第28章 锐角三角函数 直击中考-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

直击 一、选择题 1.(天津中考)tan30°的值等于( A③ 3 B号 C.1 D.2 2.(宜昌中考)如图，△ABC的顶点是正方形网 格的格点，则cos∠ABC的值为() A号 2 c号 D22 3 B B 第2题图 第3题图 3.(临夏州中考)如图，在△ABC中，AB= AC=5,sinB=号，则BC的长是( ) A.3 B.6 C.8 D.9 4.(长春中考)2024年5月29日16时12分， “长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在 黄海海域成功发射.如图是火箭发射示意图， 当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷 达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为 0,则此时火箭距海平面的高度AL为() A.asin0千米 B0千米 C.acos0千米 D.a cos0 千米 B L R E 第4题图 第5题图 5.(金华中考)一配电房示意图如图所示，它是 一个轴对称图形.已知BC=6m,点B到地面 EF的高度为4m,∠ABC=a,则房顶A离地 面EF的高度为( ) A.(4+3sina)m B.(4+3tang)m c(4+品)m D.(4+3)m tang 第二十八章锐角三角函数☑ 中考 6.(黔东南州中考)如图，PA,PB分别与⊙O相 切于点A,B,连接PO并延长与⊙O交于点 C,D.若CD=12,PA=8,则sin∠ADB的值 为() A号 3 c 4 B. 5 D. D B B 第6题图 第7题图 7.(泰安中考)如图，为了测量某建筑物BC的高 度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底 端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡 AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水 平方向继续前行若干米后至点E处，在E点 测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底 端B的俯角为45°，点A,B,C,D,E在同一 平面内，斜坡AD的坡度i=1：2.4.根据小 颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为 ()(参考数据：W3≈1.732) A.136.6米 B.86.7米 C.186.7米 D.86.6米 8.(荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，点 A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点 C在OB上，OC：BC=1:2,连接AC,过点 O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若 P(1,1),则tan∠OAP的值是() 号 R号 c D.3 B C P 0 BE F C 第8题图 第9题图 9.(包头中考)如图，在矩形ABCD中，E,F是 边BC上两点，且BE=EF=FC,连接DE, AF,DE与AF相交于点G,连接BG.若 AB=4,BC=6,则sin∠GBF的值为( ) A酒 B30 10 c 做神龙题得好成绩（99 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 二、填空题 10.(孝感中考)某型号飞机的机翼形状如图所示， 根据图中数据计算AB的长为 m. (结果保留根号) D 456 3.4m 30 -5m B 第10题图 第11题图 11.（自贡中考)在由10个完全相同的正三角形 构成的网格图中，a,3如图所示，则cos(a十 B)= 12.(凉山州中考)如图，⊙O的直径AB经过弦 CD的中点H,若cos∠CDB=青，BD=5, 4 则⊙O的半径为 B 第12题图 第13题图 13.(泰安中考)如图，某一时刻太阳光从窗户射 入房间内，与地面的夹角∠DPC=30°，已知 窗户的高度AF=2m,窗台的高度CF= 1m,窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m,则 CP的长度为 .(结果精确到0.1m) 14.（眉山中考)如图，斜坡CD的坡度i=1:2, 在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB, 当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在 斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的 高为 米.