内时，不打折；购买费用高于400元时，超过 400元的部分打7折： (3)当0.8x=0.7x+120时， 解得x=1200, :当x=1200时，两家公司费用相同； 当0.8x<0.7x+120时， 解得x<1200, :当x<1200时，甲公司更省钱； ! 当0.8x>0.7x+120, 解得x>1200, :当时x>1200,乙更省钱： 【典例1】·某商场计划购进甲、乙两种商品，己知购进2件甲商品和1件乙商品需330元；购进1件甲商 品和2件乙商品需300元.其中1件甲商品售价为150元，1件乙商品售价为110元. (1)求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ (2)商场售出甲种商品的数量比乙种商品的数量的三分之一多10个，且获利超过1200元，问乙种商品最少 卖出多少件？ (3)商场计划用不超过10350元购进两种商品共100件，其中甲种商品不少于40件，若每件甲种商品让利 14/25 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m(0<nm<10)元，当销售完两种商品后，商场获得最大利润2225元，求的值， 【变式1】·如图1是某物理实验装置的一部分，初始位置时，甲、乙两容器中的液面在同一水平线上，实 验过程中测得乙容器中液体的总体积随着甲容器下方升降垫的升高先匀速增加，最后保持不变.设升降垫 增加的高度为xcm,乙容器中液体的总体积为ymL,则y与x之间的函数关系如图2所示. U形管 甲容器 ←y/mL B 乙容器 600 300A 升降垫 77717717777777777777777 0 10 x/cm 图1 图1 根据函数图象解答下列问题： (1)当0≤x≤10时，求y与x之间的函数关系式： (2)当乙容器中液体的总体积为360mL时，求升降垫增加的高度 【变式2】.挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软“深得大家喜欢，其独特的空心技艺传承千 年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序.数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研， 己知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元. (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋.在单价不变，总费用不超过 950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，求购买多少袋B种挂面时，所需费用最小，并求出最小的购买 费用. 它题型十一一次函数相关综合问题 答|题|模|板 如图，一次函数y=2x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A,B,将该函数图象沿y轴向下平移 m(m>0)个单位长度得到新函数y=2x+4-m的图象，新图象与x轴相交于点C. B (1)求点A,B,C(用含m的代数式表示)的坐标； 15/25 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)当ABC的面积为9时，求m的值： (3)在(2)的条件下，在y轴上找一点P,使得△APC为等腰三角形，求点P的坐标. (1)解：在y=2x+4中，令x=0,得y=4, B(0,4, 令y=0,得2x+4=0, 解得x=-2, A-2,0), 平移后的表达式为y=2x+4-m中，令y=0,得2x+4-m=0, 解得x=m-4 2 ②>解：由1知4-200c20 4c=24-2-,08=4, 2 1 .SA8C= 1xm×4=m 4C-OB=2×2 △ABC的面积为9， .m=9: (3)解：由2)知，m=9,4C=受 .c)c-3 5 ∴.OC= ! 当CA=CP时，CP= 2 在0C中由勾股定理料，0P-Gp-0C-)-月-瓜. 点P的坐标为0，V14)或(0，-14： 当C4=AP时，AP=2 9 :A-2,0), 16/25 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·0A=2, 在R△P0A中，由勾股定理得，OP=√AP2-OA= 9 226 点P的坐标为 5) ! 当CP=AP时， : :0A≠0C, 点P不在y轴上，此种情况不存在； 统上达点P的华标为网安a-回)皮a- 【典例1】.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在y轴 上，点D在x轴正半轴上，且OA=OD.点E(-1,m)是直线CD与线段AB的交点. VA D 图1 图2 (1)求直线CD的解析式； (2)若F为直线AB上一动点，连接FC,FD,当S△cm=)SaDE时，求点F的坐标： (3)如图2，连接AC,在直线AC上是否存在动点M,使得LCDM+LABC=LBCE,若存在，请直接写出 点M的坐标，若不存在.请说明理由. 【变式1】.如图，已知一次函数)=+2与辅相交于点4，与y轴交于点B 17/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求出点A和点B的坐标： (2)若点C的坐标是(1,0： ①ABC是三角形（按角分类）； ②点P是X轴上的点，若Sa=)Sc,请求出点P的坐标。 2 【变式2】.在平面直角坐标系中，直线BC的解析式为：y=0.5x-2,分别交x轴，y轴于点B,C VA B B 备用图 (1)直接写出点B,C的坐标： (2)如图，过点A(-1,O)的直线AD与y轴交于点E,与直线BC交于点D,且∠ECD=∠EDC,求点D的坐 标；（温馨提示：若思考有困难，可尝试通过平移直线AD,求出直线AD的解析式，进而求出点D的坐标.） (3)在(2)的条件下，若点G是直线AD上的动点，在y轴上是否存在点F,使以点B,D,F,G为顶点 的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 立题型十二一次函数相关最值问题 答|题|模|板 :如图，一次函数y=-x+2第一象限的图象上有一点P,过点P作x轴的垂线段，垂足为A,连接OP, 则Rt△OAP的周长的最小值是· O A :如图，设一次函数y=-x+2的图象与x轴交于点B,与y轴交于点C, 18/25 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 把y=0代入函数y=-x+2中，得-x+2=0, 解得x=2, 点B的坐标为(2,0)， ! 把x=0代入函数y=-x+2中，得y=2, 点C的坐标为(0,2)， :点P是一次函数y=-x+2第一象限的图象上的一点， 设点P的坐标为a,-a+2)(0<a<2), :PA⊥x轴于点A, .PA=-a+2,0A=a, :CRIOAP=OA+PA+OP=a+(-a+2)+OP=2+OP 当OP垂直一次函数y=-x+2的图象时，OP取得最小值，Rt△0AP的周长为最小. B(2,0),C(0,2, 0B=2,0C=2, : BC=V0B2+0C2=V22+22=2V2, Sc=)0B0C=×2x2=2. 2 2 Sx.moc =BCOP,2x2OP, 2 0P=√2， 即OP的最小值为√2，Rt△0AP的最小值为2+√2： 故答案为：2+√2 19/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】.