专题02 一次函数图像的规律探究五大题型（专项训练）数学新教材青岛版八年级下册

专题02 一次函数图像的规律探究 目录 A题型建模 专项突破 1 题型一 一次函数与三角形规律探究问题 1 题型二 一次函数与正方形规律探究问题 6 题型三 一次函数与点坐标运动的规律探究问题 10 题型四 一次函数与图形面积的规律探究问题 15 题型五 一次函数与作图的规律探究问题 21 B综合攻坚 能力跃升 25 题型一 一次函数与三角形规律探究问题 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图 ， 已知直线交x轴于A，交y轴于点，点，， …在直线l上 ，点， …在x轴的正半轴上 ，若， ， ， …均为等腰直角三角形 ，且直角顶点都在x轴上，则的面积为 _____________ ． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，探索面积规律；根据题意分别求出，，，，，，，进而求出，，，，，，以探索三角形面积的规律，即可求解． 【规范解答】解：交轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， 若，，，均为等腰直角三角形， ，，，， ，，，，， ∴的面积为； 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的横坐标为______． 【答案】 【思路引导】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识．先求出、、的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题． 【规范解答】解：对于直线：， 令，则；令，则； ∴， ∴， ，， ∴，，， ，，， ∴的横坐标为． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了直线与坐标轴之间的关系．根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可． 【规范解答】解：如图，过点作 轴于， 将代入直线解析式中得， ，， ， ， ， ， 的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 同理可以求出的坐标为， 的坐标为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图放置的，，…都是边长为4的等边三角形，边在y轴上，点，，…都在直线上，则点的坐标是__________________． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数，等边三角形的性质，点的坐标规律．由已知结合等边三角形的性质和一次函数的性质可分别求出，，，…，，由此即可求解． 【规范解答】解：如图， ，…都是边长为4的等边三角形， ∴， …，， ∵在y轴上， 轴，轴，… 延长交x轴于点C， ∵点在直线上， ∴设， 是等边三角形，且边长为4， ． ∴的坐标为， 同理、， ， ∴的坐标为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，， 都在轴上，点，， 都在直线上，并且，， ，分别与轴垂直，，，分别与直线垂直，若，则的面积为__________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了与一次函数有关的规律探索，等腰直角三角形的性质与判定，根据题意可求出，则可证明是等腰直角三角形，得到，进而可证明是等腰直角三角形，，则可推出，据此求出的长，证明是等腰直角三角形，得到，据此根据三角形面积公式求解即可． 【规范解答】解：在中，当时，， ∵，轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵与直线垂直， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ， ……， 以此类推可知，， ∴， 同理可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 一次函数与正方形规律探究问题 6．（25-26八年级上·安徽宣城·月考）正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是_____； （2）的面积是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形．由一次函数与坐标轴的交点得出点的坐标为，再由正方形的性质得出点的坐标为，同理即可得出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，总结出规律，即可得解． 【规范解答】解：在直线中，当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 同理可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， ∴点的坐标为（为正整数） ∴的面积是， 故答案为：，． 7．正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，其面积分别记为，则（    ） 参考公式：． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查一次函数找规律问题，找到题中的规律是解题的关键，根据一次函数解析式求出，的坐标，从而找到规律，从而得到，再根据提示即可求得答案． 【规范解答】解：∵点和点分别在直线和轴上， ∴，， ∴， ∴将代入得， ∴， ∴， 以此类推可得：， ， ∴ ． 故选：A． 8．正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是___． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找到规律是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征找到规律，由规律解答即可． 【规范解答】解：∵点，， ，， 将，代入得，解得：， ∴一次函数解析式为， ， ， 同理， 则， ∴， 故答案为：． 9．正方形，，．．．按如图所示放置，点、、．．．在直线上，点、、．．．在轴上，则的坐标是__________________．    【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数规律探究；根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出、、的坐标，找出规律得出的坐标为，即可解答． 【规范解答】解：直线和轴交于， 的坐标， 即， 四边形是正方形， ， 把代入得：， 的坐标为， 同理的坐标为， 的坐标为， 的坐标是，即， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】首先通过求解一次函数图象与坐标轴的交点，可得出的坐标，进而得出的长，由正方形的性质可得，于是可得的坐标；，以此类推，同理可得，，，，，据此即可得出答案． 【规范解答】解：令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， ， 令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， 的纵坐标为：， ， 同理可得，，，， 故选：． 【考点剖析】本题主要考查了一次函数的规律探究问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差等知识点，通过确定，的横纵坐标数值，找出其变化的规律是解题的关键． 题型三 一次函数与点坐标运动的规律探究问题 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【规范解答】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两直线平行或相交问题以及规律型中数字的变化类．由题意分别求出、、、、、、的坐标，找出的横坐标的规律，即可求解． 【规范解答】解：∵过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去， ∴与横坐标相同，与纵坐标相同， ∵函数，当时，， ∴． ∵函数，当时，， ∴． 同理可得…， ∴，，，，…的横坐标为，…， ∴的横坐标为， ∴点的横坐标为． 故答案为：． 13．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过上的点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为__________． 