28.2 培优专题22：考点整合一三角函数与四边形、反比例函数的综合应用&培优专题23：学科融合—三角函数的跨学科应用-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

第二十八章锐角三角函数 培优专题22：考点整合一三角函数与四边形、 数 反比例函数的综合应用 素 养 1.(莱阳期末)如图，两根木条钉成一个角形框 5.（新泰期末)如图，矩形ABCD的边AB在 架∠AOB,且∠AOB=120°，AO=BO= x轴上，点C在反比例函数y=的图象上， 4cm,将一根橡皮筋两端固定在点A,B处， 拉展成线段AB.在平面内，拉动橡皮筋上的 点D在反比例函数y=的图象上.若 一点C,当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再 次被拉长了() √5 sin∠CAB= ,0s∠0CB=5,则k- 4 能 A.2 cm B.4 cm 力 C.(4√3-4)cm D.(8-4√3)cm 0 D B 1 F 视频讲解 第1题图 第2题图 6.(宜宾中考)如图，一次函数y=ax十b的图象 2.(威海期中)如图，在矩形ABCD中，AD= 与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,与 10,CD=6,E是CD边上一点，沿AE折叠 反比例函数y=(x>0)的图象交于C,D △ADE,使点D恰好落在BC边上的F处. x M是AF的中点，连接BM,则sin∠ABM= 两点.若tan∠BAO=2,BC=3AC (1)求一次函数和反比例函数的解析式， 3.(济南钢城区期中)如图，将矩形ABCD对折， (2)求△OCD的面积. 使点A与D重合，点B与C重合，折痕为 用 EF;展开后再次折叠，使点A与D重合于 EF上的点P处，折痕分别为BM,CN.若 创新 AB=10,BC=16,则tan∠PCN= M F N D D E 第3题图 第4题图 4.(湖州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半 轴上，tan∠ABO=3,以AB为边向上作正方 形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的 解析式是y=二，则图象经过点D的反比例 函数的解析式是 做神龙题得好成绩(93 了同行学案学练测 数学九年级下RJ 培优专题23：学科融合一三角函数的跨学科应用 1.(成都中考)我国古代运用“土圭之法”判别四 2.[学科融合]（武威中考）如图①，某人的一器 季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分 官后面A处长了一个新生物，现需检测其到 抽象能力 和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度 皮肤的距离.为避免伤害器官，可利用一种新 的平均数.某地学生运用此法进行实践探索， 型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测 运算 如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直 量.某医疗小组通过医疗仪器的测量获得相 能力 于地面，AB长8尺.在夏至时，杆子AB在太 关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的 阳光线AC照射下产生的日影为BC;在冬至 距离方案如下 何直 时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的 课题 检测新生物到皮肤的距离 日影为BD.已知∠ACB=73.4°，∠ADB= 工具 医疗仪器等 间观 26.6°，求春分和秋分时日影长度.（结果精确到 B 皮肤 0.1尺，参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈ 示意 09 器官 0.89,tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96， 图 0 新生 能力 ① cos73.4°≈0.29，tan73.4°≈3.35) 如图②，新生物在A处，先在皮肤上选 日光 择避开器官的B处照射新生物，检测射 秋立冬 说明 线与皮肤MN的夹角为∠DBN;再在 模型观念·应用意识 皮肤上选择距离B处9cm的C处照射 3.4 26.6 新生物，检测射线与皮肤MN的夹角 丰立春立 为∠ECN. 夏分春 测量 ∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC 数据9cm 创新 请你根据上表中的测量数据，计算A处新生 物到皮肤的距离.