如图所示，直线y=x+6与两坐标轴分别交于A,B两点，点C是OB的中点，D,E分别是直 线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是 D 【变式1】.如图，在平面直角坐标系中，A-2,-2)、B(-6,0),动点Q在直线y=x上，动点P在x轴上， 当AP+PQ+QB取最小值时，点P的坐标为。 【变式2】.如图，点A(3,0)在x轴上，直线y=-x+6与两坐标轴分别交于B,C两点，D,P分别是线段 OC,BC上的动点，则PD+DA的最小值为 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1.(山东省临沂市费县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题)甲乙两人骑自行车分别从A,B 两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达 目的地后停止骑行.两人之间的距离y(米)和骑行的时间x（秒)之间的函数关系图象如图所示，下列说 法：①a=450;②b=150;③甲的速度为8米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒.其 20/25 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 中正确的结论有() y/米N 600 O 60 100 6 x/秒 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(山东省枣庄市山亭区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷)如图，己知直线y=ax-2与直线 y=x+b的交点的横坐标为-5，根据图象，下列结论中错误的是() -5 0 y=mx+b a.x-2 A.a<0 B.方程ax-2=mx+b的解是x=-5 C.b>0 D.不等式mx+b≥ax-2的解集是x≤-5 3.(山东省滨州市惠民县2024-2025学年下学期期末学业质量评价监测八年级数学试题)已知直线4的解 析式为y=-x-3,若直线马与直线平行，且过点(4，-5)，则直线马的解析式为 4.(山东省德州市宁津县2024-2025学年八年级下学期期末质量检测数学试题)在平面直角坐标系x0y中， 当x<2时，对于x的每一个值，一次函数y=mx+2(m≠0)的值都大于函数y=2x的值，那么m的值是 5.(山东省济南市长清区2024一2025学年下学期八年级期末数学试卷-)如图，在平面直角坐标系中，直 线AB:y=kx+4(k≠0)与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,直线BC:y=2x+4与x轴交于点C 21/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (1)求直线AB的解析式和线段AB,AC的长. (2)在线段BC上有一动点P(不与点B,C重合)，过点P作PD⊥x轴于点D,PE⊥AB于点E,以PD, PE为邻边作口PDFE, ①求PDFE的周长。 ②当。PDFE为菱形时，直接写出点F的坐标. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1.(山东省滨州邹平市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题)己知(a,m),(b,n),(c,p)为直 线y=2x-3上的三个点，且c<b<a,则以下判断正确的是() A.若ab>0,则mn>0 B.若ab<0,则p>0 C.若bc>0,则mn>0 D.若bc<0,则p>0 2.(山东省滨州邹平市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题)为保障学生每天在校1小时体育 活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍.己知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班 准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍.那 么最省钱的购买方案是() A.买22副A种球拍和8副B种球拍 B.买21副A种球拍和9副B种球拍 C.买20副A种球拍和10副B种球拍 D.买19副A种球拍和11副B种球拍 3.(山东省德州市临邑县2024一2025学年下学期期末检测八年级数学试题)小鹿和小晨从图书馆出发去 公园.小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时 再出发，各自到达公园.如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程s(千米)与 22/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 小鹿所用时间t(分)之间的函数关系，则图中m的值为 ◆s千米 公园 休息点 图书馆 0 5 15 m251分 图1 图2 4.(山东省德州市乐陵市2024一2025学年下学期八年级期末数学试卷)一次函数y=ax+b与 y2=cx+d(a≠0，c≠0)的图象如图所示，则下列结论：①ad+bc>0;②3(a-c=d-b;③x的值每增加1 ,2-y的值增加；④a+b<c+d.其中正确的是 y2=cx+d yi=ax+b 5.(山东省济南市长清区2024一2025学年下学期八年级期末数学试卷-)在2025年5月份举办的第九届世 界无人机大会上，众多企业展示了新型无人机，其中A、B两款无人机备受关注.已知A款无人机比B款无 人机每架多5万元，用80万元购买A款无人机与用60万元购买B款无人机的数量相等. (1)求A、B两款无人机的单价各是多少？ (2)某企业打算购买A、B两款无人机共12架，且A款无人机的购买数量不少于B款无人机购买数量的2倍， 求该企业购买多少架A款无人机时花费最少？最少费用是多少万元？ 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1.(山东省菏泽市曹县2024-2025学年下学期八年级期末考试数学试题)直线y=x+b与坐标轴的两交点 分别为A(-2,0)和B(0,-3),则不等式kx+b+3>0的解集为() A.x>0 B.x<0 C.x>-2 D.x<-2 2.(山东省临沂市郯城县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题)A、B两地相距330km,甲车 从A地匀速驶向B地，乙车从B地匀速驶向A地，其中乙车的速度大于甲车的速度，两车同时出发，各自 23/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 到达目的地后停止.两车之间距离y(k)与甲车行驶时间x(h)之间的关系如图所示.则下列说法错误的是 () 330 220 0 3 5 A.甲车行驶的速度为44km/h B.乙车行驶的速度为66km/h C.甲车出发29h或3h时间两车相距40km D.乙车到终点时，甲距离终点110km 11 11 3.(山东省烟台市招远市2024一2025学年下学期七年级期末数学试卷（五四学制）)在平面直角坐标系 中，直线y=kx+3(k≠0)经过点(6,0)，则关于x的不等式kx+3>0的解集是· 4.