【答案】 【思路引导】本题考查点坐标规律探究，求一次函数的自变量和函数值，解题的关键是读懂题意，得到的横坐标为．根据题意得到的横坐标为，即可得到点的横坐标． 【规范解答】解：由题意可得， ，，，，，，…， 可得的横坐标为 ， 点的横坐标为：， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点依次进行下去，则点的坐标为___________． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，解本题的关键在找出要求的点所在的象限，然后再根据点所在的象限找出这个象限的点的规律． 分别求出点，，，，，……，由此发现规律，即可求解． 【规范解答】解：∵过点作轴的垂线交直线于点， ∴点的横坐标为1， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∵过点作轴的垂线交直线于点， ∴点的纵坐标为坐标为2， 把代入得：， ∴点的坐标为， 同理点，，，……， 由此得到点， ∴点的坐标为． 故答案为： 15．（23-24八年级下·山东聊城·月考）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为_____________． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征即可求解． 【规范解答】解：当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 故答案为：． 题型四 一次函数与图形面积的规律探究问题 16．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，数字类的规律性问题，解题的关键在于能够求出．先利用一次函数与坐标轴交点的求解方法求出（，0），（0，），则，，从而得到，由此求解即可． 【规范解答】解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 17．（22-23八年级下·北京房山·期中）如图，直线与y轴交于，按如图方式作正方形 点在直线上，点在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，则_____，_______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 【答案】 2 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键． 设直线与x轴交于H，求出，得到，则直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出第n个正方形的边长为，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【规范解答】解：设直线与x轴交于H， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴直线与x轴的夹角为， ∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形， ∵，即第一个正方形的边长为2， ∴， ∴，即第二个正方形的边长4， 同理可得，即第三个正方形的边长为8， …， ∴可知第n个正方形的边长为， ∴， ， ， …， 故答案为：2；． 18．（2023·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x、y轴分别交于点A、B，在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线直线上被取，过点作y轴的垂线，垂足为点，得到；…；以此类推，第n个的面积是______（用含n的式子表示，n是正整数） 【答案】 【思路引导】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．先求出A、B两点的坐标，再设设，，，再求出a、b、c的值，利用三角形的面积公式得出其面积，找出规律即可． 【规范解答】解：∵一次函数与x、y 轴分别交于点A、B， ∴，， ， 设，，， ， ， 解得∶，（舍去）， ， 同理可得，，， ，， ． 故答案为： 19．如图，已知，是轴上的点，且，分别过点 作轴的垂线交直线于点，连接 ，依次相交于点，，的面积依次为，则为______． 【答案】 【思路引导】此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力由已知可以得到，，，点的坐标分别为：，，，，则点，，，的坐标分别为，，，，由此可推出点，，，的坐标为，，，，．由函数图象和已知可知要求的的坐标是直线和直线的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点，再跟进从而求得结果． 【规范解答】解：由已知得，，，的坐标为：，，，， ∵分别过点 作轴的垂线交直线于点， ∴点，，，的坐标分别为，，，． 由此可推出，，，四点的坐标为，，，，． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点， ∴ ， 故答案为： ． 20．如图，在平面直角坐标系中，点、、…在轴上，、、…在直线上，若，且、…都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、…．则可表示为______．    【答案】 【思路引导】直线与轴的成角，可得，，，，，；根据等腰三角形的性质可知，，，，；根据勾股定理可得，，，，再由面积公式即可求解． 【规范解答】解：△、△△都是等边三角形， ，， 直线与轴的成角，， ， ， ∵， ， 同理，，， ，，，， ，， ， 同理，，， ，，，， ，，，； 故答案是：． 【考点剖析】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长、应用相似三角形规律求解是解题的关键． 题型五 一次函数与作图的规律探究问题 21．如图，过点作轴的垂线，交直线：于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，…，依次这样作图，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解． 【规范解答】解：， ， 点的横坐标为1， ，、、、在直线的图象上， 纵坐标为2， ， ，， 点的纵坐标为， 于是得到的纵坐标为 的纵坐标为． 故选：A． 【考点剖析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是找出的坐标的变化规律． 22．（23-24九年级下·四川内江·月考）如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于，过点作直线的垂线交轴于点；按此作法继续下去，则点的坐标为______； 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据直线l的解析式求出，从而得到，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出然后表示出与的关系，再根据点在x轴上写出坐标即可． 【规范解答】解：∵直线l的解析式是， ∴，． ∵，轴，点N在直线上， ∴，， ∴． 又∵，即， ∴，． 同理，， ， … ． ∴点的坐标是． 故答案是：． 23．（23-24八年级上·江苏扬州·月考）如图，直线，点，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，按此做法进行下去，的长为______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数的应用，勾股定理；先根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标求出点的坐标，由此得到点的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标． 【规范解答】解：直线，点，过点作轴的垂线交直线于点， ∴，令，则，解得：， ∴， ∴， 以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点； ∴，则，点， 同理可得，，则， 此类推便可求出点的坐标为． ∴， ∴； 故答案为：． 24．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点；按此做法进行下去，点的坐标为______．    