专题03 一次函数与方程、不等式八大题型（专项训练）数学新教材青岛版八年级下册

专题03 一次函数与方程、不等式 目录 A题型建模 专项突破 1 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 1 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 2 题型三 利用图象法解一元一次方程 4 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 5 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 7 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 8 题型七 图象法解二元一次方程组 10 题型八 求直线围成的图形面积 13 B综合攻坚 能力跃升 15 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴正半轴于点，下列结论：①一次函数经过点；②且；③方程的解为；④若时，则．其中正确的有__________（填写序号即可）． 3．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）x的取值和代数式的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … … 9 7 5 3 1 … 根据表中信息，下列说法中： ①当时，；②关于x的方程的解为； ③；④使的x值在2和3之间． 正确的是________（填序号）． 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 6．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过点C的另一条直线与x轴交于点． (1)求点B、C的坐标和直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三 利用图象法解一元一次方程 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·吉林·期末）学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 9．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （    ） A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 11．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 12．（24-25八年级下·福建漳州·月考）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如图），两直线交于点，分别与轴交于，两点．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是 ；关于的不等式的解集是 ． (2)若点的坐标为，求的面积． 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 13．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 14．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 15．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是________（填序号）． 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 17．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)不解关于的方程，直接写出方程的解． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）【数学活动回顾】：我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点组成的图象叫作方程的图象； 结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】： （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中两个二元一次方程的图象；（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） （2）观察图象，两条直线的交点坐标为_________，由此你得出这个二元一次方程组的解是_________； 【拓展延伸】： （3）已知，是关于x，y的二元一次方程的解，试求a，b的值． 题型七 图象法解二元一次方程组 19．（25-26八年级上·山西运城·月考）综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，把方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标． … -1 0 1 … … 4 3 2 … 数学建模： （1）请直接写出：_____；_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 问题解决： （2）设方程的图象与轴、轴的交点分别是A，B，方程的图象与轴、轴的交点分别是C，D． ①求点A，D的坐标． ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点在轴正半轴上，且．请在平面直角坐标系中作出符合题意的两方程的图象，并求m，n的值． 20．（24-25七年级下·江西上饶·期末）【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 21．（24-25八年级上·江西九江·月考）在数学拓展课上，智慧小组通过数形结合的思想进一步研究二元一次方程组和一次函数之间的关系． 已知二元一次方程组 (1)补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为________． (2)分别将表格1、表格2中的每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在图1的平面直角坐标系中描出表格内各点，再顺次连接各点，并写出一条你所获取的信息． (3)实践小组将和（，为常数）两个方程的解按照上述方法在平面直角坐标系中绘制的图象如图2所示，两直线交于点．直接写出方程组的解，并求出，的值． 题型八 求直线围成的图形面积 22．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，函数的图象过点，将图象向上平移2个单位长度后与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)求的面积． 23．