(山东省潍坊市2024-2025学年下学期八年级7月学科素养展示数学试题)如图，在平面直角坐标系中， 点4，，4在直线y=号x+b上，点B,B,B在X轴上：aO4B△B4,B△B,4,B,都是等腰直角三角形，依 6 次类推，若己知点A,1,1),则点Ao2s的纵坐标是 A A B 5. (山东省菏泽市单县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题)如图所示，在同一个坐标系中一 次函数y=kx+b和y=x+b的图象，分别与x轴交于点A、B,两直线交于点C.已知点A坐标为-2,0) ,点B坐标为5,0)，观察图象并回答下列问题： y=k x+b B y=kx+b (1)关于x的方程kx+b=0的解是；关于x的不等式kx+b<0的解集是 (2)若点C坐标为(2,6)，①关于x的不等式kx+b>:+b的解集是；②求ABC的面积. 24/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 kx+b>0① (3)根据图象求关于x的不等式组 kx+b<0② 的解集 25/25 专题03 函数&一次函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 求函数自变量取值范围 题型02 从函数图像获取信息 题型03 利用一次函数定义求参数 题型04 一次函数增减性 题型05 一次函数综合性质 题型06 一次函数的平移 题型07 一次函数规律性问题 题型08 一次函数与方程（组）题型09 一次函数与不等式（组） 题型10 一次函数相关实际问题 题型11一次函数相关综合问题 题型12 一次函数相关最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 函数与变量 概念理解：了解常量与变量的意义，能准确判断函数关系。 基础题（求取值范围和点坐标）务必拿满分；实际应用题（如利润最值）注意看清“分段”条件，先建立方程再讨论。 函数的图像与性质 1. 图象绘制与识别。 2. 信息读取能力：能从图象中准确读取点的坐标（求值）、理解交点、拐点的实际意义，并判断函数的增减性与最值。 3. 一次函数性质。 一般以选择填空基础题为主，综合题题中会应用相关知识点。 一次函数与方程不等式 1. 理解对应关系：掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的内在联系。 2. 掌握图象解法：能借助函数图象直观解决方程的解、不等式的解集及方程组的解等问题。 考察选择和填空的基础题。分值3-6分。 一次函数实际应用 1. 建立模型，并确定自变量的实际取值范围。 2. 图象信息处理。 3. 方案决策：能运用一次函数的性质（增减性）比较不同方案，在自变量范围内求出最优解（最大利润、最低成本等）。 考察应用题，难度较大，行程问题和方案相关经济问题是高频考题。 知识点01 变量与函数 1.变量与函数 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 2.函数的解析式 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。 3.自变量取值范围和函数值 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； 函数关系式为分式形式：分母0 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 知识点02 函数的图像 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 知识点03 一次函数的图像和性质 一．一次函数的图像与性质 1、一次函数的图象是经过点和点的一条直线； 2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 2． 一次函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质。 知识点04 一次函数与方程，不等式的关系 1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点； 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 知识点05 一次函数的实际应用 行程类： 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 销售类： 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 题型一 求函数自变量取值范围 答｜题｜模｜板 函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴对于函数， 被开方数满足 ， 解不等式得 ， 因此自变量的取值范围是． 【典例1】．函数中自变量x的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【详解】解：有意义， ，且， 解得：且． 【变式1】．函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：该函数的分母为， 解得． 【变式2】．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 因此自变量x的取值范围是． 题型二 从函数图像获取信息 答｜题｜模｜板 生态学家们发现，虽然一个种群数量的上限和环境压力水平有关，但种群数量（个）随单位时间（天）的变化情况遵循同样的规律，将与之间的函数关系表示在平面直角坐标系中，得到如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（     ） A．种群数量随着时间的推移不断增大 B．每天增加的种群数量相同 C．种群数量的平均增长速度约在第3天达到最大 D．第5天结束时的种群数量为300个 解：A. 根据函数图象可得，当时，种群数量随着时间的推移不断增大，故该选项不正确，不符合题意； B. 函数图象为“S”形曲线，每天增加的种群数量不相同，故该选项不正确，不符合题意； C. 根据函数图象可得，种群数量的平均增长速度约在第3天达到最大，故该选项正确，符合题意； D. 第5天结束时的种群数量为400个，故该选项不正确，不符合题意； 【典例1】．学校开展劳动教育，小明在农场帮忙时观察到：一个匀速工作的水泵向蓄水池内注水，池中水的深度h（米）与注水时间t（小时）的关系如图所示．当池中水的深度达到警戒水位米时，水泵会自动报警，并且会改变注水的速度．根据图象，下列说法正确的是（     ） A．注水前，蓄水池水的初始深度为0.1米 B．水泵报警前的注水速度是每小时0.4米 C．注水时间为1.8小时时水泵报警 D．注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时0.3米 【答案】B 【分析】根据函数图象逐一分析即可． 【详解】解：注水前，蓄水池水的初始深度为米，A不符合题意； 水泵报警前的注水速度是每小时米，故B符合题意； 注水时间为小时时水泵报警， ∴， 解得：，故C不符合题意； 注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时米，故D不符合题意． 【变式1】．甲、乙两人同时同地出发进行跑步锻炼，他们的路程与时间关系的图象如图所示，则由图象可知（     ）． A．