【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数规律探究，勾股定理的应用；根据题意可以写出和的前几个点的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【规范解答】解：∵直线， 令，则， ，轴,将代入得 点坐标为， 在中， 同理，点的坐标为 点坐标为，点的坐标为， …… ∴点的坐标为 当时， 点的坐标为，即 故答案为： 【考点剖析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 25．如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，以为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；…按如此规律进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据题意可以求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【规范解答】解：由题意可得，点的坐标为， 设点的坐标为， ∵，解得，，（负根舍去） ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， …… ∴点的坐标为， 故选：B． 【考点剖析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标． 1．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为1， ∵，， 在直线的图象上， ∴纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴的纵坐标为的纵坐标为， ……， ∴点的纵坐标为． 故选：A． 2．（2023·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意可以的关于b的不等式，然后根据题意即可求得b的取值范围． 【规范解答】解：由题意可得， 点A的横坐标为2018， 在线段AB上恰好有2018个整点包括端点， ， 解得，， 故选：D． 【考点剖析】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和不等式的性质解答． 3．如图，在平面直角坐标系中，依次在x轴上排列的正方形都有一个顶点在直线上，从左到右分别记作，，，，已知顶点的坐标是，则的纵坐标为（    ） A． B． C． D．2022 【答案】B 【思路引导】求出P1、P2、P3、P4的坐标即可总结出规律即可解答． 【规范解答】解：∵P1坐标为（1，1），P2（2，2），P3（4，4），P4（8，8）， ， ∴点P2022的纵坐标为，故B正确． 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图像上点的坐标特点，可用取特殊值的方法求定点坐标寻找规律解答． 4．如图，过点A1（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B2021的坐标为（　　） A．（22021，22020） B．（22021，22022） C．（22022，22021） D．（22020，22021） 【答案】B 【思路引导】根据作图规律，A的横坐标后一个是前一个的2倍，B点的横坐标和A点横坐标相同，B点在y＝2x上，得出点B的坐标规律，即可得出结果． 【规范解答】解：由已知作图规律可知：A1（2，0），A₂（4，0），A3（8，0），A4（16，0），…，An（2n，0）， ∴对应的B1（2，4），B2（4，8），B3（8，16），B4（16，32），…，Bn（2n，2n+1）， ∴点B2021的坐标为（22021，22022）， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标规律型等知识，解答此题的关键是明确题意，发现题目点B对应各点坐标的变化规律，利用数形结合的思想解答． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【规范解答】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 6．在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，B．以点A为圆心、长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点．按此做法进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用勾股定理求出，，的长，得到各点坐标，找到规律即可解答． 【规范解答】解：如图， 当时，； 当时，； 可得，， ； ； ； 即，，； ， 可得． 故选：D． 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点…都在 x 轴上，点…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，点坐标规律的探索；利用等腰直角三角形的性质求得， 是解题的关键． 利用直线上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质，可分别求得， ，由此归纳总结即可求得的坐标． 【规范解答】解： 是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵ 是等 腰 直 角 三 角 形， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形． ∴ ∴． 同理可得， ∴点的坐标是． 故选 A． 8．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是___________． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【规范解答】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有，解得：， ∴点的坐标为． 同理，可得出：， ∴的纵坐标为（为正整数）， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·四川德阳·月考）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，图像的规律问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找出规律，得到． 根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【规范解答】解：根据题意， ∵ ∴， ， ， …… ∴； ∴． 故答案为： 10．（24-25八年级下·广东汕尾·期末）如图，正方形，，，按图示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点的坐标为”是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、 的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论． 【规范解答】解：当时，， 点的坐标为． 为正方形， 点的坐标为，点的坐标为． 同理，可得：，，， 点的坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为_______________ 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，由题意可得点在x轴上，且，求出，，，得出规律，即可得解． 【规范解答】解：由题意可得：点在x轴上，且， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线为， ∴，，， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 【答案】 【思路引导】由直线的解析式求得，即可求得，把的坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，把的纵坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，…..，得到规律，即可求得，然后问题可求解． 【规范解答】解：把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ， ……， ∴， ∴； 故答案为． 13．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正比例函数的性质、规律型：点的坐标及坐标与图形变化平移，能根据题意得出点的坐标可表示为是解题的关键．