（25-26八年级上·浙江温州·月考）已知直线的表达式为，与轴交于点，点在直线上，点的坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)若的面积为，求点的坐标． 24．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）把二元一次方程化为的形式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东威海·期末）若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 7．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 _________ ． 8．（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 9．（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为________． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴交于，则下列说法中：①随的增大而减小，②，③关于x的方程的解为，其中正确的有_______ ．（填序号） 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线相交于点． (1)求a的值． (2)直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程． (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图像上有一点，求m的值． 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)直接写出不等式组的解集_____． 14．（25-26八年级下·四川达州·开学考试）在平面直角坐标系中，一次函数（）经过点与，与直线相交于点P．直线和直线（）分别与x轴交于点A，B． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点Q在y轴负半轴上且，求点Q的坐标 15．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我们知道一次函数与的图象关于轴对称，所以我们定义：函数与互为“”函数． (1)请直接写出函数的“”函数； (2)如果一对“”函数与的图象交于点，且分别与轴交于点、，如图，若，且的面积是，求这对“”函数的解析式； (3)在(2)的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内任意一点，当以点、、、为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数与方程、不等式 目录 A题型建模 专项突破 1 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 1 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 3 题型三 利用图象法解一元一次方程 7 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 10 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 14 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 18 题型七 图象法解二元一次方程组 21 题型八 求直线围成的图形面积 29 B综合攻坚 能力跃升 32 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【规范解答】解：A、直线与轴的交点坐标为， 当时，， 方程的解是，原说法错误，不符合题意； B、一次函数与的图象交于点， 方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是，正确，符合题意； D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方， 的解集为，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴正半轴于点，下列结论：①一次函数经过点；②且；③方程的解为；④若时，则．其中正确的有__________（填写序号即可）． 【答案】①③ 【思路引导】此题考查了一次函数、解方程、解不等式等知识．根据一次函数与y轴交点坐标的正负性确定k的范围，代入点坐标验证点是否在函数图象上，解方程及不等式判断结论的正确性． 【规范解答】解：对于结论①，当时，， 故函数经过点，结论正确； 对于结论②，函数交y轴正半轴于点A，则时，，解得，故结论②错误； 对于结论③，方程可化为，由于函数交y轴正半轴，，，故，解得，结论正确； 对于结论④，不等式可化为， 当时，，而时， 故，结论错误． 故答案为：①③． 3．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）x的取值和代数式的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … … 9 7 5 3 1 … 根据表中信息，下列说法中： ①当时，；②关于x的方程的解为； ③；④使的x值在2和3之间． 正确的是________（填序号）． 【答案】①④ 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图形和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据表格数据，代入特定x值验证代数式的值，并比较大小． 【规范解答】解：由图表可得，当时，，即，故①正确； 当时，，方程的解为，而非，故②错误； 当时，，当时，，，故，③错误； 当时，，当时，，由于函数连续，的x值在2和3之间，故④正确． 故答案为：①④． 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质、函数图象的平移规律以及方程的解与函数图象的关系，关键是根据一次函数的性质和相关规律逐一分析每个选项． 【规范解答】解：对于一次函数，其中． 选项A：当时，函数图象经过第二、三、四象限，而非一、三、四象限，故A错误； 选项B：∵方程的解是， ∴，即． 将代入，得， ∴函数图象恒过点，故B正确； 选项C：函数图象向右平移2个单位后解析式为，∵图象过原点，代入得，解得，而非，故C错误； 选项D：随的增大而减小．若，则，但与的符号由决定，不一定满足，故D错误； 故选：B． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)当时，的取值范围是_____； (3)将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）结合函数图象即可得； （3）先求出平移后的直线的解析式，再求出点的坐标，然后求出，根据建立方程，解方程即可得． 