甲的速度大于乙的速度 B．前内乙的速度始终大于甲的速度 C．第时甲、乙的速度相同 D．前内甲乙之间的距离先变大后变小 【答案】D 【分析】在图像中，可知乙做匀速直线运动，甲做变速运动，根据图像读出甲、乙两物体在前和第后通过的路程关系，根据比较甲、乙的速度关系以及甲乙之间的距离关系． 【详解】解：选项A，根据图像可以看出，乙做匀速直线运动，甲做变速运动，前期甲的速度小于乙的速度，后期甲的速度大于乙的速度，故A不符合题意； 选项B，由图像可知甲、乙两人在内通过的路程相等，由可知，前内甲、乙两人的平均速度相等，根据乙的速度是不变的，甲的速度是慢慢增加的，所以不能判断前内乙的速度始终大于甲的速度，故B不符合题意； 选项C，由图像可知甲、乙两人在的时候相遇，由可知，前内甲、乙两人的平均速度相等，但不等于第时甲、乙的速度相同，故C不符合题意； 选项D，由图象可知甲、乙之间的距离先越来越大，后越来越小，在第5秒时，甲、乙相遇，距离为零，故D符合题意． 【变式2】．小丽从家里出发去超市购物，购物完后从超市返回家中．小丽离家的距离y（米）和所经过的时间x（分）之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．小丽家到超市的距离是600米 B．小丽在超市购物用时30分钟 C．当时，小丽离家的距离是400米 D．小丽购物完从超市回到家用时分钟 【答案】D 【分析】利用数形结合的思想方法是解答本题的关键．仔细观察图象的横纵坐标所表示的量的意义，逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：A．观察图象发现：从小丽家到超市的路程是1000米，故本选项不合题意； B．小丽在超市购物共用了（分钟），故本选项不合题意； C．当时，小丽离家的路程是600米，故本选项不合题意； D．小丽购物完从超市回到家用时（分钟），故本选项符合题意； 题型三 利用一次函数定义求参数 答｜题｜模｜板 若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 解：∵函数是正比例函数， ∴常数项，且一次项系数． 由，得 ∴， 由，得 ∴． 【典例1】．已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数需满足两个条件：x的次数为1，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式计算即可得到m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解，得，即或， 又∵，即， ∴． 【变式1】．若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正比例函数要求自变量的次数为1，且比例系数不为0，据此列关系计算即可． 【详解】∵是关于的正比例函数， ∴根据正比例函数的定义可得， 解，得，即， 由，得， ∴． 【变式2】．若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，列出关于m的方程与不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 由得，或， 又∵，即， ∴， 故选：A． 题型四 一次函数增减性 答｜题｜模｜板 已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 解：∵直线解析式为，一次项系数， ∴y随x的增大而增大， 又∵三个点的横坐标满足， ∴． 【典例1】．已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（     ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】A 【分析】先根据一次函数的比例系数判断函数增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小即可． 【详解】∵一次函数 中，比例系数 ， ∴随的增大而减小，即纵坐标越小，对应的横坐标越大， 比较三点的纵坐标可得：， ∴对应横坐标的大小关系为：， ∴是三个数中最大的数． 【变式1】．已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再结合两个点的纵坐标大小，比较横坐标的大小即可． 【详解】解：∵一次函数中，比例系数， ∴随的增大而减小， ∵点，都在该一次函数图象上，且， ∴． 【变式2】．点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【分析】先根据一次项系数判断函数的增减性，再通过两点纵坐标的大小关系得到横坐标的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而增大， ∵点，都在该直线上，且，即， ∴． 题型五 一次函数综合性质 答｜题｜模｜板 关于一次函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象与y轴交于点 B．该函数图象经过点 C．该函数图象经过第一、二、三象限 D．随着自变量x的增大，函数值y逐渐增大 解：对选项A，求函数与轴的交点，令，得，因此函数图象与轴交于点，A错误； 对选项B，将代入函数式，得，因此函数图象经过点，B正确； 对选项C，，，函数图象经过第一、二、四象限，C错误； 对选项D，，随着自变量的增大，函数值逐渐减小，D错误． 【典例1】．下列关于直线的说法不正确的是（    ） A．一定经过点 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而减小 D．图象必过原点 【答案】D 【详解】解：A．∵当时，，∴图象一定经过点，正确； B．∵，，∴图象经过第一、二、四象限，正确； C．∵，∴y随x的增大而减小，正确； D．∵当时，，∴图象不过原点，错误． 【变式1】．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 【答案】C 【详解】解：已知一次函数为，可得，． A、，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意； B、令，即，解得，∵随的增大而减小，∴当时，，结论正确，不符合题意； C、求函数与轴交点，令，得，∴函数图象与轴交于点，原结论错误，符合题意； D、第二、四象限角平分线所在直线为，与的k相同b不同，∴两直线平行，结论正确，不符合题意． 【变式2】．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 【答案】B 【详解】解：一次函数，，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 函数图象不经过第三象限， 故A选项正确； 当时，可得：， 解得：， 函数图象与轴的交点坐标是， 故B选项错误； 把一次函数的图象向下平移个单位长度得的图象， 故C选项正确； ， 函数值随自变量的增大而减小， 故D选项正确． 题型六 一次函数的平移 答｜题｜模｜板 将直线向左平移1个单位长度后得到的直线解析式为（   ） A． B． C． D． 解：将直线向左平移1个单位长度后得到的直线解析式为． 【典例1】．