第27章 专题(十一) 巧证比例式或等积式——等线段代换法（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（人教版）河南

专题(十一)　巧证比例式或等积式——等线段代换法 数学 九年级下册 人教版 100分闯关 一、替换一条线段 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是垂线，P为AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF. 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，CD∥AB，AD∥BC，∴∠D＝∠DAE＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，∵∠E＝∠E，∴△EAC∽△ECB，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC·BE＝CE·BC，∵BC＝AD，∴AC·BE＝CE·AD 二、替换两条线段 4．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF相交于点G，DE⊥CF，求证：DE·AB＝CF·BC. 5．如图，△ABC中，点D，E在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC＝120°，求证：DE2＝BD·CE. 证明：连接PC，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD是△ABC的对称轴．∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP.∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP，∴∠PCE＝∠PFC.又∵∠CPF＝∠EPC，∴△EPC∽△CPF.∴ eq \f(PC,PE) ＝ eq \f(PF,PC) .∴PC2＝PE·PF.∵PC＝BP，∴BP2＝PE·PF 3．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是射线CB上一点，F是CD上一点，且∠EAF＝120°. 求证： eq \f(AE,AF) ＝ eq \f(AB,CF) . 证明：连接AC，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠D＝60°，△ACB是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠EAF＝120°，∴∠EAB＝∠DAF，∵∠EAC＝60°＋∠EAB，∠AFC＝60°＋∠DAF，∴∠EAC＝∠AFC，∵∠ACE＝∠ACF＝60°，∴△ACE∽△FCA，∴ eq \f(AE,AF) ＝ eq \f(AC,CF) ，∵AB＝AC，∴ eq \f(AE,AF) ＝ eq \f(AB,CF) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°.∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴ eq \f(DE,CF) ＝ eq \f(AD,CD) .又∵AD＝BC，CD＝AB，∴ eq \f(DE,CF) ＝ eq \f(BC,AB) ，∴DE·AB＝CF·BC 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝60°，∴∠B＝∠CAE，∴△ABD∽△CAE，∴ eq \f(AD,CE) ＝ eq \f(BD,AE) ，∴AD·AE＝BD·CE，∴DE2＝BD·CE $$