20.4 一次函数的应用 题型专练 2025-2026学年冀教版数学八年级下册

冀教版（2024）八年级下册 20.4 一次函数的应用 题型专练 【题型1】建立一次函数模型解决销售利润问题 【典例】在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨单价应该是（    ） A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 【强化训练1】在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） A.63 B.59 C.53 D.43 【强化训练2】某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（    ） A.42000元 B.46200元 C.52500元 D.63000元 【强化训练3】某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需      元． 【强化训练4】马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是          元． 【强化训练5】某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． (1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？ (2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？ (3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【强化训练6】航空航天技术是一个国家综合国力的反映．我国航天事业的飞速发展引发了航空航天模型的热销，某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型共100套．已知这两种模型的进价与售价如表所示： 若购进“神舟”模型的套数不少于“天宫”模型套数的4倍，求销售完这两种模型该航模店所获得的最大利润． 【题型2】从函数图象获取信息解决单一函数问题 【典例】杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，AB之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（　　） A.在量程范围内，质量m越大，AB之间的距离l越大 B.未挂重物时，AB之间的距离l为3cm C.当AB之间的距离l为15cm时，重物质量m为4.5kg D.在量程范围内，重物质量m每增加1kg，AB之间的距离l增加2cm 【强化训练1】某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系（如图），由图中给出的信息可知，营销人员月销售3万件的收入是（　　） A.17000元 B.18000元 C.19000元 D.20000元 【强化训练2】某超市以每千克8元的价格购进苹果销售，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价2元销售，全部售完．销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示，则该超市这次销售苹果盈利了 _______元． 【强化训练3】科学家发现：一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强p（千帕）随温度t（℃）变化的函数解析式是p＝kt+b，其图象如图所示．当压强为170千帕时，则上述气体的温度是 _______℃． 【强化训练4】节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量w（L）与滴水时间t（h）的函数关系可以用显示水量的容器如图1的试验，并根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题： （1）求w与t之间的函数关系式； （2）计算在这种滴水状态下，一天（24小时）容器内的盛水量是多少升． 【强化训练5】“千里游学，古已有之”，为传承红色基因，激发学生的爱国热情，提高学生的社会责任感，小苏和小李两家周末带孩子前往某爱国主义教育基地进行参观．已知小苏家、小李家和爱国主义教育基地在同一条笔直的道路上，如图．小苏和家人从家出发，开车以90km/h的速度前往爱国主义教育基地，同时，小李和家人骑自行车从家出发，匀速前往爱国主义教育基地，小李到小苏家的距离y（km）与行驶时间x（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）求y与x之间的函数解析式； （2）出发多久后，小苏与小李在途中相遇？ 【题型3】从函数图象获取信息解决行程问题 【典例】甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，图中直线，分别表示两车离开A地的距离y（）与行驶时间t（）之间的函数关系．现有以下四个结论：①表示甲车，表示乙车；②乙车出发后追上甲车；③两车相距的时间只有甲车出发的时候；④若两地相距，则乙车先到达B地．其中正确的是（  ） A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④ 【强化训练1】为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内400米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点．所跑的路程s（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第（    ） A.80秒 B.105秒 C.120秒 D.150秒 【强化训练2】小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离与出发时间之间的函数关系如图所示．当两人相遇时，他们到甲地的距离为          m． 【强化训练3】某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题： (1)学校到景点的路程为___________km，大客车途中停留了___________min， ___________； (2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ (3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 冀教版（2024）八年级下册 20.4 一次函数的应用 题型专练（参考答案） 【题型1】建立一次函数模型解决销售利润问题 【典例】在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨单价应该是（    ） A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 【答案】C 【解析】设购买量y吨与单价x元之间的一次函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得 ， 解得：， 解析式为：y＝－10x＋9000. 当y＝400时， 400＝－10x＋9000， . 故答案为：C. 【强化训练1】在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） A.63 B.59 C.53 D.43 【答案】D 【解析】设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【强化训练2】某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（    ） A.42000元 B.46200元 C.52500元 D.63000元 【答案】B 【解析】设该公司在这一时期内销售获得的利润是W元，销售A型电脑x台，则销售B型电脑台， 根据题意得：， 解得：， ∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时，W取最大值，最大值为（元）， 答：该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是46200元． 故选：B． 【强化训练3】某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需      元． 【答案】70 【解析】设买入价x与利润y之间的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解得：， 故：， 当代入得： ， 解得：， 即：1吨水的买入价为7元， 则买入10吨水共需元． 故答案为：70． 【强化训练4】马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是          元． 【答案】6000 【解析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，依题意得：， 设该公司获得利润为y元，依题意得： ， 即， ∵，y随着m的增大而增大， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元． 故答案为：6000． 【强化训练5】某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． (1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？ (2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？ (3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）解：设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支， 依题意，得：， 解得. 答：购进甲种笔需5元/支，乙种笔需元/支. （2）解：设购进甲种笔a支，则购进乙种笔 支， 依题意得：， 解得： . ∵为整数， ∴a可被2整除， ∴ ∴文具店共有3种进货方案. （3）解：获利， ∵随着的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为元. 此时 ∴当购甲种笔支，乙种笔支时，利润最大为元 【强化训练6】航空航天技术是一个国家综合国力的反映．我国航天事业的飞速发展引发了航空航天模型的热销，某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型共100套．已知这两种模型的进价与售价如表所示： 若购进“神舟”模型的套数不少于“天宫”模型套数的4倍，求销售完这两种模型该航模店所获得的最大利润． 【答案】解：设购进“神舟”模型套，销售完这两种模型所获得的利润为元， 根据题意，购进“天宫”模型套，则． 根据题意，得，解得． ， 随的增大而减小， 当时，值最大，． 答：销售完这两种模型该航模店所获得的最大利润是420元． 【题型2】从函数图象获取信息解决单一函数问题 【典例】杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，AB之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（　　） A.在量程范围内，质量m越大，AB之间的距离l越大 B.未挂重物时，AB之间的距离l为3cm C.当AB之间的距离l为15cm时，重物质量m为4.5kg D.在量程范围内，重物质量m每增加1kg，AB之间的距离l增加2cm 【答案】C 【解析】根据题意，在量程范围内，质量m越大，AB之间的距离l越大，故A错误，不符合题意； 由图2可知，未挂重物时，AB之间的距离l为3cm，故B正确，不符合题意； 由图2可知，当AB之间的距离l为15cm时，重物质量m为6kg，故C错误，不符合题意； ∵l＝km+3， ∴5＝k+3， ∴k＝2， ∴l＝2m+3， ∴在量程范围内，重物质量m每增加1kg，AB之间的距离l增加2cm，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【强化训练1】某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系（如图），由图中给出的信息可知，营销人员月销售3万件的收入是（　　） A.17000元 B.18000元 C.19000元 D.20000元 【答案】C 【解析】设收入与销售量之间的函数关系式为y＝kx+b， ∴， 解得，， 即收入与销售量之间的函数关系式为y＝5000x+4000， 当x＝3时，y＝5000×3+4000＝19000， 故选：C． 【强化训练2】某超市以每千克8元的价格购进苹果销售，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价2元销售，全部售完．销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示，则该超市这次销售苹果盈利了 _______元． 【答案】2700． 【解析】8800÷800＝11（元）， ∵余下的苹果每千克降价2元销售， ∴后来出售的西瓜重量：（11500﹣8800）÷（11﹣2）＝300 （千克）， ∴所有进货的总重量：800+300＝1100（千克）， ∴进货总进价：1100×8＝8800（元）， ∴11500﹣8800＝2700（元）． ∴该超市这次销售苹果盈利了2700元． 故答案为：2700． 【强化训练3】科学家发现：一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强p（千帕）随温度t（℃）变化的函数解析式是p＝kt+b，其图象如图所示．当压强为170千帕时，则上述气体的温度是 _______℃． 【答案】150． 【解析】函数p＝kt+b的图象过点（0，110），（25，120）， 可得， 解得， 所求的函数关系式是pt+110（t≥0）， 当p＝170时，t+110＝170， 解得t＝150， 即当压强为170千帕时，气体的温度是150℃． 故答案为：150． 【强化训练4】节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量w（L）与滴水时间t（h）的函数关系可以用显示水量的容器如图1的试验，并根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题： （1）求w与t之间的函数关系式； （2）计算在这种滴水状态下，一天（24小时）容器内的盛水量是多少升． 【答案】解：（1）由图象可知w与t之间是一次函数关系， ∴设w与t之间的函数关系式为w＝kt+b， 将（0，0.3），（1.5，0.9）代入， 得：， 解得：， ∴w与t之间的函数关系式为w＝0.4t+0.3； （2）由关系式可知，每小时滴水量为0.4L， ∴当t＝24时，w＝0.4×24+0.3＝9.9（L）， 即在这种滴水状态下一天的盛水量是9.9升． 【强化训练5】“千里游学，古已有之”，为传承红色基因，激发学生的爱国热情，提高学生的社会责任感，小苏和小李两家周末带孩子前往某爱国主义教育基地进行参观．已知小苏家、小李家和爱国主义教育基地在同一条笔直的道路上，如图．小苏和家人从家出发，开车以90km/h的速度前往爱国主义教育基地，同时，小李和家人骑自行车从家出发，匀速前往爱国主义教育基地，小李到小苏家的距离y（km）与行驶时间x（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）求y与x之间的函数解析式； （2）出发多久后，小苏与小李在途中相遇？ 【答案】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b， 把（0，30），（1，60）代入 得：， 解得， ∴y与x之间的函数解析式为y＝30x+30； （2）由图可得，小苏和小李家相距30km， 根据题意得：90x＝30x+30， 解得x＝0.5． 答：出发0.5小时后，小苏与小李在途中相遇． 【题型3】从函数图象获取信息解决行程问题 【典例】甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，图中直线，分别表示两车离开A地的距离y（）与行驶时间t（）之间的函数关系．现有以下四个结论：①表示甲车，表示乙车；②乙车出发后追上甲车；③两车相距的时间只有甲车出发的时候；④若两地相距，则乙车先到达B地．其中正确的是（  ） A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④ 【答案】D 【解析】由题意得：表示的甲车、表示的乙车，则结论①正确； 由与x轴的交点可知，甲车比乙车早出发2小时， 甲车的速度为， 乙车的速度为， 设乙车出发a小时后追上甲车， 则， 解得， 即乙车出发4小时后追上甲车，结论②正确； 甲车出发11小时时，甲车行驶的路程为， 乙车行驶的路程为， 则此时两车相距为， 假如乙先到达目的地时且行驶时间超过11个小时，则当乙停止后，若甲继续行驶，还可能存在一个时刻，两人相距， 故结论③错误； 若两地相距，甲车到达B地时，， 乙车到达B地时，， 因为， 所以乙车先到达地，结论④正确； 综上，正确的是①②④， 故选：D． 【强化训练1】为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内400米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点．所跑的路程s（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第（    ） A.80秒 B.105秒 C.120秒 D.150秒 【答案】C 【解析】设直线的解析式为， 把点代入中，得， 解得， 故直线的解析式为， 设线段的解析式为， 由题意得， 解得， 线段的解析式为， 当时，， 解得， 则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒． 故选：C． 【强化训练2】小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离与出发时间之间的函数关系如图所示．当两人相遇时，他们到甲地的距离为          m． 【答案】 【解析】设小丽离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， ∴． 设小华离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为， 将和代入得， 解得， ∴． 当时，， 解得， ∴， ∴两人相遇时，他们到甲地的距离是， 故答案为：． 【强化训练3】某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题： (1)学校到景点的路程为___________km，大客车途中停留了___________min， ___________； (2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ (3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？ 【答案】（1）解：由图象可得：学校到景点的路程为，大客车途中停留了， 小轿车的速度：， ， 故答案为：40，5，15； （2）解：由（1）得：， 得大客车的速度：， 小轿车赶上来之后，大客车又行驶了：， ， 答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有； （3）解：，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间：， 小轿车司机折返时的速度：， 小轿车折返时已经超速； 学科网（北京）股份有限公司 $