【规范解答】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即． 在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象如下： ． （2）解：由函数图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为12． 6．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过点C的另一条直线与x轴交于点． (1)求点B、C的坐标和直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，D的坐标为或 【思路引导】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质．分类讨论是解（2）的关键． （1）分别令、可求出点B、C的坐标；用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （2）先求出，根据平行四边形的性质得，，然后分两种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴． 设直线的函数解析式为， 把代入，得 ， ∴， ∴； （2）解：存在， ∵，，， ∴． ∵以点A、B、C、D为顶点的四边形是以为边的平行四边形， ∴，， ∴，． 题型三 利用图象法解一元一次方程 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【规范解答】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 8．（25-26八年级上·吉林·期末）学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)函数的图象关于轴对称．（答案不唯一） (4)①2；②；③ 【思路引导】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． （1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论； ③根据函数图象分情况作答即可； 【规范解答】（1）解：将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． 故答案为：，； （2）解：根据表格描点、连线，如图所示： （3）解：观察图象，可知：函数的图象关于轴对称． 故答案为：函数的图象关于轴对称； （4）解：①观察图象可知， 的图象与有两个交点， 故方程有2个解； 故答案为：2； ②观察图象可知，的图象与直线有一个交点， 在的下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 故答案为：； ③当时，， 即函数必过， 当时，如图，当时，与右半段平行，此时与有1个交点， 即当时，与有2个交点，此时； 当时，同理可得当时，与有2个交点，此时； 当时，，由①可知此时与有2个交点； 综上所述，当时，关于的方程有两个不相等的实数解． 9．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （    ） A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组，图象法确定方程的解，不等式的解集和二元一次方程组的解，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由题意和图象可知： 关于x的方程的解是；故A正确； 关于x的不等式的解集是；故B错误； 当时，函数的值比函数的值大；故C正确； 关于x，y的方程组的解是，故D正确； 故选B． 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】利用数形结合思想解答即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 11．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)直线为，直线； (2)3； (3)． 【思路引导】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可； （3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【规范解答】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：连接， ∵直线与轴和轴相交于点和点， ∴当时，解得，即点，， 当时，得，解得，即点，， ∵直线与轴相交于点， ∴当时，得，解得，即点，， ∴， ∴． （3）解：法一： 依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 法二： ∵， ∴， 得， 由①得， ， ， ， 由②得， ， ， 综上，． 12．（24-25八年级下·福建漳州·月考）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如图），两直线交于点，分别与轴交于，两点．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是 ；关于的不等式的解集是 ． (2)若点的坐标为，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查的是坐标与图形面积，一次函数与一元一次方程以及不等式的关系； （1）由一次函数的图象与轴的交点坐标结合函数图象可得答案； （2）利用坐标含义，结合三角形的面积公式求解面积即可． 【规范解答】（1）解：直线与轴交于点， 关于的方程的解是； 直线与轴交于点， 当时，，即， 关于的不等式的解集是． 故答案为：；． （2）解：点，点，点的坐标为， ， ． 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 13．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)， (2) (3)2 (4) 【思路引导】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【规范解答】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解： ，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 14．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时， (3)点坐标为或 【思路引导】本题考查了一次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把，分别代入两个解析式，求出，的解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，过点， ， 解得, ， 又过， ， 解得， ， 联立方程组得，， ， ； （2）由图象可得：当时，； （3）由（1）知，，， ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ， 点坐标为； 当时，， ， 点坐标为； 综上，点坐标为或． 