26.2 培优专题6：确定反比例函数解析式的六种方法-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

了同行学案学练测数学九年级下RJ 华 培优专题6：确定反比例函数解析式的六种方法 养 方法一：利用反比例函数的定义求解析式 (2)求点C坐标. 1.若函数y=(m十1)xm2-1是反比例函数，则函 数的解析式为 抽象能 方法二：利用反比例函数的性质求解析式 的图象在每一个 运算 2.已知反比例函数y=2k+1 能力 象限内的函数值y随自变量x的增大而减 小，且的值还满足9-2(2k-1)≥2k-1,若 何直 为整数，则此反比例函数的解析式为 间 方法三：利用待定系数法求解析式 念 3.已知函数y=y1十y2,其中y1与x十1成反 推理 比例，y2与x2成正比例，且当x=1时，y= 能力 2;当x=0时，y=2. 5.(河南中考)如图，矩形ABCD的四个顶点都 (1)求y关于x的函数解析式. 在格点（网格线的交点）上，对角线AC,BD (2)当x=2时，求y的值， 相交于点E,反比例函数y=(x>0)的图象 经过点A. (1)求反比例函数的解析式. ·应用意识 (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于 点A的三个格点，再画出反比例函数的图象 创新意识 (3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这 个反比例函数的图象上时，平移的距离 为 6 012345678910x 方法四：利用反比例函数的图象求解析式 4.（盐城中考)如图，小明在草稿纸上画了某反 比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直 尺放在上面. (1)求反比例函数解析式. 24】做神龙题得好成绩 第二十六章反比例函数☑ 方法五：利用图形的面积求解析式 (1)图①中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支 数 6.(大连中考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的 双曲线y=经过口ABCD的顶点B,D.点 质量.当重物的质量变化时，OB的长度随之 素 变化.设重物的质量为xkg,OB的长为 D的坐标为(2,1)，点A在y轴上，且AD∥ ycm.写出y关于x的函数解析式.若0< x轴，SGABCD=5. y<48,求x的取值范围. 抽 (1)点A的坐标为 4 (2)求双曲线和AB所在直线的解析式， B B 力 秤砣 能 ① ② 几何 (2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩 上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平 衡，如图②.设重物的质量为xkg,OB的长为 ycm,写出y关于x的函数解析式，完成下 表，画出该函数的图象。 x/kg …0.250.512 4 y/cm … ↑y/cm 4 模型 3 应 意 2 3 4 x/kg 方法六：利用实际问题中的数量关系求解析式 7.[学科融合]（临沂中考）杠杆原理在生活中被 广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力× 动力臂)，小明利用这一原理制作了一个称量 物体质量的简易“秤”（如图①）.制作方法 如下： 第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻 度（单位长度为1cm),确定支点O,并用细麻 绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个 金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作 为秤砣 做神龙题得好成绩25在)一上代入得日-是解得x=-30,点B 一次函数解析式，得2a十3=4，解得a=号，所以一次函数 的坐标是(-a,)PA=日-（2)=合，PB=- 的解析式为y=2x十3，将点A的坐标代入反比例函数解 1a-(-3a)|=4a.:PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴， 析式，得及一2X4一8，所以反比例函数的解析式为y :.PALPB.:.Sar-PAXPB-zx4Xia-8 (2)将y=2代人y=号x+3,得2x+3=2,解得x= 变式训练 1.A[解析]设点A的坐标为(m,1).,AB∥x轴，AC∥ -2,所以点C的坠标为(-2,2》.