专题01 解二元一次方程组八大题型（专项训练）数学新教材青岛版七年级下册

专题01 解二元一次方程组 目录 A题型建模 专项攻破 1 题型一 代入消元法 1 题型二 加减消元法 4 题型三 二元一次方程组的特殊解法 7 题型四 构造二元一次方程组求解 10 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 12 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 14 题型七 二元一次方程组的错解复原问题 16 题型八 方程组相同解问题 18 B综合攻坚 能力跃升 20 题型一 代入消元法 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【规范解答】（1）解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 方程组整理为， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法，熟练掌握代入消元法的步骤（变形、代入、求解、回代、写解）是解题的关键． （1）直接将方程组中已用含的式子表示的代入另一个方程，消去求出，再回代求出． （2）先将方程组中其中一个方程变形，用含的式子表示，再代入另一个方程消元，依次求出和的值． （3）先将方程组中系数较简单的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消去求出，再回代求出． （4）先将方程组中的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消元求解，再回代得到另一个未知数的值． 【规范解答】（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得． 所以方程组的解为 （2）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （3）解：由②，得③， 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （4）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 3．（25-26七年级下·全国·周测）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是根据方程组的特点，灵活选用代入消元法或加减消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． （1）方程组中第一个方程已经用含的代数式表示出，适合用代入消元法，将①代入②消去，先求出的值，再求 的值； （2）先将第二个方程去分母化简，再用加减消元法，将两个方程相减消去，先求出的值，再求的值． 【规范解答】（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解为 （2）解：整理化简②，得．③ ①，得．④ ③④，得． 把代入①，得， 解得， 原方程组的解为 题型二 加减消元法 4．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 【答案】(1)，， (2) (3) 【思路引导】（1），代入，解方程组可求出和的值，把，代入即可求出的值； （2）根据，，，得出原方程组为，再利用加减消元法求解即可； （3）根据的解为得出，解方程组即可． 【规范解答】（1）解：∵甲把方程组中的看成了， ∴是方程组的解， ∴， 解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴， 解得：． （2）解：∵，，， ∴原方程组为， ①+②得，， 解得：， 把代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为． （3）解：把，，代入得，， ∵的解为， ∴， 解得：． 5．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）已知关于的方程组． (1)解这个方程组（结果用含的代数式表示）； (2)若这个方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将（1）中求得的代入求解即可． 【规范解答】（1）解：， ①②得， 解得； 将代入①得； 解这个方程组的解为； （2）解：将代入， 得， 解得． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【规范解答】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 题型三 二元一次方程组的特殊解法 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 解方程组： 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得，所以这个方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用这种方法解方程组： 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题关键是通过观察方程的结构，将一个方程变形后得到的整体表达式代入另一个方程，从而实现消元，简化求解过程． 先从方程①中整理出的表达式，再将其整体代入方程②，从而消去一个未知数，简化计算． 【规范解答】解：由①，得③． 观察方程② ，可以将分子变形为， 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴这个方程组的解为 8．（25-26八年级上·全国·假期作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整体代换法解方程组，解题的关键是读懂题意，明确整体思想． （1）仿照小红的方法把②变形得：，把①代入求y，进而求x即可； （2）由①得： ③，再把②变形得到④，再将③代入求出 ，进而代入求值即可． 【规范解答】（1）解：把②变形得：， ③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解； （2）由①得： ③， 由②得：④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入得： ． 9．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【规范解答】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 题型四 构造二元一次方程组求解 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 【答案】 1 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【规范解答】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 11．（24-25七年级下·四川乐山·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则__________； （2）已知，若，，则__________． 【答案】 【思路引导】本题考查代数式求值、列二元一次方程组． （1）将代入计算即可； （2）根据得到关于a、b的方程组，解方程组得到，然后将代入求值即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 12．规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【规范解答】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）若方程组与的解相同，则__________，__________． 【答案】 【思路引导】本题考查同解方程组的求解，核心是利用“同解方程组的解相同”这一关键条件．解题思路：先解不含参数的方程组得到公共解、，再将、代入含参数的方程组，转化为关于、的二元一次方程组，最后求解该方程组得到、的值． 【规范解答】解：解方程组，得， ∵两个方程组的解相同， ∴将，代入，得， 解得， 故答案为：，． 14．（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【规范解答】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 15．（25-26七年级上·广西贵港·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【规范解答】解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 16．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题的关键． 通过将方程组中的两个方程相减，可得，再结合题意可得，即可求解． 【规范解答】解：， 由，得， 又， ， ． 故选：C． 17．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解，先解方程组得到解为，，然后逐一验证三个结论． 【规范解答】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； 结论③：，为定值，正确； ∴①②③都正确； 故选：D． 