在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过，则的值为（     ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】解：根据函数图象平移规律“上加下减”，将直线沿轴向下平移3个单位后，得到的直线解析式为． ∵平移后的直线经过点， ∴将，代入解析式得：， 解得． 【变式1】．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移个单位长度的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象的上下平移的规律“上加下减”法则，一次函数图象向上或向下平移个单位长度，只需要对原函数的常数项加上或减去即可得到结果． 【详解】解：，向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式为． 【变式2】．在平面直角坐标系中，将直线向右平移m个单位长度后，经过点，则m的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：∵将直线向右平移个单位长度，根据平移法则“左加右减”， ∴平移后得到的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴把代入解析式得： ， 化简得， 解得， 题型七 一次函数规律性问题 答｜题｜模｜板 正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 【典例1】．如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， ， 令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， 的纵坐标为：， ， 同理可得，，，， 故选：． 【变式1】．如图，直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，过B作x轴的平行线交直线于，过作y轴的平行线交直线于，过作x轴的平行线交直线于，…如此反复，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点， ∴，， ∵过B作x轴的平行线交直线于， ∴， ∵过作y轴的平行线交直线于， ∴， ∵过作x轴的平行线交直线于， ∴ ∴的横坐标为1，的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 点在直线上， 点的纵坐标为64， 点． 故选：A． 【变式2】．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第n个等边三角形的边长等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线与x、y轴交于B、C两点， ∴， ∴， ∴． 而为等边三角形，， ∴， ∴． 在中，， 同理得：， 依此类推，第n个等边三角形的边长等于． 故选：A． 题型八 一次函数与方程（组） 答｜题｜模｜板 直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． ∵直线和交于点， ∴关于，的方程组的解就是两直线的交点坐标，即． 【典例1】．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图象可知：方程组的解是． 【变式1】．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组的解是两条直线的交点的横纵坐标即可得出结果. 【详解】解：由图象可知：关于x，y的方程组即方程组的解为. 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 题型九 一次函数与不等式（组） 答｜题｜模｜板 如图，直线（，为常数）经过点，则关于的不等式的解集为______． 对于函数，经过点，当，， 观察图象可知，当时，． 【典例1】．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】根据两直线交点横坐标，找出直线在上方时对应的的取值范围即可． 【详解】解：已知两直线交于点，结合图象可知，在交点右侧（即时），直线位于直线的上方，因此不等式的解集为 ． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 交于点 ，则不等式 的解集为_______________． 【答案】 【分析】不等式 的解集即为直线在直线上方时，对应交点的横坐标的取值范围． 【详解】解：∵直线 与 交于点 ， ∴不等式 的解集为． 【变式2】．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：已知一次函数过点， 将点坐标代入解析式：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围： 当时，代入，得 解得：，即直线与轴交点为， 当时，对应已知点 最终解集为：． 题型十 一次函数相关实际问题 答｜题｜模｜板 活动中心想打造属于自己的文化品牌，在每一届夏令营结束后给孩子们送一个纪念品，了解到两家制作纪念品的公司的优惠方案分别如下： 甲：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系； 乙：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系． 根据图象中的信息，回答下列问题： (1)请分别求出和与之间的函数关系式； (2)请根据函数图象描述乙公司的优惠方案； (3)如果你是负责此次纪念品采购的工作人员，请通过计算说明选择哪家公司更省钱？ （1）解：由题图可设， 的函数图象过点，代入可得，， 解得， ； 当时，设， 的函数图象经过点， 代入可得， 解得， 当时，； 当时，设，的函数图象经过点，， 代入得， 解得， 当时，， ； （2）当时，， 乙公司的优惠方案是当购买费用在元及元以内时，不打折；购买费用高于元时，超过元的部分打折； （3）当时， 解得， 当时，两家公司费用相同； 当时， 解得， 当时，甲公司更省钱； 当， 解得， 当时，乙更省钱． 【典例1】．某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进2件甲商品和1件乙商品需330元；购进1件甲商品和2件乙商品需300元．其中1件甲商品售价为150元，1件乙商品售价为110元． (1)求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ (2)商场售出甲种商品的数量比乙种商品的数量的三分之一多10个，且获利超过1200元，问乙种商品最少卖出多少件？ (3)商场计划用不超过10350元购进两种商品共100件，其中甲种商品不少于40件，若每件甲种商品让利元，当销售完两种商品后，商场获得最大利润2225元，求的值． 