第27章 培优专题10：解决位似变换问题的规律技巧&培优专题11：黄金分割-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

7.解：(1) ÷品品-号0日△c0G的面积=15× 1 =5. A E B 13.解：(1)如图所示，△A1BC1即为所求.(2)如图所示， (2)等腰直角 △A2B2C2即为所求.(3)P(0,0) 8.B9.D10.4√2π 11.解：(1)如图所示，△A'B'C即为所求」 (2)四边形AA'CC的周长=4十6√2， 34561 B BO C 12.解：(1)四边形GHIJ是正方形.证明：，GJ⊥OA,GH⊥ 培优专题10：解决位似变换问题的规律技巧 GJ,HI⊥OA,.∠GJO=∠JGH=∠JIH=90°，.四边 形GHIJ是矩形.，四边形CDEF是正方形，CD边与矩 1.B2.(-1,2)或1，-2)3(-2，号)4 形GHIJ的IJ边在同一条直线上，.FC∥HI,EF∥ 5.(2m,2n)或(-2m,-2n)6.(-2,0)7.(3,4)或(0,4) OF FC GH,△FOCO△HOI,△EFOn△GHO,OH-, 8.(1347,0)[解析]，A2(-1,0),A(1,0),Ag(3,0), A1(5,0),…,.A3m-1(2m-3,0).2024=3X675-1, OF EF.FC EF OiGn心m=GCm又：FC=EF,·HI=GH, .A2024的坐标为(1347,0). ∴.四边形GHIJ是正方形.(2)如图，正方形MNGH即 培优专题11：黄金分割 为所求 1.55-5 2.A[解析]，∠B=∠C=36°，.AB=AC,∠BAC=108°. DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,∴.DB=DA,EA= EC,·∠B=∠BAD=∠C=∠CAE=36°，∴.△BDA △BAC,:BD-BA BA-BC.又：∠ADC=∠B+∠BAD=72, ∠DAC=∠BAC-∠BAD=72°，∴.∠ADC=∠DAC, 第2课时坐标系中的位似图形 ..CD=CA=BA,.BD BC-CD=BC-BA, 1.B2.C3.184.(4,6)或(-4，-6) 器求和股，可船器， BA BC 2 5.解：(1)图略(2a,2b)(2)12 故A错误；：∠BAC=108°，∠B=∠BAD=∠C 6.C7.D ∠CAE=36°，∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE= 82,1或(-2，-1）9(-5，-1)10.（停，-4 36°，即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，∴.AD,AE将 11.y=8 ∠BAC三等分，故B正确；∠BAE=∠BAD+∠DAE x =72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，∴.∠BAE= 12.5[解析]如图，连接BG.,'□ABCD和□EBFG是以点 I∠B=∠C B为位似中心的位似图形，点D,G,B在同一条直线 ∠CAD.在△ABE和△ACD中，AB=AC 上，FGCD.四边形ABCD是平行四边形，面积为30， ∠BAE=∠CAD ∴.△CDB的面积为15.，FG∥CD,.△BFG∽△BCD, ∴.△ABE≌△ACD(ASA),故C正确；由△ABE≌△ACD ·18·同行学案学练测 可得SAABE=S△ACD,即S△BAD十S△ADE=SACAE十S△ADE, 培优专题13：求比值及证明比例式 ∴SABAD=SACAE.又：DH垂直平分AB,EG垂直平分 或等积式的技巧 AC,SAm=号S60,Sm=号m 1解，如图，过点F作FE/BD,交AC于点E,则瓷-AE SAcr,故D正确. 3.25+24.C A:BF-1:2铝-方ξ-3，即FE 5.解：(1)根据第一步折叠可知，四边形MNCB是正方形，设 BC.BC CD-21CD-BC.FE/BD, 正方形边长为x,根据第二步可知，AC=号x,在△ACB 1 E八FE3BC 2 中，根据勾股定理，得AB=VAC+BC-5 x根据第 NDCD BC ,即FN:ND=2:3. 三步可知.AD-AB-号CD-AD-AC-5 2x, -5矩形DE是黄金矩形(2D …BC c+m-+器6 x一 2 2.证明：(1)：△ABC是等边三角形，∴.AB=BC,∠ABC= ∠C=∠BAC=60°.在△ABD和△BCE中， 5,1,∴矩形MNDE是黄金矩形，. (AB-BC 培优专题12：与相似三角形有关的热点、 ∠ABC=∠C,.∴.△ABD≌△BCE(SAS) BD-CE 难点问题探究 (2),∠ABC=∠BAC,∴.∠ABE+∠CBE=∠BAF+ 1.1[解析]方法1：如图，过点P作PDLB,C于点D.由题 ∠EAF.,△ABD≌△BCE,∴.∠CBE=∠BAF, 意，得△PCB1是等边三角形，设△PCB1的边长是2a,则 ∴∠ABE=∠EAF.'∠AEF=∠BEA,.△ABED BD=CD=a,PD-5a.Sm,c=5,∴2×2aX5a △FAE能-AE=EF,E =√3，解得a=1,.B1C=2,∴.BB1=3-2=1. 3.证明：，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，.∠BGC =∠ADC=90°.又：∠C=∠C,∴.△ADC∽△BGC, 器脚瓷-是又：∠C=∠c,△GC☑ BB D CC △BAC.-即0G·AB=CB·DG 方法2：易知△PCB∽△ACB,且Sa-9Y 4· :S△PB1C 4.证明：(1)：EC∥AB,∴.∠EDA=∠DAB.∠EDA= B C ∠ABF,∴.∠DAB=∠ABF,∴.AD∥BC.:DC∥AB, =3,Sam,e1Sam=4:9,∴BC=2:3,则B,C= .四边形ABCD是平行四边形.