第27章 相似 直击中考-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

第二十七章相似☑ 直击中考 一、选择题 5.(河北中考)图①是装了液体的高脚杯示意图 1.(重庆中考)若两个相似三角形周长的比为 (数据如图)，倒出一部分液体后如图②所示， 1：4,则这两个三角形对应边的比是( ) 此时液面AB=( A.1:2 B.1:4C.1:8 D.1:16 +6cm* 2.(湖南中考)如图，在△ABC中，点D,E分别 为边AB,AC的中点.下列结论中，错误的是 () 15 cm 11 cm A.DE//BC B.△ADEp△ABC 7 cm 水平线 C.BC=2DE D.S△ADE= ① ② A.1cm B.2 cm C.3 cm D.4cm 6.（南充中考)如图，数学活动课上，为测量学校 B 旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面 镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一 第2题图 第3题图 直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶 3.(浙江中考)如图，在平面直角坐标系中， 端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时 △ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1), 量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗 C(3,2),现以原点O为位似中心，在第一象 杆的水平距离为10m,则旗杆高度为() 限内作与△ABC的位似比为2：1的位似图 形△A'BC',则顶点C'的坐标是( ) A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4) 4.(遂宁中考)在方格图中，以格点为顶点的三 A.6.4m B.8m 角形叫作格点三角形.在如图所示的平面直 C.9.6m D.12.5m 角坐标系中，格点△ABC,△DEF为位似关 7.(潍坊中考)如图，E是□ABCD的边AD上 系，则位似中心的坐标为() DE 的一点，且症-2，连接BE并延长交CD的 1 延长线于点F.若DE=3,DF=4,则 D □ABCD的周长为( 01 B E 视频讲解 A.（-1,0) B.(0,0) A.21 B.28 C.(0,1) D.(1,0) C.34 D.42 做神龙题得好成绩 63 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 8.(内江中考)如图，在△ABC中，点D,E为边 12.(达州中考)如图，乐器上的一根弦AB= AB的三等分点，点F,G在边BC上，AC∥ 80cm,两个端点A,B固定在乐器面板上，支撑 DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若 点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是 AC=12,则DH的长为() 靠近点A的黄金分割点，则支撑点C,D之 间的距离为 cm.(结果保留根号) 视频讲解 A.1 b. C.2 D.3 4 D C DG N 第12题图 第13题图 9.(河南中考)如图，在☐ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,点E为OC的中点，EF∥ 13.(菏泽中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC, AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为 垂足为点D,AD=5,BC=10,四边形 () EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点 A.2 4 E,F,G,N,M都在△ABC的边上，那么 B.1 C.3 D.2 △AEM与四边形BCME的面积比 为 14.[学科融合]（扬州中考）物理课上学过小孔 F E 成像的原理，它是一种利用光的直线传播特 第9题图 第10题图 性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛 10.(南充中考)如图，已知线段AB,按以下步骤 (竖直放置)AB经小孔O在屏幕（竖直放置） 作图：①过点B作BCLAR,使BC=AB, 上成像A'B'.设AB=36cm,A'B'=24cm, 小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到 连接AC;②以点C为圆心，以BC长为半径 A'B的距离为 cm. 