18．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知关于、的方程组且，则______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组、利用加减消元法处理方程组，结合已知条件得到，建立关于的方程并求解． 【规范解答】解： 得：， 化简得：， 即， ， ， 解得： 故答案为． 题型七 二元一次方程组的错解复原问题 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【规范解答】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，理解题意是解题的关键． 根据题意将代入②，将代入①即可求得的值，再代入代数式中求解即可． 【规范解答】解：将代入方程②， 得，解得； 将代入方程①，得，解得， ． 21．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 题型八 方程组相同解问题 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． （1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组 解得 把代入方程与中， 得 解得 （2）解：由（1）得 23．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【规范解答】解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是________． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 【规范解答】解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【思路引导】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 【规范解答】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，根据等式的性质和四位同学的求解过程逐步检查即可． 【规范解答】解：由①得，显然甲同学正确 将③代入②得，显然乙同学正确 去分母得，显然丙同学错误， 由解得，代入③，得，显然丁同学正确， 故解题中出现错误的同学是丙， 故选：C． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【规范解答】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 4．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知关于x，y二元一次方程组的解满足，则的值为（  ） A．0 B．2 C．-2 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．由①②得，故，进而推断出，再求解即可． 【规范解答】解：． ①②，得． ． 又关于，的二元一次方程组的解满足， ． ． 故选：B． 5．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键． 将方程组的解代入原方程组，求出a和b的值，再计算即可解答． 【规范解答】∵ 方程组的解为 ， ， 代入第一个方程： ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 代入第二个方程：， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 6．（25-26八年级上·安徽·月考）规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【思路引导】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【规范解答】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则________，________． 【答案】 2 /0.5 【思路引导】本题考查非负数的性质、解二元一次方程组，根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零时，每个项必须为零，从而得到二元一次方程组，通过消元法求解． 【规范解答】解：由已知方程 ， 根据非负数的性质，得 即 将方程①乘以 2，得 将方程③与方程②相加，得，， 将代入方程①，得，，，． 故答案为：2，． 8．（25-26八年级上·广东河源·期末）如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值是______________． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解法及方程解的定义，关键是先求出方程组用含的代数式表示的解，再代入已知方程构建关于的一元一次方程求解．首先利用加减消元法解二元一次方程组，得到、关于的表达式；再根据方程解的定义，将、代入，得到关于的一元一次方程，最后解该方程求出的值． 【规范解答】解：解方程组，得， ∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解， ∴代入方程得：，解得； 故答案为：． 9．（25-26七年级上·北京海淀·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元方案中正确的个数有__个． 方案一：要消去，可以将； 方案二：要消去，可以将； 方案三：要消去，可以将； 方案四：要消去，可以将． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的加减消元法，关键是明确加减消元的核心：使待消去的未知数的系数互为相反数(相加消元)或相等(相减消元)． 【规范解答】解：方案一：要消去， 将得， 得， 两式相加得， 的系数不为0，无法消去，方案一错误； 方案二：要消去， 将得， 得， 两式相减得， 的系数不为0，无法消去，方案二错误； 方案三：要消去， 将得， 减去得， 的系数不为0，无法消去，方案三错误； 方案四：要消去，将得， 加上得，即， 的系数为0，成功消去，方案四正确； 综上，正确的方案只有1个， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，有理数的乘方运算，已知式子的值，求代数式的值． 将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，代入代数式中求解即可． 【规范解答】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为___________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，通过解方程组，用参数a表示 x 和 y，再代入代数式，令其含a的系数为零，从而求出k的值． 【规范解答】解： 得，解得 把代入①得，解得 ∴ ， ∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， 解得 故答案为：． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组则的值为________． 【答案】9 【思路引导】本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解答的关键是结合方程的特点，看出可整体求出其值． 将方程组中的两个方程相加，即可直接求出的值. 【规范解答】解：给定方程组： 将两个方程相加，得：， 化简，得：， 两边同时除以，得：， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的意义．甲看错①中但②正确，乙看错②中但①正确，分别代入求解和，再解原方程组． 【规范解答】解：甲的解，代入②得，即， 解得； 乙的解，代入①得，即， 解得； 原方程组为， 由①得③， 将③代入②得，即， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 【答案】 1 －3 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，解题关键是能正确得到，的值． 甲看错方程①中的，但其解满足方程②；乙看错方程②中的，但其解满足方程①；分别代入得到关于和的方程组，解之即可． 【规范解答】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，此解满足方程②， 代入得：，即． 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，此解满足方程①， 代入得：，即． 联立方程组： 由④得， 代入③得：，即， 解得． 代入，得， 解得： 故答案为：，． 15．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用加减消元法进行求解即可； （2）先化简方程组，再利用加减消元法进行运算即可． 【规范解答】（1）解：， 得： ， 解得， 将代入得， 则该方程组的解为； （2）原方程组可变形为， 得：， 解得， 将代入得， 则该方程组的解为． 16．