（结果保留根号） A609 canmmamb 视频讲解 15.[学科融合]（枣庄中考）如图所示，桔棒是一 种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子 上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物， 前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水 以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易 100做神龙题得好成绩 把水提升至所需处.若已知杠杆AB=6米， AO:OB=2:1,支架OM⊥EF,OM= 3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋 转到如图所示位置时，∠AOM=45°，此时点 B到水平地面EF的距离为 米.（结 果保留根号) B 0 T口水桶 A M 视频讲解 E F 16.(江西中考)将图①所示的七巧板，拼成图② 所示的四边形ABCD,连接AC,则 tan∠CAB- D B ① ② 三、解答题 17.(临沂中考)如图，在某小区内拐角处的一段 道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从 被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知 CM=3 m,CO=5 m,DO=3 m,/AOD= 70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处 的儿童？（结果取整数，参考数据：sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin70°≈ 0.94,cos70°≈0.34，tan70°≈2.75) D B 2号楼 A 18.(泰州中考)小强在物理课上学过平面镜成 像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证 实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面 镜MN,MN与墙面AB所成的角∠MNB =118°，厂房高AB=8m,房顶AM与水平 地面平行，小强在点M的正下方C处从平 面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到 他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m, 参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.67， tan56°≈1.48) AM 8m h不 B C 第二十八章锐角三角函数☑ 19.(湖南中考)某数学研究性学习小组在老师 的指导下，利用课余时间进行测量活动 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 某休闲广场的水池中有一雕塑，其 底座的底面为矩形ABCD,其示意 图如下： 模型 抽象 ①在水池外取一点E,使得点C, B,E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE,并沿EH 方向前进到点F,用皮尺测得EF 测绘过 的长为4米； 程与数 ③在点F处用测角仪测得∠CFG 据信息 =60.3°，∠BFG=45°，∠AFG= 21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈ 0.87,cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈ 1.75,sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈ 0.93,tan21.8°≈0.40. 请根据表格中提供的信息，解决下列问题 (结果取整数)： (1)求线段CE和BC的长度. (2)求底座的底面ABCD的面积 做神龙题得好成绩101 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 20.(宁波中考)某综合实践研究小组为了测量 观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅 锤自制了一个简易测角仪，如图① (1)如图②，在P点观察所测物体最高点C, 当量角器零刻度线上A,B两点均在视线 PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 α，设仰角为B,请直接用含a的代数式表 示B. (2)如图③，为了测量广场上空气球A离地 面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 B,C分别测得气球A的仰角∠ABD为 37°，∠ACD为45°，地面上点B,C,D在同 一水平直线上，BC=20m,求气球A离地面 的高度AD.