（结果精确到0.1cm,参考数 据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70， sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40) 94 做神龙题得好成绩 第二十八章锐角三角函数☑ 3.(兰州中考)单摆是一种能够产生往复摆动的 4.（广元中考)小明从科普读物中了解到，光从 装置.某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单 真空射人介质发生折射时，入射角α的正弦 摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下， 值与折射角B的正弦值的比值s%叫作介质 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 介质中传播时，介质对光作用的一种特征， 如图①，在支架的横杆点O处用摆 (1)若光从真空射入某介质，入射角为a,折射 线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松 手，摆球开始往复运动.（摆线的长度 变化忽略不计) 角为，且c疗9，求该介质能折射率 如图②，摆球静止时的位置为点A, 实验说明 (2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介 拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥ : OA.∠BOA=64°，BD=20.5cm;当 质，如图①所示，点A,B,C,D分别是长方体 摆球运动至点C时，∠COA=37°， 棱的中点.若光线经真空从矩形A1D1D2A? CE⊥OA.(点O,A,B,C,D,E在同 对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点 一平面内) C处射出，如图②，已知a=60°，CD=10cm, 求截面ABCD的面积. 光线 实验图示 D 光线 ① ② 根据以上信息，求ED的长.（结果精确到 ① ② 0.1cm,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈ 0.80,tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈ 0.44,tan64°≈2.05) 做神龙题得好成绩 95培优专题22：考点整合一三角函数 肤的距离约为8.4cm. 与四边形、反比例函数的综合应用 D E C B D2号3号4y=-是5-10 N 6.解：)在R△AOB中，tan∠BA0=A=2.A(4,0 3.解：在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠BOA=64°，BD= .OA=4,∴.OB=8,B(0,8).A,B两点在一次函数y =ax+6上，6=8 a=-2 20.5cm,∴tm∠B0A-80.sm∠B0A-=8B265 4a十6=0心6=8，一次函数解析式 20.5 ))，0.90≈20,5，∴.OD≈10cm,OB≈22.78cm.在 为y=-2x十8.如图，过点C作CE⊥OA于点E.BC= Rt△COE中，OC=OB=22.78cm,∠COA=37°， 3Ac,AB-4Mc:CE0B,需-65-， /0018是，即0-728g是理得0E≈278X ∴.CE=2,OE=3,.C(3,2),k=3×2=6,∴.反比例函 0.80=18.224(cm),则ED=OE-OD≈8.2(cm). 数的解折式为y一 y=-2x十8 4解：(1coa-如图，设6=7x,则c=4红，由勾股 (2)由 或 y=6 z-3D1,6.如 y=2’ 定理得，a=√(4x)2-(W7x)-3x,sina=a=3r= c Ax 图，过点D作DF⊥y轴于点F,则SAOCD=S△AoB一SAHOD 是又9=30,9=n80=分折射率为器 -Sa=0A.0B-0B·DF-0A·CE=号× 43 4X8-2×8×1- 1 ×4×2=8. 1 2· (2)由题意可得a=60,折射率为名÷器 2 g=号-怎四边形ABCD是矩形，点O是 sin60°_3 AD中点，AD=2OD,∠D=90°.又∠OCD=B, ∴n∠0CD=g-得在RAOC中，设OD=3z, OC=3x,由勾股定理得，CD=√(3x)2-(W3x)2=√6x, 0 EA 培优专题23：学科融合一三角函数的跨学科应用 n-80-号00=10x号=52A0=200= 1.解：在Rt△ABC中，AB=8尺，∠ACB=73.4°，.tan73.4° 10√2，∴.截面ABCD的面积为AD×CD=102×10 8 =BC.tan73.4≈3.35，BC≈2.39尺.在R△ABD中， =100√2(cm2). AB-8尺，∠ADB-益Gms-品”6G≈a0, ∴BD≈16尺由题可知，春分和秋分时日影长度等于夏至 和冬至日影长度的平均数，春分和秋分时日影长度为 2.39+16≈9.2（尺）. b 2 章末复习 2.解：如图，过点A作AF⊥MN,垂足为F.