（25-26八年级上·河北保定·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． 【答案】(1)加减 (2)二 (3) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）根据加减消元法的定义解答即可得； （2）利用方程②减去方程③的时候出现错误，由此即可得； （3）利用加减消元法解方程组即可得． 【规范解答】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 故答案为：加减． （2）解：由解题的步骤可知，利用方程②减去方程③的时候出现错误，正确的应该是， 所以第二步开始出现错误， 故答案为：二． （3）解：， 由①，得③， ②③，得，解得， 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为． 17．（25-26七年级下·湖南郴州·开学考试）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】（1）根据有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得解； （2）利用加减消元法求解即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）， 得：， 得：， 解得：， 把代入中：。 解得：， 方程组的解为． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【规范解答】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组： 下面是小虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法． 解：方程①去分母，得，即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得．故原方程组的解为 【答案】他的解法不正确．正确解法见解析 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据加减消元法解方程组进行判断，然后再写出正确的解法． 【规范解答】解：他的解法不正确．正确解法如下： 方程①去分母，得， 即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得． 故原方程组的解为 20．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【规范解答】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解二元一次方程组 目录 A题型建模 专项攻破 1 题型一 代入消元法 1 题型二 加减消元法 2 题型三 二元一次方程组的特殊解法 3 题型四 构造二元一次方程组求解 5 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 5 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 5 题型七 二元一次方程组的错解复原问题 6 题型八 方程组相同解问题 7 B综合攻坚 能力跃升 7 题型一 代入消元法 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）解二元一次方程组： (1) (2) 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 3．（25-26七年级下·全国·周测）解下列方程组： (1) (2) 题型二 加减消元法 4．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 5．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）已知关于的方程组． (1)解这个方程组（结果用含的代数式表示）； (2)若这个方程组的解也满足方程，求的值． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 题型三 二元一次方程组的特殊解法 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 解方程组： 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得，所以这个方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用这种方法解方程组： 8．（25-26八年级上·全国·假期作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 9．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 题型四 构造二元一次方程组求解 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 11．（24-25七年级下·四川乐山·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则__________； （2）已知，若，，则__________． 12．规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）若方程组与的解相同，则__________，__________． 14．（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 15．（25-26七年级上·广西贵港·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 16．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 18．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知关于、的方程组且，则______． 题型七 二元一次方程组的错解复原问题 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 21．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 题型八 方程组相同解问题 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 23．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是________． 1．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知关于x，y二元一次方程组的解满足，则的值为（  ） A．0 B．2 C．-2 D． 5．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 6．（25-26八年级上·安徽·月考）规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则________，________． 8．（25-26八年级上·广东河源·期末）如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值是______________． 9．（25-26七年级上·北京海淀·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元方案中正确的个数有__个． 方案一：要消去，可以将； 方案二：要消去，可以将； 方案三：要消去，可以将； 方案四：要消去，可以将． 10．（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 11．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为___________． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组则的值为________． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组现甲看错了①中的a，得到方程组的解为乙看错了②中的b，得到方程组的解为则________，________． 15．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）解方程组 (1) (2) 16．（25-26八年级上·河北保定·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． 17． （25-26七年级下·湖南郴州·开学考试） （1） 计算：． （2）解方程：． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组： 下面是小虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法． 解：方程①去分母，得，即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得．故原方程组的解为 20．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 1 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