（参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) B D ② ③ 102做神龙题得好成绩 21.[应用意识]（广东中考）为满足新能源汽车 的充电需求，某小区增设了充电站，如图是 矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形 ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ= 60°，AB=5.4m,CE=1.6m,GH⊥CD, GH是另一个车位的宽，所有车位的长、宽 相同，按图示并列划定 根据以上信息回答下列问题.（结果精确到 0.1m,参考数据：√5≈1.73) (1)求PQ的长， (2)该充电站有20个停车位，求PN的长. P D B培优专题22：考点整合一三角函数 肤的距离约为8.4cm. 与四边形、反比例函数的综合应用 D E C B D2号3号4y=-是5-10 N 6.解：)在R△AOB中，tan∠BA0=A=2.A(4,0 3.解：在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠BOA=64°，BD= .OA=4,∴.OB=8,B(0,8).A,B两点在一次函数y =ax+6上，6=8 a=-2 20.5cm,∴tm∠B0A-80.sm∠B0A-=8B265 4a十6=0心6=8，一次函数解析式 20.5 ))，0.90≈20,5，∴.OD≈10cm,OB≈22.78cm.在 为y=-2x十8.如图，过点C作CE⊥OA于点E.BC= Rt△COE中，OC=OB=22.78cm,∠COA=37°， 3Ac,AB-4Mc:CE0B,需-65-， /0018是，即0-728g是理得0E≈278X ∴.CE=2,OE=3,.C(3,2),k=3×2=6,∴.反比例函 0.80=18.224(cm),则ED=OE-OD≈8.2(cm). 数的解折式为y一 y=-2x十8 4解：(1coa-如图，设6=7x,则c=4红，由勾股 (2)由 或 y=6 z-3D1,6.如 y=2’ 定理得，a=√(4x)2-(W7x)-3x,sina=a=3r= c Ax 图，过点D作DF⊥y轴于点F,则SAOCD=S△AoB一SAHOD 是又9=30,9=n80=分折射率为器 -Sa=0A.0B-0B·DF-0A·CE=号× 43 4X8-2×8×1- 1 ×4×2=8. 1 2· (2)由题意可得a=60,折射率为名÷器 2 g=号-怎四边形ABCD是矩形，点O是 sin60°_3 AD中点，AD=2OD,∠D=90°.又∠OCD=B, ∴n∠0CD=g-得在RAOC中，设OD=3z, OC=3x,由勾股定理得，CD=√(3x)2-(W3x)2=√6x, 0 EA 培优专题23：学科融合一三角函数的跨学科应用 n-80-号00=10x号=52A0=200= 1.解：在Rt△ABC中，AB=8尺，∠ACB=73.4°，.tan73.4° 10√2，∴.截面ABCD的面积为AD×CD=102×10 8 =BC.tan73.4≈3.35，BC≈2.39尺.在R△ABD中， =100√2(cm2). AB-8尺，∠ADB-益Gms-品”6G≈a0, ∴BD≈16尺由题可知，春分和秋分时日影长度等于夏至 和冬至日影长度的平均数，春分和秋分时日影长度为 2.39+16≈9.2（尺）. b 2 章末复习 2.解：如图，过点A作AF⊥MN,垂足为F.设BF=xcm. ,BC=9cm,∴.CF=BF+BC=(x+9)cm.在Rt△ABF 1A2C364号5号6A2B8A90 中，∠ABF=∠DBN=35°，.AF=BF·tan35°≈ 10.90°11.D12.D 0.70xcm.在Rt△ACF中，∠ACF=∠ECN=22°，∴.AF 13.解：(1)：AD⊥BC,AB=10,AD=6,.BD= =CF·tan22°≈0.40(x+9)cm,∴.0.70x=0.40(x+9), WAB2-ADz=√102-6=8.：tan∠ACB=1,∴.CD 解得x=12,.AF=0.70x=8.4cm,.A处新生物到皮 =AD=6,∴.BC=BD+CD=8+6=14.(2),AE是 ·24·同行学案学练测 BC边上的中线，CE=2BC=7,DE=CE-CD=7 18.解：(1)由题意，得∠ACB=∠ABC=30°，∴.AB=AC= -6=1.:AD⊥BC,∴.AE=√JAD2+DE=√62+1 163海里.过点A作AH⊥BC于点H,∠AHC= 3 =V37,∴sin∠DAE=DE=1=V37 AE√/3737· ∠AHB=90,CH=BH,∴CH=BH-AB-9× 2 14.A 16w3」 3 =8(海里)，.BC=16海里，答：B,C两处的距离为 15.