28.2.1 培优专题17：作辅助线构造直角三角形的方法&培优专题18：解直角三角形中的数学思想归纳-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

第二十八章锐角三角函数 培优专题17：作辅助线构造直角三角形的方法 学 方法一：作垂线，将特殊角构造在直角三角形中 方法三：作垂线，将已知三角函数值的角构造在直 1.如图，在△ABC中，AB=5,AC=8, 角三角形中 ∠A=60°. 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠A (1)求BC的长. (2)求sinB的值， 是领角，且1aA-百，BC=4WG (1)求sinA. (2)求AB的长 运算能力 几何直观 念 理 能力 数 方法二：有直角、无三角形的图形，延长某些边构 方法四：求非直角三角形中角的三角函数值时构 造三角形 造直角三角形 2.如图，在四边形ABCD中，AB=2,CD=1, 念 4.（无锡中考变式)如图，在正方形方格纸中每 ∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD 个小正方形的边长都相等，点A,B,C,D都 的面积. 在格点处，AB与CD相交于点P,求 意识 sin∠APC的值. D 识 P B 做神龙题得好成绩(79 了同行学案学练测 数学九年级下RJ 培优专题18：解直角三角形中的数学思想归纳 学 思想一：转化思想 思想四：建模思想 1.如图，在矩形ABCD中，点E在 4.如图，在△ABC中，D是BC上一点，且AB= 边CD上，点F在对角线BD上， BD=3CD.若cos∠DAC-名，AD=6,求 DF:DE=2:√5，EF⊥BD,则 象能力 tan∠ADB= AC的长， 思想二：方程思想 运算 2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E.若 能力 cosB=号，BC=2,P是AB边上的个动点， 求线段PE的最小值， D 推理 能力 数据观念 模型 思想五：分类讨论思想 5.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC= 思想三：数形结合思想 8,将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在 应 3.在一次数学活动课上，数学老师在同一平面 其对边的中点D处，折痕交另一直角边于点 意 内将一副直角三角尺如图位置摆放，点C在 E,交斜边于点F.求tan∠CDE的值. FD的延长线上，AB∥CF,∠F=∠ACB= 意识 90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10,试求CD 的长 B 80 做神龙题得好成绩中，设QB=QF=x,x2=(x-)2+4,x= 2.解：如图，延长AB,DC交于点E.设AD=x,根据题意，得 2 ∠E=30°，∴.AE=2x,DE=√3x,因此BE=2x-2,CE= sin∠BQP-PE=-2k=4 QB 5 51 x-1.又：在△CE中，m0-需-复，即 9.A10.3 2 z-,解得x=4-3,则DE=45-3,BE=24 2x-2_V3 11.(1)证明：在正方形ABCD中，AD=DC,∠ADC=90° :CF⊥DE,.∠CFD=∠CFG=90°.AG∥CF, -3)-2=6-23,.BC=BE·tan30=5(6-2/5)= 3 ∴.∠AGD=∠CFG=90°，.∠AGD=∠CFD. 又，∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°，∠DCF+∠CDE 25-2,∴Sm=ADDE-BE·BC=合(4 =90°，∴∠ADG=∠DCF.在△DCF和△ADG中， (∠CFD=∠DGA -3)43-3)-26-2)23-2)-33 2 ∠DCF=∠ADG,.△DCF≌△ADG(AAS). DC-AD (2)解：设正方形ABCD的边长为2a.:E是AB的中点， AE=号×2a=a.在R△ADE中，DE- VaD+A=V@a)+a=5a,∴mAG-能 2-9:∠aG-=∠F=am-5 5a5 E 12.(1)证明：连接BD,OC,OD.BC=BD,BC=BD. OC=OD,∴点O,B在CD的垂直平分线上，.OB垂 3解过点B作BHLAC于点H.I:mA-器-号， 直平分CD,∴.∠AFD=90°.：∠ADC=∠AEB,.CD∥ .令BH=√7x,AH=3x,∴.AB=√AH2+BH=4x, BE,∠ABE=∠AFD=90°，AB⊥BE.AB是⊙O 的直径，∴BE是⊙O的切线.(2)解：⊙O的半径为 ∴sinA=B_7x=7 AB 4x 4' (2)'.'AC=AB=4x,..CH 2,∴.AB=2X2=4.AB是⊙O的直径，∠ACB= =AC-AH=x.BC2=CH2+BH2,..2+(7x)= 90°.，BC=3,.AC=√AB2-BC=√42-3=√7. :AC=AC,.∠ADC=∠ABC.:∠AEB=∠ADC, (4√6)2，x=2√3（舍去负值），AB=4x=8√3. 4.