15．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是________（填序号）． 【答案】①② 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系．熟练掌握相关知识，和数形结合的思想是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象求解即可． 【规范解答】解：①∵，， 当时，， 则， 由图知一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴关于x的方程的解是，故①正确； ②由图知，，， ∴函数经过二、三、四象限，不经过第一象限，故②正确； ③由图知，时，直线在直线的下方， ∴关于x的不等式的解集是，故③错误． 综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了一次函数图象与性质以及一次函数和一元一次不等式和二元一次方程组的关系，准确求出各点坐标是解题关键． （1）先分别求出点坐标，即可求解，然后联立两直线的表达式求出点，再由三角形面积公式求解的面积； （2）时，不等式的解集即为直线在直线下方时对应的取值范围． 【规范解答】（1）解：把代入中得：， 解得：，所以 把代入中得：， 解得：，所以， 所以， 联立与得，， 解得， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以由图象可得当时，； 17．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)不解关于的方程，直接写出方程的解． 【答案】(1) (2)3 (3) 【思路引导】（1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出的面积； （3）两函数图象的交点横坐标即为两函数解析式联立得到的一元一次方程的解． 【规范解答】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，∴， ∴ ∵一次函数图象经过点， ∴’ 解得， ∴一次函数解析式是． （2）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，得，解得， ∴， ∴， ∵, ∴的面积为：． （3）解：由图象可知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴方程的解为， 即方程的解为． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）【数学活动回顾】：我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点组成的图象叫作方程的图象； 结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】： （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中两个二元一次方程的图象；（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） （2）观察图象，两条直线的交点坐标为_________，由此你得出这个二元一次方程组的解是_________； 【拓展延伸】： （3）已知，是关于x，y的二元一次方程的解，试求a，b的值． 【答案】（1）见解析；（2），；（3），． 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图像． （1）分别取两个点，让它们的坐标满足方程与，然后过这两点画直线即可； （2）观察图像，可得出所画两直线的交点坐标，根据一次函数与二元一次方程组的关系即可求解； （3）将和代入方程解方程组即可求解． 【规范解答】解：（1）如图所示： （2）观察图像，可得出所画两直线的交点坐标为：， 由此可得这个二元一次方程组的解为：， 故答案为：，； （3）将和代入方程， 得 解得：，． 题型七 图象法解二元一次方程组 19．（25-26八年级上·山西运城·月考）综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，把方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标． … -1 0 1 … … 4 3 2 … 数学建模： （1）请直接写出：_____；_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 问题解决： （2）设方程的图象与轴、轴的交点分别是A，B，方程的图象与轴、轴的交点分别是C，D． ①求点A，D的坐标． ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点在轴正半轴上，且．请在平面直角坐标系中作出符合题意的两方程的图象，并求m，n的值． 【答案】（1）5，2，在（2）①，②图见解析，， 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． （1）把对应点横纵坐标代入方程中，即可求出的值，然后画图发现这些点在同一条直线上； （2）①在中，当时，，在中，当时，，据此可得答案； ②根据题意可得直线和直线没有交点，即在这两条直线互相平行，根据点在轴正半轴上，且，求出点和点的坐标，进而即可求出，的值． 【规范解答】解：（1）当时，代入，得， ∴； 当时，代入，得， ∴； 经过画图发现，这些点在同一条直线上； 故答案为：5，2，在； （2）①在中，当时，， 在中，当时，， ∴，； ②关于，的二元一次方程组无解， 直线和直线 没有交点，即这两条直线互相平行， 点在轴正半轴上，且，， ， ，即， 将点的坐标代入得， ， 解得， ， ，， ， ，即， 将点的坐标代入 得， ， 解得， 如图所示即为所求： 20．（24-25七年级下·江西上饶·期末）【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 【答案】（）；（）画图见解析；（），；（）的值为，的值为． 【思路引导】本题考查了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把分别代入方程中，判断方程左右两边是否相等即可； （）分别取两个点，让它们的坐标满足方程和，然后过两点画直线即可； （）观察图象即可求解； （）把两点和代入，然后解方程组即可． 【规范解答】解：（）∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； 故答案为：； （）由可得， 当时，；当时，，即点，； 由得， 当时，；当时，，即点，； 画图如图， （）观察图象可得两条直线的交点坐标为， 这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； （）∵二元一次方程的图象经过两点和， ∴， 解得：， ∴的值为，的值为． 