将y=2代人y=受，得 y轴，∴.点B的纵坐标为1，点C的横坐标为m.将y=1代 x=4,所以点D的坐标为(4,2)，所以CD=4-(一2)=6， 入y=空得x=n,B(n,1),心AB=m一m将x=m代 1 所以S△m=2X6X(4-2)=6. 人y=是得y=升C(m,)AC=1-S 2.解：(1)分别将点A(-2,m)和点B(n,-1)代入y2= -至得一-2m-一8，一1-一8，解得m-4,n-8点A 2 的坐标为（一2,4），点B的坐标为(8，一1).把点A,B的坐 -=3vm.选项A中，号-(9)≠3√日，∴选项 -2k+b=4, 标代人y1=kx十b, 8k+6=一1”解得 2,. A符合题意. =3 2.7[解析]如图，连接OC,设AC交y轴于点E,则S△4oE 3 1 次函数的解析式为1=一名x+3.(②)z<-2或0< =2,S△r=2,S△c=2·A,B两点关于原点对 称，∴.OA=OB,∴.S△ABC=2S△4c=7. <8、(3):-次函数y=子x十3的图象与y轴交于点 C,点C的坐标为0,3以把y=3代入=兰，得x -号点D的坐标为(-号，3)CD=号，∴Sm 3×号×4-3)=台 26.2实际问题与反比例函数 母题探究2：①②③④[解析]0Sams=Saac1=2k,故① 1.D[解桥]设反比例函数的解析式为y=冬，把1,180)代 正确.②S四边形0CPD=k1,S四边形PAO8=S四边形0CPD一S△ODB 人，得k=180y=180.当工=4时，y=454月份的利 x S△cA=k1一k2,故②正确.③设P(m,n),则mn=k1.,A, 润为45万元，故A正确；技术改造完成后，从4月份到 B两底在双线)上，A(),a(售路 5月份，利润从45万元增加到75万元，故每月利润比前一 m”=1-冬，PAn- 个月增加30万元，故B正确；当y=135时，令135=180， k'PC n 严-1是路-路故正 4 解得x=子.设一次函数的解析式为y=虹十b,则 确.④：SAOBA=S四边形AB0c一S△A0C,S四边形ACEB=S网边形A0C S△0E,而S△A0c=S△OE,∴.S△OaA=S四边形ACEB,故④正确。 变式训练 6+6=75解得=0 14k+b=45 b=-75 .y=30x-75.令135=30x 75,解得x=7,则2月、3月、4月、5月、6月共5个月的 3A4号 利润低于135万元，故C正确；当x=9时，y=30×9-75 培优专题5：一次函数与反比例 =195,即9月份该企业利润为195万元，故D错误. 2.D3.A4.180 函数的综合应用 5.解：(1)因为电流I(A)是电阻R(2)的反比例函数，所以设 1.解：(1)因为函数y=ax+b的图象由函数y=ax的图象向 上平移3个单位长度得到，所以b=3.将点A的坐标代入 1-是≠0》把，9)代人，得=4X9=36,所以1-股。 ·14·同行学案学练测 (2)方法一：当R=102时，I=3.6A≠4A,故电流不可能9.解：任务1：G=500×10=5000(N).,压强(P)= 是4A.方法二：10×4=40≠36，故当R=102时，电流 受力面积(S),极地机器人在冰面上的压力与重力相等， 压力(F) 不可能是4A. 6.解：任务1：设反比例函数的解析式为y= P=5000 任务2：当P=1X10Pa时，S=X号 x ,(4,-20)在 函数图象上，∴.k=一80，y关于x的函数解析式为y= 0.5(m2)=5000(cm2).是四轮长航程极地机器人，.每 80(4<x≤).任务2：由任务1可知反比例函数的解 条履带的接触面积为50-1250(cm2),极地机器人应 4 析武为y=一职当)=一4时4一20该冷柜-个循环 更换C型号的履带方可安全通过该冰面。任务3：丢弃不 重要的装备.（答案不唯一）. 耗时20分钟.一个循环运行4分钟，一小时运行12分钟， 培优专题6：确定反比例函数 一天运行24×12=28（分钟），288分钟-号小时，该冷 解析式的六种方法 柜-天的耗电量为0.15×号-072（千瓦时）.答：该冷柜 1.y= 一天的耗电量为0.72千瓦时. 2.y=1或y=3或y=5 7.解：(1)设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y= k 至将C(20,45代入，得5-易解得友-90，反比例 3.解：1)设1=x十%=k2x.