【答案】(1)甲商品进价120元，乙商品进价90元 (2)乙种商品最少卖出33件 (3) 【详解】（1）解：设甲种商品的进价为 元，乙种商品的进价为 元， 根据题意“购进2件甲商品和1件乙商品需330元；购进1件甲商品和2件乙商品需300元”，可列方程组如下： ， 答： 甲种商品的进价是 120 元，乙种商品的进价是 90 元． （2）解：计算甲种商品单件利润： （元） 乙种商品单件利润： （元） 设乙种商品卖出 件，则甲种商品卖出 件， 根据题意“获利超过1200元”，可列不等式： ， 解得： 又甲种商品的数量为整数， 必须是的倍数， 的最小整数值为， 答：乙种商品最少卖出33件． （3）解：设购进甲种商品 件，则购进乙种商品 件，根据题意，得 解得， 设商场获得的总利润为 元， 甲种商品让利 元后，单件利润为 元；乙种商品单件利润仍为 20 元，则总利润 与 的函数关系式为： 已知 ，所以 ， 因为 ，所以 随 的增大而增大，要使利润 最大，则 应取最大值， 由题意可知 的最大值为 45， 将 和最大利润 代入函数关系式： 解得， 经检验， 满足 的条件． 答： 的值为 5． 【变式1】．如图1是某物理实验装置的一部分，初始位置时，甲、乙两容器中的液面在同一水平线上，实验过程中测得乙容器中液体的总体积随着甲容器下方升降垫的升高先匀速增加，最后保持不变．设升降垫增加的高度为，乙容器中液体的总体积为，则与之间的函数关系如图2所示． 根据函数图象解答下列问题： (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)当乙容器中液体的总体积为时，求升降垫增加的高度． 【答案】(1) (2)升降垫增加的高度为 【分析】（1）设与之间的函数关系式为：，把，代入，再进一步求解即可； （2）把代入进一步求解即可. 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：. （2）解：当乙容器中液体的总体积为时， ∴， 解得：， ∴当乙容器中液体的总体积为时，升降垫增加的高度为. 【变式2】．挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”深得大家喜欢，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，求购买多少袋B种挂面时，所需费用最小，并求出最小的购买费用． 【答案】(1)A型挂面单价为20元，B型挂面单价为30元； (2)购买10袋B型挂面时所需费用最小，最小购买费用为900元． 【详解】（1）解：设A型挂面的单价是x元，B型挂面的单价是y元，由题意，得： ， 解得， ∴A型挂面的单价是20元，B型挂面的单价是30元； （2）解：设购买型挂面袋，总费用为w元，则购买A型挂面袋， 根据题意得： ， 解得：， 总费用为：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∴购买10袋B型挂面时所需费用最小，最小购买费用为900元． 题型十一 一次函数相关综合问题 答｜题｜模｜板 如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，将该函数图象沿轴向下平移个单位长度得到新函数的图象，新图象与轴相交于点． (1)求点（用含的代数式表示）的坐标； (2)当的面积为时，求的值； (3)在的条件下，在轴上找一点，使得为等腰三角形，求点的坐标． （1）解：在中，令，得， ∴， 令，得， 解得， ， 平移后的表达式为中，令，得， 解得， ； （2）解：由（1）知，， ，， ， 的面积为， ∴； （3）解：由（2）知，，， ∴，， ， 当时，， 在中，由勾股定理得，， 点的坐标为或； 当时，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴点的坐标为或； 当时， ∵， ∴点不在轴上，此种情况不存在； 综上所述，点的坐标为或或或． 【典例1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【详解】（1）解：令得，，解得，则， 令得，，则， ∵， ∴， ∵点是直线与线段的交点， ∴， ∴， 将，代入得， ，解得， 则直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 令得，，则， ∵，，， ∴， ∴， 设， 当在直线下方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，则， 当时，同理可得（舍去）， 当在直线上方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，即， 当时，同理可得，（舍去）； 综上所述，点的坐标为，； （3）解：存在， 由（2）可知，，， 将其代入得， ，解得， 则的解析式为， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 连接交于点，作关于的对称角，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点，为所求， 设的解析式为 将，代入得， ，解得， 则的解析式为， 则，解得， 即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, 综上，点的坐标为，． 【变式1】．如图，已知一次函数与轴相交于点A，与轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标； (2)若点C的坐标是： ①是_____三角形（按角分类）； ②点P是轴上的点，若，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①直角；②或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可；②根据求出长即可求解； 【详解】（1）解：∵当时， 解得， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或． 【变式2】．在平面直角坐标系中，直线的解析式为：，分别交轴，轴于点， (1)直接写出点，的坐标； (2)如图，过点的直线与轴交于点，与直线交于点，且，求点的坐标；（温馨提示：若思考有困难，可尝试通过平移直线，求出直线的解析式，进而求出点的坐标．） (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵x轴上点纵坐标为， ∴代入，得， 解得， 故； ∵y轴上点横坐标为， ∴代入得， ∴． 故． （2）解：过点O作，交于点H，作于点I，设（）， 则， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边与的边上的高相等， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设直线解析式为， 代入，得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴． （3）解：存在或． 由（1）、（2）知，直线解析式为，，． 设，， ∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时， 向上平移，使点B落在y轴上的点，点D落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 向下平移，使点D落在y轴上的点，点B落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 当对角线时，取的中点P，过P作直线交y轴于点，交直线于点，使，连接， 则四边形是平行四边形， 由中点坐标公式得， 解得， ∴． 综上，存在满足条件的点，坐标为或． 题型十二 一次函数相关最值问题 答｜题｜模｜板 如图，一次函数第一象限的图象上有一点，过点作轴的垂线段，垂足为，连接，则的周长的最小值是_____． 