21．（24-25八年级上·江西九江·月考）在数学拓展课上，智慧小组通过数形结合的思想进一步研究二元一次方程组和一次函数之间的关系． 已知二元一次方程组 (1)补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为________． (2)分别将表格1、表格2中的每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在图1的平面直角坐标系中描出表格内各点，再顺次连接各点，并写出一条你所获取的信息． (3)实践小组将和（，为常数）两个方程的解按照上述方法在平面直角坐标系中绘制的图象如图2所示，两直线交于点．直接写出方程组的解，并求出，的值． 【答案】(1)补全表格见解析， (2)是 与的交点 (3)， 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系； （1）根据函数解析式补全表格，进而根据表格得出方程组的解； （2）根据表格画出函数图象，进而根据函数图象，写出一条所获取的信息． （3）根据两直线交点坐标，得出方程组的解，进而得出关于的二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【规范解答】（1）解：补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为 故答案为：． （2）解：如图所示， 根据图象可得，是 与的交点； （3）解：根据函数图象可得和的交点为 ∴方程组的解 ∴原方程组为： 解得： 题型八 求直线围成的图形面积 22．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，函数的图象过点，将图象向上平移2个单位长度后与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)12 【思路引导】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的相关计算是解题的关键； （1）用待定系数法求出函数解析式，然后根据函数解析式平移的性质得到直线的解析式； （2）由（1）可得直线的解析式，求出点点的坐标，再根据三角形面积公式求出即可． 【规范解答】（1）解：将代入， 得， ． 将函数的图象向上平移个单位长度后得到的图象的解析式为， 即， 则直线的函数解析式为． （2）解：在中， 令，得； 令，得， ，， ，， ． ∴的面积为． 23．（25-26八年级上·浙江温州·月考）已知直线的表达式为，与轴交于点，点在直线上，点的坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【思路引导】本题考查待定系数法求一次函数表达式、一次函数与三角形面积问题，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法直接求解即可得到答案； （2）设点的纵坐标为，由的面积为，列方程求解得到，再根据点在直线上，代值计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解：直线的表达式为，与轴交于点， ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：如图所示： 点的坐标为， ， ∵的面积为， 设点的纵坐标为， 则， 解得， 则， 点在直线上， 当时，，解得，则点的坐标为； 当时，，解得，则点的坐标为； 点的坐标为或． 24．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据两个直线的交点横坐标，结合图象中直线在上方的区域，直接得出不等式的解集； （2）先将点代入​求出其坐标，再代入求出得到的解析式，找到相关点的坐标后，将的面积拆分为两个三角形的面积和进行计算． 【规范解答】（1）解：直线与交于点，且不等式表示的函数值大于​的函数值． 则关于的不等式的解集为． （2）解：把代入，得， ． 把代入，得，解得， 直线的函数解析式为． 如图，设直线与轴交于点． 对于，令，则， ． 对于，令，则， ； 令，则，解得， ， ． 【考点剖析】本题考查了一次函数与不等式的关系、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算，掌握利用函数图象解不等式，及通过拆分图形求复杂三角形面积是解题的关键． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数的图象进行求不等式的解集即可． 【规范解答】解：由图象可知，当时，， 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）把二元一次方程化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】只需通过移项，将的系数化为即可得到结果. 【规范解答】解：原方程为， 移项得：， 两边同时除以得：． 3．（25-26七年级上·山东威海·期末）若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握方程的解就是直线与x轴交点的横坐标是解题的关键． 由直线与x轴交点坐标为，再根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【规范解答】解：∵直线与x轴交点坐标为， ∴当时， ∴方程的解为． 故选D． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数的性质以及数形结合思想逐项判断即可． 【规范解答】解：A．由一次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故A选项正确，不符合题意； B．由题意可得，即点A、B关于x轴对称，故B选项正确，不符合题意； C．由一次函数，y随x增大而增大，即；由一次函数，y随x增大而减小，即；则，故C选项错误，符合题意； D．由函数图像可得：当时，一次函数的图像在上方，即，故D选项正确，不符合题意． 故选C． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的解之间的联系，得到两直线平行是解题的关键． 根据方程组无解得出两直线平行，求出k的值，再逐一分析选项判断正误． 【规范解答】解：∵关于的方程组无解， ∴直线与直线平行， 即，解得， 两直线平行，无交点，故A、B错误； 将代入，得， ∵斜率，截距， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C正确； 将代入，得，当时，， 即直线交y轴于正半轴，故D错误． 故选：C． 6．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 【答案】 【思路引导】直接利用函数图象，结合，得出x的取值范围． 【规范解答】解：∵交点坐标可知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集为 7．