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE 16海里.(2)过点D作DG⊥BC于点G.在Rt△BDG 于点F,则四边形BCFE是矩形.由题意，得AB=80米， DE=40米，∠ADE=90°-30°=60°，∠CDF=90°-45° 中，BG=9=2Dc.在R△cDG中，0G =45在R△ADE中，∠AED=90C:an∠ADE-能 2兴0=G-062G-9=16,解得 =tan60°=√3，∴.AE=√3DE=40√3米，.BE=AB- DG=10.5海里，∴.CG=5海里，∴.BG=BC十CG=21海里， AE=(80一403)米.，四边形BCFE是矩形，∴.CF= BD=√/BG+DC=21,5海里，渔政船的航行时 2 BE=(80-40√3)米.在Rt△DCF中，∠DFC=90°， ∠CDF=∠DCF=45°，∴.DF=CF=(80-40√3)米， 间为215÷18=75 2 12 小时). ∴.BC=EF=DE-DF=40-80十40√3≈28（米）.答：楼 BC高度约是28米. D 直击中考 30下J45- 1.A2.B3.B4.A 5.B[解析]过点A作AD⊥BC于点D.·它是一个轴对称 16.解：(1)如题图②，在Rt△ABC中，AC=3m,∠CAB= 图形，AB=AC.AD1BC,BD=2BC=3m在 60°，∴∠ABC=30°，AB=2AC=6m,则AB的长为 R△ADB巾，m∠ABC-品AD=BD·w 6m.(2)在Rt△ABC中，AB=6m,AC=3m,根据勾 3 tang m,∴.房顶A离地面EF的高度为(4十3tana)m 股定理得，BC=√AB2-AC=√62-32=3√3(m).在 6.A[解析]如图，连接AO,BO.,PA,PB分别与⊙O相 Rt△BCD中，∠CDB=37°，sin37°≈0.60，√3≈1.73， 切于点A,B,∴.∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB=8. n∠CDB=S即3议02=Q60,解得BD DC=12,.AO=6,.OP=10.在Rt△PA0和 BD PA=PB」 8.65m,.CE=BD-BA=8.65-6=2.65(m)≈2.7m, Rt△PBO中， PO=PORAPA0≌R△PBO(H, 则物体上升的高度CE约为2.7m. ∴，∠AOP=∠BOP,∴.AC=BC,.∠ADC=∠BDC. 17.解：(1)过点D作DH⊥CE于点H,由题意知CD= ∠AOC=2∠ADC,.∠ADB=∠AOC,∴.sin∠ADB= 2V而米“斜技CP的城度为=1：8，小2册子设 na0c-8S-台 DH=x米，CH=3x米.DH+CH=DC2,.x2+ (3x)2=(2√10)2，.x=2,.DH=2米，CH=6米.答： 小刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米 D (2)过点D作DG⊥AB于点G,设BC=a米.，∠DHB =∠DGB=∠ABC=90°，.四边形DHBG为矩形， B ∴.DH=BG=2米，DG=BH=(a+6)米.，∠ACB= 7.A 45°，∴.BC=AB=a米，.AG=(a-2)米.∠ADG= 8.C[解析]如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q.,OP∥AB, ∴.∠CAB=∠CPO,∠ABC=∠COP,∴.△OCP∽ △BCA,∴.CP:AC=OC:BC=1:2.∠AOC= ∴.AB=(6+4√3)米.答：大树AB的高度是(6+4√3)米. ∠AQP=90°，∴.CO∥PQ,.OQ:AO=CP:AC=1:2. :P(1,1D,∴PQ=0Q=1,∴A0=2,tan∠OAP=Pg 17.解：：CM=3m,OC=5m,∴.OM=√OC2-CM=4m. AQ ,∠CMO=∠BDO=90°，∠COM=∠BOD,∴.△COM 11 2+1=3· A0D,0-80即品=青BD=25m CM OM B 六tan∠AOD=tan70°=AD,月 品即48tD_AB+225 DO 3 tan70°，解得AB≈6m,.汽车从A处前行约6m才能发 现C处的儿童. 0. 18.解：如图，连接MC,过点M作HM⊥NM.由题意，得 9.A[解析]过点G作GH⊥BC于点H.:四边形ABCD ∠DMC=2∠CMH,∠MCD=∠HMN=90°，AB=MC 是矩形，∴.AB=CD=4,AD∥BC.,BC=6,BE=EF= =8m,AB∥MC,.∠CMN=180°-∠MNB=180°- FC,..BE=EF=CF=2,..BF=CE=4,..AB=BF= 118°=62°，.∠CMH=∠HMN-∠CMN=28, CE=DC=4,∴.△ABF和△DCE是等腰直角三角形， '.∠DMC=2∠CMH=56°.在Rt△CMD中，CD= ∴，∠AFB=∠DEC=45°，△EGF是等腰直角三角形， CM·tan56°≈8×1.48≈11.8(m),∴.