·当x=1时，y=2;当 函数的解析式为y-8”当x=5时，y-赠-20， 十k2=2, x=0时，y=2,2 k1=2 得 k21'y 2 x .D(45,20),∴.A(0,20),即点A对应的指标值为20. k1=2 x+1+ (2)能.理由：设当0≤x<10时，直线AB的解析式为y= x2. （2油①)知，当x=2时y=号+4-4 3 n=20 mx+n,将A(0,20),B(10,45)代入，得 4.解：(1)由图可知点A的坐标为（一3,2）.，反比例函数图 (10m+n=45 解 5 m-立，直线AB的解析式为y=号x十20，当≥36 象过点A,设反比例函数解析式为y=冬，k=一6，反 得 n=20 比例函数解析式为y=一6.(2)易知直线OA的解析式 32 时，2x+20>36,解得x≥5·由(1)得反比例函数的解析 为y=一 2 工.由图象可知，直线OA向上平移3个单位长 式为y-2,当≥36时，20>≥36，解得x≤25号< 2 度得到直线BC的解析式为y=一 x十3，联立方程组 <25时，注意力指标都不低于36，而25-职-9>17， 2 y- 3x+3 3 2 x=6 ∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲 ，解得 舍去)， 6 y=-1 解时，注意力指标都不低于36. y=1 8.解：(1)当0≤x≤10时，设水温y(℃)与开机时间 c(- x(min)的函数解析式为y=kx十b.依据题意，得 (b=20 (k=8 5.解：1)：反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(3, 10十6=100解得b=20故此函数解析式为y=8x+ 20.(2)在水温下降过程中，设水温y(℃)与开机时间 2》,代人得2=专=6∴反比例两数的解析式为y= x(mn的函数解析式为y一受，依据题意，得100=0，即 6 (2)图略. 8号 n=10,放y=10当y=20时，20=100，解得1= 6.解：(1)(0,1)(2)：双曲线y=经过点D(2,1), x 50.(3):57-50=7≤10，.当x=7时，y=8×7+20= ∴.k=2×1=2,.双曲线的解析式为y= 76.答：小明散步57min回到家时，饮水机内水的温度约 2.D(2,1), 为76℃. AD∥x轴，.AD=2.设BC与y轴交于点E.SDARD= 5,AE=号，OE=号∴点B的纵坐标为-是把y 9 心一次函数的解析式为y=一是x+号 2 -代入y-兰，得一-，解得x一 31 b一2 B(-专，-多），设AB所在直线的解析式为y=ax+ (2:点A(-2,6),B(⑧，-)，·1AB1= 6=1 25 6,把A0,1,B(-专，-)代入，得4 -+6=-8' √8+2)+(6+-空点D的横坐标为-2 2 即点D的坐标为（一空0 29 15 解得 8AB所在直线的解析式为y= 8x+1. 3.B[解析]：BD∥x轴，D(0,4),∴B,D两点纵坐标相同， b= 都为4，.可设B(x,4).,矩形ABCD的对角线的交点为 7.解：(1)，阻力×阻力臂=动力×动力臂，.重物质量× OA=秤陀质量XOB.,OA=2cm,重物为xkg,OB的长 E,E为BD的中点，∠DAB=90,E(侵x,4), 为ycm,秤砣为0.5kg,.2x=0.5y,∴.y=4x.,4>0, ∠DAB=90°，.AD2+AB2=BD2.A(2,0), ∴y随x的增大而增大.，当y=0时，x=0;当y=48时， D(0,4),B(x,4),.22十42+(x-2)2十42=x2,解得x= x=12,.0<x<12.(2)阻力×阻力臂=动力×动力 10,E(5,4).:反比例函数y=飞(>0，x>0)的图象经 臂，∴.秤砣质量XOA=重物质量XOB.,OA=2cm,重物 过点E,.k=5×4=20. 为xkg,OB的长为ycm,秤砣为0.5kg,∴.2X0.5=xy, 4.35.A y=1当x=025时y=05一4当x=0.5时y 1 6.3[解析]过点D作DE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥ y轴于点F.易证△ABO≌△DAE,.AE=BO,DE= 0.5=2;当x=1时y=1;当x=2时y=2;当x=4时， A0.由已知条件易求A(1,0),B(0,4),.D(5,1).,顶点 11 y=4·故答案为4,2,1,2,4作函数图象如图所示. D在反比例两数y=会的图象上，6=5，y=易证 v/cm △CBF≌△BAO,∴.CF=4,BF=1,.C(4,5).点C向 左平移n个单位长度后的坐标为(4一n,5),∴.5(4一n)= 5,.n=3. 培优专题8：作适当的辅助线解决问题 12[解析连接0C点A在双曲线y=(x>0上，AB 0 234x水g 上x辅5m=合×6=3BC:CA=1:2,Sm 培优专题7：镶嵌在反比例函数 图象上的特殊四边形 =3×号=1.“双曲线y=至(x>0)经过点CSx= 1.10 号11=1=2.“双曲线y=冬(>0)在第一象限， 2.解：(1)在Rt△BOE中，BE=8,OE= 3 2,点 k=2. B(8,-2）“反比例函数y=冬的图象经过点B,∴ 2 [解析]过点A作AH⊥x轴于点H,交BD于点F, =y=8X(2）=-12∴反比例函数的解析式为y= 则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形.：S矩形BDOE= 4,反比例函数y=么(x>0)经过点B,∴k=4,∴S矩形0 12 “反比例函数y=-2的图象经过点Am,6》. =4.AC=1,∴.OC=4÷1=4,.CD=OC-OD=OC 12 =6,解得m=-2,.A(-2,6)..y=ax十b经过 BE=4-1=3∴SEam=1X3=3Sm号 -2a+b=6 3.C[解析]过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点E 点A(-2,6)和点B(8,-) ~A,B两点在反比例函数y-冬（(>0)的图象上，且纵坐 标分别为4,2，A(年4，B(会2)AE=2,BE=会 时，2x+61甲2a+6=1,名，解得} /a=-2 6=51 -冬-冬：菱形ABCD的面积为25BC·AE- 六y=2x十5，当x=1时y=7.当x=1时y==7, 2W5,即BC=√5，.AB=BC=√5.在Rt△AEB中，BE= 即k=1y=子当x=子时y=7÷()=-2: VAB-AE=1,心冬=1，k=4 4.解：如图，过点D作DE⊥x轴，DF⊥AB,垂足分别为点E,F. 当x=a=-2时，y= 2,补全表格如下： ,△AOB绕点A顺时针旋转90°，∴△AOB≌△ADC. 2 a ∠BAC=90°，∠C=∠ABO=90°，∴.四边形ACEB是矩 形，∴.AC=DF=EB=AB=2,CD=BO=AF=1,∴.DE 2x+b a 1 1 =BF=AB-AF=2-1=1,OE=OB+BE=1+2=3, 7 7 D(一3,1.：点D恰好落在双曲线y=上，k= 2 (-3)×1=-3. (2)- 2<x<0或x>1. 8.解：(1)分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的 函数解析式为y=kx十b,把A(0,10),B(3,4)代入，得 b=10 6=10y=-2x+10:②当x>3时， k=一2 3k+6=4解得 5.解：(1)：正比例函数y=x的图象经过点A(1,a),.a= 设图象对应的函数解折式为y一受，把(3,4代人，得m=3 1A1,1.点A在反比例函数)=是C女>0)的图象 X4=12,y-12.综上所述，当0≤≤3时，y-2z十 x 上，k=1×1=1.(2)如图，作AD⊥x轴于点D,BE⊥ x轴于点E.A(1,1),C(-2,0),.AD=1,CD=3. 10:当x>3时y=是2)能理由：令y=是=1，则 x :∠ACB=90°，.∠ACD+∠BCE=90°.∠ACD+ x=12<15,故能在15天以内不超过最高允许的 ∠CAD=90°，∴.∠BCE=∠CAD.在△BCE和△CAD 1.0毫克/升. (∠BCE=∠CAD 9.2√3 中，∠BEC=∠CDA=90°，∴.△BCE≌△CAD(AAS), 10.C[解析]如图，过点B作BD⊥x轴于点D,易知 CB=AC △ACO≌△CBD,∴.OC=BD,OA=CD.A(0,2), .CE=AD=1,BE=CD=3,∴.B(-3,3).设AB所在直 C(1,0),.OD=3,BD=1,∴.B(3,1).设反比例函数的解 m十n=1 线的解析式为y=mz十n,则 ,解得 (-3m+n=3 析式为y=冬将BC8,1代人y=冬k=3y=是 7m=1 3 AB所在直线的解析式为y=子十 把y=2代入y一兰得x=号“当顶点A恰好落在该 n2 双曲线上时，此时点A向右平移了号个单位长度，∴点 C也向右平移了号个单位长度，此时点C的对应点C的 坐标为(0)- 章末复习 1.C2.<3.A4.B5.-66.C 7解：1当x=-子时，2x+b=a,即-7+6=a当x=a11.(停，-2)或（保，-4）[解析]分两种情况讨论：①当 同行学案学练测·15·