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 _________ ． 【答案】 【思路引导】由函数图象可知当时，，所以关于的不等式的解集为． 【规范解答】解：由一次函数的图象可知: 当时，， 当时，， 关于的不等式的解集为． 8．（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答． 【规范解答】解：不等式组的解集由图像可知满足且， 即直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为________． 【答案】或 【思路引导】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由直线与直线的图象可知，直线与直线的交点为，，根据图形即可求得不等式的解集． 【规范解答】解：如图所示： 观察图象可知直线与直线的交点为，， ∴由图象可知不等式的解集为或， 故答案为：或 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴交于，则下列说法中：①随的增大而减小，②，③关于x的方程的解为，其中正确的有_______ ．（填序号） 【答案】①②③ 【思路引导】根据一次函数图象的性质可判断①②的正误； 根据图象，由一次函数与一元一次方程的关系，可判断③的正误． 本题考查了一次函数图象的性质，一次函数与一元一次方程的关系，掌握基本概念是解题关键． 【规范解答】解：①∵一次函数的图象经过二、四象限， ∴, ∴随的增大而减小，故本小题正确； ②∵函数图象与轴的交点在轴的正半轴， ∴，故本小题正确； ③∵函数经过点，则当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：①②③． 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线相交于点． (1)求a的值． (2)直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【思路引导】本题考查了一次函数与三角形面积计算，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，求出直线与x轴的交点坐标． （1）将代入，得出； （2）分别求得的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：将代入， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， 又∵， ∴的面积为． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程． (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图像上有一点，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)、 (3) 【思路引导】（1）二元一次方程所对应的直线为，根据描点法画出函数图像即可； （2）当时，，当时，，解得，即可求出答案； （3）把点C的坐标代入函数解析式，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：二元一次方程变形为，所对应的直线为． 列表如下： x … 0 1 2 … y … … 描点并连线， （2）解：当时，， 当时，， 解得， ∴一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为、． （3）解：把代入得到， 即m的值为． 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)直接写出不等式组的解集_____． 【答案】(1)直线为，直线； (2)． 【思路引导】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【规范解答】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 14．（25-26八年级下·四川达州·开学考试）在平面直角坐标系中，一次函数（）经过点与，与直线相交于点P．直线和直线（）分别与x轴交于点A，B． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点Q在y轴负半轴上且，求点Q的坐标 【答案】(1) (2)点Q坐标为 【思路引导】（1）用待定系数法求函数解析式． （2）联立两直线方程求出点P的坐标，作轴于点F，先由直线解析式求出点B坐标，再由求解． 【规范解答】（1）解：将与代入得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：联立两直线方程得， 解得， ∴点P坐标为． 作轴于点F， 把代入得， ∴点B坐标为， ∴， 又∵，， 则 ， 解得， ∵点Q在y轴负半轴， ∴点Q坐标为． 15．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我们知道一次函数与的图象关于轴对称，所以我们定义：函数与互为“”函数． (1)请直接写出函数的“”函数； (2)如果一对“”函数与的图象交于点，且分别与轴交于点、，如图，若，且的面积是，求这对“”函数的解析式； (3)在(2)的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内任意一点，当以点、、、为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)函数的“”函数为 (2)和 (3) 【思路引导】本题考查了一次函数的综合应用，以及新定义、菱形的性质等知识，关键是理解新定义，用新定义解题． （1）根据互为“”函数的定义，直接写出函数的“”函数； （2）现根据已知条件判断 为等腰直角三角形，再根据互为“”函数的图象关于轴对称，得出，再根据函数解析式求出点、、的坐标，再根据的面积是求出、的值，从而求出函数解析式； （3）根据三种情况讨论先求得的坐标进而根据菱形的性质根据中点坐标公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据互为“”函数的定义， ∴函数的“”函数为； （2）解：根据题意， 和 为一对“”函数”． ， 又， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 又 且 ， ， 、、是一次函数与的图象于坐标轴的交点， ， ， ， ， ， ， ， 和 ； （3）解： ， ， 由（2）知，，，， ①当，当点在点上方时，则在轴上方， ，， 当点在点下方时，则在下方， ②当，此时点在轴负半轴，则与点重合，即 ③当 ，此时为坐标原点， 是等腰直角三角形，则为关于对称的点为， 综上所述，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 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