画弧，交AC于点D;③以点A为圆心，以 AD长为半径画弧，交AB于点E.若AE= mAB,则m的值为( ) A.5-1 B5-2 2 2 C.√5-1 D.√5-2 430cm cm 二、填空题 15.（乐山中考)如图，在梯形ABCD中，AD∥ 11.(乐山中考)如图，在平行四边形ABCD中， E是线段AB上一点，连接AC,DE交于点 BC,对角线AC和BD交于点O.若SAMD- SABCD R若铝号 S△ADF 3,则 S△AoP S△AEF △BC 64 做神龙题得好成绩 第二十七章相似☑ 16.[推理能力]（娄底中考）如图，已知等腰18.（玉林中考）如图，在△ABC中，点D在AC △ABC的顶角∠BAC的大小为0，点D为 上，DE∥BC,DF∥AB, 边BC上的动点（与点B,C不重合），将AD (1)求证：△DFC∽△AED, 绕点A沿顺时针方向旋转日角度时点D落 在D处，连接BD',DD'.给出下列结论： (②)若CD-AC,求§=的值 SAAED ①△ACD≌△ABD'; ②△ACB∽△ADD'; ③当BD=CD时，△ADD 的面积取得最小值. B 其中正确的结论有 .(填序号) 三、解答题 17.(武威中考)如图，在矩形ABCD中，AB= 6cm,BC=9cm,点E,F分别在边AB,BC 上，AE=2cm,BD,EF交于点G.若G是 EF的中点，求BG的长 G 19.(苏州中考)如图，△ABC是⊙O的内接三 角形，AB是⊙O的直径，AC=√5，BC= 25,点F在AB上，连接CF并延长，交 ⊙O于点D,连接BD,作BE⊥CD,垂足 为E. (1)求证：△DBE∽△ABC. (2)若AF=2,求DE的长. 做神龙题得好成绩 65 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 20.(泰安中考)如图，在矩形ABCD中，点E在 21.[推理能力]（枣庄中考）在△ABC中， DC上，DE=BE,AC与BD交于点O,BE ∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC,一个以 与AC交于点F. 点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两 (1)若BE平分∠CBD,求证：BF⊥AC. 边分别与AC,BC的延长线相交，交点分别 (2)在图中找出两个与△OBF相似的三角 为点E,F,DF与AC交于点M,DE与BC 形（不包括全等），并说明理由， 交于点N. (3)若OF=3,EF=2,求DE的长. ① ② B (1)如图①，若CE=CF,求证：DE=DF (2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程 中，试证明CD=CE·CF恒成立. (3)若CD=2,CF=√2，求DN的长 66做神龙题得好成绩(2)如图所示，△OA2B2即为所求，B2(一2，一6) (2)解：设⊙O的半径为r,则OD=OC=r,OA=8一r.在 Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,AB= √6+8=10.：∠OAD=∠BAC,∠ADO=∠ACB, 01 △A0D0△ABCC铝即台-8若解得， 3,即⊙0的半径为3. B 直击中考 1.B2.D3.C4.A5.C6.B7.C8.C9.B 183或号 10.A1.号 12.(80√5-160) 1 13.1:314.2015. 19.2或号 [解析]'，SAADE:S网边形CED=1:8,.S△ADE: 16.①②③[解析]由题意可知，AC=AB,AD=AD', ∠CAD=∠BAD',∴.△ACD≌△ABD'(ASA),故①正 S△ABc=1:9,∴△ADE与△ABC相似比为1：3.①若 ∠AED对拉∠B时，则把=号：AC=5mAD= 确.AC=AB,AD=AD,∠BAC=∠D'AD=0,A =AB 号m:②当∠ADE对应∠B时，则把=子：AB= D,△ACB∽△ADD',故②正确.：△ACBn 6cm,.∴.AD=2cm. △ADD',SAm S△ACB (C.:当AD LBC时，AD最 20.A[解析]设AF=xcm,则AC=3xcm.,四边形 小，△ADD'的面积取得最小值，而AB=AC,∴.BD= CDEF为正方形，.EF=CF=2xcm,EF∥BC, CD,.当BD=CD时，△ADD'的面积取得最小值，故③ AA8AABC既=怎-c=6m在 正确。 17.解：：四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6cm,∠ABC Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2,即302=(3x)2+(6.x)2, =∠C=90°，AB∥CD,∴.∠ABD=∠BDC.AE= 解得x=2√5（舍负数），∴AC=65cm,BC=12√5cm, 2cm,.BE=AB-AE=6-2=4(cm).,G是EF的中 CPF=45cm,心剩利余部分的面积=号×125X6v5- 点，∴.BG=BG=2EF,∴∠BEG=∠ABD,∠BEG 4V5×4V5=100(cm2). 21.解：如图，连接AB,与CO的延长线交于点E,则CE⊥ ∠BDC△EBFn△B,-器告-g, AB,AE=EB.:∠AEC=∠ODC=90°，∠OCD是公共 ∴BF=6cm,∴.EF=√JBE2+BFz=√42+62= 角，.RtAAFCR△0DCS-长又：0C 2B(cmBG=号EF=Vcm √OD2+DC=√102+24=26(mm),.AE= 18.(1)证明：DF∥AB,DE∥BC,∴.∠DFC=∠ABF, AC·OD_39×10 ∠AED=∠ABF,∴.∠DFC=∠AED.又，DE∥BC, OC 26 =15(mm),.AB=2AE=30mm. ∠DCF=∠ADE,∴.△DFC∽△AED.(2)解：，CD AC,贯-由a淘ADFCAAPD.做 贯)-（号）》= 22.(1)证明：如图，连接OD.AB为⊙O的切线，∴.OD⊥ 19.(1)证明：AB为⊙O的直径，∴.∠ACB=90°.BE⊥ AB,∴.∠ODA=∠ODB=90°..∠ACB=90°，.∠ABC CD,∠BED=9O°.：BC所对的圆周角为∠BDE和 +∠COD=180°.，∠AOD+∠COD=180°，∴.∠ABC= ∠BAC,.∠BDE=∠BAC,△DBE∽△ABC ∠AOD.,∠AOD=2∠ACD,∴.∠ABC=2∠ACD. (2)解：如图，过点C作CG⊥AB,垂足为G.,∠ACB= ·20·同行学案学练测 90°，AC=√5，BC=2√5，.AB=√AC2+BCz=5. 过点D作DG⊥BC于点G.,'∠DCB=45°，.GC=GD CGLAB,AG-ACA-x-AF-2 号c0-反.由(2)可知C-CE·CF,CE-票 ∴.FG=AG=1,∴.AC=FC,∴.∠CAF=∠CFA= = 22.:∠ECN=∠DGN,∠ENC=∠DNG, ∠BFD=∠BDF,∴.BD=BF=AB-AF=5-2=3. ADBETAAR小8-.号-爱E △ECn△DNG小S-需即2G-22解 NG√2 =35 得NG= 3,由勾股定理，得DN=VDG+NC=25 3 5 J D 第二十八章锐角三角函数 20.(1)证明：如图，在矩形ABCD中，OD=OC,AB∥CD, 28.1锐角三角函数 ∠BCD=90°，∴∠2=∠3=∠4，∠3+∠5=90°.DE= 第1课时正弦 BE,∴.∠1=∠2.又BE平分∠CBD,∴.∠1=∠6， ∴.∠3=∠6，∴∠6+∠5=90°，.BF⊥AC.(2)解：示 ①B2.B3.B4.(10C(2)53)日 例：与△OBF相似的三角形有△BAF,△ECF,理由：由 (1)可得∠1=∠4，BF⊥AC,.∠AFB=∠BFO=90°， 5A6号 .△BAF∽△OBF.,'∠1=∠3，∠EFC=∠BFO, ∴△ECF△OBF.(3)解：由(2)可知，△ECF 5BC= 7,解：如图所示，在Rt△ABC中，AB=4,sinA= △0Br,E-儒号-儒即scF=2BF,sCF AB·mA=长，由勾股定理，得AC=VB-BC- 5 +OF)=3CF+9=2BF+9,.3OA=2BF+9①. S△ABC=- Ac·C=gAB·c0.cDAc.BC AB △BAPn△0BP,g=-g器BF=OF·A, 48 251 ∴.BF2=3(OA+3)②.联立①②，可得BF=1+√19 (负值舍去)，.DE=BE=2+1+√19=3+√/19. 6 4 A B 21.(1)证明：∠ACB=90°，AC=BC,CD是中线， 8D9D10.D11.B12.A13. 10 ∴.∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°， 14.解：(1)证明：在矩形ABCD中，BC=AD,AD∥BC,∠B ∴.∠DCE=∠DCF=135°.在△DCE和△DCF中， =90°，∠DAF=∠AEB.DF⊥AE,∴∠AFD=90°， CE=CF .∠B=∠AFD.AE=BC,.AE=AD.△ABE≌ ∠DCE=∠DCF,∴.△DCE≌△DCF(SAS),∴.DE= △DFA(AAS).(2)由(1)知△ABE≌△DFA,∴.AB= DC-DC DF=6.在直角△ADF中，AF=√AD2-DF= DF.(2)证明：：∠DCF=135°，∴∠F+∠CDF=45° √I02-62=8,∴.EF=AE-AF=AD-AF=2.在直角 ∠FDE=45°，.∠CDE+∠CDF=45,.∠F= ∠CDE.,∠DCF=∠DCE,∠F=∠CDE,∴.△FCD △DFE中，DE=√DF2+EF=√62+2=2√10， △E需-是CD-CEC。8海知图， m☑EDr-E-、2=西 DE2√/1010