(2)，EC∥AB, 2,.BB1=1. △0ABn△0ED÷8t-8 AD/∴△0BFU 2号 [解析]∠ABC=90°，AB=8,BC=6,∴.AC= △0DA8%8器8280A=0E.0 √AB2+BC=√82+6=10.，DE∥BC,∴.△ADE∽ 培优专题14：滚动提升一圆中的 △ABC,小品-怎：将△ADE绕A点顺时针旋转到 相似三角形 图②的位置，.∠DAB=∠EAC,△ADB∽△AEC, 1.(1)证明：如图，连接OC.,1是⊙0的切线，.OC⊥1. .BD AB 8 4 …CE=AC-105 AD⊥L,.OC∥AD,∠CAD=∠ACO=∠CAB. ∠D=∠ACB=90°，∴△ABC∽△ACD.(2)解： 3.B4.7.55.1:36.D7.6 AC=5,CD=4,∠ADC=90°，.AD=√AC2-CD2=第二十七章相似☑ 培优专题10：解决位似变换问题的规律技巧 中 技巧一：以原点为位似中心的变换 技巧二：以任意点为位似中心的变换 素 养 1.如图，△OAB与△OCD是以原点O为位似 6.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似 中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD= 图形，P是位似中心.若点B的坐标为(2,4)， 90°，CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标 点E的坐标为（一1,2），则点P的坐标 为() 为 力 E A.(1,2) B.(1,1) C.(W2,W2) D.(2,1) 2.(滨州中考)在平面直角坐标系中，△ABO三 第6题图 第7题图 个顶点的坐标分别为A(一2,4)，B(一4,0)， 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点 O(0,0).以原点O为位似中心，把这个三角 坐标分别为(4,0)，(8,2)，(6,4).已知 形按相似比2缩小，得到△CDO,则点A的 △A1B1C1的两个顶点的坐标分别为(1,3)， 对应点C的坐标是 (2,5).若△ABC与△A1B1C1位似，则 3.如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边 △A1B1C1的第三个顶点的坐标 长均为1，△AOB与△A'OB'是以原点O为 为 位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A, 8.如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的 B都在格点上，则点B的坐标是 边长均为1个单位长度，以点P为位似中心 作正方形PA1A2A3、正方形PA4AA6… 按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格 识 点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为 P(-3,0),A1（-2,1),A2(-1,0),A3(-2, 第3题图 第4题图 4.(百色中考)如图，已知△ABC与△A'B'C'是 一1)，则顶点A224的坐标为 以坐标原点O为位似中心的位似图形，且 8=若点A(-1,0,点C(分，1，则 A'C'= 5.在平面直角坐标系中，点P(m,n)是线段AB 视频讲解 上一点，以原点O为位似中心把△AOB按相 似比2放大，则点P的对应点的坐标 为 做神龙题得好成绩 53 了同行学案学练测数学九年级下RJ 壶 培优专题11：黄金分割 平 类型一：黄金分割的定义 类型四：黄金矩形 1.[应用意识]自然是美的设计师， 即使是一片小小的树叶，也蕴含 5[推要能力宽与长的比是5。（约为0,618） 着“黄金分割”.如图，P为AB的 的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形给我们以协 抽象 黄金分割点(AP>PB).如果 调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑， 能 AB的长度为10cm,那么AP的长度为 为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形 cm. 的设计. 运算 类型二：顶角是108的黄金三角形 下面我们折叠出一个黄金矩形：第一步，在一 能力 2.(威海中考)如图，在△ABC中，∠B=∠C= 张矩形纸片的一端，利用图①所示的方法折 人 36°，AB的垂直平分线交BC于点D,交AB 出一个正方形，然后把纸片展平 何直观 于点H,AC的垂直平分线交BC于点E,交 B M FB AC于点G,连接AD,AE,则下列结论错误的 是() A股-5 ① ② 推 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等 B.AD,AE将∠BAC三等分 的矩形，再把纸片展平.第三步，折出内侧矩 C.△ABE≌△ACD 形的对角线AB,并把AB折到图③所示的 数据 D.SAADH=SACEG AD处.第四步，展平纸片，按照所得的点D 折出DE,矩形BCDE(图④)就是黄金矩形 M MFB E D八E D 第2题图 第3题图 3.（宜宾中考)如图，正五边形ABCDE的边长 3 ④ 识 为4，则这个正五边形的对角线AC的长 (I)请说明矩形BCDE是黄金矩形的理由. 是 (2)请判断图④中矩形MNDE是不是黄金 类型三：顶角是36的黄金三角形 矩形 4.(济南中考)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径 作弧交AC于点D,再分别以B,D为圆心，以 大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点 P,作射线CP交AB于点E,连接DE.以下 结论不正确的是( A.∠BCE=369 B.BC=AE c 2 S△AB_V5+1 D.SABEC 54 做神龙题得好成绩