设BF=xcm. ,BC=9cm,∴.CF=BF+BC=(x+9)cm.在Rt△ABF 1A2C364号5号6A2B8A90 中，∠ABF=∠DBN=35°，.AF=BF·tan35°≈ 10.90°11.D12.D 0.70xcm.在Rt△ACF中，∠ACF=∠ECN=22°，∴.AF 13.解：(1)：AD⊥BC,AB=10,AD=6,.BD= =CF·tan22°≈0.40(x+9)cm,∴.0.70x=0.40(x+9), WAB2-ADz=√102-6=8.：tan∠ACB=1,∴.CD 解得x=12,.AF=0.70x=8.4cm,.A处新生物到皮 =AD=6,∴.BC=BD+CD=8+6=14.(2),AE是 ·24·同行学案学练测 BC边上的中线，CE=2BC=7,DE=CE-CD=7 18.解：(1)由题意，得∠ACB=∠ABC=30°，∴.AB=AC= -6=1.:AD⊥BC,∴.AE=√JAD2+DE=√62+1 163海里.过点A作AH⊥BC于点H,∠AHC= 3 =V37,∴sin∠DAE=DE=1=V37 AE√/3737· ∠AHB=90,CH=BH,∴CH=BH-AB-9× 2 14.A 16w3」 3 =8(海里)，.BC=16海里，答：B,C两处的距离为 15.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE 16海里.(2)过点D作DG⊥BC于点G.在Rt△BDG 于点F,则四边形BCFE是矩形.由题意，得AB=80米， DE=40米，∠ADE=90°-30°=60°，∠CDF=90°-45° 中，BG=9=2Dc.在R△cDG中，0G =45在R△ADE中，∠AED=90C:an∠ADE-能 2兴0=G-062G-9=16,解得 =tan60°=√3，∴.AE=√3DE=40√3米，.BE=AB- DG=10.5海里，∴.CG=5海里，∴.BG=BC十CG=21海里， AE=(80一403)米.，四边形BCFE是矩形，∴.CF= BD=√/BG+DC=21,5海里，渔政船的航行时 2 BE=(80-40√3)米.在Rt△DCF中，∠DFC=90°， ∠CDF=∠DCF=45°，∴.DF=CF=(80-40√3)米， 间为215÷18=75 2 12 小时). ∴.BC=EF=DE-DF=40-80十40√3≈28（米）.答：楼 BC高度约是28米. D 直击中考 30下J45- 1.A2.B3.B4.A 5.B[解析]过点A作AD⊥BC于点D.·它是一个轴对称 16.解：(1)如题图②，在Rt△ABC中，AC=3m,∠CAB= 图形，AB=AC.AD1BC,BD=2BC=3m在 60°，∴∠ABC=30°，AB=2AC=6m,则AB的长为 R△ADB巾，m∠ABC-品AD=BD·w 6m.(2)在Rt△ABC中，AB=6m,AC=3m,根据勾 3 tang m,∴.房顶A离地面EF的高度为(4十3tana)m 股定理得，BC=√AB2-AC=√62-32=3√3(m).在 6.A[解析]如图，连接AO,BO.,PA,PB分别与⊙O相 Rt△BCD中，∠CDB=37°，sin37°≈0.60，√3≈1.73， 切于点A,B,∴.∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB=8. n∠CDB=S即3议02=Q60,解得BD DC=12,.AO=6,.OP=10.在Rt△PA0和 BD PA=PB」 8.65m,.CE=BD-BA=8.65-6=2.65(m)≈2.7m, Rt△PBO中， PO=PORAPA0≌R△PBO(H, 则物体上升的高度CE约为2.7m. ∴，∠AOP=∠BOP,∴.AC=BC,.∠ADC=∠BDC. 17.解：(1)过点D作DH⊥CE于点H,由题意知CD= ∠AOC=2∠ADC,.∠ADB=∠AOC,∴.sin∠ADB= 2V而米“斜技CP的城度为=1：8，小2册子设 na0c-8S-台 DH=x米，CH=3x米.DH+CH=DC2,.x2+ (3x)2=(2√10)2，.x=2,.DH=2米，CH=6米.答： 小刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米 D (2)过点D作DG⊥AB于点G,设BC=a米.，∠DHB =∠DGB=∠ABC=90°，.四边形DHBG为矩形， B ∴.DH=BG=2米，DG=BH=(a+6)米.，∠ACB= 7.A 45°，∴.BC=AB=a米，.AG=(a-2)米.∠ADG= 8.C[解析]如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q.,OP∥AB, ∴.∠CAB=∠CPO,∠ABC=∠COP,∴.△OCP∽ △BCA,∴.CP:AC=OC:BC=1:2.∠AOC= ∴.AB=(6+4√3)米.答：大树AB的高度是(6+4√3)米. ∠AQP=90°，∴.CO∥PQ,.OQ:AO=CP:AC=1:2.