解：如图，把AB向上平移一个单位到ED,连接EC,ED, ÷∠AEB=∠ABC,.tn AFB=im∠ABC=8C 则ED∥AB,∴.∠APC=∠EDC.设每个小正方形的边长 ? 为a,则EC=√5a,ED=5a,CD=2√5a.EC2+CD2= -3 ED2,.△ECD是直角三角形，∠ECD=90°，.sin∠APC 培优专题17：作辅助线构造直角三角形的方法 EC5 1.解：(1)如图，过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ACD =sin∠EDC-ED'5 中，：ZA=60,AC=8,∠ACD=0.AD=专AC= D 4,.CD=√82-4=43，BD=AB-AD=1.在 Rt△BCD中，BC=√CD+BD=√48+I=7. (2)在Rt△BCD中，由(1)知，CD=43,BC=7,∴.sinB= 培优专题18：解直角三角形中的 CD4V3 BC 7 数学思想归纳 1.2 2.解：设菱形ABCD的边长为x,则AB=BC=x.EC=2, ∴.BE=x-2.,AE⊥BC,∴.在Rt△ABE中，cosB= x-2_4 B x =5,解得x=10,即AB=10,∴BE=8,AE=6.当 ·22·同行学案学练测 EP⊥AB时，PE取得最小值由三角形面积公式得2AB· =√WAB2+BE=√162+82=8√5，∴.cOs∠DAE= PE=号BE·AE,求得PE的最小值为48. COS∠EAB AB162√5 AE8551 3.解：如图，过点B作BM⊥FD于点M.,在△ACB中， 2.解：(1)，∠BOC=120°，.∠AOB=60°.，四边形ABCD ∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10,∴.∠ABC=30°，BC= 是矩形，.∠BAD=90°，AC=BD,AO=CO,BO=DO, AC·tan60°=l0√3.，AB∥CF,∴.∠BCM=∠ABC= ∴.AO=BO=CO=DO,∴.△AOB是等边三角形，∴AB= AO=BO.AB=2,.BO=2,BD=2BO=4,∴.矩形对 30,BM=Bc·sm30=10月×号=5，CM= 角线的长为4.(2)由勾股定理，得AD=√BD2-AB BC·cs30°=10,5×号=15.在△EFD中，∠P=90, =√4-2=2√3.，OA=OD,OE⊥AD,.AE=DE= ∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴.MD=BM=5√3，.CD= A0-…福-g CM-MD=15-5√3. 3.(1)证明：连接BD交AC于点O,如图①所示.：四边形 E ABCD是菱形，∴.AB=AD,AC⊥BD,OB=OD.,BE= B DF,∴AB:BE=AD:DF,.EF∥BD,.AC⊥EF. (2)解：如图②所示.，由(1)得EF∥BD,.∠G=∠CDO =∠A0,tmG=m∠A0-80=安0A 4.解：如图，作CE⊥AD,BF⊥AD,垂足分别为点E,F ∠BFE=∠CEA=90°，∴.BFCE,∴.△BFDD 2OD.BD=4,∴0D=2,∴OA=1. BF BD DF ACED,CE-CD-DE-3.BA-BD,BF LAD, ..AF=DF 号AD=3,∴DE=1.在R△ABC中， ∠AEC=90,AE=7,cos∠EAC=?,Ag=Z 8,…AC=8 .∴.AC=8. 4.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.AD=AB,∠A= ∠B=90°，∴.∠AGF+∠AFG=90°.FG⊥EH, ∴∠AGF+∠GEP=90°，∴.∠AFG=∠GEP.,AE= DF,.AD-DF=AB-AE,即AF=BE.在△AFG和 B (∠A=∠B 5.解：若翻折的角为较小的锐角B.设CE=x,则DE=8 △BEH中，{AF=BE ,∴.△AFG≌△BEH 区∴x2+9=8=x),解得x=,tan∠CDE的值为 ∠AFG=∠BEH 8若翻折的角为较大的锐角A.设CE=x,则DE=6一 5 (ASA),∴.FG=EH.(2)解：AD=5,AE=DF=2, AF=5-2=&在R△AG中，m乙AG=是，即怎 ,x2+16=(6-x)2,解得x=号，.tan☑CDE的值 故n∠CDE的值为帮或品 5 F年，六AG=4,.EG=2.在Rt△AFG中，FG 5 √AF2+AG=√32+4=5.，∠A=∠EPG=90°， 培优专题19：锐角三角函数与 四边形的综合应用 ∠AGF-∠GE△GAPG-品即点 1.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.DC=AB,AD 号PG=8PF=PG-PG=5g-g =BC,DC∥AB,.∠DEA=∠EAB.AE平分∠DAB, ∴∠DAE=∠EAB,.∠DAE=∠DEA,∴.AD=DE= 28.2.2应用举例 10,..BC=10,AB=CD=DE+CE=16..CE2 +BE2= 第1课时解直角三角形的应用(1) 62十82=100=BC2,.△BCE是直角三角形，∠BEC= 1.A2.8.13.7.44.D5.B 90°.(2)解：，AB∥CD,∴∠ABE=∠BEC=90°，.AE 6.(50+50√3)7.B