能看到的水平地面 上最远处D到他的距离CD约为11.8m. .GH EH 7 EF1,:BH -3,:BG- VBH+GH-Vio,∴sin∠GBF=G-1=o BG√10-10， 故选A ( 58) 5/ . 1225 B 6 [解析]连接OD,如图.，AB是⊙O的直径，且经过 19.解：(1)，GH⊥CE,EF的长为4米，∠CFG=60.3°， 弦CD的中点H,∴.AB⊥CD,∴.∠OHD=∠BHD= 9.∠CDB=B0=分，BD=5,DH=4,BH w.CFE=a60g-g器1.5，cE≈7米 ,∠BFG=45°，.BE=EF=4米，∴.BC=CE-BE= =3.设OH=x,则OD=OB=x+3.在Rt△ODH中，由 3米.(2)如图，过点A作AM⊥GH于点M.,∠AFG 7 勾股定理得，x2+4=(x+3),解得x=6,0B=OH 1.8 nAFl. +BH=名+3- 6 BE=4米，.MF≈10米，.AB=ME=10-4=6(米)，.底 座的底面ABCD的面积约为3×6=18（平方米）. 13.4.4m[解析]根据图形可知AD∥CP.,AD∥CP, GM F H ∠DPC=30°，.∠ADB=∠DPC=30°.在Rt△ABD中， 20.解：(1)根据题意，得B=90°-a.(2)设AD=xm. AD=0.8m,AB=AD·tan∠ADB=0.8X 3 ,∠ACD=45°，∠ADB=90°，∴.CD=AD=xmBC 0.46(m).,AB=0.46m,AF=2m,CF=1m,.BC= =20m,.BD=(20十x)m.在Rt△ABD中，tan∠ABD 2.54m.在Rt△BCP中，∠BPC=30°，BC=2.54m, _AD D,tan37-20千z,即0.75≈20千z解得x≈60， .Cm). 2.54 AD=60m.答：气球A离地面的高度AD约是60m. 21.解：(1)，四边形PQMN是矩形，∴.∠Q=∠P=90°.在 14.(45-25)15.(3+2)16.2 Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m,.AQ=AB· sin∠ABQ=273 .6解得FQ=1.5米.由题意可得PE∥FD,PF∥ED, 2 10 m,∠QAB=30°.：四边形ABCD是 矩形，∴.AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE 四边形PFDE是平行四边形，.PF=ED=O.8米， =90°，∴.∠CBE=30°，.BC= CE 83 .PQ=PF+FQ=0.8+1.5=2.3(米).因此，木杆PQ tan∠CBE= 5 m, 的实际长度是2.3米. AD=83 m∠PAD=180°-30°-90°=60°，AP =AD·os∠PAD-4SmPQ=AP+A0-En 墙体 2 m ≈6.1m.(2)在Rt△BCE中，BE= CE sin∠CBE=3.2m. 培优专题24：利用影子测量物体的高度 在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2.7m.,该充 1.B 电站有20个停车位，∴.QM=QB+20BE=66.7m.四 2.解：(1)平行(2)如图，过点E作EM⊥AB于点M,过点 边形PQMN是矩形，.PN=QM=66.7m. G作GN⊥CD于点N,则MB=EF=2,ND=GH=3, 第二十九章投影与视图 ME=BF=10,NG=DH=5,所以AM=10-2=8.由平 29.1投影 行投影可知出心即8-0，，解得CD=1,即电 105 第1课时平行投影与中心投影 线杆的高度为7米. 1.B2.B3.4 A 4.A5.B6.B7.D8.D 旗杆 9.解：(1)甲图反映了阳光下的情形，乙图反映了路灯下的 电线杆 墙面 G 情形 (2)如图所示.AB,CD是表示小丽影长的线段. D H 地面B 3.解：(1)小强的说法对.根据题意画出图形，如图所示.根据 DE 1 题意，得E斤-0.6DE=0.3米，EH=0.3×0.6= 甲 0.18(米).由题意易得四边形DGFH是平行四边形， (3).阳光下小丽影子长为1.20m,树的影子长为2.40m, ∴.FH=DG=0.2米.AE=4.42米，∴.AF=AE+EH .1.202.40 小丽身高1.68m,设树高为xm心i68-x ,解得x= +FH=4.42十0.18十0.2=4.8（米），即要是没有台阶遮 3.36.答：树的高度为3.36m. 挡的话，树的影子长度是4.8米，小强的说法对.(2)由 10.解：(1)如图所示. 1)可知AF=48米0-6AB=8米答，树的 高度为8米 B D B (2)设在A处时影长AM为x米，在C处时影长CN为 y米由千20发解得x=5,由，千6=名解得3 F HE A 1.5,∴x-y=5-1.5=3.5,身影变短了，变短 4解，(1由题意，得△BEP△BCD,器邵即 了3.5米. 11.解：(1)如图，线段QD,DE是PQ的影子.(2)设FD交 BD,解得BD=10.答：两路灯间的距离为10米 PQ于点R,由平行投影的特点，得品-瓷，即器 ②由题意得△DPQO△DAB小器品路灯A的 同行学案学练测·25·