根据题意，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：令，则， 在中，， 解得舍负， 则， 所以点坐标为， 因为由沿射线方向平移个单位长度得到， 即向上平移个单位长度，再向右平移一个单位长度， 所以点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， 点的坐标为， ， 所以点的坐标可表示为， 当时，点的坐标为 故答案为： 14．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知点，为函数图象上两点，下列结论： ①函数的最小值为0； ②当时，； ③若，则； ④若方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是； 其中正确的结论是_______．（填写序号） 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查了一次函数的性质、绝对值等知识点，熟练掌握绝对值的性质以及一次函数的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质可判断①选项，根据取绝对值，可得一次函数，然后根据一次函数的性质即可判定②；先说明该函数图像为，然后根据对称性即可判定③；将方程转化为，将所求问题转化为函数与函数在有两个解，易得函数的图象必过；然后求得三个临界点k的值，然后结合函数图象即可解答． 【规范解答】解：①∵， ∴该函数的最小值为0，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴，即②错误； ③由题可知：函数图象对称轴为直线， ∵， ∴A、B关于对称，即，故③正确； ④将方程转化为， ∵方程有两个解，且都满足， ∴函数与函数在有两个解， ∵， ∴函数的图象必过， ∵， 当时，直线与的交点为A，即， ∴， ∴直线的解析式为，即； 当时，直线与的交点为B，即， ∴， ∴，解得：； 当时，直线与的交点为C，即， ∴， ∴，解得：； 由函数图象可得：方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是，即③正确． 故答案为∶①③④． 15．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_____．（结果要求最简形式） 【答案】 【思路引导】本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点，依次求出，找出规律即可解决． 【规范解答】解：作轴于点， ∵均在直线上， ， ， ， ， ， ， ∴由勾股定理得：， ， 同理，， ， 同理，， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为5； (2)一次函数解析式为或． 【思路引导】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【规范解答】（1）解：①把代入得， 解得； ②当时，， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为5； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 17．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路引导】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【规范解答】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 18．如图，点在x轴上，且，过点作轴交直线于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线交x轴于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线于点，……，按照此方法一直作下去． (1)写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　； (2)按照上述规律，点的坐标是 　 　． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】（1）先由得到点的坐标，然后求得点的坐标，再结合等腰直角三角形的性质得到点、点的坐标； （2）根据点、、的坐标得出点的规律，从而得到点的坐标． 【规范解答】（1）解：， 点的坐标为， 轴交直线于点，当时，， 点的坐标为， ， 为等腰直角三角形， ， 直线交轴于点， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 轴交直线交轴于点，当时，， 点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， 故答案为：，，． （2）解：由，，可得， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质得到系列点的坐标得出规律． 19．已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3 (2)， (3) 【思路引导】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标； ②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出点A关于直线的对称点的坐标(3，0)．设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （2）先求出点A关于的对称点的坐标(7，0)．由的坐标规律可得点的横坐标为．再求出的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （3）由，可得，再利用三角形面积公式求出即可． 【规范解答】（1）①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B， ∴， 故答案为：(-1，0)，(0，1)； ②∵A(-1，0)，B(0，1)， ∴点A关于y轴的对称点是(1，0)． 当x=1时，y=2， ∴B(1，2)． 点A关于直线的对称点是(3，0)． 设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)， ∴，解得， ∴直线的函数关系式是y=-x+3； （2）∵A(﹣1，0)，(3，0)． 由题意过点作x轴的垂线，点是点A关于的对称点得， ∴(7，0)． 由(1，0)，(3，0)，(7，0)， 可得点的坐标为(，0)， 直线的函数关系式为． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴的面积． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质． 20．数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）直接根据求解即可； （2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可 【规范解答】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)， ∴k=， 故答案为：； （2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)， ∴k1=， ∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)， ∴k1=， ∴k1k2=-2×=-1． 【考点剖析】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数图像的规律探究 目录 A题型建模 专项突破 1 题型一 一次函数与三角形规律探究问题 1 题型二 一次函数与正方形规律探究问题 3 题型三 一次函数与点坐标运动的规律探究问题 4 题型四 一次函数与图形面积的规律探究问题 6 题型五 一次函数与作图的规律探究问题 8 B综合攻坚 能力跃升 10 题型一 一次函数与三角形规律探究问题 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图 ， 已知直线交x轴于A，交y轴于点，点，， …在直线l上 ，点， …在x轴的正半轴上 ，若， ， ， …均为等腰直角三角形 ，且直角顶点都在x轴上，则的面积为 _____________ ． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的横坐标为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为_____． 4．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图放置的，，…都是边长为4的等边三角形，边在y轴上，点，，…都在直线上，则点的坐标是__________________． 5．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，， 都在轴上，点，， 都在直线上，并且，， ，分别与轴垂直，，，分别与直线垂直，若，则的面积为__________． 题型二 一次函数与正方形规律探究问题 6．（25-26八年级上·安徽宣城·月考）正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是_____； （2）的面积是______． 7．正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，其面积分别记为，则（    ） 参考公式：． A． B． C． D． 8．正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是___． 9．正方形，，．．．按如图所示放置，点、、．．．在直线上，点、、．．．在轴上，则的坐标是__________________．    10．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型三 一次函数与点坐标运动的规律探究问题 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． B． C． D． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为______． 13．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过上的点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为__________． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点依次进行下去，则点的坐标为___________． 15．（23-24八年级下·山东聊城·月考）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为_____________． 题型四 一次函数与图形面积的规律探究问题 16．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则________． 17．（22-23八年级下·北京房山·期中）如图，直线与y轴交于，按如图方式作正方形 点在直线上，点在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，则_____，_______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 18．（2023·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x、y轴分别交于点A、B，在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线直线上被取，过点作y轴的垂线，垂足为点，得到；…；以此类推，第n个的面积是______（用含n的式子表示，n是正整数） 19．如图，已知，是轴上的点，且，分别过点 作轴的垂线交直线于点，连接 ，依次相交于点，，的面积依次为，则为______． 20．如图，在平面直角坐标系中，点、、…在轴上，、、…在直线上，若，且、…都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、…．则可表示为______．    题型五 一次函数与作图的规律探究问题 21．如图，过点作轴的垂线，交直线：于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，…，依次这样作图，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24九年级下·四川内江·月考）如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于，过点作直线的垂线交轴于点；按此作法继续下去，则点的坐标为______； 23．（23-24八年级上·江苏扬州·月考）如图，直线，点，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，按此做法进行下去，的长为______． 24．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点；按此做法进行下去，点的坐标为______．    25．如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，以为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；…按如此规律进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，依次在x轴上排列的正方形都有一个顶点在直线上，从左到右分别记作，，，，已知顶点的坐标是，则的纵坐标为（    ） A． B． C． D．2022 4．如图，过点A1（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B2021的坐标为（　　） A．（22021，22020） B．（22021，22022） C．（22022，22021） D．（22020，22021） 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，B．以点A为圆心、长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点．按此做法进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点…都在 x 轴上，点…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是___________． 9．（24-25八年级下·四川德阳·月考）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 10．（24-25八年级下·广东汕尾·期末）如图，正方形，，，按图示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是______． 11．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为_______________ 12．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 13．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为______． 14．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知点，为函数图象上两点，下列结论： ①函数的最小值为0； ②当时，； ③若，则； ④若方程有两个解，且都满足，则k的取值范围是； 其中正确的结论是_______．（填写序号） 15．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_____．（结果要求最简形式） 16．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 17．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 18．如图，点在x轴上，且，过点作轴交直线于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线交x轴于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线于点，……，按照此方法一直作下去． (1)写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　； (2)按照上述规律，点的坐标是 　 　． 19．已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 20．数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $