28.2.1 培优专题16：锐角三角函数值的求解技巧-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

培优专题16：锐角三 技巧一：巧用定义 温繁提示 方法归纳：直接根据定义求三角函数值，首先 求出相应边的长度，然后代入三角函数公式 计算即可。 1.如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的 正方形网格的格点上，则tan(a十B) tana十tan3.(填“>”“<”或“=”) D E 第1题图 第2题图 2.如图，小玲同学构造一个Rt△ABC,∠C= 90°，D是AB的中点，DE⊥AB与AC交于 点E,连接BE.若BC=4,AC=8,设∠A= a,则sin2a= 技巧二：构造直角三角形 ?温繁提示 方法归纳：若要求三角函数值的角不在直角 三角形中，则需要我们根据已知条件构造直 角三角形： +++++ 3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,1)和 点B(3,0),则sin∠AOB的值等于() A得 C D 4.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格 点，则sinA的值为( B A司 B V5 5 C.v10 10 06 第二十八章锐角三角函数了 角函数值的求解技巧 5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°， AC=2√3，则AB的长为 C 30° 45°> 象 能力 6.(武汉中考)如图，△ABC为等腰三角形，O 是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点 D,底边BC与半圆O交于E,F两点. (1)求证：AB与半圆O相切. (2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC 的值. 技巧三：巧设参数 守温馨提示 识 方法归纳：若已知两边的比值或一个三角函 数值，而不能直接求出三角函数值相应边的 边长，则可采用设参数的方法，先用参数表示 出三角函数值相应边的长，再根据三角函数 公式计算它们的比值，即可得出三角函数值， 7.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E, BE=4,则tan∠DBE的值是 3 CosA= 视频讲解 做神龙题得好成绩 77 ☑同行学案学练测数学九年级下RJ 8.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点， 学 连接BF,将△BCF沿BF翻折，得到 素 △BPF,延长FP交BA的延长线于点Q,求 养 sin∠BQP的值. D 抽象能力 运算能力 几何直观 技巧四：等角转换 )温馨提示 推 方法归纳：若要求的角的三角函数值不容易 求出，且这个角可以转化为其他角，则可以直 数 据观 接求转化后的角的三角函数值.特别地，注意 念 圆中同孤或同弦所对的圆周角相等 9.(淄博中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作 应 EF LAB交AC于点F.若BC=4,△AEF 用 识 的面积为5，则sin∠CEF的值为( ) 识 B号 c n 10.如图，正方形ABCD由6×6个边长为1的 小正方形组成，点E,F,G在格点上，EF与 AG交于点H,连接DH,则tan∠DHF= H 视频讲解 78做神龙题得好成绩 11.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连 接DE.过点C作CF⊥DE于点F,过点A 作AG/CF交DE于点G (1)求证：△DCF2△ADG. (2)若E是AB的中点，设∠DCF=a,求 sina的值. 12.[推理能力]（甘肃中考）如图，AB是⊙O的 直径，BC=BD,点E在AD的延长线上，且 ∠ADC=∠AEB, (1)求证：BE是⊙O的切线， (2)当⊙O的半径为2，BC=3时，求 tan∠AEB的值.15.解：.(2b)2=4(c十a)(c-a),∴.46b2=4(c2-a2),.b2= 第3课时特殊角的三角函数值 c2-a2,∴.a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形，且∠C= 1.A2.C3A425.0② 1 90”5a-3c=0∴号=号mA=号设a=张c= 24 6.A7.C8.C9.C10.C 5k,…b=√(5k)2-(3k)=4,sinB=b=华=4 c 一5k 5' 11解：（1)sima·cos30°=Y4，·.sina·2=4,sna= A+nB=号+号-子 ② …Q=45°. (2)2tana-√2cosa=2tan45°-√2cos45° 第2课时余弦、正切 1.A2.(1)A(2)B3.D4.B5.2√2 =8X1-E×9-8-1- 6.D7.C8.A9.B10.B11.B12. 12.B13.D14.B 2 15.B[解析]如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC= 13.专 [解析]连接PB,交CH于点E,由折叠可知CH垂 45°，延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°.设 直平分BP,∴E为BP的中点.又，H为AB的中点， AC-C1,AB BD t2.5 .HE是△ABP的中位线，.AP∥HE,.∠BAP= 1 =√2-1. ∠BHE.又.'在Rt△BCH中，tan∠BHC BC=2= 1+√2 BH 3 专an∠HAP= 4522.5 14冬[解析]据图可得∠AFE+∠EPC+∠BFC=18O B D 16.B17.C 根据折叠的性质，得∠EFC=∠EDC=90°，即∠AFE十 ∠BFC=90°.在Rt△BCF中，∠BCF+∠BFC=90°，易 18.解：由题意，得△=25cos2A-16=0,cosA= 5·过点B 得∠AFE=∠BCF,在Rt△BFC中，根据折叠的性质，得 作BD⊥AC,垂足为D.在Rt△ABD中，c0A-A织， CF=CD=AB=10.,BC=8,由勾股定理，得BF=6, tam∠cF=g-..mAPE=-tn∠BCF=是. AD=AB·0A=5X号=4，BD=VAB-AD 15.(1)2(2)1[解析](1)如图①，连接GF,HF,HF与 =W52-4=3.,AB=AC=5,∴.CD=AC-AD=5-4 PN交于点N,则PN∥GF,∴.∠HPN=∠HGF.根据勾 =1.在Rt△BCD中，BC=√BD+CD=√32+1平= 股定理，得GF=2√2，HF=42,GH=2√10.(2√2)2 √10，∴△ABC的周长为10+√10 +(4√2)2=(2√10)2，∴.△HGF是直角三角形，∠HFG 第4课时用计算器求锐角三角函数值 1.C2.C3.D4.-0.6995.(1)0.8133(2)0.3633 =90°，∴.tan∠HGF=GF=。5=2,.tan∠HPN= 6.A7.B8.B tan∠HGF=2.(2)如图②，连接BC.由勾股定理，得9.(1)2723'(2)538(3)8926' AC2=BC2=22+42=20,AB2=22+62=40,.AC= 10.D11.D12.B13.D14.A15.A BC,AC2十BC2=AB2,∴.△ABC是等腰直角三角形， 16.48°2417.(1)-0.1570(2)-5.2426 ∴.tan∠BAC= BC 18.解：AC=BC,D是AB的中点，∴.CD⊥AB.又，CD= AC =1. 1米，∠A=27,AD=a27≈1.963米，∴AB=2AD CD ≈3.93米 19.解：(1)当a=30°时，sina十sin2(90°-a)=sin230°十 面60心=（侣》°+（停）广=+号=1.2小明的骑起 ② 成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°.设∠A= e则∠B-90-a,sa十r(o0-。)=()'+15 BC2+AC2 AB2 AB2 AB≈1. 12.解：(1)：anB=子，可设AC=3z,BC=4红.：AC2+ BC2=AB2,.(3x)2+(4x)2=52,解得x1=-1(舍去)， x2=1,.AC=3,BC=4.BD=1,.CD=3,.AD= √CD+AC=3√2.(2)过点D作DE⊥AB于点E. 28.2解直角三角形及其应用 tanB=,可设DE=3y,BE=4.:BE2+DE- 28.2.1解直角三角形 BD,(4)2+(3y)2=1,解得y1=-号（舍去， 1.(1)D(2)A n-日De-w-0 1 2.解：(1)∠C=90°，∠A=60°，.∠B=90°-∠A=30°， b-=号×8月=4v原，a=c·n0-=8gx号- 1&.解：1)点=C∠B=60,∠C=45,6=2, 12,∠B=30°，a=12,b=4W3.(2)∠C=90°，∠A= 2 n60=45解得b=√6.(2)如图，过点A作A 45,∠B=90°-∠A=45,∴a=b=36,c=sin45= ⊥BC于点D.在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=2, =2a=2×36=65,∴∠B=45,b=3V6,c= aB=coe0-8-DBD-1.在RIAADC中， 2 63. ∠C=45,AC=6AD=CD=AC·cC=-6X号 3.獬：∠C=90°，AC=V2,AB=2√2，.BC= C-BD+CD-+CAD √AB-AC=√(22)2-W2)=6.:sinB=AC AB 2X(1+3)XV3=3+3 21 合∴∠B=30∠A=90-∠B=90-80=60 4.解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,a=3,b=3√3，c= a8-+6=“A=号房得 人60°H 45 B D C ∴∠A=30°，.∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. 培优专题16：锐角三角函数值的求解技巧 5.D6.(1)12a2(2)21√3或15√3 7.= 8.329.3 4 1>2.号3A4B5.3+5 6.解：(1)证明：连接OD,OA,过点O作OH⊥AB于点H. 8 10.25 [解析]设小正方形边长为1，QY=x,则QM=QY+ ,△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥ MY=x十1.，线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的 BC,AO平分∠BAC.AC与⊙O相切于点D,∴OD⊥ AC,而OH⊥AB,∴.OH=OD,.AB是⊙O的切线. 两部分∴Saov+1=10X号=5,2PM,QM+1= (2)由(1)知OD⊥AC,在Rt△OCD中，CD=4,OC=OF 5,2×5(x+D+1=5,z=号，QM=号TY/ +CF=OD+2,OD2+CD2=0C2,..OD2+42=(OD+ PM,∴.∠QTY=∠QPM,∴.tan∠QTY=tan∠QPM= 2,00=300=5oC-畏-号在R△00A QM 8 PM-25 中，mc-瓷-gnoc--手 7.2 8.解：根据题意，得FP=FC,∠PFB=∠CFB,∠FPB= 90°.，CD∥AB,∴.∠CFB=∠ABF,∴∠ABF=∠PFB, ∴.QF=QB.令PF=k(k>0),则PB=2k.在Rt△BPQ 同行学案学练测·21· 中，设QB=QF=x,x2=(x-)2+4,x= 2.解：如图，延长AB,DC交于点E.设AD=x,根据题意，得 2 ∠E=30°，∴.AE=2x,DE=√3x,因此BE=2x-2,CE= sin∠BQP-PE=-2k=4 QB 5 51 x-1.又：在△CE中，m0-需-复，即 9.A10.3 2 z-,解得x=4-3,则DE=45-3,BE=24 2x-2_V3 11.(1)证明：在正方形ABCD中，AD=DC,∠ADC=90° :CF⊥DE,.∠CFD=∠CFG=90°.AG∥CF, -3)-2=6-23,.BC=BE·tan30=5(6-2/5)= 3 ∴.∠AGD=∠CFG=90°，.∠AGD=∠CFD. 又，∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°，∠DCF+∠CDE 25-2,∴Sm=ADDE-BE·BC=合(4 =90°，∴∠ADG=∠DCF.在△DCF和△ADG中， (∠CFD=∠DGA -3)43-3)-26-2)23-2)-33 2 ∠DCF=∠ADG,.△DCF≌△ADG(AAS). DC-AD (2)解：设正方形ABCD的边长为2a.:E是AB的中点， AE=号×2a=a.在R△ADE中，DE- VaD+A=V@a)+a=5a,∴mAG-能 2-9:∠aG-=∠F=am-5 5a5 E 12.(1)证明：连接BD,OC,OD.BC=BD,BC=BD. OC=OD,∴点O,B在CD的垂直平分线上，.OB垂 3解过点B作BHLAC于点H.I:mA-器-号， 直平分CD,∴.∠AFD=90°.：∠ADC=∠AEB,.CD∥ .令BH=√7x,AH=3x,∴.AB=√AH2+BH=4x, BE,∠ABE=∠AFD=90°，AB⊥BE.AB是⊙O 的直径，∴BE是⊙O的切线.(2)解：⊙O的半径为 ∴sinA=B_7x=7 AB 4x 4' (2)'.'AC=AB=4x,..CH 2,∴.AB=2X2=4.AB是⊙O的直径，∠ACB= =AC-AH=x.BC2=CH2+BH2,..2+(7x)= 90°.，BC=3,.AC=√AB2-BC=√42-3=√7. :AC=AC,.∠ADC=∠ABC.:∠AEB=∠ADC, (4√6)2，x=2√3（舍去负值），AB=4x=8√3. 4.解：如图，把AB向上平移一个单位到ED,连接EC,ED, ÷∠AEB=∠ABC,.tn AFB=im∠ABC=8C 则ED∥AB,∴.∠APC=∠EDC.设每个小正方形的边长 ? 为a,则EC=√5a,ED=5a,CD=2√5a.EC2+CD2= -3 ED2,.△ECD是直角三角形，∠ECD=90°，.sin∠APC 培优专题17：作辅助线构造直角三角形的方法 EC5 1.解：(1)如图，过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ACD =sin∠EDC-ED'5 中，：ZA=60,AC=8,∠ACD=0.AD=专AC= D 4,.CD=√82-4=43，BD=AB-AD=1.在 Rt△BCD中，BC=√CD+BD=√48+I=7. (2)在Rt△BCD中，由(1)知，CD=43,BC=7,∴.sinB= 培优专题18：解直角三角形中的 CD4V3 BC 7 数学思想归纳 1.2 2.解：设菱形ABCD的边长为x,则AB=BC=x.EC=2, ∴.BE=x-2.,AE⊥BC,∴.在Rt△ABE中，cosB= x-2_4 B x =5,解得x=10,即AB=10,∴BE=8,AE=6.当 ·22·同行学案学练测 EP⊥AB时，PE取得最小值由三角形面积公式得2AB· =√WAB2+BE=√162+82=8√5，∴.cOs∠DAE= PE=号BE·AE,求得PE的最小值为48. COS∠EAB AB162√5 AE8551 3.解：如图，过点B作BM⊥FD于点M.,在△ACB中， 2.解：(1)，∠BOC=120°，.∠AOB=60°.，四边形ABCD ∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10,∴.∠ABC=30°，BC= 是矩形，.∠BAD=90°，AC=BD,AO=CO,BO=DO, AC·tan60°=l0√3.，AB∥CF,∴.∠BCM=∠ABC= ∴.AO=BO=CO=DO,∴.△AOB是等边三角形，∴AB= AO=BO.AB=2,.BO=2,BD=2BO=4,∴.矩形对 30,BM=Bc·sm30=10月×号=5，CM= 角线的长为4.(2)由勾股定理，得AD=√BD2-AB BC·cs30°=10,5×号=15.在△EFD中，∠P=90, =√4-2=2√3.，OA=OD,OE⊥AD,.AE=DE= ∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴.MD=BM=5√3，.CD= A0-…福-g CM-MD=15-5√3. 3.(1)证明：连接BD交AC于点O,如图①所示.：四边形 E ABCD是菱形，∴.AB=AD,AC⊥BD,OB=OD.,BE= B DF,∴AB:BE=AD:DF,.EF∥BD,.AC⊥EF. (2)解：如图②所示.，由(1)得EF∥BD,.∠G=∠CDO =∠A0,tmG=m∠A0-80=安0A 4.解：如图，作CE⊥AD,BF⊥AD,垂足分别为点E,F ∠BFE=∠CEA=90°，∴.BFCE,∴.△BFDD 2OD.BD=4,∴0D=2,∴OA=1. BF BD DF ACED,CE-CD-DE-3.BA-BD,BF LAD, ..AF=DF 号AD=3,∴DE=1.在R△ABC中， ∠AEC=90,AE=7,cos∠EAC=?,Ag=Z 8,…AC=8 .∴.AC=8. 4.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.AD=AB,∠A= ∠B=90°，∴.∠AGF+∠AFG=90°.FG⊥EH, ∴∠AGF+∠GEP=90°，∴.∠AFG=∠GEP.,AE= DF,.AD-DF=AB-AE,即AF=BE.在△AFG和 B (∠A=∠B 5.解：若翻折的角为较小的锐角B.设CE=x,则DE=8 △BEH中，{AF=BE ,∴.△AFG≌△BEH 区∴x2+9=8=x),解得x=,tan∠CDE的值为 ∠AFG=∠BEH 8若翻折的角为较大的锐角A.设CE=x,则DE=6一 5 (ASA),∴.FG=EH.(2)解：AD=5,AE=DF=2, AF=5-2=&在R△AG中，m乙AG=是，即怎 ,x2+16=(6-x)2,解得x=号，.tan☑CDE的值 故n∠CDE的值为帮或品 5 F年，六AG=4,.EG=2.在Rt△AFG中，FG 5 √AF2+AG=√32+4=5.，∠A=∠EPG=90°， 培优专题19：锐角三角函数与 四边形的综合应用 ∠AGF-∠GE△GAPG-品即点 1.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.DC=AB,AD 号PG=8PF=PG-PG=5g-g =BC,DC∥AB,.∠DEA=∠EAB.AE平分∠DAB, ∴∠DAE=∠EAB,.∠DAE=∠DEA,∴.AD=DE= 28.2.2应用举例 10,..BC=10,AB=CD=DE+CE=16..CE2 +BE2= 第1课时解直角三角形的应用(1) 62十82=100=BC2,.△BCE是直角三角形，∠BEC= 1.A2.8.13.7.44.D5.B 90°.(2)解：，AB∥CD,∴∠ABE=∠BEC=90°，.AE 6.(50+50√3)7.B