如图，设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C， 把代入函数中，得， 解得， ∴点B的坐标为， 把代入函数中，得， ∴点C的坐标为， ∵点P是一次函数第一象限的图象上的一点， ∴设点P的坐标为（）， ∵轴于点A， ∴，， ∴ ∴当垂直一次函数的图象时，取得最小值，的周长为最小． ∵，， ∴，， ∴， ， ∵，即， ∴， 即的最小值为，的最小值为． 故答案为：． 【典例1】．如图所示，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是的中点，D，E分别是直线和y轴上的动点，则周长的最小值是_______． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG， 直线与两坐标轴分别交于、两点， ∴令，则；令，则，解得， ，， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∵点C与点G关于对称， ∴，， ∴， ∵，， ， 又∵点C与点F关于对称， ，，， ， ∵，， ∴的周长， 当点，，，在同一直线上时，的周长最小，为的长， ∵在中，， 周长的最小值是． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为_____． 【答案】 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则， ∴， 即当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长， ∵、， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． 故答案为： 【变式2】．如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ______ ． 【答案】/ 【详解】解：作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度， 由题意得：点E坐标为， ∵直线与两坐标轴分别交于B，C两点， 令，则， ∴点C坐标为， 令，则， ∴点B坐标为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（山东省临沂市费县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：①；②；③甲的速度为8米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象． 根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度和乙的速度可以计算出的值，即可判断①，②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④． 【详解】解：由函数图象可得，甲的速度为(米/秒)，故③错误； 乙的速度为(米/秒)， ∴，故①错误，②正确； 设当甲、乙相距米时，甲出发了秒， 当两人相遇前相距米时，得， 解得， 两人相遇后相距米时，得， 解得， ∴当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒，故④错误； 则正确的有1个， 故选：A． 2．（山东省枣庄市山亭区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（　　） A． B．方程的解是 C． D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与一元一次不等式及一次函数与二元一次方程组是解题的关键．依据题意，根据一次函数与一元一次不等式的关系及一次函数与二元一次方程组及一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：由题意，直线的图象在第二、三、四象限， ， 故A正确，不合题意； 直线与直线的交点的横坐标为， 方程的解是， 故B正确，不合题意； 直线的图象与y轴交于正半轴， ， 故C正确，不合题意； 结合图象可得，当时，直线上的点都不在直线的下方， 不等式的解集为， 故D错误，符合题意． 故选：D． 3．（山东省滨州市惠民县2024-2025学年下学期期末学业质量评价监测八年级数学试题）已知直线的解析式为，若直线与直线平行，且过点，则直线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行的问题，设出直线的解析式，代入点，求出直线的解析式即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵直线与直线平行， ∴， 把代入得， 解得， ∴线的解析式为． 故答案为：． 4．（山东省德州市宁津县2024-2025学年八年级下学期期末质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，当时，对于x的每一个值，一次函数的值都大于函数的值，那么m的值是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，数形结合进行理解是解题关键．将不等式变形为，则原题可以理解为当时，图象都在轴上方，数形结合可得的范围． 【详解】解：由题意，当时，恒成立， 不等式可变形为：， 即当时，恒成立， 即当时，直线图象都在轴上方， 则可得随增大而减小，且直线与轴交点不能在的左侧， 令，得，则直线与轴交点坐标为， ， 解得：， 当，图象与平行，直线横在的上方，满足题意， 综上所述． 故答案为：． 5．（山东省济南市长清区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷-）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点 (1)求直线的解析式和线段，的长． (2)在线段上有一动点不与点，重合，过点作轴于点，于点，以，为邻边作 ①求的周长． ②当为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；， (2)①；② 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①连接，利用等积法求出； ②由①可得，则是的中位线，求出，设，再由，求出的值即可求点坐标． 【详解】（1）解：将点代入， ， ， 直线的解析式为； 直线与轴的交点为， ∴ ， 直线与轴的交点为， ； （2）①连接， ， ， ， 的周长； ②四边形是菱形， ， ， ， 将代入得 ， ， 设， ， 解得， ， 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（山东省滨州邹平市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵直线， ∴y随x的增大而增大，直线过第一、三、四象限，当时，， ∵，，为直线上的三个点，且， ∴若，则，同号，但不能确定，的正负， 故选项A不符合题意； 若，则，异号， ∵， ∴，， ∴，在第三象限， ∴，， ∴， 故选项B符合题意； 若，则，同号，或，但不能确定、的正负， 故选项C不符合题意； 若，则，异号，，但不能确定、的正负，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（山东省滨州邹平市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设购买A型球拍x副，则B型球拍为副，根据题意，A型数量不少于B型的2倍，即，解得，设总费用为，求出关于的函数解析式，再由一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买A型球拍x副，B型球拍为副， 根据题意，， 解得， 设总费用为，则。 ∵，总费用随x增大而增加，因此当x取最小值20时费用最低， ∴当时，B型球拍为10副， 故选：C． 3．（山东省德州市临邑县2024—2025学年下学期期末检测八年级数学试题）小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程s（千米）与小鹿所用时间t（分）之间的函数关系，则图中m的值为________． 【答案】22.5 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 求出小鹿的速度，从而求出二人共同休息的时间，设小晨的速度为v千米/分，根据二人同时到达休息点时距离图书馆的路程相等列关于v的方程并求解，进而求出m的值即可． 【详解】解：小鹿的速度为（千米分）， 则二人共同休息的时间为（分）， 设小晨的速度为v千米/分， 则二人同时到达休息点时，得， 解得， （分）， ， 故答案为：22.5． 4．（山东省德州市乐陵市2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加；④．其中正确的是______． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键． 根据函数图象直接得到，，，，进一步即可得到；根据当时，，即可求得；求得，根据解析式即可求得的值每增加，的值增加；当时，根据图象得不等式． 【详解】解：由图象可得：，，，， ，， ，故正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为， ， ，即，故正确； ，， ， ， ， 的值每增加，的值增加，故正确； 当时，，，由图象可知， ，故错误． 故答案为：． 5．（山东省济南市长清区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷-）在年月份举办的第九届世界无人机大会上，众多企业展示了新型无人机，其中、两款无人机备受关注．已知款无人机比款无人机每架多万元，用万元购买款无人机与用万元购买款无人机的数量相等． (1)求、两款无人机的单价各是多少？ (2)某企业打算购买、两款无人机共架，且款无人机的购买数量不少于款无人机购买数量的倍，求该企业购买多少架款无人机时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)万元，万元 (2)， 【详解】（1）解：设款无人机的单价为万元，则款无人机的单价为万元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 万元 答：款无人机的单价为万元，款无人机的单价为万元． （2）设该企业购买架款无人机，则购买架款无人机． 根据题意，得， 解得， 设总花费万元，则， ， 随的增大而增大， ， 当时值最小， 答：该企业购买架款无人机时花费最少，最少费用是万元． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（山东省菏泽市曹县2024-2025学年下学期八年级期末考试数学试题）直线与坐标轴的两交点分别为和，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线与坐标轴的两交点分别为和 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 2．（山东省临沂市郯城县2024--2025学年八年级下学期期末考试数学试题）A、B两地相距，甲车从A地匀速驶向B地，乙车从B地匀速驶向A地，其中乙车的速度大于甲车的速度，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间距离与甲车行驶时间之间的关系如图所示．则下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶的速度为 B．乙车行驶的速度为 C．甲车出发h或h时间两车相距 D．乙车到终点时，甲距离终点 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，用函数图形中有效的获取信息，逐一进行分析，判断即可． 【详解】解：由图象可知，乙车行驶5小时到达目的地，两车行驶3小时相遇，当行驶5小时时，甲车行驶了， ∴甲车的速度为，乙车行驶的速度为； 当乙车到终点时，甲距离终点；故选项A，B，D的说法正确，不符合题意； 当两车相遇前相距时，则：，解得：； 当两车相遇后相距时，则：，解得：； ∴甲车出发h或h时间两车相距；故选项C说法错误，符合题意； 故选C． 3．（山东省烟台市招远市2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷（五四学制））在平面直角坐标系中，直线经过点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【详解】解：将代入得， ， 当时，． 所以关于的不等式的解集是． 故答案为：． 4．（山东省潍坊市2024-2025学年下学期八年级7月学科素养展示数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，点，在轴上；都是等腰直角三角形，依次类推，若已知点，则点的纵坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数规律探究，等腰直角三角形的性质，勾股定理；设点、的纵坐标分别为、，先求出，再根据等腰直角三角形的性质、结合函数解析式求解即可． 【详解】解：设点、的纵坐标分别为、， ∵在直线上， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形，， ∴，，则 ∵是等腰直角三角形， 设，代入，得：， 解得： ； 设，代入，得： 解得： …… 依次类推，的纵坐标为 ． ∴点的纵坐标是 故答案为：． 5．（山东省菏泽市单县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题）如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点．已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是______；关于的不等式的解集是______． (2)若点坐标为，①关于的不等式的解集是______；②求的面积． (3)根据图象求关于的不等式组的解集． 【答案】(1)； (2)①；②21 (3) 【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点坐标为， ∴关于的方程的解是； ∵直线与x轴的交点B的坐标为， ∴关于的不等式的解集是； （2）解：①点， 结合图象可知，不等式的解集是； ②点坐标为，点坐标为， ， 点坐标为， ； （3）解：结合图象可知，不等式①的解集是； 不等式②的解集是； 所以关于的不等式组的解集为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $